Phép quy nạp trong hình học

Phép quy nạp trong hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN 

Mục lục

Nhận xét của giáo viên

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Lời nói đầu

Hai bài toán con nhỏ hơn này thường là :

P1: Là bài toán tương tự như bài toán đã cho, có giả thiết là trường hợp

đặc biệt của giả thiết của bài toán ban đầu, P1 thường được giải dễ dàng.

P2: Ta chứng minh sau 1 phép biến đổi (*) giả thiết của bài toán tương

tự như bài toán ban đầu thành một giả thiết khác, điều khẳng định vẫn còn đúng.

(Với điều kiện rằng sau 1 số lần hữu hạn thực hiện phép biến đổi (*)

như vậy đối với giả thiết của P1, ta thu được bài toán ban đầu, nhờ vậy bài toán ban đầu được chứng minh)

Lấy 1 ví dụ nhỏ Ta hãy chứng minh với một số n thuộc tập thì luôn

tồn tại một số A n có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 sao cho A n này chia hết cho 2n.

P1: n=1 Số cần tìm là 2.

P2: Ta chứng minh sau phép biến đổi giả thiết : Tăng n lên 1 đơn vị, bài

toán vẫn đúng (Sau 1 số lần hữu hạn tăng 1 đơn vị liên tiếp, ta có thể

"biến" số n=1 thành bất kì số nào trong tập N * và điều này dẫn đến bài toán đúng )

Hãy giả sử bài toán đã đúng với n=k, nghĩa là ta sẽ phải chứng minh bài toán cũng đúng với n=k+1.

Như vậy, rõ ràng Quy nạp có 1 sức mạnh tuyệt vời khi giải quyết

những bài toán chứng minh Ta thường xuyên gặp những bài toán mang tính chất đại số giải quyết bằng phương pháp quy nạp và trong phần lớn các tài liệu về phương pháp này, có rất ít tài liệu đề cập đến việc sử dụng phương pháp Quy nạp để giải quyết bài toán Hình Học Nhưng những ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý thú và hấp dẫn Phép quy nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích cả trong mặt phẳng và trong

không gian, ở hình học sơ cấp và hình học cao cấp Vì vậy đề tài Phép quy nạp trong hình học là một đề tài thiết thực khai thác vào một

phương pháp giải toán hình học mà chưa được nhắc tới nhiều.

Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi không đưa ra các khái niệm, định lý, tính chất mới mà chỉ trình bày các nội dung chính thuộc đề tài, các dạng bài tập, thí dụ minh họa và bài tập ứng dụng.

Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng với sự nổ lực của bản thân nhưng do trình độ hiểu biết có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong được sự góp ý của thầy giáo Ths Nguyễn Chiến Thắng và bạn đọc.

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Ths Nguyễn Chiến Thắng, Thư viện Đại học Vinh và toàn thể các bạn sinh viên lớp 49A Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này !

Người thực hiện

Nguyễn Huy Hùng

Mở đầu

I Lí do chọn đề tài

Phép quy nạp toán học được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và

lý thuyết số Nhưng những ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý thú Phép quy nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dung hình, quỹ tích Vì vậy

tôi chọn đề tài Phép quy nạp trong hình học.

Đề tài này giúp tôi hiểu sâu hơn một phương pháp giải hiệu quả trong

việc giải các bài toán hình học.

II Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là kiến thức quy nạp toán học vàphép quy nạp trong hình học

III Mục đích nghiên cứu

- Nguồn gốc và quá trình xuất hiện phép quy nạp toán học

- Ứng dụng của phép quy nạp trong hình học

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

- Là rõ được thế nào là phép quy nạp toán học

- Thể hiện được những ứng dụng của phép quy nạp trong hìnhhọc

- Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng

- Kiểm nghiệm được ý nghĩa của đề tài

V Giả thuyết khoa học

Phép quy nạp là một phương pháp toán học độc đáo được ứng dụng rấtnhiều trong đại số và lý thuyết số, việc nghiên cứu tìm hiểu các ứng dụng

của phép quy nạp trong hình học, sẽ giúp mở rộng các phương pháp giảibài toán trong hình học.

