Tính điều khiển được của hệ ô tô nôm tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ BÉ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên nghành: Giải tích HÀ NỘI - 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ BÉ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên nghành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI - 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Bài toán điều khiển tối ưu 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Thiết lập toán học toán điều khiển 10 1.1.3 Tính điều khiển 12 1.1.4 Điều khiển tối ưu 14 Động xe lửa 15 Tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính 22 2.1 Tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính 22 2.2 Ứng dụng 34 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ môn Giải tích thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Bé Lời cam đoan Dưới hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Trần Văn Bằng luận văn chuyên ngành toán giải tích với đề tài "Tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính" hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Bé Lời nói đầu Lý chọn đề tài Theo thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực chính: toán học lý thuyết toán học ứng dụng Điều khiển toán có ý nghĩa quan trọng đời sống, đặc biệt lĩnh vực điện tử, viễn thông (xem [3], [4]) Với phát triển khoa học công nghệ, mong muốn ngày tự động hóa trình điều khiển Điều khiển tối ưu xem chiến lược điều khiển lý thuyết điều khiển tự động Mặt khác, mặt lý thuyết, điều khiển tối ưu phần mở rộng phép tính biến phân Do vậy, lý thuyết điều khiển tối ưu coi cầu nối hai lĩnh vực toán học lý thuyết toán học ứng dụng Xuất phát từ nhận thức với hướng dẫn tận tình thầy giáo TS.Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn đề tài "Tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính" để thực khóa luận tốt nghiệp Nội dung khóa luận gồm có chương: Chương : Kiến thức chuẩn bị: Trong chương trình bày kiến thức sở toán điều khiển tối ưu, cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau Các khái niệm minh họa cụ thể thông qua mô hình điều khiển xe lửa Chương : Tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính: Trong chương tập trung tìm hiểu tập hợp trạng thái điều khiển mục tiêu thông qua hệ điều khiển Ô-tô-nôm tuyến tính Ứng dụng xét tính điều khiển số hệ Ô-tô-nôm tuyến tính cụ thể Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính; - Ứng dụng xét tính điều khiển số hệ Ô-tô-nôm tuyến tính cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bài toán Ô-tô-nôm tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Tính điều khiển Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích Đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tốt cho sinh viên đề tài Tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính Do lần thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn lực thân hạn chế nên nghiên cứu khó tránh khỏi sai sót Em mong nhận đóng góp, ý kiến thầy cô giáo bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Em xin chân thành cảm ơn! Bảng kí hiệu C, C[u(.)] Hàm chi phí C Tập điều khiển C (t) Tập điều khiển thời điểm t CBB Tập điều khiển sử dụng điều khiển bang-bang CBB (t) Tập điều khiển sử dụng điều khiển bang-bang thời điểm t CBBP C Tập điều khiển sử dụng điều khiển bang-bang khúc K(t; x0 ) Tập khả đạt thời điểm t với điểm xuất phát x0 RC Nón khả đạt Rn Không gian Euclid n-chiều T (t) Trạng thái mục tiêu Ω Hình lập phương đơn vị Rm Um (t0 , t1 ) Lớp hàm đo từ [t0 , t1 ] đến Ω Um ∪t1 >t0 Um (t0 , t1 ) UP C Lớp hàm khúc Um UBB Lớp hàm Um theo |ui (t)| = xi Thành phần thứ i x xT Chuyển vị x < x, y > Tích vô hướng thông thường hai véc tơ x y : ix Lớp điều khiển thành công; chúng hướng trạng thái ban đầu đến mục tiêu i i y Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Bài toán điều khiển tối ưu Khái niệm Lý thuyết điều khiển quan tâm đến quản lý trạng thái hệ cách sử dụng điều khiển Bản chất có hệ biến đổi cố gắng để tác động đến trạng thái hệ thông qua điều khiển Động lực học hệ cách thức mà trạng thái thay đổi ảnh hưởng điều khiển, phức tạp thực tế Ngoài có hai khái niệm ràng buộc điều khiển trạng thái mục tiêu Ví dụ sau cho thấy cách điều khiển trạng thái hệ ràng buộc điều khiển mục tiêu hệ Ví dụ 1.1 (Mô hình động xe lửa) Xét xe lửa chạy đường ray theo hướng, có khối lượng (đơn vị) trang bị hai động phản lực hai đầu (Hình 1.1) Vấn đề đặt ta phải điều khiển xe từ vị trí cho trước đến địa điểm định sẵn gọi mục tiêu hay đích Để đơn giản, đặt đích Hình 1.1: Mô hình động xe lửa Định lí 2.1 Cho hệ (LA), tập điều khiển C ∈ Rn đối xứng lồi Chứng minh Sử dụng (**) ta thấy rằng, x0 ∈ C (t1 ) có t1 > u(·) ∈ U [0, t1 ] cho: t1 x0 = −X0 X−1 (s)B(s)u(s)ds (2.2) Nhờ (2.2), x0 ∈ C (t1 ) (sử dụng u(·)), −x0 ∈ C (t1 ) (sử dụng −u(·)), nên C = C (t1 ) đối xứng t1 >0 Vì phép lấy tích phân tuyến tính Um [0, t1 ] lồi nên từ (2.2) ta suy C (t1 ) lồi Thật vậy, x0 ∈ C (t1 ) với điều khiển u0 (·) x∗ ∈ C (t1 ) với điều khiển u∗ [αx0 + (1 − α)x∗ ] ∈ C (t1 ) với điều khiển [αu0 + (1 − α)u∗ ] Nhưng hợp C = C (t1 ) tập lồi không lồi Thực tế để chứng minh C t1 >0 lồi, ta lấy x0 ∈ C (t1 ), x∗ ∈ C (t∗ ), (2.2) với x0 x∗ thỏa mãn t∗ x∗ = −X(0) X−1 (s)B(s)u∗ (s)ds Không tính tổng quát, giả sử t1 < t∗ Nếu ta xác định điều khiển u0 (t) u(t) từ (2.2) [0, t1 ] (t1 , t∗ ] (2.2) viết thành t∗ x0 = −X(0) X−1 (s)B(s)u0 (s)ds, Điều có nghĩa x0 ∈ C (t∗ ) Vì C (t∗ ) lồi nên tổ hợp x∗ x0 thuộc C (t∗ ) ⊂ C Nhận xét 2.1 Định lí (chứng minh tương tự) với A(t), B(t) ma trận liên tục, không thiết ma trận số Định lí áp dụng cho lớp điều khiển U có tính đối xứng tính lồi Vì vậy, định lí với lớp điều khiển UP C 23 (điều khiển số mảnh) Uε (điều khiển trơn) Chúng ta kí hiệu tập điều khiển tương ứng CP C Cε Chứng minh không thực với lớp điều khiển bangbang, UBB [0, t1 ] UBBP C [0, t1 ], chúng có tính đối xứng tính lồi; chứng minh sử dụng điều khiển lấy giá trị 0, không UBB Chúng ta kí hiệu tập điều khiển ứng với UBB [0, t1 ], UBBP C [0, t1 ] CBB (t1 ), CBBP C (t1 ) Ngoài chứng minh được: Đối với hệ tuyến tính Ô-tô-nôm (LA), CBB (t1 ) trùng với C (t1 ); tập compact, lồi phụ thuộc liên tục (theo metric Hausdorff) vào t1 Từ suy với hệ (LA), C ≡ C (t1 ) = t1 >0 CBB (t1 ) ≡ CBB Vì C lồi t1 >0 nên CBB lồi Nhận xét 2.2 (Nguyên lí bang-bang) Cho hệ tuyến tính ˙ x(t) = A(t)x + B(t)u + b(t) Giả sử giả thiết thông thường đúng, trừ trường hợp giá trị u(t) bị ràng buộc nằm tập compact cố định tùy ý Ψ ⊂ Rm Khi tập điều khiển tương ứng CΨ (t1 ) compact, lồi phụ thuộc liên tục vào t1 Các điều khiển bang-bang nhận giá trị (|ui (t)| = 1) đỉnh hình lập phương đơn vị Vì đỉnh hình lập phương đơn vị Ω ⊂ Rn (hoặc trường hợp tổng quát điểm cực biên tập lồi) có bao lồi với Ω (chính Ω), nên theo Định lí CBB (t1 ) = C (t1 ) với t1 > Ví dụ 2.1 (C không chứa tiệm cận mục tiêu) Xét hệ chiều p˙ = p + u, q˙ = q + u, −1 ≤ u(t) ≤ , 24 Hình 2.1: Đây hệ tuyến tính với x(t) = p(t) q(t) , n = 2, A= m = 1, , B= 1 , T (t) ≡ Nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 x(t) = et x0 + et t −s e u(s)ds 1 Nếu p(0) > q(0) > từ hệ phương trình vi phân dẫn đến p(t) ˙ > 0, q(t) ˙ > 0, ∀t Rõ ràng C = {(p, q) | p = q, |p| < 1, |q| < 1} nên C không chứa lân cận gốc tọa độ (Hình 2.1) Việc ta bỏ hạn chế miền giá trị u(·) kết luận không thay đổi Ví dụ ta cần số ràng buộc ma trận A ma trận B hệ (LA) để đảm bảo C chứa lân cận mục tiêu Chìa khóa cho toán ma trận điều khiển M(A, B) : M = [B, AB, A2 B, , An−1 B] cấp n × (mn) 25 Định lí 2.2 Cho hệ tuyến tính Ô-tô-nôm (LA) Khi rankM = n ⇔ ∈ intC Chứng minh Thực tế chứng minh mệnh đề tương đương ∈ / intC ⇔ rankM < n Thật vậy, với t1 > 0, từ (2.2) ta có x0 ∈ C (t1 ) có u(·) ∈ Um cho t1 x0 = − e−As Bu(s)ds, (2.3) X(t) = eAt ma trận hệ (LA) Đầu tiên, giả sử rankM < n Khi có vectơ đơn vị y ∈ Rn , ||y|| = 1, trực giao với vectơ cột M, tức × m vectơ dòng yT Ak B = với k = 0, 1, , (n − 1) Nếu P(λ) ≡ det(λI − A) đa thức đặc trưng A, theo Định lí Cayley-Hamilton, P(A) = Do An viết tổ hợp tuyến tính lũy thừa bậc thấp An = β1 An−1 + + βn (*) yT An B = β1 yT An−1 B + β2 yT An−2 B + + βn yT B = Bằng cách