CS Môđun và chiều đều hữu hạn
3.5 Định lí Nếu vành R thỏa mãn tính chất (P’) : Mọi R môđun phải xiclic hoặc là CS môđun hoặc là tổng trực tiếp của một môđun Noether và một
hoặc là CS - môđun hoặc là tổng trực tiếp của một môđun Noether và một môđun xạ ảnh. Khi đó mọi R - môđun phải xiclic có chiều đều hữu hạn. Đặc biệt RR có chiều đều hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử L là R - môđun phải xiclic bất kỳ, gọi E là môđun con cốt
yếu trong L, ta có L/E là một môđun phải xiclic. Ta sẽ chứng minh L/E là CS- môđun. Giả sử L/E chứa môđun con xạ ảnh P.
Khi đó P = L’/ E trong đó E ⊂ L’ ⊂ L.
Vì E ⊂* L suy ra E ⊂* L’. Do L’ / E xạ ảnh nên dãy khớp
0 → E → L’ → L’/ E → 0 chẻ ra nên L’ ≅ E ⊕ ( L’/ E) ⇒ E ⊆⊕L’, do E ⊂* L’
⇒ E = L’ ( bởi vì giả sử L’ = E ⊕ E’, do E ⊂* L’ nếu E’ ≠ 0 ⇒ E ∩ E’ ≠ 0. Vô lý. Vậy E’ = 0 ⇒ E = L’). Từ đó P = L’/ E = 0, suy ra L/ E không thể là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Noether. Theo tính chất (P’) thì L/ E là CS - môđun, ∀ E ⊂* L
áp dụng bổ đề 3.4 với M = L/ E là môđun xiclic và với chú ý mỗi môđun th- ơng con của L/E có dạng N/T với E ⊂* T ⊂* N ⊂* L. Vì vậy T ⊂* N nên nh đã chứng minh ở trên thì N/T là CS - Môđun và vì vậy L/ E có chiều đều hữu hạn. Theo mệnh đề 2.2.7 ta có L/ Soc( L) có chiều đều hữu hạn (1).
Theo bổ đề 2.2.3 để chứng minh L có chiều đều hữu hạn ta sẽ chứng minh Soc(L) có chiều đều hữu hạn. Giả sử Soc(L) không có chiều đều hữu hạn. Bởi vì Soc(L) là tổng trực tiếp các môđun con đơn nên tồn tại các môđun con W và V là tổng trực tiếp vô hạn cấc môđun con đơn sao cho Soc(L) = W ⊕ V.
• Nếu L/W là CS - Môđun và xiclic, ta có V ≅ Soc(L)/W ⊂ L/W, nên L/W thỏa mãn điều kiện của mệnh đề 3.3 suy ra (L/W )/(Soc(L)/W) không có chiều đều hữu hạn. Mặt khác L/ Soc(L) ≅ (L/W )/(Soc(L)/W) suy ra L/ Soc(L) không có chiều đều hữu hạn. Mâu thuẫn với (1).
• Điều này chứng tỏ L/W không là CS - môđun, theo tính chất (P’) ta có L/W = P ⊕ N, trong đó P là xạ ảnh và N là Noether.
Khi đó tồn tại U mà W ⊂ U để N = U/W là Noether và (L/W) /(U/W) ≅ P, (L/W) /(U/W) ≅ L/U ⇒ (L/W) /(U/W) ≅ L/U ≅ P xạ ảnh.
Do đó có dãy khớp 0 → U → L → L/U → 0 chẻ ra nên L ≅ U ⊕ ( L/ U) ⇒ U⊆⊕
L và vỡ vậy L = U ⊕ P’. Trong đú P’ ≅ L/U ≅ P (2)
Vì W ⊂ U⇒ Soc( U) bằng tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con đơn. Mặt khác bởi bổ đề 2.2.8, U ≅ L/P’ xiclic và P’ ≅ L/U xiclic nên U ≠ Soc(U) (vì nếu U = Soc(U), U xiclic ⇒ U bằng tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con đơn. Mâu thuẫn với W ⊂ U).
Hơn nữa với phép nhúng :
(U/Soc(U)) ⊕(P/ Soc(P’)) → (U⊕P’)/(Soc(U)⊕ Soc(P’)) ( x+Soc(U), y+ Soc(P’)) |→ x+ y + ( Soc( U) ⊕ Soc(P’)) Nên ta có (U/Soc(U)) ⊕(P’/ Soc(P’)) ⊂ (U ⊕ P’/Soc(U))⊕ Soc(P’)
Ta thấy U/ Soc(U) ≠ 0 ( bởi U ≠Soc(U)), P’/ Soc(P’) ≠0 vỡ nếu Soc(P’) = P’, khi đú :
• Hoặc Soc(P’) vụ hạn ⇒ mõu thuẫn với bổ đề 2.2.8, vỡ P’ xiclic.
• Hoặc Soc(P’) hữu hạn ⇒ P’ Noether ⇒ L/U Noether ⇒ P Noether ( do (2)) suy ra L/W = P ⊕ N Noether. Vô lý vì V ≅ Soc( L)/W ⊂ L/W, mà V là tổng trực tiếp vô hạn các môđun con đơn ⇒ L/W chứa tổng trực tiếp vụ hạn cỏc mụđun con đơn ⇒ L/W khụng Noether. Vậy Soc(P’) ≠ P ⇒ P’/ Soc(P’) ≠ 0
Áp dụng lập luận trờn cho Soc(U) như Soc(L) ta thấy L/ Soc(L) chứa tổng trực tiếp vụ hạn cỏc mụđun con khỏc khụng :
L/ Soc(L) ⊃ (U/ Soc(U))⊕ (P/Soc(P’)) ⊃ (U1/ Soc(U1))⊕ (P/Soc(P1)) ⊃…
Điều này mõu thuẫn với L/Soc(L) cú chiều đều hữu hạn ⇒ Soc(L) cú chiều đều hữu hạn và vỡ vậy L cú chiều đều hữu hạn. Và định lý được chứng minh.
Kết Luận
Nụ̣i dung chính của luận văn là :
1. Trỡnh bày một cỏch cú hệ thống về mụđun con cốt yếu, mụđun con đều và một số tớnh chất của chỳng.
2. Trỡnh bày và chứng minh chi tiết tớnh bất biến của số hạng tử tổng trực tiếp hữu hạn cỏc mụđun con đều mà cốt yếu trong M để từ đú trỡnh bày định nghĩa chiều đều của mụđun. Từ đú chứng minh tường minh một số tớnh chất của chiều đều.
3. Chứng minh chi tiết một số kết quả của CS- mụđun với chiều đều hữu hạn.