Một số tiêu chuẩn xét tính điều khiển được của hệ tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ QUỲNH MỘT SỐ TIÊU CHUẨN XÉT TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ QUỲNH MỘT SỐ TIÊU CHUẨN XÉT TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS TRẦN THỊ THU HÀ NỘI – 2018 rữợ tr ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❚❤❙✳ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉ ♥❣÷í✐ ✤➣ trü❝ t✐➳♣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤♦ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❊♠ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷ ✤➣ ❞↕② ❜↔♦ ❡♠ t➟♥ t➻♥❤ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❦❤♦❛✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tốt ữủ t ữợ sỹ ữợ t t r ũ ✈ỵ✐ sü ❝è ❣➢♥❣ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ ❦➳ t❤ø❛ ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈ỵ✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ ❜↔♥ t❤➙♥✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝â sü trò♥❣ ❧➦♣ ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝✳ ◆➳✉ s❛✐ ❡♠ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠✳ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✶ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✐ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✷ ✶ ✸ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✶✳✹ ✷ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ▼ët sè ❦✐➳♥ tự t ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✳ ✻ ✳ ✾ ✳ ✶✷ ▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✶✹ ✷✳✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✷✳✷ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❤➺ ❦❤ỉ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❤➺ õ r ởt số ữợ t tr ♥❛② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✐✐ ✶✽ ✷✻ ✸✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❑➳t ❧✉➟♥ ✸✺ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✸✻ ✐✐✐ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❇❷◆● ❑➑ ❍■➏❯ K Kn x, y , x Lp ([0, T ]; Rm ) ❚r÷í♥❣ R ❤♦➦❝ C ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì n ổ ữợ tr Kn ổ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ p ✈ỵ✐ < p ≤ +∞ ker A det A rank A A∗ , AT cone M int M (Ω)+ (A, B) [A|B] ΩCT RT R dim X Mat(m × n, K) ◆❤➙♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû A ✣à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥A ❍↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ▼❛ tr➟♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣✱ ♠❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ A ◆â♥ s✐♥❤ ❜ð✐ t➟♣ M P❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ M ◆â♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ Ω ▼❛ tr➟♥ ❣❤➨♣ ❜ð✐ ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ ♠❛ tr➟♥ B ▼❛ tr➟♥ ❝â ❞↕♥❣ (B, AB, , An−1B) ✲ ♠❛ tr➟♥ ❦✐➸✉ ❑❛❧♠❛♥ ❚➟♣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❚➟♣ ✤↕t ✤÷đ❝ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ T > ❚➟♣ ✤↕t ✤÷đ❝ tø ✵ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❜➜t ❦➻ ❙è ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ m ❞á♥❣✱ n ❝ët ❧➜② ❣✐→ trà tr♦♥❣ K ✶ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ é ỵ tt t ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ t♦→♥ ❤å❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ q✉❛♥ trồ ợ ữủ t tr tr ổ ỵ tt t ♥❤ú♥❣ ♠ỉ ❤➻♥❤ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ ❤å❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ✤à♥❤ t➼♥❤ ✈➔ ❣✐↔✐ sè ❝→❝ ❤➺ t❤è♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✳ ❘➜t ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❝ỉ♥❣ ♥❣❤➺✱ ❦ÿ t❤✉➟t ✈➔ ❦✐♥❤ t➳ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✈➔ ❝➛♥ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư t♦→♥ t r ỵ tt ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ ✈➔ ❝â ù♥❣ tr số ữủ sỹ ữợ ❚❤❙✳ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉✱ ❡♠ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✏▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t õ õ ỗ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✏❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✑ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ ❝❤✉➞♥ ❜à ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ t ỗ t t ữỡ ởt số t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤✑ ✤÷❛ r❛ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❤❛✐ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ tr➯♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✳ ✣➙② ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ỵ tt t ❤å❝ ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ♥❤÷ ♠ët ❝❤✉②➯♥ ♥❣❤➔♥❤ ✤ë❝ ❧➟♣ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈ỵ✐ sü ❦➳t ❤đ♣ ❣✐ú❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❦➽ t❤✉➟t✳ ❈ỉ♥❣ ❝ư ❝❤➼♥❤ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ự ỳ tr ỵ tt t ❤å❝ ❧➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ ❤å❝ ❝õ❛ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t ởt số t t t ỗ õ õ ỗ tr ởt số t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼ư❝ ✶✳✷ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✳ ợ t tự ữỡ tr ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼ö❝ ✶✳✹ ♥â✐ ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t t ỗ õ õ ỗ ởt số ❧➼ q✉❛♥ trå♥❣✳ ✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ◆❣♦➔✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì ✲ ✤è✐ t÷đ♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤❬✼❪✱ ❡♠ s➩ ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♠❛ tr➟♥ ♥❤÷ ❤↕♥❣✱ ✈➨❝ tì r✐➯♥❣✱ ❣✐→ trà r✐➯♥❣✳ ▼ư❝ ♥➔② ❡♠ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✼❪✳ ✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ▼❛ tr➟♥ A = (aij )m×n, i = 1, n, j = 1, n ✈ỵ✐ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❤♦➦❝ ♣❤ù❝ aij ❝â m ❞á♥❣ ✈➔ n ❝ët✳ ❑❤✐ m = n t❤➻ ♠❛ tr➟♥ A = (aij )mìn ữủ tr ổ n ữủ A = (aij )nìn ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❦✐➸✉ m ❞á♥❣✱ n ởt ợ tỷ tở trữớ K ữủ ❤✐➺✉ ❧➔ Mat(m × n, K)✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✶✳ ▼❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ❝➜♣ (2 × 2)    A= ❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ✈➔ ởt tr ợ ởt ổ ữợ t❤➔♥❤ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❧➔✿ dim Mat(m × n, K) = m × n✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ❈❤♦ ♠❛ tr➟♥ A = (aij ) ∈ Mat(m × n, K) ✈➔ B = (bjk ) ∈ Mat(n × p, K) ❚❛ ❣å✐ t➼❝❤ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ B ♠ët ♠❛ tr➟♥ C = (cij ) ∈ Mat(m × p, K) ♠➔ ♣❤➛♥ tû ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ n aij × bjk , i = 1, m, k = 1, p cik = j=1 ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ C = A · B ✳ ❚❛ ❣å✐ ♠❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣ A ∈ Mat(n × n, K) ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✭❤❛② ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✮ ♥➳✉ ❝â ♠❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣ B ∈ Mat(n×n, K) s❛♦ ❝❤♦ A.B = B.A = E ✭E ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ❝➜♣ n✮✳ ❑❤✐ ✤â B ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ A ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ B = A−1 ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ❈❤♦ A ∈ Mat(m × n, K)✳ ❈♦✐ ♠é✐ ❝ët ❝õ❛ A ❧➔ ♠ët ✈➨❝ tì t❛ ✤÷đ❝ n ✈➨❝ tì t❤✉ë❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì Kn✳ ❚❛ ❣å✐ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❤➺ n ✈➨❝ tì ♥➔② ❧➔ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ rank A✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❙✉② r❛ v∗B = v∗AB = v∗A2B = = v∗An−1B = ▲➜② ψ(z) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ ♥❤ä ♥❤➜t t❤ä❛ ♠➣♥ v∗ψ(A) = ❑❤✐ ✤â deg(ψ) ≥ ●✐↔ sỷ tỗ t tự (z) s (z) = φ(z)(z − λ)✳ ❙✉② r❛ v∗ψ(A) = v∗φ(A)(A − λI) = ✣➦t v∗φ(A) = ζ ✱ s✉② r❛ v ∗ φ(A)(A − λI) = ζ(A − λI) = ◆➳✉ ζ = t❤➻ v∗ψ(A) = s✉② r❛ φ(A) = ✭♠➙✉ t❤✉➝♥✮✳ ❱➟② ζ = 0✱ s✉② r❛ ζ(A − λI, B) = ❤❛② rank(A − λI, B) < n ✭♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✮✳ ❱➟② iii) ⇔ iv) ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✷✳  = Ax + Bu ;B =   1         1   ·   =   ; [A|B] = (B, AB) =  AB =  3 1 ✈ỵ✐ A =  ❚❛ ❝â ❳➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ x   ❚❛ ❝â rank[A|B] = ❑✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛❧♠❛♥ ✈ỵ✐ ♥❂ ✷✳ ❑❤✐ ✤â rank[A|B] = = n✳ ❉♦ ✤â ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ư❝✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✸✳ ❳➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ x (t) − x (t) − x (t) + x(t) − u = ✷✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ✣➦t    x1 (t) = x(t)     x2 (t) = x (t)      x3 (t) = x (t) ❑❤✐ ✤â ❤➺ trð t❤➔♥❤ x = Ax + Bu tr♦♥❣ ✤â     0         A =  0 1 ; B = 0     −1 1 ✣❛ t❤ù❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❆ ❧➔✿ det |A − λI| = −λ 0 −λ −1 1−λ = −λ3 + λ2 + λ − det |A − λI| = ⇒ λ1 = 1; λ2 = −1 ◆➯♥ ♠❛ tr➟♥ ❆ ❝â ✷ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ λ1 = ✈➔ λ2 = −1✳ ❑✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ts ợ n = t ữủ −1 0     rank(A − λ1 I, B) = rank  −1 0 = = n   −1 1 ✷✹ ✭✷✳✶✶✮ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ✈➔   1 0     rank(A − λ2 I, B) = rank  1 0 = = n   −1 ❱➟② ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ư❝✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ A = A(t); B = B(t) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❣✐↔✐ t➼❝❤ tr➯♥ [t0; ∞)✳ ❑❤✐ ✤â✱ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❑❛❧♠❛♥ ♠ð rë♥❣ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❤➺ ✭✷✳✷✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ö❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳ ∃t2 ∈ [t0 , ∞) : rank[M0 (t2 ), M1 (t2 ), , Mn−1 (t2 )] = n, tr♦♥❣ ✤â   M0 (t) = B(t)  M (t) = −A(t)M (t) + d M (t), k = 0, n − k+1 k k dt ✭✷✳✶✷✮ ❱ỵ✐ A(t) = A, B(t) = B ✱ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✷✮ trð t❤➔♥❤   M0 (t) = B(t) = B  M (t) = −A(t)M (t) + d M (t), k = 0, n − 0 dt ❤❛② M1(t) = −AB + dtd B = −AB ❑❤✐ ✤â rank(B, −AB) = rank(B, AB) = n ✣➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❤↕♥❣ ❑❛❧♠❛♥ ✤➣ ❜✐➳t✳ ✷✺ ✭✷✳✶✸✮ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ✷✳✸ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❤➺ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❳➨t ❤➺   x = Ax + Bu  x(0) = 0, x ∈ Rn , u ∈ Ω ⊂ Rm ✭✷✳✶✹✮ tr♦♥❣ ✤â A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, ∈ Ω, Ω ❧➔ t➟♣ ỗ tr sỷ t ỗ ữủ ữỡ ỵ rank[B, AB, A2B, , An−1B] = n ❤❛② rank(A − λI, B) = n, C ổ tỗ t tì r✐➯♥❣ ♥➔♦ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ AT ✱ ù♥❣ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤ü❝✱ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♥â♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❞÷ì♥❣ (B(Ω))+ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✿ ●✐↔ sû ❤➺ ✭✷✳✶✹✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ❤➺ ✭✷✳✶✹✮ ợ = Rm ữủ t ✭❚❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ♠ët✮✳ ❙✉② r❛ ❝➦♣ (A, B) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛❧♠❛♥✳ ❱➟② i) ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✰✮ ự ii) sỷ tỗ t tỡ x0 ∈ (B(Ω))+ s❛♦ ❝❤♦ x0 = ✈➔ AT x0 = λx0, λ ∈ R ❱➻ ❤➺ ✭✷✳✶✹✮ ❧➔ ữủ ữỡ s tỗ t V (0) ⊆ R✱ R ❧➔ t➟♣ ✤↕t ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✶✹✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ Rn : ∃ε > s❛♦ ❝❤♦ εx ∈ R ❉♦ ✤â s➩ t➻♠ ✤÷đ❝ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ T > ✈➔ ♠ët ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ u(.) ∈ Ω s❛♦ ❝❤♦ T eA(T −s) Bu(s)ds εx = ✷✻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❱➻ x0 ∈ (BΩ)+✱ t❛ ❝â x0 , εx ε T = x0 , eA(T −s) Bu(s)ds ε T = x0 , eA(T −s) Bu(s) ds ε T λ(T −s) = e x0 , Bu(s) ds ≥ 0, ∀x ∈ Rn ε x0 , x = ❍❛② x0 , x ≥ 0, ∀x ∈ Rn ✭✷✳✶✺✮ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â T eA(T −s) Bu1 (s)ds, u1 (.) ∈ Ω n ∀x ∈ R , ∃ε > : −εx = ❚❛ ❝â x0 , −εx ε T = x0 , eA(T −s) Bu1 (s)ds ε T x0 , eA(T −s) Bu1 (s) ds = ε T λ(T −s) = e x0 , B1 u(s) ds ≥ 0, ∀x ∈ Rn ε x0 , −x = ❤❛② x0 , −x ≥ 0, ∀x ∈ Rn ⇔ x0 , x ≤ 0, ∀x ∈ Rn ✭✷✳✶✻✮ ❚ø ✭✷✳✶✺✮ ✈➔ ✭✷✳✶✻✮ s✉② r❛ x0, x = 0, ∀x ∈ Rn ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤➾ ①↔② r❛ ❦❤✐ x0 = 0✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ x0 = 0✳ ❱➟② ❣✐↔ sû ❧➔ s❛✐✱ ii) ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✼ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✿ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ i) ✈➔ ii) t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤➺ ✭✷✳✶✹✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ✣➛✉ t✐➯♥ t❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ int R = 0✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤↕♥❣ ❑❛❧♠❛♥ i) s✉② r❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❞ø♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝â ❤↕♥ ❝❤➳ tr➯♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✿   x = Ax + Bu  u(.) ∈ Rk = sp Ω, x ∈ Rn , k ≤ m ≤ n ✭✷✳✶✼✮ ❧➔ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ư❝✳ ❚ø ♥❣✉②➯♥ ❧➼ ♣❤↕♠ trò ❇❛✐r❡✱ ❤➺ s➩ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ư❝ s❛✉ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ T > ♥➔♦ ✤â✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ L t❤ä❛ ♠➣♥ LT : L2([0, T ], Rk ) −→ Rn ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ T eA(T −s) Bu(s)ds LT (u) = ❱➻ ❤➺ ✭✷✳✶✼✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ư❝ ♥➯♥ t❛ ❝â Im LT = Rn , ❙✉② r❛ →♥❤ ①↕ LT (.) ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ✈➔ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ →♥❤ ①↕ ♠ð ♥➯♥ LT ❧➔ →♥❤ ①↕ ♠ð✳ ❱➻ t➟♣ Ω ①➨t tr ổ Rk = sp t ỗ ❝â int Ω = ∅✱ ❦➨♦ t❤❡♦ t➟♣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ UTΩ = {u(.) ∈ L2 ([0, T ], Rk ) : u(.) ∈ Ω ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐, t ∈ [0, T ]} ❝â int(UTΩ) = ∅✳ ❚ø ❤❛✐ ✤✐➲✉ tr➯♥ s✉② r❛ t➟♣ RT = LT (UTΩ) ❝â ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ Rn ❤❛② int RT = ∅✱ ❞♦ ✤â int R = ∅✱ s✉② r❛ ự t t ỵ K = cone R = {λx : x ∈ R, λ ≥ 0} ✷✽ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ý õ ỗ s t t ữủ R R t ỗ õ K õ ỗ int K = r ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ r➡♥❣ eAt K ⊆ K, ∀t ∈ [0, T ] ●✐↔ sû r➡♥❣ ∈/ int R t t t ỗ s r K = Rn✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ❑r❡✐♥ ✲ ❘✉t♠❛♥ ❝❤♦ t❛ ❤➺ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ tü ❣✐❛♦ ❤♦→♥ {eAt}, t ∈ [0, T ] s➩ t➻♠ ✤÷đ❝ ♠ët ✈➨❝ tì ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ {eA t } s❛♦ ❝❤♦ T T x0 ∈ K + , eA t x0 = λt x0 , λt ∈ R, ∀t ∈ [0, T ] ✭✷✳✶✽✮ ▲➜② ✤↕♦ ❤➔♠ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✷✳✶✽✮ t❤❡♦ t t❛ ✤÷đ❝ T eA t AT x0 = (λt ) x0 ❈❤♦ t = s✉② r❛✿ AT x0 = (λ0 x0 ), (λ0 ) ∈ R ✭✷✳✶✾✮ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ x0 ∈ K +✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ R t❛ ❝â T x0 , eA(T −s) Bu(s) ds ≥ 0, ∀u(.) ∈ U Ω ❚ø ✤➙② s✉② r❛ x0 , eA(T −s) Bu(s) ≥ 0, ∀u ∈ Ω, ∀s ∈ [0, T ] ❇➙② ❣✐í ❝❤♦ s = T t❛ ❝â x0 , Bu ≥ 0, ∀u ∈ Ω tù❝ ❧➔ x0 ∈ (B(Ω))+✳ ❑➳t ❤ñ♣ ợ t ữủ t ợ t❤✐➳t ii)✳ ❱➟② ✤✐➲✉ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t ∈/ int R ❧➔ s❛✐✱ tù❝ ❧➔✱ t❛ s➩ ❝â ∈ int R✱ ❤➺ ❧➔ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❱➟② ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ✷✾ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❳➨t ❤➺ ✭✷✳✶✹✮ ✈ỵ✐ Ω ❧➔ ♥â♥✱ ✤➾♥❤ ✵ ✈➔ int(Ω) = ∅✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ư❝ ✭❣å✐ t➢t ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝✮ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❤❛✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ i) ✈➔ ii) tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ✷✳✷ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✲ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✿ ❱➻ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ư❝ t❤➻ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ♥➯♥ t❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤❛✐ t❤➻ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ i) ✈➔ ii) t❤ä❛ ♠➣♥✳ ✲ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✿ ❚❛ ❝â R ⊂ Rn✱ ❝➛♥ ❝❤➾ r❛ Rn ⊂ R✳ ❱➻ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ i) ✈➔ ii) t❤ä❛ ♠➣♥ ♥➯♥ t❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤❛✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ s✉② r❛ ∈ int R✳ ❉♦ ✤â tỗ t > s B1 R ✈ỵ✐ B1 ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ❤❛② εx ∈ R ✈ỵ✐ x ∈ Rn t❤ä❛ ♠➣♥ x ≤ 1✳ ❱ỵ✐ x0 ∈ Rn ❜➜t ❦➻ t❛ ❝â ε xx0 B1 R s tỗ t T0 > : ε xx0 ∈ RT ❤❛② 0 x0 ε = x0 T0 A(T0 −s) e 0 Bu(s)ds ❙✉② r❛ x0 = T0 eA(T0 −s) Bu(s) x0 ds✳ ε ❱➻ Ω ❧➔ ♥â♥✱ ✤➾♥❤ ♥➯♥ λΩ ⊂ Ω, ∀λ > 0✱ ♥➯♥ u(s) xε0 ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✳ ❉♦ ✤â x0 ∈ R s✉② r❛ Rn ⊂ R✳ ❱➟② Rn = R✳ ❍❛② ❤➺ ✤➣ ữủ t t ợ ∈ int(Ω) ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ rank(A − λI, B) = n, ∀λ ∈ C✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✲ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✿ ❚❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤❛✐ ❤➺ ✭✷✳✶✹✮ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t❤➻ rank[A|B] = n ✭❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✮✳ ✲ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✿ ❍➺ ✭✷✳✶✷✮ ❝â rank[A|B] = n ✈➔ ∈ int(Ω) t❤➻ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✸✵ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ý ữủ ữỡ ợ T > t❛ ①➨t →♥❤ ①↕ L t❤ä❛ ♠➣♥ LT : L∞ ([0, T ]; Rm ) −→ Rn T eA(T −s) Buds u(.) −→ LT (u) = ❱➻ rank[A|B] = n ♥➯♥ LT ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ✈➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥ LT ❧➔ →♥❤ ①↕ ♠ð✳ ✣➦t Ω˜ CT = {u(.) ∈ L∞([0, T ]; Rm) : u(.) ∈ Ω ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐, t ∈ [0, T ]} t❤➻ t➟♣ Ω˜ CT ❧➔ t➟♣ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✶✹✮✳ ❱➻ ∈ int Ω ♥➯♥ ∈ int(Ω˜ CT )✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❝â RT = LT (Ω˜ CT ) ♥➯♥ s✉② r❛ ∈ int(RT )✳ ❉♦ ✤â ∈ int(R) ❤❛② ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳     ❱➼ ❞ư ✷✳✹✳ ❳➨t ❤➺ x = Ax + Bu ✈ỵ✐ A =  1 −1 ;B =  −1      u1 Ω =   ∈ R : u1 ≥ 0, u2 ≤   u ❚❤❡♦ ❜➔✐ r t õ t ỗ ự õ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔  ❙✉② r❛      u u  ·  1 =   B(Ω) =  −1 u2 −u1     x1    B(Ω) = ∈ R : x1 ≤ 0, x2 ≤  x  ❚❛ ❝â (B(Ω))+ = {x : ❱➻ x1 x2 f, x ≥ 0, ∀f ∈ B(Ω)}   v1 ·   = x1 v1 + x2 v2 ≥ 0, ∀v1 ≤ 0, v2 ≤ v2 ✸✶  ✈➔ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❉♦ ✤â t❛ ❝â     x1  +   (B(Ω)) = ∈ R : x1 ≤ 0, x2 ≤  x  ◆➯♥ B(Ω) ≡ (B(Ω))+ ❚❛ ❦✐➸♠ tr❛ ❤➺ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ i) ✈ỵ✐ n = 2✱ t❛ ❝â  rank[A|B] = rank(B, AB) = rank  0   = = n −1 1 ❙✉② r❛ ❤➺ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ i) ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❦✐➸♠  tr❛ ❤➺  ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ii)✳ ❚❛ ❝â AT =  1 −1 λ1 = 1, λ2 = −1✳  ▼❛ tr➟♥ AT ❝â ❤❛✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ữủt x ợ = t❛ ❝â ✈➨❝ tì r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔  1 , x1 ∈ R ❚❛ ❝❤å♥ ♠ët   −1 ❣✐→ trà r✐➯♥❣ v1 =   ❚❛ t❤➜② v ∈ (B(Ω))+✳  x  − ữỡ tỹ ợ = t t ữủ tì r✐➯♥❣ ❧➔   , x2 ∈ R ❚❛ x2  1 − ❝❤å♥ ♠ët ❣✐→ trà r✐➯♥❣ v2 =   ∈/ (B(Ω))+ ❱➟② ❤➺ ❦❤æ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ii)✳ ❍➺ ✤➣ ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ t♦➔♥ ❝ö❝✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✺✳ ❳➨t ❤➺ x  = Ax + Bu ✈ỵ✐ A =      u1    Ω= ∈ R : u1 ≥ 0, u2 ∈ R  u  ✸✷ 1 −1   ;B =  −1   ✈➔ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❚❤❡♦ ❜➔✐ r❛ t õ t ỗ ự õ tr♦♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔       u u  ·  1 =   B(Ω) =  −1 u2 −u1     x1    ❙✉② r❛ B(Ω) =  ∈ R : x1 ∈ R, x2 ≤  x2      x1 + ❉♦ ✤â t❛ ❝â (B(Ω)) =   ∈ R : x1 = 0, x2 ≤ 0 x ❑✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ i) ✈ỵ✐ n = 2✱ t❛ ❝â  0  = = n rank[A|B] = rank(B, AB) = rank  −1 1  ❙✉② r❛ ❤➺ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ i) ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❦✐➸♠tr❛ ❤➺✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ii)✳ ❚❛ ❝â AT =  1  −1 ▼❛ tr➟♥ AT ❝â ❤❛✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ λ1 = 1, λ2 = −1✳  ợ = tỡ r tữỡ ù♥❣ ❧➔   ∈/ (B(Ω))+   x1 / (B(Ω))+ λ2 = −1✱ ✈➨❝ tì r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ự ữỡ tỹ ợ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ✷✳✹ ▼ët số ữợ t tr ỵ tt ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ r➜t ♠↕♥❤ ♠➩✱ ♥❣♦➔✐ ♥❤ú♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➺ ❦❤ỉ♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✱ ❤➺ ❝â ✸✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ r➔♥❣ ❜✉ë❝✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❝á♥ ♠ð rë♥❣ s❛♥❣ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➺ ❝â tr➵✱ ❤➺ ❦❤æ♥❣ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥✱ ❤➺ ❝❤✉②➸♥ tr↕♥❣ t❤→✐✳✳✳ ✣â ✈➝♥ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ♠ð✱ ❦❤â ✈➔ ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ✤➸ ❝â ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ tèt✳ ✸✹ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚r➯♥ ✤➙② ❧➔ t♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➲ ✤➲ t➔✐ ✏▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤✑ ✳ ❚r♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔② ❡♠ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ❝õ❛ ♠➻♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➔ rã r➔♥❣ ✈➲ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ư ✤➲ r❛✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❞♦ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ✈➔ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳✱ ♠ët ♣❤➛♥ ✈➻ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ t❤✐➳✉ sât✳ ❊♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü ✤â♥❣ õ qỵ t ổ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ✤➛② ✤õ ✈➔ t ỡ rữợ t tú õ ♠ët ❧➛♥ ♥ú❛ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❚❤❙✳ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉ ✤➣ t➟♥ t ú ù ữợ t õ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ✸✺ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬❆❪ ❚➔✐ ❧✐➺✉ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❈✉♥❣ ❚❤➳ ❆♥❤ ✭✷✵✶✺✮✱ ❈ì sð ❧➼ t❤✉②➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❚❤➳ ❍♦➔♥✱ P❤↕♠ P❤✉ ✭✷✵✶✵✮✱ ❈ì sð ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ❧➼ t❤✉②➳t ê♥ ✤à♥❤✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ P❤ö ❍② ✭✷✵✵✺✮✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❦➽ t❤✉➟t✳ ❬✹❪ ❱ơ ◆❣å❝ P❤→t ✭✷✵✵✶✮✱ ◆❤➟♣ ♠ỉ♥ ❧➼ t❤✉②➳t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✺❪ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉ ✭✷✵✶✺✮✱ ▲✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❱✐➺♥ t♦→♥ ❤å❝✳ ❬✻❪ ❍♦➔♥❣ ❚ö② ✭✷✵✵✸✮✱ ❍➔♠ t❤ü❝ ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ P ỗ rữớ tr ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳ ❬❇❪ ❚➔✐ ❧✐➺✉ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✽❪ ❍♦❛♥❣ ❚✉② ✭✶✾✾✽✮✱ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ●❧♦❜❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ✸✻ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❬✾❪ ❏❡r③② ❩❛❜❝③②❦ ✭✶✾✾✺✮✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❈♦♥tr♦❧ ❚❤❡♦r②✱ ❇❡r❧✐♥✳ ✸✼ ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ QUỲNH MỘT SỐ TIÊU CHUẨN XÉT TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng... t♦→♥ ❤å❝ ❝õ❛ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ởt số t t t ỗ õ õ ỗ tr ởt số tự ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼ư❝ ✶✳✷ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✳... ✈➔ ❝➛♥ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư t♦→♥ ❤å❝ t r ỵ tt ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ ✈➔ ❝â ù♥❣ ❞ư♥❣ tr số ữủ sỹ ữợ ❚r➛♥ ❚❤à ❚❤✉✱ ❡♠ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✏▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ①➨t t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