Đây là tài liệu sưu tầm và tổng hợp các bài toán hình học về đường tròn lớp 9, cũng như các bài hình trong kì thi tuyển sinh lớp 10. (tiếp tuyến, đường tròn, tứ giác nội tiếp, phương sai, thẳng hàng, đồng quy) rất đa dạng
Trang 1Tập 2
Họ và tên : _
Lớp :
Trang 2Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi E, F là trực tâm tam giác ABO, ACO D là
chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC Chứng minh D, E, F thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AN Đường vuông góc với AN
tại N cắt AM , AB tại Q, P Đưởng vuông góc với AB tại P cắt AN tại K Chứng minh KQ vuông góc BC
Bài 3: Cho tam giác ABC ,I là tâm đường tròn nội tiếp.qua A,B,C dựng các đường thẳng
m,n,p.m cắt n tại C1.m cắt p tạí B1.Va n căt p tại A1.Goi M la điêm bất kỳ không thuộc AA1 ,BB1,CC1
CMR:tâm các đường tròn ngọai tiếp các tam giác MAA1,MBB1,MCC1 thẳng hang
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có BADˆ tù
Đường thẳng qua A vuông góc với AD,AB cắt CB,CD tại E,F
Chứng minh rằng O,E,F thẳng hang
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) MN là dây cung chuyển động nhưng độ dài không
đổi Chứng minh đường thẳng Simson của M và N với tam giác ABC hợp với nhau 1 góc không đổi
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH vẽ ra phía ngoài tam giác hai tia Ax,Ay tạo
với AB,AC hai góc nhọn bằng nhau gọi I và K là hình chiếu của B,C trên Ax,Ay M là trung điểm của BC cmr:
a> MI=MK
b>I,M,K,H cùng thuộc một đường tròn
Bài 7: Cho hình vuông ABCD.Giả sử E là trung điểm cạnh CD và F là một điểm ở bên
trong hình vuông.Xác định điểm Q thuộc cạnh AB sao cho AQEˆ=BQFˆ
Bài 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F ( CDF) cắt
(BCE) tại M AC cắt BD tại N CMR: M, N , O thẳng hàng
Bài 9: Cho tam giac ABC, điểm M tùy ý trên cạnh BC Vẽ trung trực BM, CM tương ứng
cắt AB ở P, Ac ở Q c/m rằng đường thẳng qua M, vuông góc với PQ đi qua K cố định
Trang 3Bài 10: Cho đường tròn (O) bán kính R A và B là hai điểm cố định trên đường tròn,
(AB<2R) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn
a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường tròn (O) tại N Gọi J là trung điểm của MN Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường trỏn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tam giác AMB lớn nhất
Bài 11: Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn Dựng qua I hai dây cung bất kì
MIN và EIF Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF
a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau Tìm
vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất
Bài 12: Cho tam giac ABC Tren tia AB, CB lay diem p va Q sao cho AP=CQ=p (p la nua
chu vi cua tam giac ABC) BK la duong kinh duong tron (O) ngoại tiếp tam giác ABC (O',r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC
a) C/m KO' vuong goc voi PQ
b) Gọi M là một điểm di động trên tia AB (M khac A va B) , N là điểm di động trên tia
AC sao cho AM+AN=AB=AC không đổi C/m trung điểm của MN luôn chay trên một đoạn thẳng cố định Tìm vị trí của M,N để MN min
c) Qua O' kẻ các đường thẳng song song voi cac cạnh của tam giác Mỗi đường thẳng này cắt hai cạnh còn lại của tam giác tao thành các đoạn thẳng MN, PQ, KL C/m:
MN2+PQ2+KL2≥16r2
Bài 13: Cho ABC, kẻ đường cao AH Nửa đường tròn đường kính MN tiếp xúc với
AB và AC ở C' và B' (MN thuộc BC)
CMR: AH, BB', CC' đồng quy
Bài 14: Cho ABC, Gọi (O1),(O2),(O3) lần lượt là các đường tròn bàng tiếp Aˆ,Bˆ,Cˆ
