VỀ TÍNH điều KHIỂN được của hệ ĐỘNG lực TRÊN THANG THỜI GIAN

B GIO DC V O TO VIN KHOA HC V CễNG NGH VIT NAM VIN TON HC Lờ c Ninh V TNH IU KHIN C CA H NG LC TRấN THANG THI GIAN LUN VN THC S TON HC H NI 2014 B GIO DC V O TO VIN KHOA HC V CễNG NGH VIT NAM VIN TON HC Lờ c Ninh V TNH IU KHIN C CA H NG LC TRấN THANG THI GIAN Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS : T DUY PHNG H NI 2014 Li cm n Trong sut quỏ trỡnh lm Lun vn, tụi luụn nhn c s hng dn v giỳp ca PGS.TS T Duy Phng ( Vin Toỏn hc Vit Nam) Tụi xin trõn thnh by t lũng bit n sõu sc n thy Tụi xin cm n quý thy, cụ ging dy lp cao hc Vin Toỏn hc khúa 18 ( 2010- 2012), ó trang b cho tụi nhiu kin thc cn thit khoa hc v cụng vic Cui cựng, tụi xin chõn thnh cm n gia ỡnh ó dnh cho tụi s cm thụng v ng h sut thi gian hc cao hc v vit lun Mc dự ó cú nhiu c gng nhng Lun khú trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca quý thy cụ v cỏc bn Lun c hon thin hn Xin trõn trng cm n H Ni, thỏng 2014 Ngi vit lun Lờ c Ninh CHNG GII TCH TRấN THANG THI GIAN 1.1 Mt s nh ngha v tớnh cht c bn v thang thi gian 1.1.1 M u Cho n nay, phộp toỏn vi phõn v tớch phõn, l c s ca Gii tớch, ó c hỡnh thnh v phỏt trin khỏ trn Lớ thuyt phng trỡnh vi phõn c xõy dng trờn c s ca Gii tớch trờn s thc (hoc phc) cng ó c xõy dng v phỏt trin ng thi vi phng trỡnh vi phõn, lớ thuyt phng trỡnh sai phõn cng ó c phỏt trin thnh mụn hng nghiờn cu c lp v cú nhiu ng dng Cng d dng quan sỏt thy, i v phỏt trin mun hn, nhiu khỏi nim v kt qu ca phng trỡnh sai phõn l s tng t húa cỏc khỏi nim v kt qu ca phng trỡnh vi phõn Mt khỏc, phng trỡnh sai phõn l mụ hỡnh ca nhiu bi toỏn thc t v cú th coi l mụ hỡnh xp x ca phng trỡnh vi phõn sai phõn húa Nh vy, phng trỡnh vi phõn v phng trỡnh sai phõn song song phỏt trin, cú nhng nột tng ng v d bit Nhm thng nht nghiờn cu cỏc h ri rc v liờn tc (phng trỡnh sai phõn v phng trỡnh vi phõn), Hilger (1988, [4]) ó a khỏi nim thang thi gian ễng v mt s ngi khỏc ó nghiờn cu v phỏt trin gii tớch (phộp toỏn vi phõn v tớch phõn) v h ng lc trờn thang thi gian Sau Hilger a khỏi nim thang thi gian v nghiờn cu h ng lc trờn thang thi gian, mt s nh toỏn hc ó quan tõm nghiờn cu v xõy dng lớ thuyt iu khin i vi h ng lc trờn thang thi gian 1.1.2 Cỏc nh ngha c bn nh ngha 1.1.1 Thang thi gian l mt úng tựy ý khỏc rng ca cỏc s thc Ă Thang thi gian thng c kớ hiu l Vớ d 1.1.1 Cỏc s thc Ă , s nguyờn  , s t nhiờn Ơ (khụng cha s 0), s t nhiờn Ơ cú cha c s 0, cỏc [ 4;5] [ 12;23] , [ 0;1] Ơ , = U [ 2k ,2k + 1] l cỏc thang thi gian k = 0, kƠ Tp cỏc s hu t Ô , cỏc s vụ t Ă \ Ô , khong m ( 0;1) khụng phi l thang thi