Môđun bù và chiều đều của môđun

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH Nguyễn thị thúy Môđun bù chiều môđun LUN VN THC S toán học Nghệ an - 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH Nguyễn thị thúy Môđun bù chiều môđun LUN VN THC S toán học Chuyên ngành: đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Ngời hớng dẫn khoa học PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nghệ an - 2013 MC LC Trang Mc lc Danh mc cỏc kớ hiu M u Chng 1: Kin thc c s 1.1 Mụun ct yu 1.2 Mụun úng-mụun bự 1.3 Mụun u 11 Chng 2: Mụun bự v chiu u ca mụun 14 2.1 Mt s tớnh cht ca mụun bự 14 2.2 Chiu u hu hn vi tớnh cht phn bự 20 Kt lun 28 Ti liu tham kho 29 DANH MC CC K HIU N M : N l mụun ca mụun M N * M : N l mụun ct yu ca mụun M N M : N l hng t trc tip ca mụun M M N : A B: M iI i : Mi : i =1 Mụun thng ca M trờn N Tng trc tip ca mụun A v B Tng cỏc mụun M i , i I Tng trc tip ca cỏc mụun M i , i I n Mi : Tng trc tip ca cỏc mụun M i ,1 i n dimM: S chiu u ca mụun M : Vnh cỏc s nguyờn ( l mụun) AM : A l ca M i =1 W: Kt thỳc mt chng minh M U Vic nghiờn cu lớ thuyt mụun cho n c phỏt trin mnh m v cú nhiu ng dng quan trng nghiờn cu lớ thuyt vnh T nm 1958, Goldie chng minh nh lý ni ting ca ụng v nhng vnh cú vnh thng Artin na n thỡ khỏi nim chiu u ca mụun ó c nhiu nh toỏn hc nghiờn cu Chiu u ca mụun l mt hng m rng chiu ca khụng gian vect Nhng c bn ca chiu u ó c trỡnh by cun sỏch Extending modules ca N.V Dung, D.V Huynh, P F Smith and R.Wisbauer Da vo ti liu [6] ca R L McCasland and P F Smith (2004), Uniform dimendsion of modules, Quart J Math 55, 491-498, lun ca chỳng tụi trỡnh by mt cỏch cú h thng v chi tit mt s v mụun bự v chiu u ca mụun Lun c chia lm hai chng cựng vi phn m u, kt lun, danh mc cỏc kớ hiu v ti liu tham kho C th: Chng 1: Kin thc c s Trỡnh by cỏc nh ngha v mụun ct yu, mụun úng, mụun bự, mụun u v cỏc tớnh cht c bn cú liờn quan n lun Chng 2: Mụun bự v chiu u ca mụun Chng ny c chia thnh hai phn: Phn th nht: Mt s tớnh cht ca mụun bự Phn th hai: Chiu u ca mụun C th phn ny chỳng tụi trỡnh by iu kin ca mt mụun cha cỏc mụun u, iu kin mt tng trc tip cỏc mụun u l ct yu mt mụun v chiu u hu hn vi tớnh cht phn bự Lun c thc hin v hon thnh ti trng i hc Vinh di s hng dn ca PGS TS Ngụ S Tựng Nhõn dp ny tỏc gi xin c t lũng bit n sõu sc n thy giỏo hng dn, ngi ó trc tip ng viờn, dỡu dt tn tỡnh, ch bo nghiờm tỳc sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Trong quỏ trỡnh hc v vit lun vn, tỏc gi cng nhn c s giỳp tn tỡnh ca cỏc thy cụ giỏo t i s trng i hc Vinh Cng dp ny, tỏc gi xin c cm n n PGS TS Nguyn Thnh Quang, PGS TS Lờ Quc Hỏn, TS Mai Vn T, TS Nguyn Th Hng Loan v cỏc thy, cụ giỏo khoa Toỏn, Khoa sau i hc trng i hc Vinh v cỏc bn lp cao hc khoỏ 19 chuyờn ngnh i s v lý thuyt s Tỏc gi xin c gi li cm n ti Ban giỏm hiu, t toỏn v ng nghip trng THPT Ca lũ ó ng viờn v giỳp lun c hon thnh ỳng k hoch Cui cựng, kh nng cũn nhiu hn ch nờn khụng