Chiều trong hình học fractal

Mục lục Trang Mở đầu .1 Chơng I. Chiều trong hình học Fractal 3 1.1. Các kiến thức cơ sở .3 1.2. Độ đo và chiều Hausdorff .4 1.3. Chiều hộp 14 1.4. Chiều hộp cải biên 20 1.5. Độ đo gói và chiều gói 21 1.6. Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff, chiều hộp, chiều hộp cải biên và chiều gói 22 Chơng II. Một số ví dụ về việc tính chiều và ứng dụng của chiều .25 2.1. Một số ví dụ về việc tính chiều Hausdorff và chiều hộp 25 2.2. Một số ứng dụng của chiều Hausdorff trong toán học 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Lời mở đầu Chiều của một không gian hay một tập đợc định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, mỗi cách có một ý nghĩa và ứng dụng riêng. Tuy nhiên, các khái niệm về chiều đều cho kết quả chiều là số nguyên, không âm. Thế nhng vào những năm 1890, 1891 trong khi tìm kiếm các đặc trng bất biến của các đối t- ợng hình học qua các phép biến đổi đồng phôi và lý thuyết tôpô, Peano và Hilbert đã tìm ra đờng cong có tính chất đặc biệt là đờng không tự cắt, lấp đầy mọi miền hình học của mặt phẳng. Hình học Euclide xem nó là một chiều, nhng nh vậy cảm thấy không thoả đáng. Ngoài ra, đầu thế kỷ XX, ngời ta dẫn ra nhiều bài toán mà khi hiểu chiều theo nghĩa thông thờng sẽ gây cảm giác gò bó. Chính vì thế cần phải mở rộng khái niệm về chiều. Mặt khác, Hình học Euclide đã tồn tại rất lâu và có nhiều ứng dụng trong toán học và đời sống. Tuy nhiên, đối tợng nghiên cứu của nó là những hình dạng lý tởng, nhng những hiện tợng, sự vật trong thế giới thực không thoả mãn tính trơn tru, lý tởng mà là những đối tợng gồ ghề, kỳ dị. Vì thế, ngời ta kết luận Hình học Euclide là khô cứng và lạnh lẽo. Để giải quyết hiện tợng này, với sự hỗ trợ của máy tính, khoa học CHAOS và lý thuyết ngẫu nhiên, vào những năm 70 của thế kỷ XX, nhà Toán học B. Mandelbrot đã khởi xớng ra một hớng toán học mới mang tên Hình học Fractal. Những đối tợng đợc xem là Fractal có rất nhiều trong toán học cũng nh trong thực tiễn và việc nghiên cứu chúng đạt rất nhiều ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực. Điều đặc biệt là Hình học Fractal không dùng các công cụ nghiên cứu hình học thông thờng để nghiên cứu mà công cụ nghiên cứu nó là chiều. Chính nhờ sự nghiên cứu về chiều của các tập Fractal đã làm sáng tỏ các đặc điểm, các tính chất của chúng mà nhờ đó chúng ta phát hiện ra những ứng dụng phong phú của Hình học Fractal đối với hầu hết các lĩnh vực cả trong lý thuyết lẫn thực tiễn. Vì thế, việc tìm hiểu các khái niệm về chiều trong Hình học Fractal là vấn đề lý thú, mới mẻ và có ý nghĩa. Do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho khoá luận tốt nghiệp của mình là: 2 Chiều trong hình học Fractal. Mục đích của khoá luận này là nghiên cứu các khái niệm cơ bản về chiều trong Hình học Fractal nh chiều Hausdorff, chiều hộp, chiều gói .; làm rõ các tính chất và các công thức dùng để tính chiều. Trên cơ sở đó, chúng tôi đi tìm các ví dụ minh họa cho các khái niệm về chiều và tìm một số ứng dụng của chiều trong toán học. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự h- ớng dẫn của cô giáo TS. Vũ Thị Hồng Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo - ngời đã đặt vấn đề và dẫn dắt, giúp đỡ tận tình, chu đáo để tác giả hoàn thành khoá luận này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán cùng tất cả ngời thân và bạn bè đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt thời gian qua. Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong đợc quý thầy, cô giáo và bạn bè đóng góp ý kiến. Vinh, ngày 10 tháng 5 năm 2010 Tác giả Mai Thị Hà 3 CHƯƠNG 1. Chiều trong hình học fractal Trong chơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về độ đo và chiều Hausdorff; khái niệm chiều hộp, chiều gói; các tính chất cơ bản của độ đo Hausdorff và chiều. 1.1. Các kiến thức cơ sở 1.1.1. Định nghĩa. Cho X và C là lớp các tập con của .X Hàm * : à ĂC đợc gọi là hàm tập. Hàm tập à * : C Ă đợc gọi là độ đo ngoài trên C (hay trên X ) nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) * * ( ) 0, ; ( ) 0A A X à à = ; (ii) * * 1 ( ) ( ) i i A A à à = với 1 . i i A A = U (*) Điều kiện (*) đợc gọi là - dới cộng tính. 1.1.2. Định nghĩa. Cho X và A là một đại số các tập con của .X Hàm tập à : A + Ă đợc gọi là độ đo trên A (hay trên X ) nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) à (A) 0, A A ; à () = 0; (ii) Nếu { } 1 n n A = A và , i j A A i j = sao cho 1 n n A = U A thì 1 1 ( ) n n n n A A à à = = ữ = U . ` (**) Điều kiện (**) đợc gọi là - cộng tính. 1.1.3. Định nghĩa. Cho n D Ă , ánh xạ S : D D đợc gọi là phép co trên D nếu tồn tại c [0, 1) sao cho ( ) ( ) , ,S x S y c x y x y D . Nếu dấu đẳng thức xảy ra thì ánh xạ S : D D đợc gọi là phép đồng dạng trên D và c đợc gọi là tỷ số của phép đồng dạng. 1.1.4. Định nghĩa. Một họ hữu hạn phép co trên D đợc gọi là một hệ hàm lặp trên D. 4 1.1.5. Định nghĩa. Cho một tập đóng n D Ă và m ánh xạ co : ; 1, ., i S D D i m = . Một tập F D đợc gọi là tập bất biến đối với hệ hàm lặp { } 1 , ., m S S nếu 1 ( ) m i i F S F = = U . Nếu các i S là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F đợc gọi là tập tự đồng dạng. 1.1.6. Định nghĩa. Ta nói rằng hệ hàm lặp { } 1 , ., m S S thỏa mãn điều kiện tập mở nếu tồn tại tập V mở, không rỗng, giới nội sao cho 1 ( ) ( ) ( ) , . m i i i j V S V S V S V i j = = U 1.1.7. Định nghĩa. Giả sử , n U U Ă , khi đó { } sup : ,U x y x y U= đợc gọi là đờng kính của tập U ( x y đợc hiểu là khoảng cách thông thờng giữa x và y trên n Ă ). 1.1.8. Định nghĩa. Giả sử { } i U là một họ đếm đợc các tập con trong n Ă . Nếu 1 i i F U = U thì { } i U đợc gọi là một phủ của F. Nếu 0 i U < với mọi i thì khi đó { } i U đợc gọi là một - phủ của F. 1.2. Độ đo và chiều Hausdorff Cho tập F n Ă và s 0, với mỗi > 0 ta định nghĩa { } 1 ( ) inf :{ } s s i i i F U U = = là - phủ FH . Dễ dàng nhận thấy rằng nếu 0 < 1 < 2 thì mọi 1 - phủ F cũng là 2 - phủ F. Do đó 1 2 ( ) ( ) s s F F H H . Nh vậy, với s 0 cho trớc, hàm ( ) s F H tăng khi giảm. Dẫn đến tồn tại giới hạn của ( ) s F H khi 0 + (giới hạn này có thể hữu hạn hay bằng +). Do đó ta đi đến định nghĩa sau. 5 1.2.1. Định nghĩa. Với F n Ă và s 0, > 0 ta định nghĩa 0 ( ) lim ( ) s s F F + = H H . 1.2.2. Mệnh đề. Với mỗi s > 0 thì s H đợc xác định nh trên là một độ đo ngoài trên n Ă . Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra rằng ( ) : ns Ă ĂH P thỏa mãn điều kiện của định nghĩa độ đo ngoài trong đó ( ) n ĂP là lớp các tập con của n Ă . Thật vậy, (i) ( ) 0 s F H , F n Ă ; ( ) 0 s =H (dễ dàng kiểm tra đợc). (ii) Giả sử { } i E là - phủ của F và > 0. Với mỗi iƠ , theo tính chất của infimum thì luôn tồn tại { } ,i j U là - phủ i E sao cho , 1 ( ) 2 s s i i j i j E U = + H . Khi đó { } , , 1 i j i j U = là - phủ F. Do đó , 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 s s s i j i i i i j i i F U E E = = = = + = + H H H s . Do > 0 bé tùy ý nên 1 ( ) ( ) i s i F E = H H s . Cho 0 + ta đợc 1 ( ) ( ) i s i F E = H H s . Vậy s H là độ đo ngoài trên n Ă . Nhận thấy rằng họ các tập s H - đo đợc tạo thành - đại số. 1.2.3. Định nghĩa. Độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài s H trên lớp - đại số này đợc gọi là độ đo Hausdorff s - chiều trên n Ă và ký hiệu là s H . 1.2.4. Mệnh đề. Trong định nghĩa độ đo Hausdorff s - chiều ta có thể thay - phủ bất kỳ bởi - phủ gồm các tập mở ( - phủ gồm các tập đóng). Nếu F là tập compact thì thay phủ bất kỳ bằng phủ hữu hạn. Chứng minh. Với > 0, đặt ( ) inf :{ } s s i i F U U = i=1 là -phủ mở của FH . Ta chứng minh 0 ( ) lim ( ) ( ) s s s F F F + = =H H H với mọi F là s H - đo đợc. 6 Thật vậy, do mỗi - phủ mở của F cũng là - phủ của F nên lớp các - phủ mở hẹp hơn. Do đó ( ) ( ) s s F F H H . Cho 0 + ta đợc ( ) ( ) s s F FH H . (1) Ngợc lại, giả sử > 0 là số bé tùy ý cho trớc, tồn tại { } i U là - phủ F mà 1 ( ) s s i i U F = + H . Với mỗi iƠ , lấy tập mở i V thỏa mãn i V U i và V i (+1)U i bằng cách chọn : ( , ) 2 i i n i U V x d x U = <Ă . Khi đó x, y V i , luôn tồn tại , i a b U sao cho d(x, y) d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ( 1) ( 1) 2 2 i i i i U U U U + + = + + . Vậy nếu { } i U là - phủ F thì { } i V là ( + 1) - phủ mở của F. Ta có ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( 1) . ( 1) . 1 ( ) s ss s s s s s i i i i i i F V U U F = = = + = + + + H H . Cho 0 + ta đợc ( ) ( ) ( 1) ( ) s s s F F + +H H . Vì > 0 bé tùy ý nên ( ) ( ) s s F FH H . (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Thay phủ bất kỳ bởi phủ các tập đóng ta chứng minh tơng tự trên. Trong tr- ờng hợp nếu F là tập compact thì mọi phủ mở của F đều có thể trích đợc phủ con hữu hạn nên dễ dàng chứng minh đợc khi F compact thì có thể thay phủ bất kỳ bởi phủ hữu hạn. 1.2.5. Các tính chất cơ bản của độ đo Hausdorff 1.2.5.1. Mệnh đề. Nếu F n Ă và > 0 thì ( ) ( ) s s s F F =H H với mỗi s 0 và { } :F x x F = . Chứng minh. Với > 0 và s 0, nếu { } i U là - phủ F thì { } i U là - phủ F. Do đó 1 1 ( ) s s s s i i i i F U U = = = H . (3) 7 Mặt khác, theo định nghĩa infimum thì với mọi > 0 luôn tồn tại { } i U là - phủ F mà 1 ( ) s s i i U F = + H . (4) Từ (3) và (4) suy ra ( ) ( ) ( ) s s s F F +H H . Cho 0 + ta đợc ( ) ( ) ( ) s s s F F +H H . Do > 0 bé tùy ý nên ( ) ( ) s s s F F H H . (*) áp dụng kết quả này cho tập F và số 1 ta có 1 1 . ( ) s s s F F ữ ữ H H hay 1 ( ) ( ). s s s F F H H (**) Từ (*) và (**) ta có ( ) ( ) s s s F F =H H . 1.2.5.2. Mệnh đề. Cho F n Ă , : n f F Ă là ánh xạ Hửlder thỏa mãn ( ) ( )f x f y c x y , với c >0, > 0 là hằng số cho trớc. Khi đó, với mỗi s 0 ta có ( ) ( ) ( ) s s s f F c F H H . Chứng minh. Nếu { } i U là - phủ F thì ( ) i i f U c U c . Khi đó { } ( ) i f U là c - phủ của ( )f F . Ta có ( ) ( ) s s s s i i i f U c U c U = . Suy ra ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) s s s s s s s i i c i i f F f U c U c F = = H H . Cho 0 + ta đợc ( ) ( ) ( ) s s s f F c F H H . 