Tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Đỗ Đức Thuận Hà Nội – Năm 2017 Líi c£m ìn ÷ỉc sü ph¥n cỉng cıa Khoa To¡n - Cì - Tin håc trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, HQGHN v sỹ ỗng ỵ ca thy giĂo hữợng dÔn TS ỉ ức Thun tổi  thỹc hiằn ã t i "Tnh iãu khi”n ÷ỉc cıa h» tuy‚n t ‰nh ríi r⁄c" ” ho n th nh khâa lu“n n y, tæi xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc thy cổ giĂo  tn tnh hữợng dÔn, giÊng dy sut quĂ trnh tổi hồc tp, nghiản cứu v rn luyằn trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản Xin chƠn th nh cĂm ỡn thy giĂo hữợng dÔn TS ỉ ức Thun  tn tnh, chu Ăo hữợng dÔn tổi thỹc hiằn khõa lun n y Mc dũ  c gng rĐt nhiãu bÊn thƠn vÔn cặn hn ch nản khâa lu“n n y khæng th” tr¡nh khäi nhœng thi‚u sõt nhĐt nh Tổi rĐt mong ữổc sỹ gõp ỵ ca quỵ thy cổ giĂo v cĂc bn ỗng nghiằp ” khâa lu“n ÷ỉc ho n ch¿nh hìn Tỉi xin chƠn th nh cĂm ỡn! H ni, thĂng nôm 2017 Nguyn Lỵ Vinh Hnh Mửc lửc Lới m ƒu Danh möc k‰ hi»u v chœ vi‚t t›t H» i•u khi”n tuy‚n t‰nh 1.1 H» i•u khi”n tuy‚n t‰nh 1.1.1 1.1.2 H» i•u khi”n tuy‚n t‰nh 1.2.1 1.2.2 1.2 H» tuy‚n t‰nh ríi r⁄c câ tr„ 2.1 2.2 2.3 KhĂi niằm iãu khin ữổ c trững cho t‰nh i•u k D⁄ng cıa h m i•u khi”n K‚t lu“n T i li»u tham kh£o i Líi mð ƒu Lỵ thuyt iãu khin ữổc phĂt trin t khoÊng 150 nôm trữợc Ơy sỹ thỹc hiằn cĂc iãu khin cỡ hồc bt u cn ữổc mổ tÊ v phƠn t‰ch mºt c¡ch to¡n håc Tł â, nâ âng vai trặ rĐt quan trồng nhiãu ng nh khoa hồc, °c bi»t l k¾ thu“t v to¡n håc (xem [3, 4, 5, 6]) V dử cĂc vĐn ã nhữ l m ” i•u khi”n t u vơ trư, tản lòa, iãu kin kinh t ca mt quc gia, i•u khi”n robot, Khi x†t c¡c h» ríi r⁄c, mỉ h…nh tuy‚n t‰nh thuƒn nh§t câ th” bi”u di„n bi hằ phữỡng trnh sai phƠn x(n + 1) = Ax(n); â A l ma tr“n cï k k H» n y khæng câ y‚u tŁ n o t¡c ºng tỵi c¡c bi‚n x1(n); x2(n); :::; xk(n) Do â ta khổng th iãu khin hằ trản ữổc V vy, mºt mỉ h…nh i•u khi”n cıa h» ríi r⁄c tuy‚n t‰nh ÷ỉc ph¡t tri”n câ d⁄ng x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n); (2) â B l ma tr“n cï k m, ÷ỉc gåi l ma tr“n ƒu v o v u(n) l mºt vector m Trong h» n y, ta câ m bi‚n i•u khi”n u1(n); u2(n); :::; um(n), â m k Trong lu“n v«n n y chóng tỉi t“p trung tr…nh b y t‰nh i•u khi”n ÷ỉc cıa h» tuy‚n t‰nh ríi r⁄c Nºi dung khõa lun gỗm phn m u, phn kt lun, danh mửc t i liằu tham khÊo v chữỡng vợi ni dung sau: Chữỡng 1: Trnh b y tnh iãu khi”n ÷ỉc cıa h» tuy‚n t ‰nh Ch÷ìng 2: Tr…nh b y tnh iãu khin ữổc ca hằ tuyn tnh ríi r⁄c câ tr„ Danh mưc k‰ hi»u v chœ vi‚t t›t R C Rn Rn m rankA Im(A), rangeA m L [0; T ; R ] S(t) QT [AjB] + Z q Zs Bk em Ch÷ìng H» 1.1 i•u khi”n tuy‚n t‰nh H» i•u khi”n tuy‚n t‰nh li¶n tưc Trong mưc n y, chóng tỉi tr…nh b y ng›n gån c¡c k‚t qu£ v• t‰nh iãu khin ữổc ca hằ iãu khin tuyn tnh liản tưc, düa tr¶n t i li»u tham kh£o [7] 1.1.1 KhĂi niằm iãu khin ữổc (1.1) Hằ iãu khin tuyn tnh liản tửc ữổc mổ tÊ bi phữỡng trnh vi ph¥n n n m dy dt = Ay(t) + Bu(t); y(0) = x Rn; u(t) Rm n vỵi A : R ! R ; B : R ! R l c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh, u(t) l h m kh£ t m ‰ch àa ph÷ìng, tøc l u(t) L [0; T ; R ] vỵi måi T > Ta  bit phữỡng trnh (1.1) cõ nghi»m nh§t Z t y(t) = S(t)x + At Ơy S(t) = e = S(t s)Bu(s)ds; nh nghắa 1.1.1 Tr⁄ng th¡i b ÷ỉc gåi l ⁄t ÷ỉc tł tr⁄ng th¡i a thíi gian T > n‚u tỗn ti iãu khin u(t) xĂc nh trản [0; T ] cho ph÷ìng tr…nh (1.1) câ nghi»m y(t) thäa mÂn y(0) = a; y(T ) = b: Quy ữợc: Tr⁄ng th¡i a ⁄t ÷ỉc tł a thíi gian T = ành ngh¾a 1.1.2 Tr⁄ng th¡i b ÷æc gåi l ⁄t ÷æc tł tr⁄ng th¡i a hay tr⁄ng th¡i a dàch chuy”n ÷ỉc ‚n tr⁄ng th¡i b n‚u b ⁄t ÷ỉc tł a thíi gian T > n o â ành ngh¾a 1.1.3 H» (1.1) ÷ỉc gåi l i•u khi”n ÷ỉc thíi gian T > n‚u b v a l hai tr⁄ng th¡i bĐt k th b cõ th t ữổc t a thới gian T: nh nghắa 1.1.4 Hằ (1.1) ữổc gồi l iãu khin ữổc nu b v a l hai tr⁄ng th¡i b§t k… th… b câ th” ⁄t ÷ỉc tł a: 1.1.2 °c tr÷ng cho t‰nh i•u khi”n ữổc Mt h m bĐt ký u(:) xĂc nh trản [0; +1) kh£ t‰ch àa ph÷ìng v câ c¡c n giĂ tr R s ữổc gồi l iãu khin ho°c ƒu v o cıa h» (1.1) x;u Nghi»m t÷ìng ứng ca phữỡng trnh (1.1) s ữổc kỵ hiằu l y (:) ” nh§n m⁄nh sü phư thuºc v o i•u ki»n ban ƒu x v ƒu v o u(:): Ta nâi mºt i•u khi”n u chuy”n mºt tr⁄ng th¡i a tợi trng thĂi b nu tỗn ti thới im T > cho y a;u (T ) = b: Khi â tr⁄ng th¡i a bà chuy”n sang tr⁄ng th¡i b t⁄i thíi i”m T hay tr⁄ng th¡i b ⁄t ÷ỉc tł tr⁄ng th¡i a t⁄i thíi i”m T Mằnh ã dữợi Ơy nảu lản cổng thức iãu khi”n chuy”n tł a tỵi b Trong cỉng thøc n y ma tr“n Q T gåi l ma tr“n i•u khi”n ÷ỉc Gramian: Z T QT = S(r)BB S (r)dr; T > 0: QT l Łi xøng v x¡c nh khổng Ơm B ã 1.1.1 GiÊ sò vợi T > n o â, ma tr“n QT â vợi mồi a; b R n iãu khin u(s) = b); s [0; T ] gian T , tøc l y(0) = a; y(T ) = b Chøng minh Ta câ y(t) = S(t)a + Z t S(t s)Bu(s)ds S(t s)BB S (t Zt = S(t)a s)QT (S(T )a b)ds: D„ th§y y(0) = S(0)a = a: ZT y(T ) = S(T )a S(T = S(T )a s)BB S (T s)ds QT (S(T )a b) QT QT (S(T )a b) = b: n BŒ • 1.1.2 N‚u måi tr⁄ng th¡i b R ãu t ữổc t 0, õ ma tr“n QT khỉng suy bi‚n vỵi måi T > Chøng minh X†t Z T LT u = S(r)Bu(T r)dr: u Suy LT u = y (t) u y (0) = u â y (t) l nghi»m cıa h» (1.1) thäa m¢n m n °t ET = LT (L [0; T ; R ]) l khỉng gian v†c tì cıa R n n V mồi b R ãu t ữổc t n¶n [T >0ET = R : N‚u T < T th… n ET ET 0, tł â suy tỗn ti T0 cho ET = R ; 8T T0 Vỵi måi n m T > 0; v R ; u L [0; T ; R ] ta câ ZT ZT hQT v; vi = h S(r)BB S (r)dr v; v = kB S (r)vk dr Z T hLT u; vi = hu(r); B S (T r)vidr: n V… th‚ n‚u QT v = vỵi v n o â thuºc R ; T > th… h m B S (r)v çng nh§t b‹ng [0; T ] Do h m f(r) = B S (r)v l h m gi£i t‰ch (câ th” khai tri”n th nh chuØi Taylor væ h⁄n) v f(r) = vỵi måi r + [0; T ] cho nản f(r) phÊi bng vợi måi r R : Tł cæng thøc bi”u di„n cıa LT suy hLT u; vi = 0; 8u; 8T > Tøc l v?ET 8T > m 27 Do â, ma tr“n ríi r⁄c câ tr„ d⁄ng mơ câ th” rót gån nh÷ sau: >0 > > < m k2Z ; Bk em = Do k k1 X I+ p(k j=1 V‚ tr¡i cıa bi”u thøc l vỵi q = p(k1 Nâi c¡ch kh¡c, (2.19) câ th” vi‚t dữợi dng vợi cĂc "hng s" C1; C2; :::; Cq+1 (l u (k1 1) ) Nhữ vy, vợi q + < n, hằ (2.22) thữớng khổng nh nghắa ữổc v nghiằm ca nõ (vợi bĐt k) khổng tỗn ti Do õ, iãu kiằn cn hằ (2.22) giÊi ữổc l b§t flng thøc q + n Khi â nhiằm ca (2.22) luổn tỗn ti Cui ta cõ q= ho°c k1 (n 1)(m + 1) + = k : Suy ta  chứng minh ữổc bĐt flng thức (2.14) Theo nh lỵ Cayley-Hamilton, vợi i ma trn B bĐt ký (i n) cõ th phƠn tch bði tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa c¡c ma tr“n I; B; B ::; B 28 N‚u q n, th… tŒ hæp tuy‚n t‰nh (2.22) cıa h» vector (2.20) câ th” rót gån th nh mºt tŒ hỉp tuy‚n t‰nh cıa c¡c vector h» sau b; Bb; :::; B n b: Do â, h» (2.22) cıa n ph÷ìng trnh tuyn tnh trản s giÊi ữổc vợi bĐt k… gi¡ trà n o cıa v ch¿ det S 6= 0; tøc l rank S = n Nhữ vy iãu kiằn (2.13) ữổc chứng minh iãu kiằn ı Gi£ sß ta câ gi£ thi‚t (2.13) v (2.14), ta phÊi chứng minh hằ (2.8) l iãu khin tữỡng i u tiản, ta s chứng minh s chiãu ca miãn iãu khin ữổc bng n Sò dửng phữỡng phĂp ph£n chøng, ta gi£ sß dim Q’ < n Khi õ, tỗn ti vector hng s khổng tm thữớng T n y = (y1; y2; :::; yn) R cho vợi mồi h m iãu khin u v nghi»m t÷ìng øng x = x(k; u; ’) cıa b i to¡n (2.8), (2.9), ta câ T y x(k1) = 0: Ta chån h m zero ban ƒu ’(k) = 0; k Z (2.7), ta ÷ỉc m Khi â ¡p dưng cỉng thøc x(k1) = v (2.23) trð th nh y T Do (2.25) óng vỵi måi h m iãu khin u 2:2:1, ta cõ y BƠy gií ta ¡p dưng (2.6) v o (2.26), ta câ T 4[y em B(k m j) T B(k m j) T B(k m j) b] = y [em T ]b = y Bem B(k m j) ho°c y Bem k b = 0; j Z0 : 29 b= Ta ti‚p töc ¡p dưng to¡n tß cho (2.27) (n 2) lƒn Khi â, theo nh÷ (2.6), y Ta cho j = k1 (2.26), j = k1 j = k1 (2.28), (2.29), v (2.30) Theo (2.14), b§t flng thøc k1 (n 1)(m + 1) + óng th… ta câ k (n 1)m n 1, v måi c¡c lüa chån ch s B ( m) j ãu chĐp nhn ữổc Do e m = I n¶n h» (2.26) - (2.30) (tữỡng ứng vợi b) rút gồn th nh T y S = 0: H» thuƒn nh§t (2.32) câ nghi»m khỉng tƒm th÷íng n‚u v tr“n cıa nâ l suy bi‚n Cõ nghắa l det S = Nhữ vy mƠu thuÔn vợi (2.13) Vy iãu kiằn dim Q < n khổng tỗn ti v s chiãu ca miãn iãu khin ÷ỉc l n Do mi•n i•u khi”n ÷ỉc chøa i”m x(k1) tữỡng ứng vợi h m iãu khin u r(0; k1 1) v im x(k1) tữỡng ứng vợi h m iãu khin u r(0; k1 1), nản ta câ th” k‚t lu“n Q’ Łi xøng Hìn th‚ nœa, miãn iãu khin ữổc chứa on thflng ni hai im x(k1) v x(k1) Do â, theo nh÷ gi£ thuy‚t t‰nh tuy‚n t‰nh cıa h», h» chøa mºt qu£ cƒu vỵi b¡n k‰nh l n U := x R ; kxk < vợi dữỡng D thĐy nu r ! r(0; k1 1) th… theo nh÷ t‰nh hœu h⁄n cıa o⁄n Z0 k1 , ta k‚t lu“n ! theo ành ngh¾a cıa U Do 30 n õ, miãn Q trũng vợi to n khổng gian R ỗng thới iãu n y cụng ch n rng vợi mồi im x R luổn tỗn ti h m i•u khi”n u = u , h m gi£i b i to¡n (2.8) - (2.10) Nh÷ v“y ta cõ iãu phÊi chứng minh úng cÊ trữớng hæp h m ban ƒu ’ kh¡c khæng Th“t v“y, ta câ th” sß dưng mºt ph†p bi‚n Œi ìn gi£n x(k) = x ’(k) + z(k), â x’(k) l nghi»m cıa b i to¡n thuƒn nh§t 4x’(k) = Bx’(k m); k Z0 x’(k) = ’(k); k Z k1 m; trð th nh b i toĂn tữỡng ứng ca z vợi h m ban V dư 2.1 X†t h» i•u khi”n x(k + 1) B= 2) ƒu b‹ng khæng x(k) = Bx(k 2) + bu(k) vợi # " D thĐy S = [b; Bb] = ; 14 n¶n rank S = Ta câ k = (2 1)(2 + + = 4: Do vy hằ n y l iãu khin ữổc tữỡng Łi t⁄i måi thíi i”m k1 4: 2.3 D⁄ng cıa h m iãu khin ữổc Mửc trữợc  nghiản cứu iãu kiằn hng Kalman cho tnh iãu khin ữổc tữỡng Łi Trong mưc n y, ta ÷a d⁄ng hi”n ca h m iãu khin u nh nghắa 2.3.1 Ta nõi cp (B; b) iãu khin ữổc nu rank S = n BŒ • 2.3.1 Cho c°p (B; b) iãu khin ữổc v Bk Bk th nh phn (em b)i; i = 1; 2; :::; n cıa vector em b k trản Z m tỗn ti cho vợi k Z k m 31 , tøc l khổ Chứng minh (Chứng minh phÊn chứng) GiÊ sò tỗn t⁄i vector khỉng tƒm th÷íng l cho (2.33) óng PhƠn tch (2.33) theo nh nghắa ma trn mụ rới r⁄c expm(BK) v T Bk 0=le m b= Tł (2.34) ta câ 0T > l Bb > > > > > > > > > 13 T >l B > > > > > = < > >:::: > >l > > > > T I+ > > > > > > > > > > > Ta > : ti‚p töc t‰nh c¡c sai ph¥n cho ‚n b“c (n 1) CuŁi còng, tł (2.35) ta câ 0=4 n T [l e Bk mb] T n B (k (n 1)m) e m b =l B 32 = 0T lB < B¥y : T T gií ta cho l b = bi”u thøc (2.34), l Bb = bi”u thøc (2.35) v T n l B b = Nh÷ v“y ta câ h» ph÷ìng tr…nh H» n y l h» ph÷ìng v ch¿ det S = iãu n y mƠu thuÔn v Bk nh÷ v“y c¡c th nh phƒn cıa vector e b (2.33) l t‰nh tr¶n o⁄n Z k m B ã 2.3.2 LĐy k1 k Khi õ ma tr“n l khæng suy bi‚n Chøng minh Do c¡c th nh phƒn cıa (e l ºc