trỏnh nhng sai sút, tỏc gi rt mong nhn c s gúp ý ca quý thy giỏo, cụ giỏo cựng tt c cỏc bn Vinh, thỏng nm 2013 Tỏc gi CHNG KIN THC C S Trong ton b lun vnh c hiu l vnh cú n v kớ hiu 1, cỏc mụun l mụun phi unita v R c kớ hiu l mt vnh cho trc (nu khụng núi gỡ thờm) 1.1 Mụun ct yu 1.1.1 nh ngha Cho M l mt R- mụun v N l mụun ca M * * Mụun N c gi l ct yu M v kớ hiu l N M , nu vi mi mụun K M , K thỡ N K * * Nu N M thỡ M c gi l m rng ct yu ca N 1.1.2 Vớ d Xột  l  mụun Khi ú mi mụun khỏc ca  u l mụun ct yu 1.1.3 Mnh Cho M l Rmụun Khi ú ta cú: * i) A M v ch x M , x 0, xR A * * * ii) Cho A B, B M thỡ A M v ch A B v B M n * iii) Nu Ai Bi , Ai M , Bi M (i = 1,2 , n) thỡ n A * B i =1 i i =1 i c bit nu n Ai M (i = 1, 2, , n) thỡ * * A M i i =1 Nu ch s vụ hn thỡ núi chung khụng ỳng B A M A thỡ B * M iv) Cho A B, B M Nu * * * v) Nu f : M N l ng cu R- mụun v A N thỡ f ( A) M iu ngc li núi chung l khụng ỳng M = M i , A = Ai vi) Cho iI iI ú tn ti Mi iI v * v Ai M i M , i I , ú Ai M i Khi A M i iI Chng minh.i) Gi * s A M , vi x 0, x M xR 0, xR M , hin nhiờn xR A (theo nh ngha) Ngc li, nu xR A 0, x 0, x M Khi ú, gi s X 0, X M m X A = Do X x X , x ta cú = ( X A) ( xR A) 0, vụ lý * Vy X A hay A M W * * ii) Gi s A M Ly X B X M X A (do A M ) Suy * A B Ly X M X A X B (do A B ), suy B * M * * Ngc li, gi s A B Ly X M v B M X B * * M ( X B) B v A B nờn ( X B ) A X A A M W n iii) Ly X B X Bi i =1 i n X A i =1 i n Hay * m Ai Bi X Ai Do ú n A * B i =1 i i =1 i Trng hp giao vụ hn núi chung khụng ỳng chng hn: * * Xột  -mụun: nZ Z , n N Ta cú: * nZ Z i ( Z i = Z , i = 1, ), n =1 i =1 * suy Z iu ny vụ lý Vy trng hp giao vụ hn núi chung l khụng ỳng iv) Ly X M Gi s X B = suy tn ti X B Ta cú ( X A) A M A Do B A * M A nờn (( X A) A) ( B A) W Suy tn ti x+a+A=b+A x = b + a '(a ' A) Vụ lý * Vy X B B M W v) Ly X M 1 -Nu f ( X ) = X f ( A) X f ( A) = X * -Nu f ( X ) Vỡ A N A f ( X ) Do ú tn ti a 0, a A v a f ( X ) a = f ( x ) v x X , x Suy x = f (a ) x f ( A) X f ( A) Vy f ( A) * M W vi) Trc ht ta chng minh cho trng hp I hu hn Dựng quy np ta ch xột vi n=2 * * Ta cú M = M + M , A1 M , A2 M , tn ti A1 A2 * * Theo iii) ta cú A1 A2 M M hay M M M M = Do ú tn ti tng M M Tip theo xột cỏc phộp chiu: : M M M : M1 M M * * Do A1 M ( A1 ) ( M M ) (theo v) * Nhng ( A1 ) = A1 M ( A1 M ) ( M M ) (1) * * * Do A2 M ( A2 ) ( M M ) A2 M ( M M ) (2) Ly giao v ca (1) v (2) ta cú : ( A1 M ) ( A2 M ) * ( M M ) ( A1 A2 ) * ( M M ) Bõy gi ta chng minh cho trng hp I vụ hn Ly x Mi iI ta cú th biu din hp trờn thỡ tn ti Mi iF x = xi iF vi F hu hn thuc I, theo trng v s biu din ú l nht Suy M iI i = Mi iI 10 Tip theo ly X Mi x X ; iI m x Mi iF Do F hu hn Ai * M i xR Ai X Ai X Ai iF Vy iF iF iF iI Ai * M i iI W iI 1.1.4 Mnh Cho M l R-mụun, A l mụun ca M Khi ú tn ti B l * mụun ca M cho A B M Chng minh Xột S = { B B A = 0, B M } vi quan h th t trờn S l quan h bao hm Khi ú ta cú: * S ( S ) * Vỡ hp ca mt sp th t hon