Tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Đỗ Đức Thuận Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Được phân công Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN đồng ý thầy giáo hướng dẫn TS Đỗ Đức Thuận thực đề tài "Tính điều khiển hệ tuyến tính rời rạc" Để hoàn thành khóa luận này, xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường Đại học Khoa học Tự nhiên Xin chân thành cám ơn thầy giáo hướng dẫn TS Đỗ Đức Thuận tận tình, chu đáo hướng dẫn thực khóa luận Mặc dù cố gắng nhiều thân hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót định Tôi mong góp ý quý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để khóa luận hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cám ơn! Hà nội, tháng năm 2017 Nguyễn Lý Vinh Hạnh Mục lục Lời mở đầu Danh mục kí hiệu chữ viết tắt Hệ điều khiển tuyến tính 1.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục 1.1.1 Khái niệm điều khiển 1.1.2 Đặc trưng cho tính điều khiển 1.2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc 1.2.1 Mô hình rời rạc khái niệm điều khiển 1.2.2 Đặc trưng cho tính điều khiển Hệ 2.1 2.2 2.3 3 11 11 13 tuyến tính rời rạc có trễ Khái niệm điều khiển tương đối Đặc trưng cho tính điều khiển tương đối Dạng hàm điều khiển 23 23 24 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 i Lời mở đầu Lý thuyết điều khiển phát triển từ khoảng 150 năm trước thực điều khiển học bắt đầu cần mô tả phân tích cách toán học Từ đó, đóng vai trò quan trọng nhiều ngành khoa học, đặc biệt kĩ thuật toán học (xem [3, 4, 5, 6]) Ví dụ vấn đề để điều khiển tàu vũ trụ, tên lửa, điều kiển kinh tế quốc gia, điều khiển robot, Khi xét hệ rời rạc, mô hình tuyến tính biểu diễn hệ phương trình sai phân x(n + 1) = Ax(n), (1) A ma trận cỡ k × k Hệ yếu tố tác động tới biến x1 (n), x2 (n), , xk (n) Do ta điều khiển hệ Vì vậy, mô hình điều khiển hệ rời rạc tuyến tính phát triển có dạng x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n), (2) B ma trận cỡ k × m, gọi ma trận đầu vào u(n) vector m × Trong hệ này, ta có m biến điều khiển u1 (n), u2 (n), , um (n), m ≤ k Trong luận văn tập trung trình bày tính điều khiển hệ tuyến tính rời rạc Nội dung khóa luận gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo chương với nội dung sau: Chương 1: Trình bày tính điều khiển hệ tuyến tính Chương 2: Trình bày tính điều khiển hệ tuyến tính rời rạc có trễ Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R C Rn Rn×m rankA Im(A), rangeA L1 [0, T ; Rm ] S(t) QT [A|B] Z+ Zqs eBk m tập số thực tập số phức không gian Euclide n chiều tập ma trận n hàng m cột hạng ma trận A ảnh ma trận A tập hàm khả tích địa phương từ [0; T ] vào Rm ma trận nghiệm ma trận điều khiển Gramian ma trận [B, AB, , An−1 B] tập số nguyên dương tập {s, s + 1, , q} s = −∞ q = ∞ ma trận rời rạc có trễ dạng mũ Chương Hệ điều khiển tuyến tính 1.