gian vỡ chỳng nm Ă nhng khụng úng Ă Mt phng phc Ê khụng phi l thang thi gian vỡ nú khụng nm Ă , mc dự nú l úng Trong lun ny ta luụn gi s rng thang thi gian cú mt tụpụ c cm sinh t tụpụ trờn cỏc s thc Ă vi tụpụ thụng thng, tc l m l giao ca cỏc m trờn Ă vi Cỏc khỏi nim lõn cn, gii hn, c hiu l lõn cn, gii hn, tụpụ cm sinh nh ngha 1.1.2 Cho thang thi gian nh x : c xỏc nh bi cụng thc (t ) := inf{s : s > t} c gi l toỏn t nhy tin (forward jump) trờn thang thi gian nh x : c xỏc nh bi cụng thc (t ) := sup{s : s < t} c gi l toỏn t nhy lui (backward jump) trờn thang thi gian Quy c: inf =sup ( tc l ( M ) = M nu thang thi gian cú phn t ln nht l M ) v sup = inf (tc l (m) = m nu thang thi gian cú phn t nh nht l m ) nh ngha 1.1.3 Cho l mt thang thi gian im t c gi l im cụ lp phi (right-scattered) nu (t ) > t im t c gi l im cụ lp trỏi (left-scattered) nu (t ) < t im t c gi l im cụ lp (isolated) nu (t ) < t < (t ) im t c gi l trự mt phi (right-dense) nu (t ) = t im t c gi l trự mt trỏi (left-dense) nu (t ) = t im t c gi l trự mt (dense) nu (t ) = t = (t ) Vớ d 1.1.2 1) Trong thang thi gian = Ă thỡ (t ) = (t ) = t , (t ) = vi mi t Mi im t u l im trự mt 2) Trong thang thi gian =  thỡ (t ) = t + 1, (t ) = v (t ) = t vi mi t Mi im t u l im cụ lp n 3) Cho thang thi gian = : n Ơ vi Ơ l cỏc s t nhiờn v s 1 Ta cú (t ) = t + , (t ) = t v (t ) = vi mi t > 0, t 2 im t = l im cụ lp phi v mi t , t u l im cụ lp 4) Cho h > l mt s c nh Xỏc nh thang thi gian hZ nh sau: = hZ = {hn : n Z} = { , 3h, 2h, h,0, h,2h,3h, } Ta cú (t ) = t + h, (t ) = t h, (t ) = h vi mi t Vỡ h > nờn mi im t u l im cụ lp Chỳ ý rng h > cú th l s vụ t, vớ d h = 5) Cho = U [ 2k ,2k + 1] Ta cú: k = 0, kƠ Nu t ( 2k ,2k + 1) thỡ (t ) = t = (t ) nờn t l im trự mt Nu t = 2k + thỡ (t ) = 2t + > t v (t ) = t nờn t l im cụ lp phi v l im trự mt trỏi Nu t = 2k thỡ (t ) = t = 2k v (t ) = 2k < t nờn t l im cụ lp trỏi v l im trự mt phi 6) Cho thang thi gian = t = n hay n = t , { } n : n Ơ Nu t thỡ tn ti s n Ơ cho n = t 1, n + = t + Ta cú (t ) = t + , (t ) = t , v (t ) = t + t vi mi t 0, t im t = l im cụ lp phi Mi im t , t u l im cụ lp Ta cú Bng túm tt cỏc thang thi gian thng gp: Ă Â h (t ) t t +1 t+h (t ) h qƠ qt (q 1)t 2Ơ 2t t Ơ2 ( Ơ0 ) t +1 2 t +1 t2 +1 (t ) t t t h t q t ( t2 +1 t ) t t2 Bng 1.1 Ký hiu ( a, b ) = { t : a < t < b} ( a, b ) ; [ a, b] ; [ a, b ) ; ( a; b ] thay = ( a, b ) ; ( a; b ] = ( a, b ) n gin, t õy v sau ta vit cho ( a, b ) = ( a, b ) ; [ a, b] = ( a, b ) ; [ a, b ) Nu thang thi gian cú mt phn t ln nht M l im cụ lp trỏi thỡ ta t k = \ { M } Trong cỏc trng hp cũn li thỡ k = Nguyờn