CHIỂU và độ RỘNG của MÔĐUNOOMPẲC TUYỂN TÍNH ròi rạc và đối ĐỊAPHƯONGHÓA

BỌ BỌ GIÁO GIÁO DỤC DỤC VÀĐÀO VÀĐÀO TẠO TẠO TRƯỜNG ĐAI HOCVESH TRƯỜNG ĐAI HOCVESH CAO HUY BẲNG CHIÈƯVÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUN OOMPÁC CHIỂU VÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUNOOMPẲC LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC 21 MỌCLỤC IVIic luc Mõ dầu Chuông Kiến thúc chuẩn bị 1.1 Địaphưonghóa 1.2 Vành địa phưong đầy đủ theo tôpô m-adic g 1.3 Phồ, giá, độ cao, chiều Krull 1.4 Iđêan nguyên tố hên kết 10 MỞ ĐÀU Năm 1942, s Lefschetz đưa khái niệm không gian vectơ compăc tuyến tính nhằm nghiên cứu không gian vectơ vô hạn chiều Năm 1953, D Zelinsky 1TD' rộng khái niệm thành khái niệm môđun compăc tuyến tính Từ đến nay, lóp môđun compăc tuyến tính đuợc nhiều nhà toán học giói quan tâm nghiên cứu trở thành huóng nghiên cứu quan trọng đại số, tôpô mà liên quan đến nhiều lĩnh vực khác Chú ý rằng, lóp môđun compăc tuyến tính rộng, chứa nhiều lóp môđun quan trọng Đại số giao hoán Thậm chí lóp môđun môdun compăc tuyến tính mô đun coinpăc tuyến tính ròi rạc chứa thực ìnôđiin Artm; hon chứa môđun Noether vành (V), p Spec/7 Cận tất độ dài xích nguyên tố với p = p gọi độ cao cua p, kí hiệu ht(p) Nghĩa là, ht(p) = sup {đọ cao xích nguyên tố vói P = p } Cho / iđêan R ta t R -môđun M đuợc gọi thà-cấp M * vói X e R7 phép nhân X M toàn cấu lũy linh Trong truòng họp Rad (Ann^M iđêan nguyên tố, chẳng hạn p, ta gọi M \ầp-thứcap 11 môdun dơn ciẢCiAd Khi dó dộ dài hai Aẩ - dối dãy tối đại a hữu hạn xà xà (ỉ) héu SocA/= magM< xà WĩdthyW = (ii) Trường hợp ngược lại ta có WidthjM = inf{«> 0:Tơr,f (M;R/a) * 0} Chứngminh (i) ChoSocM= Từ [11] ta suyra rragAT< (0: M xR) = với xe R thoa mãn xM= M Vì WidthM= 23 (ỉ) Cos Mlà tập họp tất iđêan nguyên tố chửa Ann M (ii) Với môi p e Cos M, dối địa phương hóa p Mbiêu diên dược Att/(, (pM) = {qỉị : q c p,q € AìtMị (iiỉ) Giả sử —^ M-> M—> M'—> dãy khớp môãtữĩ Artin Khi dó s tập nhân dóng R dây sau khóp Chú ý tằng đối địa phưong hoá /?-môđun Artin Á tirong ứng với tập đóng nhân s R thường không /?s-môđun Artin Thậm chí không /?v-môđun có chiều Goldie hữu hạn vành R địa phưong day đủ (một môđun gọi có chiều Goldie hữu hạn không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđưn con) Tuy vậy, kết cua Ooishi [10] \è độ rộng cho tnôđun Ailm đứng cho đối địa phưong hoá 2.23 Định lý Cho p lả idêan ngryèn to CòsA acp idêan cua 24 Lại (0: aR p ) * nên _y 1, j F m + i A -dãy đối quy aR p Điều rnân thuân vói tính tối đại A -dãy đối quy yi y m Phần lại định lý đuọc dễ dàng suy từ Bổ đề 2.1.9 □ Chú ý ràng đối vói R -inôđun hữu hạn sinh M, p iđêan nguyên tố R chứa Ann^ M thi p Supp^ M M ^ Theo Bổ đề Nakayama ta suy 25 tử Bố đề sau cho ta tính chất linh hóa tử