Khai thác các bài toán hình học cơ bản trong sách giáo khoa

Khai thác các bài toán hình học cơ bản trong sách giáo khoa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỒNG THÁP

LỚP: ĐHSP TOÁN 08 - L2 - ĐHTV KHÓA ĐÀO TẠO: 2008 - 2010

CHUYÊN ĐỀ:

CƠ BẢN TRONG SÁCH GIÁO KHOA ’’

NGƯỜI THỰC HIỆN:

1 TRẦN HỮU NGHĨA

2 CAO THÀNH HIỆP

3 LÊ THỊ PHƯƠNG MINH

4 NGUYỄN TRÍ HỒNG HẠNH

5 LÊ THANH TRÚC

6.TRẦN THANH TUẤN

7 NGUYỄN VĂN THIỆN

8 NGUYỄN XUÂN PHI

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:

LÊ XUÂN TRƯỜNG

KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC CƠ BẢN

TRONG SÁCH GIÁO KHOA

Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học Đây là một hoạt động

mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên Từ những bài toán chuẩn kiến thức, giáo viên không dừng ở việc giải toán Việc khai thác một số bài toán hình học cơ bản trong SGK không những gớp phần rèn luyện tư duy cho HS khá giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ở nhiều đối tượng khác nhau

1 Khai thác bài toán bằng cách tìm thêm các cách giải khác.

ví dụ : Một bài toán SGK hình học lớp 8

Bài toán 1 Cho tứ giác ABCD Gọi E; F; G; H theo thứ tự là các trung điểm của các

cạnh AB BC CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

( Bài 48, trang 93 SGK 8 tập 1) Gợi ý cách giải : Có nhiều cách chứng minh một tứ giác là hình bình hành :

Cách 1 : Chứng minh tư giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau

Cách 2 : Chứng minh tư giác có các cạnh đối bằng nhau

Cách 3 : Chứng minh tư giác có các cạnh đối song song

Cách 4 : Chứng minh tư giác có các góc đối bằng nhau

Cách 5 : Chứng minh tư giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Tuy nhiên, giáo viên cĩ thể gợi ý dựa vào giả thiết để loại bớt một số cách chứng minh chưa phù hợp Ở bài này ta cĩ thể chứng minh bằng 2 cách :

Cách 1 : (h.a) Hướng dẫn chứng minh theo sơ đồ sau :

EFGH là hình bình hành

Tư ùgiác



              

EF // AC HG // AC



         EF 1AC HG 1AC



          

EF làđườngtrungbìnhcủa BAC  HG làđườngtrungbìnhcủa DAC 

Cách 2 (h.b) Hướng dẫn chứng minh theo sơ đồ :

EFGH là hình bình hành

Tư ùgiác



              

EF 1AC HG 1AC



          



          

Hình a

H

E

F

G A

B

C

D

Hình b

H

E

F

G A

B

C

D

2 Khai thác bài toán bằng cách xây dựng bài toán mới từ các bài toán ban đầu và bài toán tổng quát theo sơ đồ :

*) Ví dụ khai thác và phát triển một bài toán SGK hình học 8 : Khai thác bài toán 1, căn cứ vào giả thiết trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD, ta phát triển thành bài toán sau :

Bài toán1.1 : Cho tam giác

ABD, lấy điểm C nằm trong

tam giác Chứng minh rằng tứ

giác tạo ra từ các trung điểm

E, F, G, H của lần lượt các

đoạn thẳng AB, BC, CD, DA

là một hình bình hành (h.c)

Ngoài ra, căn cú vào cách giải 2, mấu chốt là dựa vào hai đường chéo của tứ giác ABCD, từ đó sau khi học đến bài “Hình chữ nhật”, ta có thể phát triển bài toán 1 thành bài toán sau :

Bài toán1.2 : Cho tứ giác ABCD có hai

đường chéo AC  BD Gọi Gọi E, F, G,

H theo thứ tự là các trung điểm của các

cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ

giác EFGH là hình chữ nhật (h.d)

Hình c

H

G

F E

A

B

D C

Bớt một số yếu tố (Khái quát hóa)

Lập bài toán tương tự Lập bài toán đảo Thêm một số yếu tố (Đặc biệt hóa)

Thay đổi một số yếu tố

_

Hình d

_

G

_

F _

E _

H

_

A _

D

Ta thấy trong hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau Từ đó ta phát triển thêm một bài toán cùng cấp với bài toán 1.2, như sau :