lớ qui np trờn thang thi gian Nguyờn lớ qui np l mt cụng c hu hiu chng minh (qui np) toỏn hc (trờn s t nhiờn) s dng c phộp qui np trờn thang thi gian, ta cng phi m rng Nguyờn lớ qui np trờn s nguyờn sang Nguyờn lớ qui np trờn thang thi gian nh sau Vi t0 , gi s { S ( t ) : t [ t0 , ) } l mt h cỏc phỏt biu tho món: Phỏt biu S (t0 ) l ỳng Nu t [ t0 ; + ) l im cụ lp phi v S (t ) l ỳng thỡ S ( (t )) cng ỳng Nu t [ t0 ; + ) l im trự mt phi v S (t ) l ỳng thỡ tn ti mt lõn cn U ca t cho S ( s ) l ỳng vi mi s U ( t ; + ) Nu t [ t0 ; + ) l im trự mt trỏi v S ( s ) l ỳng vi mi s [ t0 ; t ) thỡ S (t ) l ỳng Khi ú, S (t ) l ỳng vi mi t [ t0 ; + ) 1.2 Phộp tớnh vi phõn phỏt trin Gii tớch trờn thang thi gian, trc tiờn ta cn phi phỏt trin cỏc khỏi nim liờn tc, khỏi nim o hm trờn thang thi gian iu ny ó c lm [] 1.2.1 nh ngha hm chớnh quy nh ngha 1.2.1 Hm s f : Ă c gi l chớnh quy (regulated) nu gii hn phi ca nú tn ti (hu hn) ti mi im trự mt phi v gii hn trỏi ca nú tn ti (hu hn) ti mi im trự mt trỏi ca 1.2.2 nh ngha hm rd-liờn tc nh ngha 1.2.2 Hm f : Ă c gi l rd-liờn tc (right-dense continuous) nu nú liờn tc ti mi im trự mt phi v gii hn trỏi ca nú tn ti (hu hn) ti cỏc im trự mt trỏi Mt m ì n ma trn A ( ) xỏc nh trờn thang thi gian c gi l rd - liờn tc nu mi phn t ca A ( ) l rd - liờn tc Cho X l mt khụng gian Banach, ỏnh x f :ì X X , ( t, x ) a f ( t, x ) gi l rd - liờn tc nu tha cỏc iu kin sau: a) f liờn tc ti mi im ( t , x ) vi t l trự mt phi hoc t = max lim b) Cỏc gii hn f ( t , x ) := ( s , y ) ( t , x ) ,s cho trc tn ti lõn cn U ca t (trong tụpụ cm sinh) cho f ( ( t ) ) f ( s ) f ( t ) ( t ) s ( t ) s , s U Hm f c gi l - kh vi (núi ngn gn l kh vi) trờn k nu f ( t ) tn ti vi mi t k Nhn xột 1.2.1 Bt ng thc trờn cú th vit di dng [ f ( (t )) f (s)] f (t ) [ (t ) s ] (t ) s vi mi s U hay [ f ( (t )) f (s)] f (t ) (t ) s vi mi s U nh lý 1.2.1 Xột hm s f : Ă l hm xỏc nh vi mi t k Khi ú: 1) Nu f l kh vi ti t k thỡ f liờn tc ti t 2) Nu f liờn tc ti t k v t l im cụ lp phi thỡ f kh vi ti t k f ( (t )) f (t ) v f (t ) = (t ) 3) Nu t k l im trự mt phi thỡ f kh vi ti t k v ch gii f ( (t )) f ( s ) f (t ) f ( s ) hn hu hn lim v y f (t ) = lim s t s t (t ) s ts 4) Nu f kh vi ti t k thỡ f ( (t )) = f (t ) + (t ) f (t ) Chng minh 1) Gi s f kh vi ti t k Vi (0;1) ta t = + f (t ) + (t ) Ta cú (0;1) Theo nh ngha 1.2.3, tn ti lõn cn U ca t tha món: [ f ( (t )) f ( s)] f (t ) [ (t ) s ] (t ) s s U Vỡ vy s U (t , t + ) ta cú: f (t ) f ( s ) = { f ( (t )) f ( s) f (t ).[ (t ) s ]} { f ( (t )) f (t ) (t ) f (t )} + (t s) f (t ) (t ) s + (t ) + t s f (t ) (t ) + t s + (t ) + f (t ) < + 2à (t ) + f (t ) = Vy f liờn tc ti t k 2) Gi f liờn tc ti t k v t l im cụ lp phi T tớnh liờn tc ca hm f ti t k ta cú: lim s t f ( (t )) f ( s ) f ( (t )) f (t ) f ( (t )) f (t ) = = (t ) s (t ) t (t ) Vi > 0, ln cn U ca s ta cú f ( (t )) f ( s ) f ( (t )) f (t ) (t ) s (t ) t f ( (t )) f ( s ) s U f ( (t )) f (t ) [ (t ) s ] [ (t ) s ] (t ) s U ú: j K j (t ) = j [ A ( (t ), ( s)) B( s)] s =t , j = 0,1,2, , q s Chng minh Gi s cú mt s tc [t , t f ) cho iu kin hng c tha Gi s phng trỡnh trng thỏi khụng iu khin c trờn [t0 , t f ] Khi y ma trn iu khin c Gramian G (t0 , t f ) khụng kh nghch nh chng C minh ca nh lớ 2.2.1, tn ti mt vector xa cho: T xa A (t0 , (t )) B (t ) = 0, t [t0 , t f ) (2.2.5) Chn vect xb cho xb = T (t0 , (tc )) xa , ú (2.2.5) tr thnh A T xa A ( (tc ), (t )) B (t ) = 0, t [t0 , t f ) T c bit, ti t = tc ta cú xb K (tc ) = Ly o hm (2.2.5) i vi t ta c T xb A ( (tc ), (t )) K1 (tc ) = 0, t [t0 , t f ) T xb K1 (tc ) = Núi chung, dj T T T [ xb A ( (tc ), (t )) B (t )] t =tc = xb K j (tc ) = 0, j t j = 0,1,2, , q Vy T xb K (tc ) K1 (tc ) K q (tc ) = 0, mõu thun vi s c lp tuyn tớnh ca cỏc hng bo m bi iu kin hng Do ú phng trỡnh (2.6) l iu khin c trờn [t0 , t f ] 24 Nhn xột 2.2.1 Tiờu chun hng nh lớ 2.2.1 chớnh l m rng ca tiờu chun Krasovskii ca h phng trỡnh vi phõn thng v h phng trỡnh sai phõn tuyn tớnh sang cho h ng lc trờn thang thi gian (xem, thớ d, []) 2.2.2 H ng lc tuyn tớnh vi h s hng B 2.2.1 Cho A, B Ă nìn , v u = u x (t f , ( s )) Ă nì1 l mt hm s rd-liờn tc tựy ý thỡ span { tf t0 } eA ( s, t0 ) Bu x0 (t f , ( s ))s = span { B, AB, , An1B} (2.2.6) Chng minh Cho { k (t , t0 )} k =0 l hp nghim c lp tuyn tớnh ca mt h n phng trỡnh thng tuyn tớnh p dng quy trỡnh Gram-Schmidt to mt { } $ hp trc chun k (t , t0 ) [ (t , t0 ) n k =0 Hai hp ny cú quan h: (t , t0 ) n1 (t , t0 ) ] (2.2.7) p11 p12 p1n p p2 n 22 , = [ (t , t0 ) (t , t0 ) n1 (t , t0 ) ] M M M M pnn (2.2.8) m ma trn bờn phi l ma trn tam giỏc thu c t phng phỏp phõn ró ( QR ) theo ng chộo trờn tng ng vi hm s { (t , t0 )} k =0 bờn trỏi n S dng phng phỏp QR ta cú th vit ma trn di dng n eA (t , t0 ) = k (t , t0 ) Ak k =0 = n [ (t , t ) k =0 0 (t , t0 ) n1 (t , t0 ) ] pk Ak , 25 vi pk l vector ct th k ca ma trn R Nú l giỏ tr thu gn cỏc phn t trờn ng chộo ca ma trn ny l nh chun ca cỏc vector khỏc khụng v xỏc nh dng ú l pii > vi mi i Tớch phõn (2.2.6) c vit li l: tf t0 eA ( s, t0 ) Bu x0 (t f , ( s ))s = t f n t0 k =0 k ( s, t0 ) Ak Bu x0 (t f , ( s ))s n = Ak B k ( s, t0 )u x0 (t f , ( s ))s k =0 n tf t0 = Ak B k =0 tf t0 [ ( s, t0 ) ( s, t0 ) n1 ( s, t0 ) ] pk u x0 (t f , ( s)) s Gi s yk = tf t0 [ (s, t0 ) ( s, t0 ) n1 ( s, t0 ) ] pk u x0 (t f , ( s)) s, k = 0,1, , n n Gi s span { y0 , y1 , , yn1} = Ă , y tn ti mt s u Crd (Ă k hp tựy ý nhng c nh cỏc vect { z0 , z1 , , zn1} Ă tf t0 nì1 nì1 ) cho bt , thỡ h z00 z 01 p110 ( s, t0 )u x0 (t f , ( s )) s := z0 = M z0( n1) z10 z tf 11 t0 (0 ( s, t0 ) p12 + (s, t0 ) p22 )u x0 (t f , (s))s := z1 = M z1( n1) M z( n1) tf z( n1)1 t0 (0 ( s, t0 ) p1n + n1 (s, t0 ) pnn )ux0 (t f , (s))s := zn1 = M z( n1)( n 1) 26 cú nht nghim Thc t ta s dng cỏc hp k ( s, t0 ) cỏc vect trc giao tỡm nghim dng: n1 j u x0 (t f , ( s )) = (u j ) = i i ( s, t0 ) ữ Bt u vi u0 cỏc phng trỡnh tr thnh i =0 n1 p11 i0i ữs = z00 t0 i =0 tf n1 (0 p12 + p22 ) i0i ữs = z10 t0 i =0 M tf tf t0 n1 (0 p1n + p2 n + + n pnn ) i0i ữs = z( n 1)0 i =0 Chỳng ta cú th n gin húa cỏc phng trỡnh trờn bng cỏch s dng phõn tớch m cỏc s hng chộo i , j , i j l Khi ú h tr thnh mt h tam giỏc thp hn v cú th gii phộp thay th trc (iu kin pii l rt quan trng gii h) Vớ d, phng trỡnh u tiờn tr thnh tf t0 tf n1 p11 i0i ữs = 00 p11s t0 i =0 = 00 p11 = z 01, = z00 S dng giỏ tr ny cho 00 phng trỡnh th hai p11 tf t0 n1 (0 p12 + p22 ) i i ữs i =0 tf = (0 p12 + p22 )( 000 + 101 ) s t = p12 z 01 + 11 p22 p11 = z10 , 27 = p z11 12 z01 Chỳng ta tip tc gii h theo phng phỏp thay th p22 p11 p22 v phớa trc tỡm j , j = 0,1, , n s cho u0 = i =0 i0i Lp i lp li n quỏ trỡnh ny cho u1 , u2 , , un1 , chỳng ta tỡm thy s kt hp tuyn tớnh chớnh xỏc ca k gii h (pcm) nh lớ 2.2.3 (iu kin hng Kalman v tớnh iu khin c) H ng lc tuyn tớnh vi h s hng x (t ) = Ax + Bu (t ), x(t0 ) = x0 , (2.2.9) y (t ) = Cx(t ) + Du (t ), l iu khin c hon ton trờn t0 , t f v ch ma trn n ì nm B AB An1B , tha iu kin rank: rank B AB An1B = n Chng minh Gi s h (2.2.9) l iu khin c nhng khụng tha iu T kin hng Khi ú tn ti n ì vect xa cho xa Ak B = 0, k = 0,1, , n T T Cú hai trng hp xy l xa x f = hoc xa x f T Gi s xa x f Cho t bt k, nghim ti thi im t c cho bi t x(t ) = eA (t , ( s )) Bu x0 ( s ) s + e A (t , t0 ) x0 t0 = eA (t ,0) Bu (t ) + eA (t ,0) x0 = Bu (t ) eA (t ,0) + eA (t ,0) x0 = t t0 eA ( s, t0 ) Bu x0 (t , ( s )) s + eA (t , t0 ) x0 Ta thy rng nghim l tớch chp v giao hoỏn Chn trng thỏi ban u x0 = By vi y tựy ý Li bng s giao hoỏn ca tớch chp ta cú 28 t T T T xa x(t ) = xa eA ( s, t0 ) Bu x0 (t , ( s )) s + xa e A (t , t0 ) x0 t0 = t n t0 n k (s, t0 ) xaT Ak Bu x0 (t , ( s))s + k (t, t0 ) xaT Ak By k =0 k =0 = T T T Vy xa x(t ) = vi mi t , mõu thun vi xa x(t f ) = xa x f T Gi s xa x f = 0, chn trng thỏi ban u x0 = eA (t f , t0 ) xa Tng t nh phng