l“p tuy‚n t‰nh tr¶n o⁄n Z k m Bk mb); i = 1; 2; ::; n cıa vector e Bk mb theo bŒ ã  chứng minh trản, nản ta cõ n Xi (em =1 B(k m j) T b) l =li(em B(k T vợi vector khổng tm thữớng bĐt ký l = (l1; l2; :::; ln) v j = k1 1) + 1; :::; k1 (chú ỵ rng k1 m X k1 j [(em B(k n(m + =1 33 k1 n Bi‚n Œi v‚ tr¡i ta câ T = l [em B(k T = l Gl: T Do â l Gl > Suy det G 6= nh lỵ 2.3.1 Vợi cĂc iãu kiằn iãu khin tữỡng i (2.13) - (2.14) ữổc thọa mÂn Khi â h m i•u khi”n u = u cho h» (2.8) - (2.10) câ th” bi”u di„n b‹ng cæng thøc sau T B(k m k 1) T u (k) = b (em 1 ) G ; â vector ÷ỉc x¡c ành theo cỉng thøc (2.11) v Chøng minh Do h m i•u khi”n u (j); j Z0 ta cƒn chøng minh h» sau k1 câ nghi»m u(j i•u khi”n câ d⁄ng tŒ hỉp tuy‚n t‰nh T â D = (D1; D2; :::; Dn) l (2.40) v o (2.39), ta câ h» tuy‚n t‰nh thuƒn nh§t cıa D1; D2; :::; Dn " ho°c d⁄ng ma trn GD= : 34 Sò dửng b ã 2:2:4, ta câ ma tr“n G l khæng suy bi‚n v D = G tł bi”u thøc (2.40), ta câ u(j bi”u thøc n y t÷ìng 1) = (e B (k m j) T b) m ữỡng vợi (2.38) 35 G : V“y K‚t lu“n Trong khâa lu“n n y tỉi ¢ tr…nh b y: Tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc chung cıa h» ríi r⁄c tuy‚t t‰nh li¶n tưc ríi r⁄c, khỉng tr„ v câ tr„, c¡c kh¡i ni»m cì b£n, v mºt sŁ v‰ dư minh håa cho c¡c t‰nh ch§t v Tr…nh b y ữổc cĂc nh lỵ v mằnh ã chnh vã tnh iãu khin ữổc ca hằ rới rc tuyn tnh cõ tr„ Do thíi gian v tr…nh º cỈn h⁄n ch‚ n¶n khâa lu“n n y khỉng tr¡nh khäi thi‚u sõt nhĐt nh Tổi rĐt mong ữổc sỹ gõp ỵ quỵ bĂu ca thy cổ v bn ồc bĂo cĂo ữổc ho n thiằn hỡn Tổi xin chƠn th nh c£m ìn! 36 T i li»u tham kh£o [1] Josef Diblik, Denys Ya Khusainov, M Ruzickova, Controllability of linear discrete systems with constant coefficients and pure delay, SIAM J Cotrol Optim 47 (2008), pp 1140 - 1149 [2] Saber Elaydi, An introduction to difference equations, Springer, 2000 [3] M.L.J Hautus, Controllability and observability conditions of linear autonomous systems, Nederl Acad Wetensch Proc Ser A72 (1969), pp 443-448 [4] R.E Kalman, Contributions to the theory of optimal control, Bul Soc Math Mexicana (1960), pp 102-119 [5] E.B Lee and L Markus, Foundations of Optimal Control Theory, Wiley, New York, 1967 [6] Roberto Triggiani, Controllability and observability in Banach space with bounded operators, SIAM J Cotrol Optim 13 (1975), 462 - 491 [7] Jerzy Zabczyk, Mathematical control theory: An introduction Birkhauser, Boston Basel Berlin, 1992 37 ... GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Lý Vinh Hạnh TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC