Chiểu đều của môđun

MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Danh mục các ký hiệu 2 Mở đầu 3 Chương 1: KiÕn thøc c¬ së 5 1.1 M«®un, v nh Noetherà . 5 1.2 Môđun con cốt yếu, môđun con đều. 7 1.3 Môđun hữu hạn sinh, CS - m«®un. 11 Chương 2: ChiÒu ®Òu cña m«®un 14 2.1 X©y dùng chiÒu ®Òu cña m«®un. 14 2.2 Mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu ®Òu h÷u h¹n . 19 Chương 3: CS - m«®un vµ chiÒu ®Òu h÷u h¹n 23 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 1 DANH MC CC Kí HIU N M: N l mụun con ca mụun M N * M: N l mụun con ct yu ca mụun M N M: N l hng t trc tip ca mụun M BA : Tng trc tip ca mụun A v mụun B Ii i M : Tổng các môđun con M i , i I i i M 1 = : Tổng trực tiếp của các môun M i , iI i n i M 1 = : Tổng trực tiếp của các môun M i , 1 i n dimM: Số chiều đều của môun M r(x): Linh hóa tử phải của x Soc(M): Đế của môun M Z : Vành các số nguyên ( là Z -môđun ) Z(M): Là môđun con suy biến của M Hom R (A,B):Tập tất cả các đồng cấu từ môđun A đến môđun B : Kết thúc một chứng minh 2 M U Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay đợc phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Một trong các h- ớng để nghiên cứu vành là đặc trng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng. Nghiên cứu lý thuyết môđun và vành, đó là nghiên cứu cấu trúc của môđun và từ đó đa ra một số đặc trng của các lớp vành. Luận văn của chúng tôi đề cập đến việc xét các tính chất về chiều đều môđun, luận văn cũng đề cập đến tổng trực tiếp của các môđun đều và CS - môđun. Chiều đều của môđun là một hớng mở rộng chiều của không gian vectơ. Những vấn đề cơ bản của chiều đều đã đợc trình bày trong cuốn sách Extending modules của N.V. Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith and R. Wisbauer [5]. Luận văn chúng tôi trình bày một cách hệ thống và chi tiết một số vấn đề về chiều đều của môđun. Lun vn c chia lm ba chng cựng vi phn m u, kt lun, danh mc cỏc ký hiu v ti liu tham kho. Cụ thể: Chng 1: Kiến thức cơ sở Trỡnh b y cỏc nh ngha về Môđun, v nh Noether và Artin, Mụun con ct yu, mụun con u, Mụun hu hn sinh, CS - môđun, v cỏc tớnh cht c bn cú liờn quan n lun vn. Chơng 2: Chiều đều của môđun. Chơng này đợc chia làm hai phần : Phần thứ nhất: Xây dựng khái niệm về chiều đều của môđun. Cụ thể trong phần này chúng tôi đa ra điều kiện của một môđun chứa các môđun con đều và điều kiện để một tổng trực tiếp các môđun con đều là cốt yếu trong một môđun. Phần thứ hai : Một số tính chất của chiều đều hữu hạn. Trong phần này chúng tôi nghiên cứu các tính chất về số chiều của môđun. 