ton S l thuc S nờn mi nh vy cú cn trờn S Vỡ vy S tho B Zorn Do ú, theo B Zorn S cú phn t ti i kớ hiu l B Khi ú tn ti A B Bõy gi ta chng minh A B * M Tht vy, ly X M Nu A B X = B X = B X M v B B X , B B X A ( B X ) = (mõu thun vi tớnh ti i ca B) * Vy A B X hay A B M W 1.1.5 B Cho : N M l ng cu mụun trờn R Khi ú mụun L ca N ct yu N v ch ( L) ct yu M * Chng minh () Cho L N , X M cho L ( X ) = ( ( L) X ) = (0) = * Do L N nờn ( X ) = , m ng cu nờn X=0 * Vy ( L) M ( L) X = suy 19 H A = ( L * M ), suy K H (do K ti i), ú K = H , suy H K = Vy L/K ct yu M/K W iii ) i ) Gi N l mụun bự ca K M, t F = K N Ta cú F K * * v theo B 2.1.1 ta c F M , ú F K M K Gi s H K v H N = Theo lut mụdunla ta cú ( N + K ) H = ( N H ) + K = K (( N + K ) / K ) ( H / K ) = H / K = * (do F K M K ), suy H = K Vy K ti i nờn K l bự ca N W 2.1.4 Mnh Cho N, K l cỏc mụun ca mụun M cho K úng M, K N = v K N l mt mụun ct yu ca M Khi ú K l bự ca N M Chng minh Ta cú i) K M ii) K N = Bõy gi ta chng minh, K ti i cú tớnh cht K N = Tht vy: Gi s, H M cho H K , H K v H N = Do K úng, H K suy K khụng ct yu H, tc l L H , L cho: L K = Vỡ K N * M v L H M , L nờn K N L 0, suy tn ti x 0, x K N L Khi ú, x L, x = y + z vi y K , z N z = x y M xL H, yK H nờn zH zH N H N = ) Vy K=H hay K ti i cú tớnh cht K N = (mõu thun vi W 2.1.5 Mnh Cho K v L l cỏc mụun ca mụun M cho K L = Khi ú, tn ti cỏc mụun K v L ca M cho: K K ', 20 L L ', K ' L ' = , K l mt phn bự ca L v L l mt phn bự ca K M Chng minh Do K M , L M cho K L = nờn theo b 2.1.1 tn * ti phn bự K ca L M cho: K K ' v K ' L M (1) Do L M nờn theo Mnh 1.2.3 tn ti L l mụun úng ca L * M cho L L ' Ta cú K L = Do K l mt phn bự ca L M nờn K ' L = (2) Suy L ' K ' = Tht vy, gi s P = L ' K ' Khi ú, P L ' m L * L ' nờn P L L ' K ' L K ' L (mõu thun vi (2)) Vy L ' K ' = Ta chng minh K l phn bự ca L Ta ó cú : * K' M * L ' K ' = Bõy gi ta chng minh K ti i cú tớnh cht K ' L ' = Tht vy, gi s H M cho H K ', H K ' v H L ' = Do K l phn bự M nờn K úng M (theo Mnh 2.1.3) Vỡ K úng v H K ' suy K khụng ct yu H, tc l Q H , Q cho: Q K ' = * Theo (1) K ' L M v Q H M , Q nờn K ' L Q 0 x K ' L Q Khi ú, x Q, x = y + z vi y K ', z L z = x y M x Q H , y K ' H nờn z H z H L L ' H (mõu thun vi H L ' = ) Vy K=H hay K ti i cú tớnh cht K ' L ' = Ta chng minh L l phn bự ca K Ta ó cú : * L ' K ' = * L úng M 21 * * Bõy gi ta chng minh L ' K ' M Tht vy, vỡ L K ' M nờn H M , H thỡ L K ' H x L K ' H Khi ú, x Q , x = y + z vi y L L ', z K ' H ( L ' K ') ( L ' K ') * M Vy W theo Mnh 2.1.4, Ll phn bự ca K M 2.1.6 Mnh Cho K v L l cỏc mụun ca mụun M cho: K l phn bự ca L M Cho G, H l cỏc mụun ca M cha K cho G K l phn bự ca H/K M/K Khi ú G l phn bự ca H L M Chng minh Ta chng minh G ( H L) = Ta cú: G H K ( G K , H K ) (1) Do G/K l phn bự ca H/K M/K nờn G / K H / K = Mt khỏc G / K H / K = { x + K x H G} = K G H K (2) T (1) v (2) suy ra: G H = K (3) Do ú, G ( H L) = (G H ) L = K L = (do K l phn bự ca L M) Bõy gi ta chng minh G ti i cú tớnh cht G ( H L) = Gi s G ' M , G ' G, G ' ( H L) = Ta chng minh G ' = G Tht vy, ta cú: * G ' H G H = K ( theo (3)) (4) * G ' ( H L) = (G ' H ) L = 0, m K l bự ca L nờn K ti i cú tớnh cht K L = suy (G ' H ) K (5) T (4), (5) suy G ' H = K G '/ K H / K = Mt khỏc G/K l bự ca H/K M/K nờn G / K G '/ K , m G '/ K G / K suy G '/ K = G / K (6) G ' = G (Vỡ nu G ' G tc l x G ', x G (6) x + K G / K y G : x + K = y + K x y = z K x = y + z G ) (mõu thun) Vy G=G W 22 2.1.7 Mnh i) Nu K v L l cỏc mụun ca M cho: K L = thỡ K l bự ca L M v ch (K+L)/K l ct yu M/K ii) Nu K l bự ca K M v K l bự ca K M cho K K '' * thỡ K K '' Chng minh i) () Gi s ( K + L) / K D / K = , ú D l mụun ca M cha K Khi ú ( K + L) D = K Theo lut mụunla ta cú K = ( L D) + K L D K T ú, bi vỡ K l bự ca L nờn L K = , ú L D = T tớnh ti i ca K suy D=K Bi vy D/K=0, iu ny chng t (K+L)/K l ct yu M/K () Bõy gi ta gi s D l mụun ca M cha K cho L D = Theo lut mụunla ta cú ( K + L) D = K + ( L D) = K Bi vy ( K + L) / K D / K = Do tớnh ct yu ca (K+L)/K M/K nờn D / K = D = K iu ny chng t K l bự ca L M W ii) Gi s D l mụun ca K cho K D = Ta chng t rng K ( K '+ D) = Tht vy, x K ( K '+ D) x = y = y '+ d K , vi y K y ' K ', d D Khi ú y ' = y d K ' K '' = Bi vy, x = y = d K D = K ( K '+ D ) = T biu thc K ( K '+ D ) = v t tớnh ti i ca Ksuy K+D=K, v vỡ vy D K ' T ú D K ' K '' = D = iu ny chng t K ct yu K W 23 2.2 Chiu u hu hn vi tớnh cht phn bự 2.2.1 nh ngha Cho R l vnh, mt R- mụun U c gi l u (hay uniform) nu U v A B i vi mi mụun khỏc khụng A, B ca U Hay núi cỏch khỏc, U l u nu U v mi mụun khỏc khụng l ct yu U 2.2.2 nh ngha Mt mụun M trờn vnh R gi l cú chiu u hu hn nu khụng tn ti mt tng trc tip vụ hn cỏc mụun khỏc khụng M, M c gi l cú chiu u vụ hn trng hp ngc li 2.2.3 Mnh Nu M l mt mụun khỏc khụng, khụng cha tng trc tip vụ hn cỏc mụun khỏc khụng, thỡ M cha mụun u Chng minh - Nu M l mụun u: chng minh xong - Nu M khụng l mụun u Khi ú tn ti U1 ,U M m U1 U = suy (U1 U ) M - Nu U1 l mụun u: Chng minh xong - Nu U1 khụng l mụun u, ú tn ti V1,V2 U1,V1,V2 M V1 V2 = suy (V1 V2 ) U1 suy tn ti (V1 V2 U ) M Quỏ trỡnh ny tip tc, M khụng cha tng trc tip vụ hn cỏc mụun khỏc khụng, nờn quỏ trỡnh ny phi dng li sau hu hn bc Vy tn ti mụun U k u 2.2.4 H qu Cho R-mụun M W 24 i) Nu M l mụun Noether khỏc khụng thỡ M cha mụun u ii) Cho R l mt vnh phi Noether thỡ bt kỡ R- mụun phi khỏc khụng u cha mt mụun u Chng minh i) Nu M l mụun Noether m cha vụ hn cỏc mụun khỏc khụng Ai M i =1 Khi ú ta cú dóy tng thc s cỏc mụun ca M: n A1 ( A1 A2 ) Ai i =1 Mõu thun vi gi thit M l mụun Noether Do ú M khụng cha tng trc tip vụ hn cỏc mụun khỏc khụng Theo Mnh 2.2.3, M cha mụun u ii) Nu M l R-mụun phi, R l vnh Noether phi nờn mi R-mụun hu hn sinh l Noether Vỡ vy vi x 0, x M , ta cú xR l mụun Noether Do ú theo i) xR cha mụun u W Vy M cha mụun u 2.2.5 Mnh Cho mụun M khỏc khụng cú tớnh cht mi mụun khỏc khụng cha mụun u Th thỡ tn ti mụun A l tng trc tip cỏc mụun u v A l mụun ct yu M = Ui Ui iI Chng minh Gi u, U i M , i I } Xỏc nh quan h th t Ui V j I J iI jJ Theo gi thit M cha mụun u U U I v U i = Vi , i I vi I =1 n n Ly U ,U , ,U , l cỏc phn t ca v gi s U U U suy U K k =1 l cn trờn 25 Theo B Zorn, tn ti phn t ti i A = Ui iI * v ta cú A M bi vỡ nu A khụng l mụun ct yu M suy tn ti B M , B m A B = Theo gi thit B cha mụun u V, suy A V = suy tn ti A ' = A V m A A ', A A ' mõu thun vi tớnh ti i ca A * Vy A M W 2.2.6 H qu i) Nu mụun M l Noether thỡ tn ti mụun A = U i * M ,U i iI ii) Nu vnh R l Noether thỡ mi R-mụun M ta cú u, i I A = U i * M ,U i iI u, i I Chng minh i) Nu mụun M l Noether thỡ vi mi mụun N M ta cú N l Noether.Theo H qu 2.2.4 suy N cha mụun u Theo Mnh 2.2.5 tn ti mụun A = U i * M iI ii) Nu N l vnh Noether, theo h qu 2.2.4 suy mi R- mụun M l cha mụun u (do mi mụun ca M u l R- mụun) Theo Mnh 2.2.5 tn ti mụun 2.2.7 B Gi s Ui iI A = U i * M iI W ct yu mụun M, ú U i l cỏc mụun u i I Khi ú mt mụun N ca M l ct yu M v ch N U i 0, i I * Chng minh Gi s N M suy N X vi mi X M , X suy N U i 0, i I 26 Ngc li, gi s N M , N U i 0, i I t Ni = N U i , theo gi thit Ni 0, i I Vỡ U i l mụun u suy Ni * U i , i I Do ú cú Ni U i , i I nờn tn ti tng trc tip Ni * M iI Ni iI v Ni * U i * M , iI iI Ui iI m t ú suy (Theo Mnh 1.1.3) (*) Ni N M Mt khỏc Ni N , i I , ú iI * Vỡ vy N M W 2.2.8 nh lý Cho mụun M, nu tn ti cỏc mụun U i u, i = 1, 2, , n n v U i * M i =1 thỡ: i) Mi tng trc tip cỏc mụun khỏc khụng ca M cú nhiu nht n hng t * ii) Nu tn ti cỏc mụun Vi u, i = 1, 2,3, , k v V1 V2 Vk M thỡ n=k Chng minh i) Gi s tn ti A1 A2 An +1 ca M, ú A1, A2 , A3 , , , An Ta s chng minh An +1 = Do A1 ( A2 An +1 ) = dn n rng A2 An +1 khụng l mụun ct yu M Theo B 2.2.7 thỡ tn ti U i ,1 i n U i ( A2 An +1 ) = Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s i=1 ta cú U1 ( A2 An +1) = Suy tn ti U1 A2 An +1 Tip tc ta cú (U1 A3 An +1 ) A2 = suy U1 A3 An +1 khụng l mụun ct yu M 27 Do ú tn ti U (U1 A3 An +1 ) U = Suy tn ti U1 U A3 An +1 Tip tc quỏ trỡnh ú ta cú: U1 U U U n An +1 Do U1 U U U n l ct yu M suy An +1 = n ii) Theo i) ta cú k n v n k (do vai trũ ca hai tng trc tip Ui i =1 k v Vi i =1 l nh nhau) T nh lý 2.2.8 ta rỳt rng s t nhiờn n m U1 U U U n ct yu M, U i l u vi i = 1, 2,3, , n l s bt bin Vy ta cú nh ngha sau: 2.2.9 nh ngha Ta gi dim M = n nu tn ti tng trc tip hu hn U1 U U U n * M , vi cỏc mụun U i u, i = 1, 2,3, , n v n c gi l chiu u ca mụun M Khi M=0 ta quy c dim M=0 2.2.10 Mnh i) Nu dim M < thỡ dim A < vi mi A l mụun ca M ii) Nu A,B l cỏc mụun ca M v tn ti A B vi dim( A B ) < thỡ dim( A B) = dim A + dim B Chng minh i) Gi s A cha tng trc tip vụ hn cỏc mụun khỏc khụng Do A M nờn suy M cha tng trc tip vụ hn cỏc mụun khỏc khụng Vy M cú chiu u vụ hn Mõu thun vi gi thit dim M < Vy A khụng cha tng trc tip vụ hn cỏc mụun khỏc khụng hay dim A < , vi mi A l mụun ca M ii) Do A, B ( A B ), theo gi