VI Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm cho một cáinhìn tổng quát nhất về nội dung phép quy nạp toán học, quy nạptrong hình học

- Phân tích và tổng hợp các dạng bài tập nhằm xây đựng đượcmột hệ thống bài tập với đầy đủ các dạng toán sử dung quy nạptrong hình học

Nội dung.

A Phép quy nạp toán học.

1 Nguồn gốc ra đời của phép quy nạp toán học

Khi ta tính một số trong tam giác Pat-xcan bằng cách áp dụng công

thức truy toán, ta phải dựa vào hai số đã tìm được ở cạnh đáy trên Cầnnghiên cứu một lược đồ tính toán không phụ thuộc vào những điều đãbiết sơ bộ Phép tính độc lập như vậy dựa vào công thức quen biết

đó ông đã suy nghĩ như thế nào (Có thể khi đầu mới chỉ là phỏng đoán –

ta thường phát hiện ra các quy luật nhờ quan sát lúc đầu, rồi sau thử kháiquát hóa các kết quả có được Tuy vậy, Pat-xcan đưa ra một cách chứngminh chính xuất sắc cho công thức tường minh của mình

Ta thấy có một nhận xét sơ bộ: Công thức tường minh dưới dạng đãviết không áp dụng được trong trường hợp r=0 Tuy vậy, ta quy ước rằngkhi r=0 thì theo định nghĩa C  n0 1

Còn trong trường hợp r=n thì công thức không mất ý nghĩa và ta có: ( 1) 2.1 1

1.2 ( 1)

n n

n n C





đó là một kết quả đúng Như vậy, ta chỉ cần chứng minh công thức chỉđối với 0 < r < n, tức là ở bên trong tam giác Pat-xcan, ở đó công thứctruy toán có thể chứng minh được.

Tiếp theo ta trích dẫn Pat-xcan với một số thay đổi không căn bản,một phần những thay đỏi đó ở giữa các dấu ngoặc vuông

Mặc dầu rằng mệnh đề đang xét (công thức tường minh đối với các hệ

số nhị thức) có trong vô số trường hợp riêng, ta có thể chứng minh nó một cách hoàn toàn ngắn gọn dựa trên hai bổ đề.

Bổ đề thứ nhất khẳng định rằng mệnh đề đó đúng với đáy thứ nhất – điều này là hiển nhiên [khi n=1 công thức tường minh đúng bởi vì trong trường hợp đó mọi giá trị có thể được của r, nghĩa là r=0, r=1, rơi vào điều đã nhận xét ở trên].

Bổ đề thứ hai khẳng định như sau: nếu mệnh đề của ta đúng với một đáy tùy ý [đối với giá trị n tùy ý] thì nó sẽ đúng cả với đáy tiếp theo của

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề thứ hai Theo cách phát biểu của

bổ đề đó, ta giả thiết rằng công thức của ta đúng với đáy thứ n, nghĩa làđối với giá trị tùy ý của n và với mọi giá trị có thể được của r (đối vớir=1,2,…,n) Đặc biệt, đồng thời với cách viết

( 1)( 2) ( 1)

1.2.3

r n

1 ( 1)( 2) ( 2)

r n

luận cơ bản và mới mẻ, và sau này ta gọi đó là Phép quy nạp toán học.

2 Kinh nghiệm và quan niệm.

Kinh nghiệm đưa đên sự thay đổi quan niệm của con người Chúng

ta học tập xuất phát từ kinh nghiệm, hay nói đúng hơn là chúng ta phảihọc tập từ kinh nghiệm Sử dụng kinh nghiệm một cách hiệu quả nhất, đó

là một trong những nhiệm vụ to lớn của con người , còn lao động để giảiquyết nhiệm vụ đó là chức năng chân chính của các nhà bác học

Nhà bác học, đúng với danh hiệu đó, cố gắng rút ra quan niệm đúngđắn nhất từ kinh nghiệm đã biết, và thu thập những kinh nghiệm thíchhợp nhất để xây dựng nên quan niệm đúng về một vấn đề đặt ra Phương

pháp nhờ đó nhà bác học xử lí với kinh nghiệm thường gọi là phép quy nạp.