1.2.5.3. Hệ quả. (i) Nếu = 1 thì f là ánh xạ Lipschitz, khiđó ( ) ( ) ( ) s s s f F c FH H . (ii) Nếu : n f F Ă là phép đẳng cự từ F lên f(F) nghĩa là ( ) ( )f x f y x y = với mọi ,x y F thì ( ) ( ) ( ) s s f F F=H H . Chứng minh. (i) Từ Mệnh đề 1.2.5.2 thay 1 = ta đợc ( ) ( ) ( ) s s s f F c FH H . (ii) Vì ( ) ( )f x f y x y = nên theo (i) ta có ( ) ( ) ( ) s s s f F c FH H . (*) 8 Mặt khác, vì f đẳng cự nên tồn tại 1 f và (*) có thể viết F thay bởi f(F) ta đợc ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) s s f f F f F H H . (**) Từ (*) và (**) suy ra ( ) ( ) ( ) s s f F F=H H . Nhận xét. Từ mệnh đề trên ta suy ra độ đo Hausdorff bất biến đối với phép dời hình. 1.2.6. Chiều Hausdorff Trong hình học Euclide, ta thờng gặp các đối tợng có chiều nguyên: bằng 0 (điểm); bằng 1 (đờng, đoạn thẳng); bằng 2 (mặt phẳng); bằng 3 (hình cầu, khối đa diện), . Một tính chất phổ biến của Hình học Fractal bên cạnh tính tự đồng dạng đó là có số chiều không phải là số nguyên, chẳng hạn là log2/log3, đến nỗi nói đến Fractal nhiều ngời chỉ nghĩ là tập hợp có số chiều không nguyên. 1.2.6.1. Bổ đề. Giả sử F n Ă , 0 < < 1 và 0 s t , ta có ( ) ( ) t t s s F F H H . Chứng minh. Giả sử { } i U là một - phủ F, khi đó U i . Suy ra 1 i U , nên với t > s thì t s i i U U ữ ữ ữ ữ với mọi i. Do đó 1 1 . t s t s i i i i U U = = . Lấy infimum hai vế ta đợc ( ) ( ) t t s s F F H H . Nhận xét. Từ Bổ đề 1.2.6.1, cho 0 + ta thấy rằng nếu ( ) s F < H thì ( ) 0, t F t s= >H . Vì vậy nếu tồn tại s [0, ) sao cho 0 ( ) s F < H thì tồn tại s F thỏa mãn { } 0 inf 0: ( ) 0 F t s t F s = > = = < H . Thật vậy, nếu { } inf 0: ( ) 0 F t s t F s= > = >H thì tồn tại s 1 : s F > s 1 > s mà 1 ( ) 0 s F =H trái với cách xác định s F . Nếu { } inf 0: ( ) 0 F t s t F s= > = <H thì tồn tại s 2 sao cho s F < s 2 < s mà 2 ( ) s F H =0. Vì s > s 2 mà 2 ( ) s FH 0= < nên theo Bổ đề 1.2.6.1 thì ( ) 0 s F =H (vô lý). 9 1.2.6.2. Mệnh đề. Với mọi F n Ă , s > 0 thì tồn tại duy nhất một giá trị thích hợp s F sao cho (i) ( ) 0 s F =H với mọi s > s F . (ii) ( ) s F = H với mọi s < s F (s > 0). Chứng minh. (i) Đặt { } .inf 0: ( ) F s s s F= > < H Nếu s > s F thì tồn tại s sao cho s F < s < s để 's H (F) < . Theo Bổ đề 1.2.6.1 ta có ( ) . ( ) s s s s F F H H . Cho 0 + ta đợc ( ) 0 s F =H . (ii) Ta chứng minh ( ) s F = H với s < s F . Thật vậy, nếu ( ) s F < H thì với mọi s' thoả mãn s < s' < s F , ta có ' ( ) 0 s F =H (mâu thuẫn với cách đặt s F ). Vậy ( ) s F = H với 0 F s s< < . 1.2.7. Định nghĩa. Giá trị đặc biệt s F mà tại đó hàm (giá trị) độ đo ( ) s FH nhảy từ + về 0 đợc gọi là chiều Hausdorff của F và ký hiệu là dim H F. Nhận xét. ( ) s F = H nếu s < dim H F; ( ) 0 s F =H nếu s > dim H F và s = dim H F thì ( ) s FH có thể bằng 0 hoặc hoặc 0 ( ) s F< < H . Nh vậy dim H F { } { } inf 0: ( ) 0 sup 0: ( ) s s s F s F= > = = > = H H . Với mỗi F và s 0 cho trớc mà ( ) s F < H thì đồ thị của hàm ( ) s FH có dạng sau: 1.2.7.1. Định nghĩa. Một tập Borel F n Ă thỏa mãn 0 ( ) s F< < H với s = dim H F đợc gọi là s - tập. 10 ( ) s F H s F s . 2 Chiều trong hình học Fractal. Mục đích của khoá luận này là nghiên cứu các khái niệm cơ bản về chiều trong Hình học Fractal nh chiều Hausdorff, chiều. phú của Hình học Fractal đối với hầu hết các lĩnh vực cả trong lý thuyết lẫn thực tiễn. Vì thế, việc tìm hiểu các khái niệm về chiều trong Hình học Fractal