trỡnh trờn ta cú: T a x x(t ) = t n t0 k =0 k T T ( s, t0 ) xa Ak Bu x0 (t , ( s )) s + xa e A (t , t0 )e A1 (t f ,t )xa T = xa eA (t , t0 )eA1 (t f ,t )xa T c bit, ti t = t f , xa x(t f ) = xa 0, ta cng i n mõu thun Vỡ vy c hai trng hp ta i n mt mõu thun v ú tớnh iu khin c l iu kin hng Ngc li, gi s h ny l khụng iu khin c Khi y tn ti mt trng thỏi mì1 ban u x0 Ă , ta cú x(t f ) x f T s giao hoỏn ca tớch chp ta cú tf x f x(t f ) = eA (t f , ( s )) Bu x0 ( s )s + eA (t f , t0 ) x0 t0 = = tf t0 eA ( s, t0 ) Bu x0 (t f , ( s)) s + eA (t f , t0 ) x0 t f n t0 k =0 k ( s, t0 ) Ak Bu x0 (t f , ( s )) s + eA (t f , t0 ) x0 c bit t f n tf t0 t0 Ak B k (s, t0 )ux0 (t f , (s))s x f eA (t f , t0 ) x0 k =0 Suy cỏc ma trn Ak B, k = 0,1, , n 1, tha 29 n A B k =0 k k = x f eA (t f , t0 ) x0 Nhng iu ny khụng xy theo B 2.1 nu m < n Nh vy, ma trn B AB An1B , khụng th cú hng n Vỡ vy nu ma trn hng n thỡ nú phi iu khin hon ton Vớ d 2.2.1 Xột h: 45 30 x (t ) = - 45 10 x(0) = , x(t ) + u (t ), y (t ) = [ 4] x(t ) Ta cú: 29 - 90 rank [ B AB ] = rank = 13 90 Vỡ vy h ng lc l iu khin c hon ton theo nh lớ 2.2.3 nh lớ 2.2.4 Gi s ma trn iu khin c i vi h tuyn tớnh vi h s hng x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ), x(t0 ) = x0 , y (t ) = Cx(t ), tha iu kin: rank B AB An1B = q, ú < q < n Khi y tn ti mt ma trn nghch o P cho A11 A12 P AP = , 0( nq )ìq A22 ú A11 l q ì q , B11 l q ì m , v 30 B11 , P B= 0( nq )ìm q rank B11 11 B11 11 B11 = q A A Chng minh Ta bt u xõy dng P bng cỏch chn q ct c lp tuyn tớnh p1 , p2 , , pq , t ma trn iu khin c cho h (2.2.1) Sau ú chn pq +1 , , pn nh n ì vector P = p1 pq pq+1 pn l kh nghch Xỏc nh G PG = B Ta vit ct th j ca B l mt s kt hp tuyn tớnh ca cỏc ct c lp tuyn tớnh ca P c a bi p1 , p2 , , pq , ú ta cú n q phn t cui ca ct th j G phi bng Lp lun ny gi cho j = 1, , m, v vỡ vy G = P 1B khụng thc s tha Ta thit lp F = P AP cho PF = [ Ap1 Ap2 Apn ] Ct cỏc vector Ap1 , , Apq cú th c vit nh mt t hp tuyn tớnh ca p1 , , pn vỡ mi ct ca Ak B, k cú th vit nh mt s kt hp tuyn tớnh ca cỏc vector i vi G trờn, q ct u tiờn ca F phi cú s nh n q phn t cui cựng Vỡ vy P AP cú dng mong mun Ta cú: P B AB An1B = P 1B P AB P An1B = G FG Fn1G n B11 11 B11 111 B11 A A = 0 q A A p dng nh lý Cayley-Hamilton suy rank B11 11 B11 11 B11 = q (pcm) nh lớ 2.2.5 H ng lc tuyn tớnh vi h s hng x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = Cx(t ), 31 l iu khin c v ch vi mi s ch cú nht mt n ì vect p tha iu kin pT A = pT , pT B = l p = Chng minh iu kin cn Nu p v mt s phc ó tha phng trỡnh, ta c: pT B AB An1B = pT B pT AB p T An1B = pT B pT B n pT