nhân (*) với yT A cho yT An+1 B = 0, tiếp tục thế, ta yT Ak B = với k = 0, 1, 2, Nhưng ∞ e −As = k=0 (−1)k Ak k s , k! nên yT e−As B = Do với x0 ∈ C (t1 ), yT x0 = (2.3) C (t1 ) nằm siêu phẳng trực giao với y, ∀t1 > Vì C hợp tập C (t1 ) nên nằm siêu phẳng Chứng tỏ ∈ / intC Ngược lại, giả sử ∈ / intC Khi ∀t1 > 0, ∈ / intC (t1 ), C (t1 ) ⊂ C Mà ∈ C (t1 ) (bằng cách lấy u(·) ≡ 0), với t1 C (t1 ) lồi nên với t1 , tồn siêu phẳng chứa cho C (t1 ) nằm phía siêu phẳng này, tức có vectơ khác không b(t1 ) cho ∀x0 ∈ C (t1 ), bT x0 ≤ 26 Khi t1 bT e−As Bu(s)ds = −bT x0 ≥ 0, ∀u(·) ∈ Um , ∀x0 ∈ C (t1 ) (2.4) Từ suy (theo bổ đề đây) (**) bT e−As B ≡ [0, t1 ] Chọn s = ta có bT B ≡ Vi phân hai vế (**) k lần lấy s = ta thu bT Ak B ≡ 0, k = 0, 1, 2, Do b trực giao với cột M Chứng tỏ rankM < n Nhận xét 2.3 Ta chứng minh với hệ (LA): rankM < n ⇒ ∃ siêu phẳng cố định chứa tất C (t1 ), t1 > 0; rankM = n ⇔ ∈ intC , ∀t > 0; rankM = n ⇔ ∀b = 0, bT e−At B ≡ (vì hàm t) Các hệ mà bT e−As B ≡ với b = gọi hệ riêng (LA), hệ có tính chất rankM = n Bổ đề 2.1 Giả sử t1 > b ∈ Rm cho trước Nếu (2.4) với u(·) ∈ Um [0, t1 ] vectơ dòng bT e−As B ≡ với s ∈ [0, t1 ] Chứng minh Cho v(s) ∈ Rm vectơ cột mà chuyển vị véc tơ dòng bT e−As B Nếu u(·) ∈ Um −u(·) ∈ Um Bằng cách thay u(·) −u(·) (2.4) ta có t1 vT (s)u(s)ds = 0, ∀u(·) ∈ Um Giả sử với s0 ∈ [0, t1 ], v(s0 ) = ∈ Rm Khi u(s) = ∈ Rm , ngoại trừ s lân cận nhỏ N s0 Trong N, đặt u(s) vectơ v(s0 ) Nhờ tính liên tục v(s) ta chọn N cho t1 vT (s)u(s)ds = vT (s)v(s0 )ds > 0, N mâu thuẫn Chứng minh yêu cầu hai tính chất Um : (i) u(·) ∈ Um ⇒ −u(·) ∈ Um ; 27 (ii) Với s0 ∈ [0, t1 ] vectơ khác véc tơ v(s0 ) ∈ Rm , có điều khiển chấp nhận u0 (·) cho vT (s0 )u0 (s) dương lân cận s0 lân cận Các lớp điều khiển mảnh điểu khiển trơn thỏa mãn yêu cầu Cũng vậy, hình lập phương đơn vị Ω thay tập compact đối xứng Ψ với ∈ intΨ Vì tính điều khiển khái niệm độc lập với sở Rn Rm nên ta đổi biến đổi điều khiển y(t) = Px(t) v(t) = Qu(t), P, Q ma trận không suy biến cấp n × m, m × n, hệ ˜ + Bv ˜ y˙ = PAP−1 y + PBQ−1 v = Ay phải có tính chất điều khiển (với miền biến đổi Rn Rm qua ánh xạ Px, Qu) hệ gốc (LA) x˙ = Ax + Bu Điều dễ thấy rank{B, AB, A2 B, , An−1 B} = rankP{B, AB, A2 B, , An−1 B}Q−1 Ví dụ 2.2 Xét toán không gian chiều x˙ = x + u, −1 ≤ u(t) ≤ Do ràng buộc u(t) nên x(t) ˙ > x(t) > x(t) ˙ < x(t) < −1 Vì C ⊂ [−1, 1] Từ phương trình (2.3), x0 ∈ C (t1 ) ⇔ x0 = − t1 −s e u(s)ds với điều khiển chấp nhận u(·) Do đó, |u(t)| ≤ nên x0 ∈ C (t1 ) suy |x0 | ≤ t1 −s e ds = 1−e−t1 ≤ Nếu |x0 | ≤ − e−t1 ta dễ dàng giải phương trình chọn u(t) cho x(t1 ; x0 , u(·)) = Thực tế ta chọn u(t) ≡ +1(x0 < 0) u(t) ≡ −1(x0 > 0) đoạn [0, t∗ ], u(t) ≡ (t∗ , t1 ) Do C (t1 ) = {x0 ||x0 | ≤ − e−t1 } C = {x0 ||x0 | < 1} ( Hình 2.2) Trong ví dụ C = Rn Vấn đề phương trình x(t) ˙ = x(t) có điểm gốc x = điểm cân không ổn định 28 Hình 2.2: (+):biểu thị đường cong phản hồi với u(t) ≡ +1 Định lí 2.3 Với rankM = n Xét hệ tuyến tính Ô-tô-nôm (LA) x˙ = Ax + Bu Nếu Reλ < với giá trị riêng λ A C = Rn Chứng minh Theo Định lí 2.2, gốc ∈ Rn có lân cận B0 ≡ B(0; δ) với ∈ B0 ⊂ C Với x0 ∈ Rn cho trước bất kì, ta đặt u(t) ≡ hệ động lực (LA) trở thành x˙ = Ax Theo lí thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, (xem [1], [2]), giả thiết Reλ < với giá trị riêng λ A, suy nghiệm x˙ = Ax rốt vào B0 Khi thuộc B0 thuộc C nên ta chuyển đến điều khiển để điều khiển đến gốc Định lí 2.4 Xét hệ tuyến tính Ô-tô-nôm (LA) M = [B, AB, , An−1 B] Khi C = Rn ⇔ rankM = n Reλ ≤ với giá trị riêngλ A Chứng minh Giả sử rankM = n Reλ ≤ với giá trị riêng λ A Ta có C lồi (Định lí 2.1) Nếu có trạng thái w0 ∈ / C w0 tách với C siêu phẳng-tức không tồn vectơ cố định b ∈ Rn số thực α cho b, x0 ≡ bT x0 ≤ α, ∀x0 ∈ C 29 Thực tế ta với b = ∈ Rn α ∈ R có vectơ x0 ∈ C cho bT x0 > α Thật vậy, ta có x0 ∈ C ⇔ x0 = − t1 −As Bu(s)ds e với số t1 u(·) ∈ Um nên ta phải chứng minh có u(·) ∈ Um để t1 − bT e−As Bu(s)ds > α Để thuận tiện hơn, ta phải xác định vectơ (cột) v(s) ≡ (bT e−As B)T ∈ Rm Như nói sau Định lí 2.2, giả thiết rankM = n suy hệ hệ riêng, tức v(s) ≡ với s ∈ [0, t1 ] Ta chọn ui (s) = −sgnv i (s), i = 1, 2, , m ui (s) = v i (s) = Khi với t1 tùy ý x0 = − t1 −As Bu(s)d(s) e t1 T |v(s)|ds, b x0 = |v| = m i i=1 |v | Do thành phần v(s), chẳng hạn v (s), khác thời điểm, chẳng hạn s0 nên nhờ tính liên tục, v (s) = lân cận s0 Ta Giả sử ngược lại ∞ |v (s)|ds = +∞ ∞ |v (s)|ds = +∞ Đặt Φ(t) = ∞ t v (s)ds Chú ý d dt Ma trận A thỏa mãn phương trình đặc trưng P(A) = nên Φ(t) → −DΦ = v , D = P(−D)v(t) ≡ P(−D){bT e−At B} = bT e−At P(A)B = Vì Φ(t) nghiệm phương trình với hệ số DP(−D)Φ(t) = 0, Φ(t) ≡ lim Φ(t) = t→∞ Nghĩa Φ(t) tổ hợp tuyến tính số hạng có dạng p(t)eλt , p(t) đa thức λ nghiệm λP(−λ) = Các nghiệm không âm (trừ λ = có nghiệm âm) Điều này, mâu thuẫn với kết luận lim Φ(t) = t→∞ Đối với nửa lại Định lí, ta xét hai trường hợp rankM < n Reλ > với giá trị riêng λ A 30 Giả sử rankM < n Khi nói sau Định lí 2.2, C (t) nằm siêu phẳng cố định ∀t > nên C (t) = Rn (vô lí) Cuối cùng, giả sử Reλ1 > với giá trị riêng λ1 A Ta muốn C = Rn Thật vậy, tồn ma trận không suy biến Q cho ˜ = Q−1 AQ có dạng ma trận tắc thực A   J1   ˜ = diag  , A J   Jk dạng ma trận Jr cấp mr ×mr phụ r  k 1 λ k  tương ứng với nó, với λk thực, Jr =    với λ = α + iβ (β = 0),   R    I R   , I = Jr =     I2   I2 R thuộc vào  giá trị riêng A    ,   λk ,R = α −β β α Nếu ta xác định x(t) = Qy(t) (LA) trở thành ˜ + w(t), y(t) ∈ Rn y˙ = Q−1 AQy + Q−1 Bu ≡ Ay (RCF) Vì |u(t)| ≤ nên ta có |w(t)| ≤ K với K số Không tính tổng quát, giả sử λ1 xuất J1 Nếu λ1 số thực y˙ (t) = λ1 y (t)+w1 (t) phương trình (RCF) K Nếu y (0) > y (t) luôn tăng nên y (t) y(t) λ1 Khi λ1 = α + iβ với α > β = hai phương trình đầu (RCF) y˙ = αy − βy + w1 (t) y˙ = βy + αy + w2 (t) 31 (chỉ số kí hiệu thành phần) Nhân phương trình đầu với y (·), phương trình thứ hai với y (·) cộng vế theo vế ta (|| · || chuẩn Ơclide) 1d ||z||2 = α||z||2 + zT w(t); z = dt y1 y2 w1 ,w = w2 Từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz suy |zT w( t)| ≤ ||z||.||w(t)||, kết d hợp với phương trình cuối suy ||z(t)|| ≥ α||z(t)|| − K Nên dt K 0(t → ∞) ||z(0)|| > ( ) ||z(t)|| luôn tăng nên ta có y(t) α Cuối cùng, x(t) = Qy(t) nên hai trường hợp ta có x(t) với nghiệm tương ứng x(t) (LA) Ví dụ 2.3 (Tính điều khiển động xe lửa ) Với động xe lửa, ta có: A= 0 ,B = , M = [B, AB] = 1 , nên rankM = hệ hệ riêng (theo nhận xét sau định lí 2.3) Giá trị riêng A λ = Từ Định lí 2.4 C = R2 , tức động xe lửa, trạng thái ban đầu điều khiển đến ∈ R2 Một điều đáng nói Định lí 2.4 trở nên đơn giản đáng kể trường hợp hạn chế điều khiển (u(t) ∈ Rm ) Định lí 2.5 Cho (LA) với điều khiển tự do, C = Rn ⇔ rankM = n Định lí 2.6 Với điều khiển tự do, tập tất hệ tuyến tính Ô-tô-nôm điều khiển hoàn toàn ( nghĩa C = Rn ) mở trù mật không gian metric tất hệ tuyến tính Ô-tô-nôm Với điều khiển có ràng buộc, tập tất hệ thỏa mãn C ⊃ N (0) mở trù mật Ở N (0) lân cận gốc phụ thuộc vào u(·) 32 Nhận xét 2.4 Định lí cho thấy hệ điều khiển tất hệ gần điều khiển (tính mở) Đây điều quan trọng mô hình hệ thống thực thiếu xác có nhiễu Hơn nữa, định lí cho thấy hệ điều khiển có hệ gần tùy ý điều khiển (tính trù mật), việc thiếu tính điều khiển điều mang tính chất tình cờ Chứng minh Ta xử lí trường hợp điều khiển tự sử dụng định lí 2.5 (với điều khiển có hạn chế ta chứng minh tương tự cách sử dụng định lí 2.2) Thật vậy, theo Định lí 2.5 x˙ = Ax + Bu điều khiển hoàn toàn điều khiển tự rankM = rank{B, AB, A2 B, , An−1 B} = n Điều kiện hạng suy điều kiện định thức tồn N, ma trận cấp n × n M, cho detN = ˜ B) ˜ hệ cố định gần (A, B) ma trận Q ˜ lấy từ tập hợp Nếu (A, ˜ = {B, ˜ A ˜ B, ˜ ,A ˜ n−1 B} ˜ gần hữu hạn ma trận cấp n × n M ˜ =0 với ma trận tương ứng Q M Hơn detQ = detQ ˜ đủ nhỏ Vì với (A, ˜ B) ˜ đủ gần (A, B) ta có rankM ˜ = n với |Q − Q| tập hệ điều khiển tập mở Giả sử hệ x˙ = A0 x + B0 u không điều khiển hoàn toàn, tức ˜ B) ˜ gần (A0 , B0 ) cho detN ˜ =0 rankM < n Ta cần tìm ma trận (A, với ma trận cấp n × n ˜ = {B, ˜ A ˜ B, ˜ ,A ˜ n−1 B} ˜ M ˜ cấp n × n M, ˜ detN ˜ xem Với ma trận N ˜ Trong đa thức P(y , y , , y k ), k = n2 + mn, phần tử A˜ B 33 tình P triệt tiêu ta sử dụng phần tử A0 , B0 cho ˜ = với ma trận con, nên ta cần y , y , , y k Vì ta cần detN ra: Với Đa thức không tầm thường P(y , y , , y k ) triệt tiêu y0 = (y0 , y0 , , y0 k ), có vectơ ξ = (ξ , ξ , , ξ k ) gần y0 tùy ý cho P(ξ) = Nhưng điều tương đương với thật hiển nhiên đa thức không tầm thường k biến triệt tiêu hình cầu k-chiều (Nếu triệt tiêu ta lấy đạo hàm riêng cần thiết để suy tất hệ số 0, vô lí) 2.2 Ứng dụng Trong mục áp dụng kết mục trước vào khảo sát số toán cụ thể Bài toán 1: Xét toán điều chỉnh mô hình xe lửa (n = 2, m = 1) : x= p q ; x˙ = 0 x+ u(t), T (t) ≡ Ta C = R2 nhờ Định lý 2.3 tìm C cách lấy tích phân trực tiếp Thật vậy, ta có: A= 0 , B= , M = [B, AB] = nên rankM = = n = Theo Định lý 2.3, C = R2 Để tìm C , trước hết ta tính e−As = −s 34 −s −s 0 , Theo công thức (2.3), x0 = − t1 x0 = − Từ ta có    x10 =   x20 = t1 −As Bu(s)ds, e −s −s −s 0 với t1 > Do u(s)ds t1 su(s)ds t1 0ds = 0 Chẳng hạn, chọn u = u = −1 ta thấy tập x10 toàn R Do tập điều khiển toàn trục Ox1 Bài toán 2: Cho toán vô hướng x˙ = [t3 sin 1t ]u(t), −1 ≤ u(t) ≤ 1, T (t) ≡ Ta C (1) = [−a, a], a = t | sin t |dt để a điều khiển ta phải cần tới điều khiển bang-bang có vô hạn bước chuyển Thật vậy, ta có A = 0, B(t) = t3 sin 1t nên theo (2.3), x0 ∈ C (1) ⇔ x0 = s3 sin u(s)ds s với điều khiển chấp nhận u(·) Vì |u(t)| ≤ nên |x0 | ≤ s | sin s |ds = a Chứng tỏ C (1) ⊂ [−a, a] Rõ ràng muốn x0 = a ta phải chọn u(s) = sgn(sin 1s ), tức điều khiển bang-bang u có vô hạn bước chuyển 35 KẾT LUẬN Các kết luận văn bao gồm: (1) Chương trình bày khái niệm kết lý thuyết điều khiển tối ưu để phục vụ cho việc nghiên cứu tính điều khiển hệ Ô-tô-nôm tuyến tính (2) Chương trình bày số kết tính điều khiển hệ Ôtô-nôm tuyến tính ứng dụng xét tính điều khiển số hệ cụ thể 36 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Jack Macki, Aaron Strauss, Introduction to Optimal Control Theory, Springer New York-1982 [4] E B Lee, L Markus, Foundations of Optimal Control Theory, Robert E Krieger Publishing Company, Florida,1986 37 ... thông qua mô hình điều khiển xe lửa Chương : Tính điều khiển hệ Ô -tô- nôm tuyến tính: Trong chương tập trung tìm hiểu tập hợp trạng thái điều khiển mục tiêu thông qua hệ điều khiển Ô -tô- nôm tuyến. .. khiển hệ Ô -tô- nôm tuyến tính; - Ứng dụng xét tính điều khiển số hệ Ô -tô- nôm tuyến tính cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bài toán Ô -tô- nôm tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Tính. .. tuyến tính Ứng dụng xét tính điều khiển số hệ Ô -tô- nôm tuyến tính cụ thể Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu tính điều khiển hệ Ô -tô- nôm tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính điều khiển