Phép quy nạp thường được bắt đầu bằng sự quan sát Nhà khoa hoc tự

nhiên có thể quan sát cuộc sống của loài chim, nhà tinh thể học quan sáthình dạng của các tinh thể Nhà toán học, quan tâm tới lý thuyết số, quansát tính chất các số 1, 2, 3, 4, 5, …

Nếu muốn quan sát cuộc sống của loài chim để có thể đạt được nhữngkết quả lý thú, thì trong một chừng mực nào đó, bạn phải hiểu biết vềchim, phải thích chim và thậm chí là yêu chim Cũng như vậy, nếu bạnmuốn quan sát những con số thì bạn phải thích thú với chúng và trongmột chừng mực nào đó phải hiểu biết chúng Bạn phải biết phân biệt sốchẳn và số lẻ, phải biết các số chính phương và các số nguyên tố Ngaynhững kiến thức đơn giản nhất chúng ta cũng có thể nhận thấy một cái gìthú vị

Chẳng hạn ngẫu nhiên ta gặp các hệ thức:

3 + 7 = 10; 3 + 17 = 20; 13 + 17 =30;

Và ta nhận thấy giữa chúng có một vài chỗ giống nhau Chúng ta có thểnghĩ tới 3, 7, 13 và 17 là những số nguyên tố lẻ tổng của hai số nguyên

tố lẻ là những số chẳn (đó là điều tất nhiên); Thực vậy 10, 20, 30 là các

số chẵn Nhưng có thể nói gì về các số chẳn khác ? chúng có thể đượcbiểu diễn tương tự như vậy không?

Số chẳn đầu tiên bằng tổng của hai số nguyên tố lẻ dương là 6 = 3 + 3 Tìm tiếp ta thấy: 8 = 3 + 5

10= 3 + 7 = 5 + 5

12= 7 + 5

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 3 + 13 = 5 + 11

Và ta cứ tiếp tục tìm mãi chăng? Dù sao những trường hợp riêng đã

khảo sát cũng làm chúng ta nghĩ tới một điều khẳng định chung là : “Mọi

số chẵn lơn hơn 4 đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên

tố lẻ” Phân tích những trường hợp ngoại lệ các số 2 và 4 không thể là

tổng của hai số nguyên tố lẻ chúng ta có thể bằng lòng với điều khẳng

định ít trực tiếp hơn sau đây: Bất kỳ số chẵn nào không phải là số nguyên

tố và không phải là bình phương của một số nguyên tố, cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố lẻ.

Như thế chúng ta đã phát biểu một giả thuyết Chúng ta tìm thấy giả thuyết đó nhờ phép quy nạp Nói một cách khác giả thuyết đó nẩy sinh

trong chúng ta nhờ kết quả của sự quan sát và đã được chỉ ra bằng những

ví dụ riêng biệt

Những chỉ dẫn đó tương đối ít trọng lượng Chúng ta chỉ có những cơ

sở rất mong manh để tin vào giả thuyết của mình Tuy nhiên chúng ta cóthể tìm thấy một nguồn an ủi, ở chỗ là cách đây hơn 200 năm Goldbach,nhà toán học đầu tiên phát biểu giả thuyết đó, cũng không có cơ sở gìvững chắc hơn

Giả thuyết của Goldbach có đúng không? Ngày nay chưa ai có thể trảlời câu hỏi đó Mặc dù có một số nhà toán học vĩ đại đã có những cốgắng lớn nhằm làm sáng tỏ vấn đề, nhưng cho đến nay giả thuyết củaGoldbach, cũng như ở thời Euler vẫ là một trong “ nhiều tính chất củacác số mà chúng ta rất quen thuộc, nhưng chúng ta vẫn chưa chứng minhhay bác bỏ được”