thit dim( A B ) < nờn theo i) dim A < , 28 dim B < n t dim A = n,dim B = m Do vy A tn ti U i * A i =1 , v B tn ti m V j * B j =1 Do tn ti , vi U i ,V j u, i, j ,1 i n,1 j m A B Ui V j = n m i =1 j =1 U = ( Ui ) ( V j ) vi i, j ,1 i n,1 j m * Khi ú ta cú U A B (theo Mnh 1.1.3) Vy dim( A B ) = m + n = dim A + dim B W 2.2.11 B Nu A l mụun ct yu ca M thỡ dimA=dimM Chng minh n Gi s dimM = n U i * M i =1 * , vi cỏc U i u v i = 1, 2, , n Do A M theo B 2.2.7 ta cú A U i , i = 1, 2,3, , n t Ai = A U i , U i u nờn n Ai u vi i = 1, 2,3, , n , v cú Ui i =1 n nờn tn ti Ai i =1 n v Ai * A i =1 W Vy dimA = n, t ú dimA=dimM 2.2.12 B Nu mụun M/A cú chiu u hu hn, A cú chiu u hu hn thỡ M cú chiu u hu hn v dim M dim A + dim M A Hn na dim M = dim A + dim M A v ch A úng Chng minh Gi L l mụun bự ca A Theo B 2.1.1 ta cú ( L A) * M Ta cú L (( L A) / A) M A , M/A cú chiu u hu hn nờn ( L A) / A cú chiu u hu hn suy L cú chiu u hu hn 29 Gi s dim M / A = n,dim A = m,dim L = l (l n) Theo mnh 2.2.10 ta cú dimM = dim( L A) = dimL+dimA =l+m n+m = dim A + dim M A Vy dim M dim A + dim M A T chng minh trờn ta cú, dim M = dim A + dim M A v ch dim( L A) / A = dim M A v ch ( L A) / A * M A v ch A l bự ca L (theo Mnh 2.1.7) v ch A úng (theo Mnh 2.1.3) W 2.2.13 Chỳ ý Nu M cú chiu u hu hn, A cú chiu u hu hn thỡ cha hn M/A cú chiu u hu hn, chng hn dim Ô Â = 1,dim   = nhng dim Ô /  = + * * 2.2.14 B Nu L M thỡ ( L A) A, A M Chng minh Gi s L A khụng l mụun ct yu ca A, suy tn ti X 0, X A m X ( L A) = L ( X A) = Do X A X A = X T ú X L = 0, suy L khụng l mụun ct yu ca M Mõu thun vi gi thit * Vy ( L A) A, A M W * 2.2.15 B Cho M l mụun cho K M thỡ M/K cú chiu u hu * hn Khi ú A B thỡ B/A cú chiu u hu hn A B M Chng minh Theo B Zorn tn ti T ti i M m T A = Khi ú (T A) * M Theo gi thit ta cú M / (T A) cú chiu u hu hn (*) * Do A B v T A = T B = T B v ta cú B A (T B ) (T A) M (T A) Theo Mnh 2.2.10 v kt hp vi (*) suy B/A cú chiu u hu hn W 30 2.2.16 Mnh Cho M l mt mụun cú chiu u hu hn v K, L l cỏc mụun ca M cho L K = Khi ú dim M dim M / K + dim M / L Hn na, dim M = dim M / K + dim M / L nu v ch nu K l mt phn bự ca L v L l mt phn bự ca K M Chng minh Xột ỏnh x : M ( M K ) ( M L) c xỏc nh (m) = (m + K , m + L) vi mi m M Rừ rng l mt n cu Khi ú dim M dim M / K + dim M / L Bõy gi ta gi s rng dim M = dim M / K + dim M / L Khi ú M/K, M/L cú chiu u hu hn Do K nhỳng M/L suy dim K + dim M / K dim M / L + dim M / K = dim M dim K + dim M / K = dim M Theo B 2.2.12 ta cú dim M = dim K + dim M / K , suy K l mụun úng ca M Tng t L l mụun úng ca M Hn na dim L = dim( M / K ) Vỡ vy dim M = dim K + dim L = dim ( K L) Vy K L l mụun ct yu ca M (theo B 2.2.11) Theo Mnh 2.1.4 thỡ K l mt phn bự ca L v L l mt phn bự ca K M Ngc li, K l mt phn bự ca L v L l mt phn bự ca K M Theo Mnh 2.1.3 v 2.2.12 ta cú: dim M = dim K + dim M / K (*) Khi ú K L l mụun ct yu ca M (theo Mnh 2.1.1) v ( K L) / L l mụun ct yu ca M/L (theo Mnh 2.1.7) suy