3 Chơng 3: CS - Môđun và chiều đều hữu hạn. Lun vn c thc hin v hon thnh ti trng i hc Vinh di s hng dn ca PGS.TS.Ngụ S Tựng. Nhân dịp này, tỏc gi xin c by t lũng bit n chõn thnh sõu sc n thy giỏo hng dn, ngi ó trc tip ng viờn, dỡu dt tn tỡnh, ch bo nghiờm tỳc trong sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun vn. Trong quỏ trỡnh hc tp v vit lun vn, tỏc gi cng nhn c s giỳp tn tỡnh ca cỏc thy giỏo trong t i s trng i hc Vinh. Cng trong dp ny, tỏc gi xin c cm n n PGS.TS Nguyn Thnh Quang, PGS.TS Lờ Quc Hỏn, TS. Mai Vn T, TS. Nguyn Th Hng Loan v cỏc thy, cụ giỏo trong khoa Toỏn, Khoa Sau i hc trng i hc Vinh v cỏc bn lp cao hc khoỏ 16 chuyên ngành Đại số - Lý thuyết số. Tac gia xin c gi li cam n ti S Giỏo dc v o to Thanh hoá, Ban giỏm hiu, tổ toán v ng nghip trng THPT Hàm Rồng, ó ng viờn v giỳp lun vn c hon thnh ỳng k hoch. Cui cựng, do kh nng cũn nhiu hn ch nờn khụng trỏnh khi nhng sai sút, tỏc gi rt mong nhn c nhng gúp ý ca quý thy giỏo, cụ giỏo cựng tt c cỏc bn. Vinh, thỏng 10 nm 2010 Tỏc gi 4 Ch¬ng 1 KiÕn thøc c¬ së 1.1 M«®un, Vµnh Noether 1.1.1 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R có đơn vị là 1: i) Mọi dãy tăng các ideal phải đều dừng. ii) Mọi tập khác rỗng các ideal phải đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. iii) Mọi ideal phải của R là hữu hạn sinh. iv) Đối với A là ideal của R thì A và R/A có tính chất i). 1.1.2 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương đối với R - môđun phải M: i) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng. ii) Mọi tập khác rỗng các môđun của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh. iv) Đối với môđun con A của M thì A và M/A có tính chất i). 1.1.3 Định nghĩa. Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.1.1 được gọi là vành Noether phải. 1.1.4 Định nghĩa. Mọi R- môđun phải M thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.1.2 được gọi là R- môđun noether phải. 1.1.5 Ví dụ. i) Z- môđun Z là noether. ii) Không gian vectơ hữu hạn chiều là môđun noether, không gian vectơ vô hạn chiều không là môđun noether. 5 1.1.6 Hệ quả. Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con noether thì M là noether. Chứng minh. Giả sử M = A i , ta biến thành quy nạp theo n. Với n =1 mệnh đề là hiển nhiên. Giả sử mệnh đề đúng với n - 1. Khi đó môđun con N = A i là noether. Ta có M/A n = ( N + A n )/A n ≅ N/(N ∩ A n ). Nếu N noether thì N/(N ∩ A n ) noether và do đó M/A n cũng noether. Khi đó M là noether.  