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục Trong mục này, trình bày ngắn gọn kết tính điều khiển hệ điều khiển tuyến tính liên tục, dựa tài liệu tham khảo [7] 1.1.1 Khái niệm điều khiển Hệ điều khiển tuyến tính liên tục mô tả phương trình vi phân dy = Ay(t) + Bu(t), dt y(0) = x ∈ Rn , u(t) ∈ Rm (1.1) với A : Rn → Rn , B : Rm → Rn toán tử tuyến tính, u(t) hàm khả tích địa phương, tức u(t) ∈ L1 [0, T ; Rm ] với T > Ta biết phương trình (1.1) có nghiệm t S(t − s)Bu(s)ds, y(t) = S(t)x + S(t) = eAt = ∞ n=0 An n n! t ma trận nghiệm Định nghĩa 1.1.1 Trạng thái b gọi đạt từ trạng thái a thời gian T > tồn điều khiển u(t) xác định [0, T ] cho phương trình (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b Quy ước: Trạng thái a đạt từ a thời gian T = Định nghĩa 1.1.2 Trạng thái b gọi đạt từ trạng thái a hay trạng thái a dịch chuyển đến trạng thái b b đạt từ a thời gian T > Định nghĩa 1.1.3 Hệ (1.1) gọi điều khiển thời gian T > b a hai trạng thái b đạt từ a thời gian T Định nghĩa 1.1.4 Hệ (1.1) gọi điều khiển b a hai trạng thái b đạt từ a 1.1.2 Đặc trưng cho tính điều khiển Một hàm u(.) xác định [0; +∞) khả tích địa phương có giá trị Rn gọi điều khiển đầu vào hệ (1.1) Nghiệm tương ứng phương trình (1.1) ký hiệu y x,u (.) để nhấn mạnh phụ thuộc vào điều kiện ban đầu x đầu vào u(.) Ta nói điều khiển u chuyển trạng thái a tới trạng thái b tồn thời điểm T > cho y a,u (T ) = b (1.2) Khi trạng thái a bị chuyển sang trạng thái b thời điểm T hay trạng thái b đạt từ trạng thái a thời điểm T Mệnh đề nêu lên công thức điều khiển chuyển từ a tới b Trong công thức ma trận QT gọi ma trận điều khiển Gramian: T S(r)BB ∗ S ∗ (r)dr, T > QT = QT đối xứng xác định không âm Bổ đề 1.1.1 Giả sử với T > đó, ma trận QT không suy biến với a, b ∈ Rn điều khiển u(s) = −B ∗ S ∗ (t − s)Q−1 T (S(T )a − b), s ∈ [0, T ] dịch chuyển từ trạng thái a đến trạng thái b thời gian T , tức với điều khiển hệ (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b Chứng minh Ta có t S(t − s)Bu(s)ds y(t) = S(t)a + t = S(t)a − S(t − s)BB ∗ S ∗ (t − s)Q−1 T (S(T )a − b)ds Dễ thấy y(0) = S(0)a = a T y(T ) = S(T )a − S(T − s)BB ∗ S ∗ (T − s)ds Q−1 T (S(T )a − b) = S(T )a − QT Q−1 T (S(T )a − b) = b Bổ đề 1.1.2 Nếu trạng thái b ∈ Rn đạt từ 0, ma trận QT không suy biến với T > Chứng minh Xét T LT u = S(r)Bu(T − r)dr Suy LT