Bài toán1.3 : Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của hình thoi tạo thành

một hình chữ nhật

Lưu ý : Bài toán này phát triển được sau khi học đến bài “Hình thoi”

Bài toán 1.1 phát triển không những dựa vào quan hệ vuông góc của hai đường chéo, mà còn dựa vào điều kiện bằng nhau của chúng Từ đó ta có bài toán mới sau đây:

Bài toán1.4:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = BD Gọi E,

F, G, H theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi

(h.e)

Cũng như trên, trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau Từ đó ta có

thêm một bài toán cùng cấp với bài toán 1.4 :

Bài toán1.5 : Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của hình chữ nhật tạo

thành một hình thoi

Tiếp theo là bài toán khai thác thêm yếu tố của hai đường chéo là vừa vuông góc vừa bằng nhau, ta có bài toán mới :

Bài toán1.6:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = BD và AC  BD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Hình e

F E

D

B

Bài toán 2 (bài tập 39 trang 88 SGK TOÁN 8 tập1) :

a) Cho hai điểm A và B thuộc cùng một nửa mặt

phẳng có bờ là đường thẳng d (h.1) Gọi C là điểm

đối xứng với A qua d Gọi D là giao điểm của đường

thẳng d với đoạn thẳng BC Gọi E là điểm bất kỳ trên

đường thẳng d (E khác D) Chứng minh rằng :

AD + DB < AE + EB

b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đén vị trí B (h.1) Con đường ngắn nhất mà bạn Tú đi là con đường nào ?

Giải: a) Vì C là điểm đối xứng với A qua d nên d là đường trung trực của AC Mà D

nằm trên d suy ra AD = CD

Tương tự ta chứng minh được AE = CE (vì E nằm trên đường trung trực của

Mặt khác, tam giác CBE có CB < CE + EB, nên từ (1) và (2) suy ra :

AD + DB < AE + EB

b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đén vị trí B (h.1) Con đường ngắn nhất mà bạn Tú đi là con đường từ A đén D rồi đến B (theo kết quả câu a))

* Khai thác bài toán 2 : Mấu chốt bài giải bài toán 1 là dựa vào tính chất hai điểm

đối xứng nhau qua một đường thẳng, rồi thay tổng các đoạn thẳng bằng tổng hai cạnh của một tam giác, sau đó so sánh với cạnh còn lại

Sau khi học xong bài “Hình bình hành”, ta có thể phát

triển bài toán trên thành các bài toán sau :

Bài toán 2.1 : Trên một nữa mắt phẳng bờ là

đường thẳng a cho trước hai điểm A,B, trên a hãy

tìm hai điểm M,N (độ dài MN không đổi) sao cho

AM + MN + NB bé nhất (h.2)

a

Hình 2

A

B

_

d

_

H 1

_

D _

C

_ A

B

E

Hướng dẫn giải: Xác định điểm A’ đối xứng với

điểm A qua a Nối A’M Dựng NA’’ song song và

bằng với A’M (h.2) Khi đó độ dài A’’B không đổi

Nên AM + MN + NB = NA’’ + MN + NB

Mặt khác NA’’+ NB A’’B Tổng NA’’+ NB nhỏ

nhất khi N trùng với N’- giao điểm của A’’B với a,

khi đó M trùng với M’(h.3) Do đó AM + MN + NB

bé nhất khi N trùng với N’- giao điểm của A’’B với a

Bài toán 2.2 : cho hai đường thẳng a,

b song song với nhau và cách nhau một khoảng không đổi d Trên nữa mặt phẳng bờ

a không chứa b lấy một điểm A Trên

nữa mặt phẳng bờ b không chứa a lấy

một điểm B Hãy tìm trên a điểm M,

trên b điểm N (MN vuông góc với b)

sao cho

AM + MN + NB bé nhất (h.4)

Hướng dẫn giải : (H.5) ta có MN là khoảng cách d không đổi của hai đường thẳng

song song a và b , nên để AM + MN + NB bé nhất, ta chỉ tìm M (hoặc N) sao cho tổng AM + NB bé nhất Cách giải

tương tự như bài toán 2 Kẻ

MB’ // NB và MB’ = NB Ta có

AB’ có độ không đổi

Thay tổng AM + NB = AM + MB’

Ta có : AM + MB’  AB’ , khi

AM + MB’ nhỏ nhất khi M trùng

với M’ – giao điểm của AB’ với a

a

Hình 3 A''

A'

A

B

M' M N' N

a

b

Hình 5

N'

M'

B' M

N A

B

a

b

Hình 4

M

N A

B