1.1.7 Hệ quả. Nếu vành R là noether phải và M là R- m«®un hữu hạn sinh thì M là noether. Chứng minh. Với mỗi a ∈ M xét ánh xạ ψ a : R → M R|→ ar Rõ ràng ψ a là một đồng cấu R- môđun. Theo định lí về đông cấu môđun ta có: R/kerψ a ≅ Imψ a = aR. Do R là noether nên R/kerψ a là noether và do đó aR cũng noether. Bây giờ giả sử { a 1 , a 2 , …, a n } là hệ sinh của M, khi đó M = a 1 R. Theo hệ quả 1.1.6 ta suy ra M là noether.  6 1.2 Môđun con cốt yếu, môđun con đều 1.2.1.Định nghĩa. Cho M là một R- môđun và N là môđun con của M. • Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M và kí hiệu là N ⊂ * M, nếu với mọi môđun K ⊂ M, K ≠ 0 thì N ∩ K ≠ 0. • Nếu N ⊂ * M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N. • Nếu 0 ⊂ * M thì M = 0 ( quy ước ). 1.2.2. Định nghĩa. Cho R là vành, một R-môđun U được gọi là đều ( hay uniform) nếu U ≠ 0 và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U. Hay nói cách khác, U là đều nếu U≠ 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U. 1.2.3.Ví dụ. • Z- môđun Z l mà ôđun đều vì: Lấy A = mZ ⊂ Z, m≠ 0 và B = kZ ⊂ Z, k≠ 0 Khi đó: 0 ≠ m.k ∈ mZ ∩ kZ.  • Z- môđun Q là môđun đều vì : Lấy 0 ≠A, B ⊂ Z Q ⇒ ∃ ∈ A, ∈ B (m, k, a, b ∈ Z * ) Ta có am = bm. ∈ A; am = ak. ∈ B Khi đó: 0 ≠ am ∈ A ∩ B.  • Mọi môđun con khác không của môđun đều, là đều. 1.2.4. Mệnh đề. Cho M là R- môđun. Khi đó ta có : i) A ⊂ * M khi vµ chỉ khi ∀ x ∈ M, x ≠ 0, xR ∩ A ≠ 0. 7 ii) Cho A ⊂ B, B ⊂ M thì A ⊂ * M khi vµ chỉ khi A ⊂ * B vµ B ⊂ * M. iii) Nếu A i ⊂ * B i ( ∀ i 1,2,…,n), A i , B i ⊂ M thì A i ⊂ * B i . Đặc biệt nếu A i ⊂ * M thì A i ⊂ * M. iv) Cho A ⊂ B, B ⊂ M . Nếu B/A ⊂ * M/A thì B ⊂ * M. v) Nếu f: M → N là đồng cấu môđun và A ⊂ * N thì f -1 (A) ⊂ * M. vi) Cho M = M i , A = i Ii A ∈ ⊕ và M i là môđun con của M, ∀ i ∈I, trong đó A i ⊂ * M i . Khi đó tồn tại i Ii M ∈ ⊕ vµ A ⊂ * i Ii M ∈ ⊕ . Chứng minh. i) Giả sử A ⊂ * M, với 0 ≠ x ∈ M ⇒ xR ≠ 0, xR ⊂ M, hiển nhiên xR∩A≠0 (theo định nghĩa). Ngược lại, nếu xR ∩ A ≠ 0, ∀0 ≠ x ∈ M . Khi đó , giả sử 0 ≠ X ⊂ M mà X ∩ A =0. Do X ≠ 0 ⇒ ∃ x∈ X, x ≠ 0 ta có 0 = ( X ∩ A)⊃ xR ∩ A≠ 0. Vô lý. Vậy X ∩ A ≠ 0 hay A ⊂ * M.  ii) Giả sử A ⊂ * M. Lấy 0 ≠ X ⊂ B⇒ X ⊂ M ⇒ X ∩ A ≠ 0. (do A ⊂ * M) suy ra A ⊂ * B. Lấy 0 ≠ X ⊂ M ⇒ X ∩ A ≠ 0 ⇒ X ∩ B ≠ 0( vì A ⊂ B ) ⇒ B ⊂ * M. Ngược lại, giả sử A ⊂ * B v à B ⊂ * M. Lấy 0 ≠ X ⊂ M và B ⊂ * M⇒X ∩ B≠ 0, mà (X ∩ B) ⊂ B và A ⊂ * B ⇒ (X ∩ B) ∩ A ≠ 0⇒ X ∩ A ≠ 0 ⇒ A ⊂ * M.  iii) Lấy 0 ≠ X ⊂ B i ⇒ X ⊂ B i mà A i ⊂ * B i ⇒ X ∩ A i ≠ 0. Do đó X ∩ A i ≠ 0. Hay A i ⊂ * B i .  