B , Khi y n hng ca ma trn iu khin c l ph thuc tuyn tớnh Dú ú h ng lc l khụng iu khin c iu kin Gi s phng trỡnh trng thỏi khụng iu khin c Theo nh lớ 2.2.4 tn ti mt P kh nghch cho: 11 A P AP = 0( nq )ìq 12 A , 22 A B11 P 1B = , vi < q < n 0( nq )ìm T T Cho p = 01ìq pq P , ú pq l mt vect riờng bờn trỏi ca A 22 T T A Nh vy, i vi mt s vụ hng phc, pq 22 = pq , pq T ú ta cú p v: B11 T pq = p B= T 11 A T p T A = pq 12 A T P = pq P = pT (pcm) 22 A nh lớ 2.2.6 H ng lc tuyn tớnh hi qui x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = Cx(t ), l iu khin c v ch rank [ zI A B ] = n vi mi s phc z 32 Chng minh Theo nh lớ 2.2.5, h ng lc khụng iu khin c v ch tn ti mt s phc khỏc khụng v n ì vect p pT [ I A B ] , p rank [ I A B ] < n, (pcm) 2.3 Tớnh quan sỏt c 2.3.1 Trng hp h ng lc thay i theo thi gian nh ngha 2.3.1 H ng lc tuyn tớnh hi qui x (t ) = A(t ) x(t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = C (t ) x(t ), c gi l quan sỏt c trờn t0 , t f nu bt k trng thỏi ban u x(t0 ) = x0 c xỏc nh nht tng ng y (t ) vi t t0 , t f nh lớ 2.3.1 (iu kin Gramian v tớnh quan sỏt c Observability Gramian Condition) H tuyn tớnh hi qui x (t ) = A(t ) x(t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = C (t ) x(t ), l quan sỏt c trờn t0 , t f v ch ma trn quan sỏt c Gramian tf tf T (t , t0 )C T (t ) y (t )t = G (t0 , t f ) x0 A O t0 T (t , t0 )C T (t )C (t ) A (t , t0 ) t = A l kh nghch Chng minh Ta cú t0 V trỏi ca phng trỡnh ny c xỏc nh bi y (t ) vi t t0 , t f ) , v ú nú l mt phng trỡnh i s tuyn tớnh theo x0 Nu G (t0 , t f ) l kh nghch O thỡ x0 c xỏc nh nht Ngc li, nu G (t0 , t f ) khụng kh nghch thỡ tn ti mt vector xa khỏc khụng O T cho G (t0 , t f ) xa = Suy xa G (t0 , t f ) xa = v O O 33 C (t ) A (t , t0 ) xa = 0, t t , t f ) Do ú x(t0 ) = x0 + xa Vỡ vy h khụng th quan sỏt c trờn t0 , t f (pcm) nh ngha 2.3.2 Nu T l mt thang thi gian cho l kh vi, rd-liờn tc, ta xỏc nh theo truy hi cỏc ma trn hm p ì n : L0 (t ) = C (t ), L j +1 (t ) = L j (t ) A(t ) + L (t )( I + (t ) A(t )), j = 0,1,2, j Nh trng hp iu khin dc, chng minh bng quy np cho thy L j (t ) = j [ C (t ) A (t , s)] t j s =t Tng t nh lớ trc, ta cú nh lý 2.3.2 (iu kin hng ca tớnh quan sỏt c Observability Rank Condition ) Gi s q l mt s nguyờn dng, cho t t0 , t f , C (t ) l q ln rd liờn tc v c hai (t ) v A(t ) l (q 1) ln rd-liờn tc H ng lc hi qui x (t ) = A(t ) x(t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = C (t ) x(t ), l quan sỏt c trờn t0 , t f nu vi tc t0 , t f ) , ta cú L0 (tc ) L (t ) c rank = n, M Lq (tc ) ú L j (t ) = j [ C (t ) A (t , s)] , j = 0,1, , q t j s =t 2.3.2 