dim( K L) L = dim M L ( theo 2.2.11) Vỡ K ( K L) / L nờn ta cú: dim K = dim( K L) L = dim M / L Thay vo (*) ta cú dim M = dim M / K + dim M / L W 31 KT LUN Ni dung chớnh ca lun l: Trỡnh by cỏc khỏi nim v mụun ct yu, mụun úng, mụun bự, mụun u v mt s tớnh cht ca chỳng Trỡnh by v chng minh chi tit mt s tớnh cht ca mụun bự Trỡnh by v chng minh chi tit tớnh bt bin ca s hng t ca tng trc tip hu hn cỏc mụun u m ct yu M t ú trỡnh by 32 nh ngha chiu u ca mụun v chng minh mt s tớnh cht ca chiu u Trỡnh by chi tit mt s kt qu ca chiu u hu hn vi tớnh cht phn bự TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn Tin Dng (2006), Tng trc tip cỏc (1 C1 ) -mụun, Lun thc s Toỏn hc, Trng i hc Vinh [2] Nguyn Tin Quang Nguyn Duy Thun (2001), C s lớ thuyt mụun v vnh, NXB Giỏo dc [3] Ngụ S Tựng (1995) , Mt s lp vnh c trng bi iu kin liờn tc v lp CS mụun, Lun ỏn phú tin s khoa hc Toỏn-Lý, Trng i hc Vinh 33 Ting Anh [4] N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith, and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Longman, Harlow [5] A Joseph and L W Small (1978), An additivity principle for Goidie rank, Israel J Math 31, 89-101 [6] R L McCasland and P F Smith (2004), Uniform dimension of modules, Quart J Math 55, 491-498 [7] J C McConnell and J C Robson (1987), Noncommutative Noetherian Rings, Wiley-Interscience, Chichester [8] P F Smith (2003), Uniqueness of primary decompositions, Turkish J Math 27, 425-434 [...]... bù, môđun con đều và một số tính chất của chúng 2 Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất của môđun con bù 3 Trình bày và chứng minh chi tiết tính bất biến của số hạng tử của tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều mà cốt yếu trong M để từ đó trình bày 32 định nghĩa chiều đều của môđun và chứng minh một số tính chất của chiều đều 4 Trình bày chi tiết một số kết quả của chiều đều hữu hạn với... M là R- môđun và A ⊂ M Môđun K được gọi là bù cộng tính của A trong M nếu: i) K ⊂ M ii) K + A = M iii) K là môđun con tối tiểu có tính chất K + A = M 1.2.10 Định nghĩa Cho M là R- môđun Môđun K được gọi là phần bù nếu tồn tại A ⊂ M để K là bù (bù giao) của A trong M 1.2.11 Mệnh đề Cho A và B là hai môđun con của M Khi đó M = A ⊕ B khi và chỉ khi B đồng thời là bù cộng tính và bù (bù giao) của A trong... 2.2.3, M chứa môđun con đều ii) Nếu M là R -môđun phải, do R là vành Noether phải nên mọi R -môđun hữu hạn sinh là Noether Vì vậy với x ≠ 0, x ∈ M , ta có xR là môđun Noether Do đó theo i) xR chứa môđun con đều W Vậy M chứa môđun con đều 2.2.5 Mệnh đề Cho môđun M khác không có tính chất mọi môđun con khác không chứa môđun đều Thế thì tồn tại môđun A là tổng trực tiếp các môđun đều và A là môđun cốt yếu... đó môđun con N = ∑ Ai i =1 Noether Ta có M An = ( N + An ) An ≅ N ( N ∩ An ) Nếu N là Noether thì N ( N ∩ An ) Noether và do đó M A cũng Noether Khi đó M là Noether W 16 CHƯƠNG 2 MÔĐUN CON BÙ VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN 2.1 Một số tính chất của môđun con bù Để nghiên cứu các tính chất của môđun con bù, ta nhắc lại một số khái niệm đã trình bày ở chương 1 * Cho M là R- môđun và A ⊂ M Môđun K được gọi là bù. .. chứa môđun con đều Theo Mệnh đề 2.2.5 tồn tại môđun A = ⊕ U i ⊂* M i∈I ii) Nếu N là vành Noether, theo hệ quả 2.2.4 suy ra mọi R- môđun M là chứa môđun con đều (do mọi môđun con của M đều là R- môđun) Theo Mệnh đề 2.2.5 tồn tại môđun 2.2.7 Bổ đề Giả sử ⊕ Ui i∈I A = ⊕ U i ⊂* M i∈I W cốt yếu trong môđun M, trong đó U i là các môđun đều ∀i ∈ I Khi đó một môđun con N của M là cốt yếu trong M khi và chỉ... dim M / K , suy ra K là môđun con đóng của M Tương tự L là môđun con đóng của M Hơn nữa dim L = dim( M / K ) Vì vậy dim M = dim K + dim L = dim ( K ⊕ L) Vậy K ⊕ L là môđun con cốt yếu của M (theo Bổ đề 2.2.11) Theo Mệnh đề 2.1.4 thì K là một phần bù của L và L là một phần bù của K trong M Ngược lại, K là một phần bù của L và L là một phần bù của K trong M Theo Mệnh đề 2.1.3 và 2.2.12 ta có: dim M =... là các môđun con của môđun M sao cho K ∩ L = 0 Khi đó, tồn tại các môđun con K’ và L’ của M sao cho: K ⊂ K ', 20 L ⊂ L ', K '∩ L ' = 0 , K’ là một phần bù của L’ và L’ là một phần bù của K’ trong M Chứng minh Do K ⊂ M , L ⊂ M sao cho K ∩ L = 0 nên theo bổ đề 2.1.1 tồn * tại phần bù K’ của L trong M sao cho: K ⊂ K ' và K '⊕ L ⊂ M (1) Do L ⊂ M nên theo Mệnh đề 1.2.3 tồn tại L’ là môđun con đóng của L... K và L là các môđun con của M sao cho: K ∩ L = 0 thì K là bù của L trong M khi và chỉ khi (K+L)/K là cốt yếu trong M/K ii) Nếu K’ là bù của K trong M và K’’ là bù của K’ trong M sao cho K ⊂ K '' * thì K ⊂ K '' Chứng minh i) (⇒) Giả sử ( K + L) / K ∩ D / K = 0 , trong đó D là môđun con của M chứa K Khi đó ( K + L) ∩ D = K Theo luật môđunla ta có K = ( L ∩ D) + K ⇒ L ∩ D ⊂ K Từ đó, bởi vì K là bù của. .. Môđun đều 1.3.1 Định nghĩa Cho R là vành, một R- môđun U được gọi là đều (hay uniform) nếu U ≠ 0 và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun khác không A, B của U Hay nói cách khác, U là đều nếu U ≠ 0 và mọi môđun khác không là cốt yếu trong U 1.3.2 Ví dụ * ¢ − môđun ¢ là môđun đều vì: Lấy A = m¢ ⊂ ¢ , m ≠ 0 và B = k ¢ ⊂ ¢ , k ≠ 0 Khi đó: 0 ≠ mk ∈ m¢ ∩ k ¢ W * ¢ − môđun ¤ là môđun đều vì: Lấy 0 ≠ A, B ⊂ ¢ ¤ ⇒ ∃ a... các điều kiện của Mệnh đề 1.3.3 được gọi là vành Noether phải 1.3.5 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương đối với R- môđun M: 15 i) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng ii) Mọi tập khác rỗng các môđun của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh iv) Đối với mỗi môđun con A của M thì A và M/A có tính chất i) 1.3.6 Định nghĩa Mọi R- môđun phải M thoả ...2 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH Nguyễn thị thúy Môđun bù chiều môđun LUN VN THC S toán học Chuyên ngành: đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Ngời hớng