iv) Lấy 0 ≠ X ⊂ M. Giả sử X ∩ B = 0 suy ra tồn tại X ⊕ B. Ta có (X ⊕ A)/A ⊂ M/A. Do B/A ⊂ * M/A nên ( ( X ⊕ A)/A ) ∩ ( B/A) ≠ 0. Suy ra tồn tại x + a + A = b + A⇒x=b + a’ (a’∈ A ). Vô lý. Vậy X ∩ B ≠ 0⇒ B ⊂ * M.  8 v) Lấy 0 ≠ X ⊂ M. - Nếu f(X) = 0 ⇒ X ⊂ f -1 ( A) ⇒ (X ∩ f -1 ( A) ) = X ≠ 0. - Nếu f(X) ≠ 0. Vì A ⊂ * N ⇒A ∩ f( X ) ≠ 0. Do đó tồn tại a ≠ 0, a∈ A và a ∈ f( X ) ⇒ a = f(x) và x ∈ X, x ≠ 0. Suy ra x = f -1 (a) . ⇒ x∈f -1 ( A) ⇒ X ∩ f -1 ( A) ≠ 0. Vậy f -1 ( A) ⊂ * M.  vi) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn. Dùng quy nạp ta chỉ xét với n = 2. Ta có M = M 1 + M 2 , A 1 ⊂ * M 1 , A 2 ⊂ * M 2 , tồn tại A 1 ⊕ A 2 . Theo iii) ta có ( A 1 ∩ A 2 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) hay 0 ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) ⇒ M 1 ∩ M 2 = 0 Do đó tồn tại tổng M 1 ⊕ M 2 . Tiếp theo xét phép chiếu : ∏ 1 : M 1 ⊕ M 2 → M 1 ∏ 2 : M 1 ⊕ M 2 → M 2 Do A 1 ⊂ * M 1 ⇒ ∏ 1 -1 ( A 1 )⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) ( theo v) Nhưng ⇒∏ 1 -1 ( A 1 )= A 1 ⊕ M 2 ⇒ (A 1 ⊕ M 2 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) (1) Do A 2 ⊂ * M 2 ⇒ ∏ 2 -1 ( A 2 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) ⇒ (A 2 ⊕ M 1 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) (2) Lấy giao từng vế của (1) và )( 2) ta có: ⇒ (A 1 ⊕ M 2 )∩(A 2 ⊕ M 1 ) ⊂ (M 1 ∩ M 2 ) ⇒ ( A 1 ⊕ A 2 ) ⊂ * (M 1 ⊕ M 2 ) Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn. Lấy x ∈ M i ta có thể biểu diễn x = x i , với F hữu hạn thuộc I, theo trường hợp trên thì tồn tại i Fi M ∈ ⊕ v à sự biểu diễn đó là duy nhất. Tiếp theo lấy 0 ≠ X ⊂ i Ii M ∈ ⊕ ⇒ ∃ 0 ≠ x ∈ X; mà x ∈ i Fi M ∈ ⊕ , i Fi A ∈ ⊕ ⊂ * i Fi M ∈ ⊕ ( với F hữu hạn thuộc I ) ⇒ xR ∩ i Fi A ∈ ⊕ ≠0 ⇒X ∩ i Fi A ∈ ⊕ ≠0 ⇒ X ∩ i Ii A ∈ ⊕ ≠0 . 9 Vậy i Ii A ∈ ⊕ ⊂ * i Ii M ∈ ⊕ .  1.2.5 Định nghĩa. Cho M là R - môđun • Môđun A ⊂ M được gọi là đóng trong M nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M, tức là nếu : A ⊂ * B ⊂ M ⇒ A = B. • Môđun con X của M được gọi là bao đóng của U trong M nếu U ⊂ * X vµ X đóng trong M. 1.2.6 Mệnh đề. Bao đóng của một môđun con trong môđun M luôn tồn tại. 1.2.7 Hệ quả. i) Nếu A là môđun con đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của A cũng đóng trong M. ii) Nếu A là môđun con đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A cũng đóng trong M. iii) Nếu A là môđun con đóng trong X và X đóng trong M thì A môđun con đóng trong M. 10 . chứa môđun con đều. Vì vậy M chứa môđun con đều.  2.1.2.4 Mệnh đề. Cho môđun M khác không có tính chất mọi môđun con là chứa môđun đều. Thế thì tồn tại môđun. khác rỗng các môđun của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh. iv) Đối với môđun con A của M thì A