và các tiếp điểm tương ứng là A', B', C'
CMR: AA', BB', CC'đồng quy tại M ( gọi là điểm Naghen)
Bài 15: Cho △ABC,I la giao diem cac duong phan giac trong tam giac duong thang d
qua I cat tia BC va cac doan AC,AB lan luot tai D,E,F CMRP: BC.ID+AC.IE=AB.IF
Trang 4Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A góc BAC bằng 30 độ O là 1 điểm nằm trên đường
trung tuyến AD sao cho AO=OC Các đường BO,CO lần lượt cắt các đoạn AC,AB tại các điểm tương ứng E,F Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
BO,OF,BF,CE
1)Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp
2)Chứng minh tam giác MNQ đều
3)Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H,O,A thẳng hàng
Bài 17: (O) (O') {M,N} tiếp tuyến chung ngoài AB, cát tuyến CD qua M không
song song với AB AC cắt BD ở E, AN cắt CD ở P, BN cắt CD ở Q
CM EPQ cân
Bài 18: Cho tam giac ABC vuông ở A.trên tia AB lấy E trên tia AC lấy F sao cho
BE=CF=BC.trên đường tròn đường kính BC lấy điểmM.CMR:MA+MB+MC FE
Bài 19: Cho hình thang ABCD, trên hai đường chéo AC, BD lấy M, N sao cho góc
DMB bằng góc ANC Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp
Bài 20: Cho tứ giác ABCD.M di động trên đoạn AB 2 đường tròn (MAC),(MBD) giao
nhau M,N Tìm Quĩ tích N
Bài 21: Cho tam giác ABC.M thuộc tam giác,hạ MH,MI,MK vuông góc với
CB,AC,AB.đg thg qua A vuông góc với IK cắt dg thg qua C vuông góc IH tại O.Biết góc HIK=90 độ.CMR:O là trực tâm tam giác BHK
Bài 22: cho tam giác ABC có a<b<c.O thuộc tam giác.OA,OB,OC cắt các cạnh đối tại
M,N,P.Cm:
OM+ON+OP<a
Bài 23: Cho tứ giác ABCD có E là trung điểm AB,F là trung điểm CD,1 đường thẳng d
bất kì cắt AD,BC,AC,BD,EF tại M,N,P,Q,R.Cm:
MAMD+NBNC+PAPC+QBQD≥4RERF
Bài 24: Cho hình vuông ABCD.Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì.AM cắt CD tại N.2
Trang 5đường chéo hình vuông cắt nhau tại O.OM cắt BN tại P.CMR:CP vuông góc với BN.
Bài 25: cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn O.CM:ba đường thẳng nối các đỉnh
đối nhau đồng quy
Bài 26: Cho hai đường tròn ngoài nhau(O1) và (O2) cắt (O) tại 4 điểm.Gọi B,C là 2
trong 4 điểm đó sao cho B,C nằm về 1 phía với O1O2.Chứng minh rằng BC song song với một tiếp tuyến chung ngoài của (O1) và(O2)
Bài 27: Mở rộng định lý Napoléon
Cho hình lục giác ABCDEF có các cặp cạnh đối song song.phía ngoài dựng các tam giác đều trên mỗi cạnh.CM:Tâm đg tròn ngoại tiếp các tam giác đều tạo thành 1 hình lục giác
có các cặp cạnh đối song song
Bài 28: cho tam giác ABC,đg cao BE,CF.Hạ EM vuông góc AB,FN vuông góc
AC.CMR:MN song song với BC
Bài 29: Cho tam giác ABC.M Chuyển động trên cạnh BC.Vẽ hình bình hành MEAF với
E AB,F AC.Gọi N là điểm chia đoạn EF theo tỉ số 1/3.Tm giác ANK vuông cân tại N.Tìm tập hợp K
Bài 30: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB
(A,B là tiếp điểm ) và một đưởng thẳng qua M cắt đường tròn tại C và D Gọi I là trung điểm của CD Gọi E,F,K lần lượt là các giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO,MD,OI
1/Chứng mình rằng R2=OE.OM=OI.OK
2) Chứng minh rằng 5 điểm M,A,B,O,I cùng thuộc một đường tròn
3) Khi CAD nhỏ hơn cung CBD, chứng minh rằng DECˆ=2DBCˆ
Bài 31: Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PE,PF tới đường tròn
(E,F là hai tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai điểm A,B ( A nằm giữa P và B) và cắt EF tại Q
a) Khi cat tuyến đi qua O, Chứng minh : PAPB=QAQB(1)
b) đẳng thức (1) có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm O?