Nhưng từ giả thuyết này chúng ta đã mô tả trong những nét tổng quátgiai đoạn đầu của quá trình quy nạp

4 Phương pháp quy nạp.

Trong cuộc sống có nhiều người thường bám chặt vào ảo tưởng, nóimột cách khác họ không giám nghiên cứu những khái niệm dễ dàng bịkinh nghiệm bác bỏ, vì họ ngại tinh thần mất cân bằng

Trong khoa học, chúng ta cần có một phương pháp khác hẳn đó là

Phương pháp quy nạp Phương pháp này có mục đích làm cho quan niệm

của chúng ta gần với kinh nghiệm ở mức độ có thể được Nó đòi hỏi sự

ưa thích nhất định đối với cái gì thực tế tồn tại Nó đòi hỏi chúng ta sẵnsàng từ những quan sát nâng lên trình độ khái quát, đồng thời sẵn sàng từ

sự khái quát rộng lớn nhất trở về với những quan sát cụ thể nhất Nó đòihỏi ta nói “có thể” và có “khả năng” với hàng nghìn mức độ khác nhau

Nó đòi hỏi nhiều điều khác và đặc biệt là ba điều sau đây:

- Một là chúng ta phải sẵn sang duyệt lại bất kì quan niệm nào củachúng ta

- Hai là chúng ta phải thay đổi quan niệm chỉ khi có lí do xác đáng

- Ba là chúng ta không được thay đổi quan niệm một cách tùy tiện,không có cơ sở đầy đủ

Những nguyên tắc ấy tưởng như tầm thường nhưng phải có những đứctính khác thường mới theo được

5 Phương pháp giải bằng quy nạp toán học.

Để chứng minh một mệnh đề Q(n) đúng với mọi n p  ta thực hiện 2bước theo thứ tự:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với n=p

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k (k p  ), ta phải chứng minhrằng mệnh đề đúng với n=k+1

B Phép quy nạp trong hình học

Phép quy nạp là một phép toán khá phổ biến và thông dụng, nó được

ứng dụng rất nhiều trong đại số, và lý thuyết số Phép quy nạp thườngđược sử dụng để chứng minh các tính chất và các định lý Có những bàitoán chỉ có thể dùng phép quy nạp mới có thể giải được Không chỉ trongđại số và lý thuyết số mà trong hình học, phép quy nạp cũng là mộtphương pháp độc đáo và lý thú không chỉ ứng dụng trong việc tính toáncác đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việcchứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích

cả trong mặt phẳng và trong không gian, ở hình học sơ cấp và hình họccao cấp

Bài toán mở đầu :Cho n là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 6.

Chứng minh rằng : luôn chia được một hình vuông thành n hình vuôngnhỏ (các hình vuông sau khi chia không nhất thiết phải bằng nhau)

Xuất phát từ 1 bài toán đơn giản nhất: chia 1 hình vuông thành 4 hìnhvuông nhỏ Ta có cách giải như sau :

P1: Bao gồm 3 bài toán cơ sở : n=6,7,8 (đã được giải trong hình) P2: Ta chứng minh nếu bài toán đúng với n=k thì nó cũng đúng với

n=k+3 Khá đơn giản, bằng cách chọn 1 hình vuông bất kì trong k hình

vuông đã có, chia nó làm 4 hình vuông nhỏ hơn và đó là điều phải chứngminh.

Nhận xét: Qua bài toán này, ta rút ra kết luận rằng P1 không nhất thiết chỉ là 1 bài toán, nó có thể là 2,3 bài hoặc nhiều hơn !

Để hiểu rõ hơn về các ứng dụng của phép quy nạp trong hình học ta đisâu vào hệ thống bài tập dành riêng cho mỗi loại toán hình học

I Phép quy nạp trong tính toán hình học.

Trong lý thuyết số và đại số, phép qui nạp toán học là một phươngpháp hiệu quả trong việc tính toán các giá trị đại số và các đại lượng toánhọc Trong hình học để giải các bài toán tính toán thì việc áp dụng phépqui nạp để thực hiện hoàn toàn có thể và nó có thể thực hiện một cáchchính xác

Bây giờ ta xét với n-giác A A A1 2 n.

Hình 1

(b) (a)

TH1: Các tia cắt đường biên trên cùng một cạnh của đa giác (Hình 2a),khi đó đường chéo AC chia n-giác thành một tam giác và một (n-1)-giác

TH2: Các tia cắt biên không trên cùng một cạnh của đa giác (Hình 2b).Khi đó một tring các tia sẽ đi qua đỉnh I nào đó của đa giác và đường

Q C

P

O

chéo AI sẽ chia đa giác thành hai đa giác có số cạnh ít hơn số cạnh của đa

giác ban đầu

Bây giờ ta chứng minh bài toán:

Trong n-giác A A A1 2 n ta vẽ đường chéo A A 1 k chia n-giác đó làm k-giác

( là tổng các góc trong của n-giác)

Như vậy mệnh đề đúng với mọi n

 Thí dụ 2

Giả sử rn và Rn là các bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của

đa giác đều 2n cạnh có chu vi p cho trước Chứng minh rằng rn 1  =

* Giả sử AB là cạnh của đa giác đều 2n

cạnh chi vi p, nội tiếp đường tròn tâm O;

C là trung điểm của cung AB; M và N

là trung điểm của các đoạn thẳng AC và

BC; P và Q là các giao điểm của AB và MN

nên MN là cạnh của đa giác đều 2n 1  chu vi p cho trước với tâm là O Rõ

Ta tính được: Cạnh của bát giác đều a8 R 2 2  R ,

Cạnh của 16-giác đều

Từ đó suy ra (1) đúng với mọi n.

Từ công thức (1), khi n tăng vô hạn chu vi đường tròn bán kính R(C=

2 R ) sẽ là giới hạn của biểu thức:

Khi các thừa số (các căn thức bậc hai) ở mẫu tăng lên vô hạn (Công thứcVieta *) Các thừa số được lập thành nhờ ba thừa số đầu (đã cho).

Bài toán 2: Trong một n-giác lồi, các đường chéo không bộ ba đường

nào đồng qui, chia nó làm bao nhiêu miền

Bài 3: Tìm qui tắc tính P(n) số cách chia một n-giác lồi ra làm các tam

giác bởi những đường chéo không cắt nhau

Hướng dẫn:

-Xét với tam giác ta có P(3)=1

- Với mọi k<n, Giả sử ta tính được P(k)

Cách lấy A A1 2 là cạnh của một trong

các tam giác được chia Khi đó đỉnh thứ 3

của tam giác này sẽ là một trong các điểm

Với tam giác thì số đường chéo có được là 0

Với Tứ giác thì số đường chéo có được là 1

B

(c) (b)

* Với k < n, giả sử ta biết được mỗi k-giác sẽ có k-3 đường chéo khôngcắt nhau chia k-giác đó thành các tam giác (không phụ thuộc vào việcchọn các đường chéo).

* Xét với n-giác A A A Từ lập luận tổng N đường chéo và n cạnh1 2 ncủa n-giác suy ra: 2N + n = 3(n-2)  N= n – 3

II Chứng minh định lí hình học bằng phép quy nạp.

Phép quy nạp là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất đểchứng minh các định lý các mệnh đề mà các phương pháp không thểchứng minh được Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số thí dụ và bài toánchứng minh định lý mệnh đề bằng phép quy nạp

Giải:

 Với n=1 khi đó OA1 rõ ràng O là duy nhất

 Giả sử bài toán trên đúng với n Tức là

Với n điểm A1, A2, … An và n số thực a1, a2,… an khi đó tồn tại

duy nhất điểm O’ sao cho

1 1

1

1 1

i i

n i i

O A

Vậy hợp thành của n phép tịnh tiến chính là phép tịnh tiến

Thí dụ 3: Cho đa giác lồi nội tiếp trong đường tròn Từ một đỉnh của đa

giác vẽ các đường chéo tạo thành các tam giác nội tiếp không chồng lên

nhau Trong mỗi tam giác vẽ đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng tổng

bán kính của tất cả các đường tròn này là một đại lượng không đổi và

không phụ thuộc vào cách chọn đỉnh của đa giác.