u = y u (t) y u (t) nghiệm hệ (1.1) thỏa mãn y u (0) = Đặt ET = LT (L1 [0, T ; Rm ]) không gian véc tơ Rn Vì b ∈ Rn đạt từ nên ∪T >0 ET = Rn Nếu T < T ET ⊂ ET , từ suy tồn T0 cho ET = Rn , ∀T ≥ T0 Với T > 0, v ∈ Rn , u ∈ L1 [0, T ; Rm ] ta có T T ∗ QT v, v = ∗ B ∗ S ∗ (r)v dr S(r)BB S (r)dr v, v = 0 T u(r), B ∗ S ∗ (T − r)v dr LT u, v = Vì QT v = với v thuộc Rn , T > hàm B ∗ S ∗ (r)v đồng [0, T ] Do hàm f (r) = B ∗ S ∗ (r)v hàm giải tích (có thể khai triển thành chuỗi Taylor vô hạn) f (r) = với r ∈ [0, T ] f (r) phải với r ∈ R+ Từ công thức biểu diễn LT suy LT u, v = 0, ∀u, ∀T > Tức v⊥ET ∀T > mà ∪T >0 ET = Rn Do đó, v⊥Rn Vậy v = 0, hay QT không suy biến với T > Bổ đề 1.1.3 Im(LT ) = Im(ln ) với T > Trong đó, T LT u = S(r)Bu(T − r)dr ln (u0 , u1 , , un−1 ) = Bu0 + ABu1 + + An−1 Bun−1 Chứng minh ∀v ∈ Rn , u ∈ L1 [0, T ; Rm ], uj ∈ Rm , j = 0, , n − ta có: T u(s), B ∗ S ∗ (T − s)v ds, LT u, v = ln (u0 , , un−1 ), v = u0 , B ∗ v + + un−1 , B ∗ (A∗ )n−1 v Xét v đó, giả sử ln (u0 , , un−1 ), v = 0, ∀u0 , , un−1 ∈ Rm Suy B ∗ v = = B ∗ (A∗ )n−1 v = Theo Định lý Cauley - Hamilton (A∗ )n + a1 (A∗ )n−1 + + an In = Suy n ∗ n n−1 ∗ n−k (A ) = − ak (A ) ck (A∗ )k = k=1 k=0 Bằng truy hồi thu n−1 ∗ n+l (A ) cl,k (A∗ )k , ∀l ≥ 0, = cl,k ∈ C k=0 Từ suy B ∗ (A∗ )k v = 0, ∀k ≥ Do ∞ ∗ ∗ ∗ A∗ t B S (t)v = B e tk B (A ) v = 0, ∀t ≥ k! ∗ v= k=0 ∗ k Suy T u(s), B ∗ S ∗ (T − s)v ds = 0, ∀u ∈ L1 [0, T ; Rm ], ∀T > LT u, v = Chương Hệ tuyến tính rời rạc có trễ 2.1 Khái niệm điều khiển tương đối Bài toán đặt chương phức tạp so với chương trước Các kết trình bày dựa báo [1] Trước vào hệ tuyến tính rời rạc có trễ, ta nhắc lại hệ liên tục có trễ Hệ liên tục có trễ hệ có dạng sau x˙ = Bx(t−τ )+bu(t), t > 0, x(t) = ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, τ > 0, (2.1) đó, x : [−τ, ∞) → Rn hàm khả vi liên tục tên (0, ∞), B ma trận số n × n, b vector hằng, đầu vào u : R+ → R, τ > số ϕ : [−τ, 0] → Rn Ta sử dụng kí hiệu sau: với số nguyên s, q, s ≤ q ta định nghĩa Zsq := {s, s + 1, , q} s = −∞ q = ∞ Trong luận văn này, ta xét hệ điều khiển rời rạc có trễ x(k) = Bx(k − m) + bu(k), (2.2) m ≥ số nguyên cố định, B ma trận n × n, x(k) = ∞ x(k + 1) − x(k), x : Z−m → Rn nghiệm chưa biết, b ∈ Rn vector cho trước khác u : Z0∞ → R hàm vô hướng đầu vào Ta thấy • Nếu m = hệ trở thành hệ rời rạc không trễ, • Nếu m = hệ trở thành hệ rời rạc trễ (pure delay), • Nếu m > ta có hệ rời rạc có trễ tổng quát 23 Cùng với hệ (2.2) ta xét toán giá trị ban đầu (bài toán Cauchy) x(k) = ϕ(k) (2.3) với hàm cho trước ϕ : Z−m → Rn Sự tồn nghiệm hệ (2.2) (2.3) hiển nhiên Một nghiệm toán