Hãy chứng minh điều đó
Trang 6Bài 32: Cho ABC nhọn M di động trên[BC] Đường tròn đường kính AM
cắt AB,AC ở P,Q Tiếp tuyến của nó tại P,Q cắt nhau ở T
Tìm quĩ tích T khi M di động
Bài 33: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M,N lần lượt nằm trên [AB],[CA] K là trung
điểm MN.d là trung trực [BC].(AMC) (ANB)={A,T}
C/m:AT đi qua O d đi qua K
Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH Gọi (O) là đường tròn ngoại
tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác
A.Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD = BE =BA Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 N
a) Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp một đường tròn
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với
nhau
Bài 35: Cho tam giác ABC có trực tâm H,M thuộc tam giác Đường thẳng qua H vuông
góc với AM cắt BC tại A' Đường thẳng qua H vuông góc với BM cắt CA tại B' Đường thẳng qua H vuông góc với CM cắt AB tại C',CMR:A',B',C' thẳng hang
Bài 36: Cho ABC (AB<AC) có đường cao AH HD và HE lần lượt với AB,AC.
DE cắt BC tại F AH cắt BE tại I IK AF, M là trung điểm BC
CMR: K,I,M thằng hàng
Bài 37: Xét hai đường tròn (O) và (I) tiếp xuc ngoài nhau tại T Môt đường thẳng tiếp
xúc với (I) tại X cắt (O) tại các điểm A và B.Gọi S là giao điểm thứ hai của (O) với XT Trên cung TS ko chứa A và B chọn môt điểm C Gọi CY là tiếp tuyến từ C đến (I) với Y thuộc (I) sao cho CY ko cắt ST.Gọi E là giao điểm của XY và SC c/m E là tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC
Bài 38: Cho (O) đường kính AB, trên cung AB lấy C,D sao cho cung AD>cung
AC.Trên cung AB còn lại lấy E, CE AD tại I,OI EB tại K
CM:KD vuông góc với CD
Trang 7Bài 39: Cho tam giác ABC với trọng tâm G và nội tiếp trong đường tròn bán kính R
Các đường trung tuyến AA' , BB' , CC ' kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại
A1,B1,C1 Chứng minh rằng :
3R≤1GA1+1GB1+1GC1≤3√(1AB+1BC+1CA)
Bài 40: C là một điểm nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn tâm O, khác A,B,O.
Hai tia vuông góc với nhau qua C cắt nửa đường tròn tại D,E Đường thẳng qua D vuông góc với DC cắt lại đường tròn tại K Chứng minh rằng nếu K không trùng E thì KE song song AB
Bài 41: Cho tam giác ABC,đg cao BB',CC'.