H ng lc vi h s hng nh lý 2.3.3 (iu kin Kalman v hng ca tớnh quan sỏt c Kalman Observability Rank Condition) H tuyn tớnh cú iu khin 34 x (t ) = A(t ) x(t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = C (t ) x(t ), l quan sỏt c trờn t0 , t f v ch ma trn iu khin c nm ì n C CA M n1 CA tha C CA = n rank M n1 CA Chng minh Mt ln na, ta thy rng iu kin hng khụng c tha v ch Gramian quan sỏt c l khụng kh nghch Tht vy, gi s cỏc iu kin hng sai ú tn ti n ì vector xa cho CAk xa = 0, k = 0, , n Cú ngha l: tf G (t0 , t f ) xa = eT (t , t0 )C T CeA (t , t0 ) xa t O A t0 tf = e (t , t0 )C t0 T A T n k =0 k (t , t0 )CAk xa = 0, Do ú cỏc Gramian quan sỏt c l khụng kh nghch Ngc li, gi s Gramian quan sỏt c l khụng kh nghch Tn ti vector xa khỏc khụng cho T xa G (t0 , t f ) xa = O iu ny cú ngha l CeA (t0 , t f ) xa = 0, t t0 , t f ) 35 Ti t = t0 , ta cú Cxa = 0, ly vi phõn ln th k v ỏnh giỏ kt qu ti t = t0 ta c CAk xa = 0, k = 0, , n Do ú C CA x = 0, M a n1 CA Vỡ th iu kin hng l sai (pcm) Vớ d 2.3.1 Xột h 45 30 x (t ) = x(t ) + u (t ), x(0) = , - 45 10 y (t ) = [ 4] x(t ) Theo Vớ d 2.2.1 h ny l iu khin c p dng nh lý 2.3.3, ta khng nh h ny cng quan sỏt c v C 28 rank = rank = - CA 45 10 nh lớ 2.3.4 Gi s ma trn quan sỏt c ca h x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = Cx(t ), tha C CA x =l, rank M a n CA vi < l < n Tn ti mt ma trn nghch o Q cp n ì n cho 36 11 A Q AQ = , 21 22 A A CQ = C 11 , ú 11 cú cp l ì l , C11 cú cp p ì l v A C11 C A rank 11 11 = l M i C11 A11 Cỏc bin s thay i phng trỡnh trng thỏi nh lớ 2.3.4 c xõy dng bng cỏch chn n l vect khụng gian rng ca ma trn quan sỏt c bng l vect mang li mt b n vect c lp tuyn tớnh nh lớ 2.2.5 H tuyn tớnh x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = Cx(t ), l quan sỏt c v ch vi mi s phc ch cú nht vect p cp n ì tha Ap = p, Cp = l p = nh lớ 2.2.6 H tuyn tớnh x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ), x(t0 ) = x0 y (t ) = Cx(t ), l quan sỏt c v ch C rank = n, zI A vi mi s phc z 37 TI LIU THAM KHO Ti liu Ting Vit [1] V Ngc Phỏt, Nhp mụn lớ thuyt iu khin toỏn hc, B sỏch cao hcVin toỏn hc, Nh xut bn i Hc Quc gia H Ni,2001 Ti liu Ting Anh [2] Billy Joe Jackson, B.S, M.A(2007), A General Linear Systems Theory on Time Scales, Transforms, Stability, and Control, Graduate School [3] J.M.Davis, I.A.Gravagne, B.J.Jackson, R.J.Marks II (2009), Controllability, Observability, Realizability, and Stability of dynamic linear systems, ftp ejde.math.txstate.edu [4] S Hilger (1988), Ein Makettenkalkul mit Anwendung anf Zentrumsman nigfaltig keiten, Ph D thesis, Universitat Wurzburg 38