Cauchy dãy vô hạn {x(−m) = ϕ(−m), x(−m + 1) = ϕ(−m + 1), , x(0) = ϕ(0), x(1), x(2), , x(k), } cho, với k ∈ Z0∞ phương trình (2.2) Với ϕ : Zsq → Rn , ta định nghĩa ϕ sq := maxj=s, ,q ϕ(j) với ϕ(j) := maxj=1, ,n |ϕi (j)| Ở phần cuối mục này, ta đưa định nghĩa điều khiển tương đối cho hệ tuyến tính rời rạc có trễ Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.2) gọi điều khiển tương đối → Rn , trạng thái kết thúc hữu hạn với hàm ban đầu ϕ : Z−m x = x∗ ∈ Rn , điểm kết thúc hữu hạn k1 lớn với số nguyên cố định k ∗ ∈ Z1∞ , tồn hàm rời rạc u∗ : Z0k1 −1 → R cho hệ (2.2) với đầu vào u = u∗ cho hệ x(k) = Bx(k − m) + bu∗ (k), k1 có nghiệm x∗ : Z−m → Rn cho x∗ (k1 ) = x∗ x∗ (k) = ϕ(k) k ∈ Z−m 2.2 Đặc trưng cho tính điều khiển tương đối Trong mục ta nghiên cứu đặc trưng dạng điều kiện hạng Kalman cho tính điều khiển tương đối Bổ đề 2.2.1 Cho hàm Φ : Zsq → R cho trước Khi phương trình q Φ(k)η(k) = k=s với hàm η : Zsq → R Φ(k) = Zsq 24 (2.4) Như ta biết để xét tính điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính với đầu vào (tiêu chuẩn Kalman), ta sử dụng hai kết nghiệm toán Cauchy cho hệ không định lý Cayley - Hamilton Cụ thể, công thức nghiệm toán Cauchy cho hệ không có dạng t x(t) = eAt x0 + b eA(t−s) u(s)ds, exp(At) ma trận mũ định nghĩa qua công thức 1 eAt = I + At + (At)2 + + (At)k + 1! 2! k! với ma trận I ma trận đơn vị cỡ n × n Kết thứ hai định lý Cayley - Hamilton Định lý khẳng định với Ai , i = n, n+1, với ma trận A n×n cho trước, biểu diễn tổ hợp tuyến tính hữu hạn ma trận I, A, A2 , , An−1 Trong chương này, ta làm việc với ma trận rời rạc có trễ dạng mũ eBk m , ma trận B cỡ n × n cho trước, định nghĩa là:   −m−1  Θ k ∈ Z−∞ ,       , I k ∈ Z−m         k     k ∈ Z1k+1 , I + B               k k−m     + B2   k ∈ Z 2(m+1) , I + B   (m+1)+1           Bk (2.5) em := k k−m k − 2m 2 3      I +B +B +B         3(m+1)   k ∈ Z2(m+1)+1                  k k−m k − (l − 1)m   2 l      I + B + B + B    l       k ∈ Z l(m+1) (l−1)(m+1)+1 , l = 0, 1, 2, 25 đó, Θ ma trận không cỡ n × n Bổ đề 2.2.2 Lấy B ma trận n × n Khi đó, B(k−m) eBk m = Bem (2.6) ∞ với k ∈ Z−m Ma trận rời rạc có trễ dạng mũ expBk m ma trận B sử dụng để biểu diễn nghiệm hệ rời rạc Cụ thể sau: x(k) = eBk m ϕ(−m)+ B eB(k−m−j) m ϕ(j −1)+ j=−m+1 (k −m−j)bu(j −1), j=1 (2.7) k ∈ Z1∞ Định nghĩa 2.2.1 Xét r số dương cho trước Ta định nghĩa lớp hàm rời rạc bị chặn Ω(s, q) Ωr (s, q) := {ω : Zsq → R, ||ω||sq ≤ r} Định nghĩa 2.2.2 Ta định nghĩa miền đạt (a domain of reachability) Qϕ ⊆ Rn tập gồm điểm x(k1 ), x nghiệm hệ (2.2) tương ứng với giữ liệu ban đầu (2.3) hàm điều khiển u ∈ Ωr (0, k1 − 1) Kết chính: Điều kiện cho tính điều khiển tương đối hệ hàm điều khiển u = u∗ (k), k ∈ Z0k1 −1 tính công thức sau x(k) = Bx(k − m) + bu(k), x(k) = ϕ(k), k ∈ Z0k1 −1 , k ∈ Z−m , (2.8) (2.9) x(k1 ) = x∗ (2.10) Ta định nghĩa ma trận n × n S := (b, Bb, B b, , B n−1 b) vector ∗ ξ := x − eBk m ϕ(−m) −m−j) eB(k m − j=−m+1 26 ϕ(j − 1) (2.11) Hơn ta định nghĩa số k ∗ := (n − 1)(m + 1) + (2.12) Định lý 2.2.1 Hệ (2.8) - (2.10) có tính điều khiển tương đối thỏa mãn hai điều kiện sau: rank S = n (2.13) k1 ≥ k ∗ (2.14) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ hệ điều khiển tương đối (2.8) Khi đó, theo định nghĩa hệ điều khiển tương hàm ban đầu ϕ : Z−m → Rm , trạng thái cuối hữu hạn x = x∗ ∈ Rn giá trị hữu hạn k1 lớn số nguyên cố định k ∗ ∈ Z1∞ , tồn hàm rời rạc k1 u∗ : Z0k1 −1 → R cho hệ (2.8) có nghiệm x∗ : Z−m → Rn thoải mãn giả thiết (2.10) Trong trường hợp này, ta (2.13) (2.14) với k ∗ định nghĩa (2.12) thoải mãn Ta sử dụng công thức (2.7) để biểu diễn nghiệm x∗ hệ (2.8)-(2.10) Tại thời điểm k = k1 ta có x∗ = x∗ (k1 ) = k1 = −m−j) eB(k m eBk m ϕ(−m) + −m−j) eB(k bu∗ (j − 1) m ϕ(j − 1) + j=−m+1 j=1 (2.15) Ta viết lại (2.15) (bằng cách sử dụng (2.11)) sau k1 B(k1 −m−j) ∗ em bu (j − 1) = ξ (2.16) j=1 Ma trận rời rạc có trễ dạng mũ eBk m có bậc p(k) ma trận B với tập có giá trị k = (l − 1)(m + 1) + 1, (l − 1)(m + 1) + 2, , l(m + 1) với l = 0, 1, 2, Dễ thấy   k−1 + k = 1, 2, , m+1 p(k) = 0 k < 27 (2.17) Do đó, ma trận rời rạc có trễ dạng mũ rút gọn sau:  −m   k ∈ Z−∞ ,     eBk m = p(k) i k − (i − 1)m ∞  I + k ∈ Z−m  i=1 B   i (2.18) Do k1 ≥ 1, biểu thức (2.16) biến đổi thành   p(k1 −m−1) k1 k1 − m − j − (i − 1)m  ∗ I + Bi bu (j − 1) = ξ (2.19) i j=1 i=1 Vế trái biểu thức tổ hợp tuyến tính q + vector b, Bb, , B q b (2.20) với q = p(k1 − m − 1) = k1 − m − − k1 − +1= m+1 m+1 (2.21) Nói cách khác, (2.19) viết dạng C1 b + C2 Bb + + Cq+1 B q b = ξ (2.22) với "hằng số" C1 , C2 , , Cq+1 (là hàm u∗ (0), u∗ (1), u∗ (2), , u∗ (k1 − 1) ) Như vậy, với q + < n, hệ (2.22) thường không định nghĩa nghiệm (với ξ bất kì) không tồn Do đó, điều kiện cần để hệ (2.22) giải bất đẳng thức q + ≥ n Khi nhiệm (2.22) tồn Cuối ta có k1 − q= ≥n−1 m+1 k1 ≥ (n − 1)(m + 1) + = k ∗ Suy ta chứng minh bất đẳng thức (2.14) Theo định lý CayleyHamilton, với ma trận B i (i ≥ n) phân tích tổ hợp tuyến tính ma trận I, B, B , , B n−1 28 Nếu q ≥ n, tổ hợp tuyến tính (2.22) hệ vector (2.20) rút gọn thành tổ hợp tuyến tính vector hệ sau b, Bb, , B n−1 b Do đó, hệ (2.22) n phương trình tuyến tính giải với giá trị ξ det S = 0, tức rank S = n Như điều kiện (2.13) chứng