Giải Trước hết ta chứng minh bổ đề:

Bổ đề: Trong một tam giác ta có:

r = R( cosA + cosB + cosC –1 )Thật vậy:

) sin sin

(sin 4

sin sin sin 8 4

3

C B

A rR R

C B A R

S pr

R

abc

)sinsin

(sinsin

.sin

cos 2 cos 4 sin sin sinA B C A B C

sin2

sin2sin4coscos

suy ra r = R( cosA + cosB + cosC –1 )

Ta chứng minh bài toán trên:

a Với trường hợp đa giác là tam giác A1 A2 A3

Theo bổ đề ta có

r 1 = R( cosA 1 + cosA 2 + cosA 3 –1 )

mặt khác 3 đỉnh của tam giác chia đường tròn thành 3 cung

A7

Thật vậy: Không mất tính tổng quát, từ đỉnh A1 của (n+1) giác

A1A2…An+1 ta có cách chia như bài ra , khi đó theo giả thiết quy nạp ta có

với n-giác A1A2…An ta có:

2

cos2

cos

2 3

cos2

1

n n

n n

n

a a

a R

Rõ ràng với đa giác đã cho thì aị là không đổi, với số n cố định, bán

kính R không đổi, khi đó tổng các bán kính đường tròn nội tiếp là không

đổi với mọi cách chia

Thí dụ 4: Cho n hình vuông bất kỳ Chứng minh rằng có thể cắt chúng

(bằng nhát cắt thẳng) làm một số mảnh đa giác để từ đó có thể ghép lại

thành một hình vuông mới

Giải:

* Với n = 1 mệnh đề hiển nhiên Ta chứng minh với n = 2 mệnh đề cũngđúng Lần lượt gọi độ dài các cạnh của hai hình vuông cho trước ABCD

và abcd là x và y (xy ) Trên các cạnh của hình vuông ABCD (H.6a)

ta lấy các đoạn AM=BN=CP=DQ=

2

x y

Cắt hình vuông dọc theo các đường thẳng MP và NQ dễ thấy MP và

NQ vuông góc với nhau và chia hình vuông thành 4 mảnh bằng nhau tạitâm O của nó Bây giờ ta ghép các mảnh này với hình vuông thứ hai nhưtrong (H.6b) ta được một hình vuông vì tại M’, N’, P’, Q’ các góc bùnhau A B C D', ', ', '    là các góc vuông và A’B’=B’C’=C’D’=D’A’

* Giả sử mệnh mệnh đề được chứng minh với n hình vuông và ta cón+1 hình vuông K K1 , 2 , ,K K n, n1 Lấy hai hình bất kỳ chẳng hạn Kn và K1

n , nhờ cách lập luận ứng với n=1 ta có thể cắt một trong hai hình vuôngnày và ghép các mảnh với hình vuông thứ hai để có hình vuông mới K’

O

(b) (a)

1 1

2

1 2

D'

C' B'

A'

c d

b a

y

x N

C

B M A

Khi đó nhờ giả thiết quy nạp ta có thể cắt hình vuông K K1 , 2 , ,K n1 , 'K

để tạo nên một hình vuông mới từ những mảnh cắt này  đpcm

Bài tập ứng dụng:

Bài 1:

Cho tam giác ABC, trên BC lấy thứ tự các điểm M1, M2 , …, Mn-1,

Gọi: r, r1, r2,…, rn ; , 1, 2, …, n ; R, R1, R2 ,…, Rn, lần lượt là bánkính đường tròn nội tiếp , bàng tiếp góc A, ngoại tiếp các tam giác ABC,ABM1, AM1M2, AM2M3,…., AMn-1C Chứng minh rằng :

C tg

B tg

* Điều kiện cần hiển nhiên đúng

* Điều kiện đủ: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo tập lồi