L,M,N là trung điểm C'B',BC',CB'
Đường thẳng qua M vuông góc với BL cắt đg thg qua N vuông góc với CL tại K
CMR:KB=KC
Bài 42: cho tam giác ABC có đường tròn (O) qua B và C cắt AB và AC lần lượt tại E và
F.Một đường tròn(T) tiếp xúc với AE, AF và tiếp xúc ngoài với cung EF của đưởn tròn (T) tại M.chứng minh phân giac' góc BMC đi qua tâm đưởng tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 43: cho tứ giác ABCD, kẻ 2 đường thẳng song song với AC 1 đường cắt AB và BC
lần lượt tại G và H,đường kia thì cắt CD và AD lần lượt tại E và F cm BD,GE và FH đồng quy
Bài 44:
1.ΔABCVẽ ra ngoài 2 ΔABE,ACF vuông cân tại A.M tđ BC CMR:MA⊥EF
2.ΔABCVẽ ra ngoài 3 ΔABE,ACF,BCK đều.G trọng tâm BCK CMR:GA⊥EF
Bài 45: Cho lục giác ABCDEF Các điểm M,N,P,Q,R,S lần lượt di chuyển trên các cạnh
AB,BC,CD,DE,EF,FA sao cho:
AMAB=BNBC=CPCD=DQDE=EREF=FSFA
Chứng minh rằng trọng tâm hai tam giác MPR và NQS luôn đối xứng nhau qua một điểm cố định
Bài 46: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi K là trung điểm đường cao
Trang 8Giả sử D là tiếp điểm của (I) với BC Đặt N là giao của DK và (I).
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với (I) tại N
Bài 47: Cho tam giác ABC.I là điểm bên trong tam giác ABC sao cho góc IBA bằng góc
ICA IM vuông góc với AB tại M,IN vuông góc với AC tại N.D là trung điểm BC.Cm tam giác DMN cân
Bài 48: Cho tam giác ABC nội tiếp đừơng tròn tâm O,điểm I nằm trong tam giác.Nối
AI,BI,CI cắt đường tròn tại các điểm A',B',C'.Nối B'C',C'A',A'B' cắt các cạnh của tam giác lần lượt ở M,N,P,Q,E,F
Chứng minh rằng:Nếu AM=AN,BP=BQ,CE=CF đồng thời thì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Bài 49: Trong mặt phẳng cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở A và B.Các tiếp
tuyến tại A và B cắt nhau ở K.M nằm trên (O1) ( A,B).AM cắt (O2) ở điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O1) ở điểm thứ hai C và đường thẳng AC cắt (O2) ở điểm thứ hai Q.CMR trung điểm PQ nằm trên đường thẳng MC
Bài 50: Cho ABC có góc A>góc B>góc C nội tiếp trong (O),ngoại tiếp (I).M là điểm
chính giữa cung nhỏ BC.N là trung điểm BC.E đối xứng với I qua N.ME cắt (O) tại
điểm thứ hai Q.CMR:BQ=AQ+CQ
Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại C Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AC ;BC
TAI E ;F thứ tự (D là là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB) Gọi M là giao điểm thứ 2 của BE với (O) AC và MF cắt nhau tại K; P là giao điểm của EF và BK
a) CM: B;M;F;P cùng thuộc 1 đường tròn
b) Giả sử D;M;P thẳng hàng Tính ∠BAC
c) Giả sử D;M;P thẳng hàng CM: CM vuông góc với đường nối tâm đường tròn ngoại tiếp 2 MEO;MFP
Bài 52: Cho hai đường tròn (01;R) và (02;r)cắt nhau tại A; B Từ điểm C trên tia đối của
tia AB vẽ các tiếp tuyên CD;CE với (01) D;E là các tiếp điểm ;E nằm trong đường tròn (02) AD;AE cắt (02) tại M;N CMR: DE cắt MN tại trung điểm của MN
Bài 53: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trong đường tròn Cát tuyến thay đổi qua A
Trang 9cắt đường tròn tại B và C Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P Tìm quĩ tích P.