minh Điều kiện đủ Giả sử ta có giả thiết (2.13) (2.14), ta phải chứng minh hệ (2.8) điều khiển tương đối Đầu tiên, ta chứng minh số chiều miền điều khiển n Sử dụng phương pháp phản chứng, ta giả sử dim Qϕ < n Khi đó, tồn vector số không tầm thường y = (y1 , y2 , , yn )T ∈ Rn cho với hàm điều khiển u ∈ Ωr (0, k1 −1) nghiệm tương ứng x = x(k, u, ϕ) toán (2.8), (2.9), ta có y T x(k1 ) = (2.23) Khi áp dụng công Ta chọn hàm zero ban đầu ϕ(k) = 0, k ∈ Z−m thức (2.7), ta k1 −m−j) eB(k bu(j − i), m x(k1 ) = (2.24) j=1 (2.23) trở thành k1 y −m−j) eB(k bu(j − i) = m T (2.25) j=1 Do (2.25) với hàm điều khiển u ∈ Ωr (0, k1 − 1) nên theo bổ đề 2.2.1, ta có −m−j) y T eB(k b = 0, j ∈ Z0k1 (2.26) m Bây ta áp dụng (2.6) vào (2.26), ta có B(k1 −m−j) [y T em b] = y T −m−j) −m−j) [eB(k ]b = y T BeB(k b=0 m m −m−j) y T BeB(k b = 0, j ∈ Z0k1 m 29 (2.27) Ta tiếp tục áp dụng toán tử cho (2.27) (n − 2) lần Khi đó, theo (2.6), −3m−j) y T B eB(k b = 0, j ∈ Z0k1 , (2.28) m −4m−j) y T B eB(k b = 0, j ∈ Z0k1 , m (2.29) −nm−j) y T B n−1 eB(k b = 0, j ∈ Z0k1 m (2.30) Ta cho j = k1 (2.26), j = k1 − m (2.27) j = k1 − 2m, j = k1 − 3m, , j = k1 − (n − 1)m (2.28), (2.29), (2.30) Theo (2.14), bất đẳng thức k1 ≥ (n − 1)(m + 1) + ta có k1 − (n − 1)m ≥ n ≥ 1, lựa B(−m) chọn số j chấp nhận Do em = I nên hệ (2.26) - (2.30) (tương ứng với b) rút gọn thành y T b = 0, y T Bb = 0, , y T B n−1 b = (2.31) Ta sửa dụng định nghĩa ma trận S viết lại (2.31) thành y T S = (2.32) Hệ (2.32) có nghiệm không tầm thường ma trận suy biến Có nghĩa det S = Như mâu thuẫn với (2.13) Vậy điều kiện dim Qϕ < n không tồn số chiều miền điều khiển n Do miền điều khiển chứa điểm −x(k1 ) tương ứng với hàm điều khiển −u ∈ Ωr (0, k1 − 1) điểm x(k1 ) tương ứng với hàm điều khiển u ∈ Ωr (0, k1 − 1), nên ta kết luận Qϕ đối xứng Hơn nữa, miền điều khiển chứa đoạn thẳng nối hai điểm x(k1 ) −x(k1 ) Do đó, theo giả thuyết tính tuyến tính hệ, hệ chứa cầu với bán kính δ Uδ := x ∈ Rn , x < δ với δ dương Dễ thấy r → ∞ Ωr (0, k1 − 1) theo tính hữu hạn đoạn Z0k1 −1 , ta kết luận δ → ∞ theo định nghĩa Uδ Do 30 đó, miền Qϕ trùng với toàn không gian Rn Đồng thời điều với điểm x∗ ∈ Rn tồn hàm điều khiển u = u∗ , hàm giải toán (2.8) - (2.10) Như ta có điều phải chứng minh trường hợp hàm ban đầu ϕ khác không Thật vậy, ta sử dụng phép biến đổi đơn giản x(k) = xϕ (k) + z(k), xϕ (k) nghiệm toán xϕ (k) = Bxϕ (k − m), k ∈ Z0k1 −1 , xϕ (k) = ϕ(k), k ∈ Z−m , trở thành toán tương ứng z với hàm ban đầu không Ví dụ 2.1 Xét hệ điều khiển x(k + 1) − x(k) = Bx(k − 2) + bu(k) với B= b = −2 nên rank S = Ta có k ∗ = (2 − 1)(2 + 1) + = Do hệ điều khiển tương đối thời điểm k1 ≥ Dễ thấy S = [b, Bb] = 2.3 Dạng hàm điều khiển Mục trước nghiên cứu điều kiện hạng Kalman cho tính điều khiển tương đối Trong mục này, ta đưa dạng hiển hàm điều khiển u∗ Định nghĩa 2.3.1 Ta nói cặp (B, b) điều khiển rank S = n Bổ đề 2.3.1 Cho cặp (B, b) điều khiển k1 ≥ k ∗ Khi Bk thành phần (eBk m b)i , i = 1, 2, , n vector em b độc lập tuyến tính k ∗ −1 Z−m , tức vector số khác không l = (l1 , l2 , , ln )T tồn cho lT eBk (2.33) m b = ∗ k −1 với k ∈ Z−m 31 Chứng minh (Chứng minh phản chứng) Giả sử tồn vector không tầm thường l cho (2.33) Phân tích (2.33) theo định nghĩa ma trận mũ rời rạc expm (BK) ý k ∗ − = (n − 1)(m + 1), ta có    lT b k ∈ Z−m ,           k   lT I + B   b k ∈ Z1m+1 ,                 lT I + B k  + B k − m b k ∈ Z 2(m+1) , (m+1)+1 = lT eBk m b=                 k − (n − 2)m k  T    b   + + B n−1  I + B l    n−1       k ∈ Z (n−1)(m+1) , (n − 1)(m + 1) = k ∗ − (n−2)(m+1)+1 (2.34) Từ (2.34) ta có 0= T [lT eBk m b] = l T B(k−m) [eBk b, m ]b = l Bem    , k ∈ Z−m       lT Bb k ∈ Z0m ,          k  2m+1 T  I + B   b k ∈ Zm+1 l B ,    =              k k − (n − 3)m  T    + + B n−2   b  l I + B    n−2       k ∈ Z (n−1)(m+1)−1 , (n − 1)(m + 1) − = k ∗ − (n−2)(m+1) (2.35) Ta tiếp tục tính sai phân bậc (n − 1) Cuối cùng, từ (2.35) ta có T n−1 B(k−(n−1)m) = n−1 [lT eBk em b m b] = l B 32  0 k ∈ Z (n−2)m−1 , −m = lT B n−1 b = k ∈ Z (n−1)m , (n − 1)m = k ∗ − n (2.36) (n−2)m Bây ta cho lT b = biểu thức (2.34), lT Bb = biểu thức (2.35) tiếp tục biểu thức cuối (2.36), ta có lT B n−1 b = Như ta có hệ phương trình lT S = Hệ hệ phương trình có nghiệm không tầm thường det S = Điều mâu thuẫn với giả thiết ban đầu thành phần vector eBk m b (2.33) độc lập tuyến ∗ k −1 tính đoạn Z−m Bổ đề 2.3.2 Lấy k1 ≥ k ∗ Khi ma trận k1 −m−j) −m−j) T eB(k bbT (eB(k ) m m G= j=1 không suy biến Bk Chứng minh Do thành phần (eBk m b), i = 1, 2, , n vector em b k ∗ −1 độc lập tuyến tính đoạn Z−m theo bổ đề chứng minh trên, nên ta có n −m−j) (eB(k b)T l = m −m−j) li (eB(k b)i = m i=1 với vector không tầm thường l = (l1 , l2 , , ln )T j = k1 − n(m + k ∗ −1 1) + 1, , k1 (chú ý k1 − m − ∈ Z−m ) k1 −m−j) [(eB(k b)T l]2 > m j=1 33 k1 ≥ n Biến đổi vế trái ta có k1 k1 −m−j) [(eB(k b)T l]2 m B(k1 −m−j) T −m−j) [(eB(k b)T l][(em b) l] m = j=1 j=1 k1 −m−j) −m−j) T [lT eB(k b)][bT (eB(k ) l] m m = j=1 (2.37) k1 =l −m−j) −m−j) T ) ]l [eB(k bbT (eB(k m m T j=1 = lT Gl Do lT Gl > Suy det G = Định lý 2.3.1 Với điều kiện điều khiển tương đối (2.13) - (2.14) thỏa mãn Khi hàm điều khiển u = u∗ cho hệ (2.8) - (2.10) biểu diễn công thức sau −m−k−1) T