iđêan nguyên tố gắn kết inôđun Artin Chú ý tồn môdim Artm vành địa phưong không thoả inãn điều kiện (*) Tuy nhiên lóp inôđun Artin thoả inãn đỉều kiện (*) phổ biến Ngoài ra, đấi địa phưong hoá nhũng inôđun Artin thoả mãn điều kiện (*) “xấu” theo nghĩa thuòng không môđun Artin chí thuòng có vô hạn iđêan nguyên tố hên kết, có c hiều Goldie vô hạn (xem Ví dụ 2.3.2) Widtha/^ ( P A) = infịn > 0: Tor^ ( p A;R p /aR p )* 0} 26 Chúng minh Theo Định lý 2.2.3, cần chứng tỏ (0: a/^) 5Ế đủ Vì A thoả điều kiện (*) nên AnníT):^ a)c: AnnCO:^ p) = p Vì ta có p Cos(0:4 a) Do p ( ( a ) ) * Từ ta suy (0: A aĩỌ * Chú ý Điều kiện (*) Hệ 2.2.5 cần thiết (xem Ví dụ 2.3.3, (i)) 27 □ dim^ (0: A xR p ) - d- Theo giả ửdết quy nạp, tồn x , ,x d e p cho dim^(0: A (x,x ỉ , ,x d )R p ) = Nguợclại, giả sử din\ (° V (x,x x , ,x t )R Ị ) = \ói 28 Vặt khác, dễ dàng kiểm tra VCI -M * Othì m*.M m, - thí’ cấp vói số nguyên t Vì , từ dãy khóp 0-> mt^Mi xnĩịMị -> m^Mị/xn^Mị -> với ý ràng rrdM m/+,M môđun biểu diễn đuợc có chiều Goldie hữu hạn ta suy VX*.M /mJ+1Mcó chiều Goldie hữu hạn VI m\M ìvx t + x M R/vtii - không gian véctơ có chiều hữu hạn Do đố từ dãy 0= m^Mị c mỴ x M t c c M ta phải có f (V0 < l {M) < 00 00 vói z' = , , r Vạy □ 29 (i) Widthp (A) < Width(p Á) (ii) Nẽu A ìnôàưn đôi Cohen- Macaulay tỉnh chắt sau (a) Widthp (A) = dim(p Â) (b) dim^ A) + dim/? / p = dimA 30 W i d t h i n f {t> 0:Tor/'(A/;/?/m)^0} Chứng minh Cho /Vlà môđun compăc tuyến tính ròi rạc vành [...]... Noether trên vành 0:Tor,f (M;R/a) * 0} 22 các môdun con dơn ciẢCiAd Khi dó dộ dài của hai Aẩ - dối dãy tối đại... thuân vói tính tối đại của A -dãy đối chính quy yi y m Phần còn lại của định lý đuọc dễ dàng suy ra từ Bổ đề 2.1.9 □ Chú ý ràng đối vói mỗi R -inôđun hữu hạn sinh M, nếu p là iđêan nguyên tố của R chứa Ann^ M thi p 6 Supp^ M và do đó M ^ 0 Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra 25 tử Bố đề sau cho ta tính chất linh hóa tử của các iđêan nguyên tố gắn kết của inôđun Artin Chú ý rằng tồn tại môdim Artm trên vành... Chứng minh Cho /Vlà một môđun compăc tuyến tính ròi rạc trên vành ... hạn sinh vói n 15 CHƯƠNG CHIỀU VÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUN GƠMPẮC TUYẾN TÍNH RÒI RẠC VÀĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA Nam 1942, s Leschetz đưa khái niệm không gian vectơ compắc tuyến tính nhằm nghiên cứu không gian... môđun đối địa phưong hoá giói thiệu L Melkersson p Schenzel [8] Trong [9], Lê Thanh Nhàn nghiên cứu chiều độ rộng hai lóp môđun compăc tuyến tính đặc biệt: môđun compăc tuyến tính ròi rạc đối địa... đầu tác giả nghiên cứu chiều độ rộng môđun compăc tuyến tính ròi rạc; phần 16 2.1 Môdun compắc tuyến tính ròi rac Sau đây, trình bày khái niệm môđim Conpắc tuyến tính theo I G Macdonald [3] Mật