Bài 54: Cho tam giác ABC Trực tâm H Kẻ AA', BB', CC' sao cho các tia phân giác của
các góc A'AH, B'BH, C'CH song song với nhau CMR các đường thằng AA', BB', CC' đồng qui tại 1 điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 55: cho hình bình hành ABC Trên BA và CD lấy M và K sao cho AM=CK Trên
AD lấy P tùy ý MK cắt PB và PC tại E và F
Chứng minhSPEF=SBME+SCKF
Bài 56: cho tư giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi I là giao điểm của AC
và BD.Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD Qua I ,dựng đường thẳng d bất kì cắt Đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD và đường tròn ngọai tiếp tứ giác ABCD lần lượt tại 4 điểm M ,N,P,Q.Chứng minh MN = PQ
Bài 57: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.MN là một đường kính di
động của đường tròn này.Gọi m là đường thẳng sim son được vẽ từ điểm M xuống các cạnh của tam giác ABC.Định nghĩa tương tự với đối với đường thẳng n(được vẽ bởi điểm N).Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng sim son m và n.Tìm quỹ tích của I
Bài 58: cho tam giác ABC ,I là tâm đường tròn nội tiếp.qua A,B,C dựng các đường thẳng
m,n,p đường thẳng m cắt n tại C1 đường thẳng m cắt p tạí B1 Và đường thẳng n cắt p tại A1 Gọi M là điểm bất kỳ không thuộc AA1 , BB1, CC1
CMR: tâm các đường tròn ngọai tiếp các tam giác MAA1, MBB1, MCC1 thẳng hàng
Bài 59: Chứng minh rằng: không thể phủ đươc 1 hình vuông cạnh là 5 bởi 3 hình vuông
có cạnh là 4
Bài 60 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=AC=10 Tam giác DEF vuông cân ở
D nội tiếp tam giác ABC (D thuộc AB, F thuộc AC, E thuộc BC)
Xác định vị trí của điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất
Bài 61 : Cho hình thang cân ABCD (AD song song BC) ngọai tiếp (O; 1 cm) và nội tiếp
(I) Gọi M là trung điểm cạnh AB, biết MI = 4 cm Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 62 :
Trang 101/Cho tam giác ABC cân tại A, Gọi E và F là các điểm lấy trên AB, AC sao cho trung điểm I của EF thuộc cạnh BC Chứng minh đường tròn ngọai tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm D cố định thuộc tia phân giác góc BAC
2/ Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Kẻ hai đường cao BB' và CC' C/m OA vuông góc B'C'
3/ Cho nửa (O) đường kính AB bằng 2R và bán kính OC vuông góc với AB Tìm điểm
M trên nửa đường tròn sao cho 2MA2=15MK2, trong đó, K là chân đường vuông góc hạ
từ M xuống OC
Bài 63: Các điểm D,E,F lần lượt chia 3 cạnh BC, CA, AB theo tỉ lệ 1:3 ( 3BD=BC)
Các đoạn AD, BE,CF tạo thàng một hình tam giác (nho nhỏ ở giữa hình tam giác lớn) Tính diện tích tam giác nhỏ phía trong (không phải là tam giác DEF đâu, mà là nối D (trên BC) với A,E (trên CA) với B,F (trên AB) với C)
Bài 64: Cho hai đường tròn tâm (O) và (Ó) cắt nhau ở A và B 1 điểm M chuyển động
trên (O), N chuyển động trên (Ó) cũng xuất phát từ A chuyển động cùng chiều kim đồng hồ.Ở một thời điểm tính theo chiều kim đồng hồ số đo cung AM bằng số đo cung AN a)CMR:M,N cách đều một điểm
b)Nếu M,N chuyển động ngược chiều nhau và giả thiết vẫn như vậy thì kết quả trên còn đúng không
Bài 65:
1/Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trên cạnh BC ( M khác B,C) Vẽ MD vuông góc
AB và ME vuông góc AC ( D thuộc AB, E thuộc AC).Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MDE max
2/Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';R') với R'>R, cắt nhau tại hai điểm A,B Tia OA cắt (O') tại C và tia O'A cắt đường tròn (O) tại D Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E So sánh BC và BE
3/Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường cao AH Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH của (O) lấy M bất kì khác A.Trên tiếp tuyến tại M của (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD=BE=BA.Đường thẳng BM cắt (O) tại điểm thứ