u∗ (k) = bT (eB(k ) G−1 ξ, m (2.38) vector ξ xác định theo công thức (2.11) k ∈ Z0k1 −1 Chứng minh Do hàm điều khiển u∗ (j), j ∈ Z0k1 −1 thoả mãn (2.15), nên ta cần chứng minh hệ sau k1 −m−j) eB(k bu(j − 1) = ξ m (2.39) j=1 có nghiệm u(j − 1) = u∗ (j − 1), j ∈ Z1k1 Bây tìm hàm điều khiển có dạng tổ hợp tuyến tính −m−j) u(j − 1) = (eB(k b)T D, m (2.40) D = (D1 , D2 , , Dn )T vector chưa biết Ta thay biểu diễn (2.40) vào (2.39), ta có hệ tuyến tính D1 , D2 , , Dn k1 −m−j) eB(k bbT m B(k1 −m−j) em j=1 dạng ma trận GD = ξ 34 T D=ξ Sử dụng bổ đề 2.2.4, ta có ma trận G không suy biến D = G−1 ξ Vậy từ biểu thức (2.40), ta có −m−j) u(j − 1) = (eB(k b)T G−1 ξ m biểu thức tương đương với (2.38) 35 Kết luận Trong khóa luận trình bày: Trình bày số kiến thức chung hệ rời rạc tuyết tính liên tục rời rạc, không trễ có trễ, khái niệm bản, số ví dụ minh họa cho tính chất Trình bày định lý mệnh đề tính điều khiển hệ rời rạc tuyến tính có trễ Do thời gian trình độ hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót định Tôi mong góp ý quý báu thầy cô bạn đọc để báo cáo hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 36 Tài liệu tham khảo [1] Josef Diblik, Denys Ya Khusainov, M Ruzickova, Controllability of linear discrete systems with constant coefficients and pure delay, SIAM J Cotrol Optim 47 (2008), pp 1140 - 1149 [2] Saber Elaydi, An introduction to difference equations, Springer, 2000 [3] M.L.J Hautus, Controllability and observability conditions of linear autonomous systems, Nederl Acad Wetensch Proc Ser A72 (1969), pp 443-448 [4] R.E Kalman, Contributions to the theory of optimal control, Bul Soc Math Mexicana (1960), pp 102-119 [5] E.B Lee and L Markus, Foundations of Optimal Control Theory, Wiley, New York, 1967 [6] Roberto Triggiani, Controllability and observability in Banach space with bounded operators, SIAM J Cotrol Optim 13 (1975), 462 - 491 [7] Jerzy Zabczyk, Mathematical control theory: An introduction Birkh¨ auser, Boston Basel Berlin, 1992 37 ... tắt Hệ điều khiển tuyến tính 1.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục 1.1.1 Khái niệm điều khiển 1.1.2 Đặc trưng cho tính điều khiển 1.2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc. .. rời rạc khái niệm điều khiển 1.2.2 Đặc trưng cho tính điều khiển Hệ 2.1 2.2 2.3 3 11 11 13 tuyến tính rời rạc có trễ Khái niệm điều khiển tương đối Đặc trưng cho tính điều. .. Trong mục này, trình bày ngắn gọn kết tính điều khiển hệ điều khiển tuyến tính liên tục, dựa tài liệu tham khảo [7] 1.1.1 Khái niệm điều khiển Hệ điều khiển tuyến tính liên tục mô tả phương trình