Phương pháp quy nạp trong hình học

Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học CHUYÊN ĐỀ QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC PHẦN THỨ NHẤT MỞ ĐẦU 1)Lý cho đề tài: Quy nạp toán học phương pháp chứng minh mạnh có nhều ứng dụng Học sinh làm quen với quy nạp toán học từ cấp trung học sở Tuy nhiên học quy nạp toán học ứng dụng rộng rãi phải lớp 10 học sinh chuyên Toán lớp 11 học sinh không chuyên Ta tìm thấy ứng dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh bất đẳng thức, vào chứng minh tính chia hết, vào tính tổng tổng hữu hạn Quy nạp ứng dụng rộng rãi vào nghiên cứu dãy số dãy đa thức Xét cho đâu có phụ thuộc theo số n  N ý tưởng quy nạp hữu Ứng dụng phương pháp quy nạp vào hình học theo cá nhân có lẽ ứng dụng tốt Nó không ứng dụng để tính toán hình học đơn mà áp dụng chứng minh định lý hình học , giải toán dựng hình, quỹ tích, hình học tổ hợp Tuy nhiên mức độ quan tâm chưa nhiều học sinh kể giáo viên Toán Điều minh chứng xuất tài liệu, toán viết phạm trù Và xuất thường toán hình học có độ khó định Theo khó quy nạp hình học có nhiều lý Có thể nguyên nhân mức độ va chạm với vấn đề so với mảng khác Thêm để dùng phương pháp quy nạp hình học cách có hiệu quả, đòi hỏi phải có tư mặt hình học, bên cạnh kỹ đọc hình, phân chia, lắp ghép hình quan trọng Chính điều tạo tâm lý e ngại cho học sinh tiếp xúc chúng Sau năm công tác trường Trung học phổ thông chuyên Hùng Vương , có điều kiện tiếp xúc với học sinh chuyên Toán, mạnh dạn viết đề tài nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp hiệu nghiên cứu toán hình học Bên cạnh trang bị Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học cho cá nhân tài liêụ riêng trình giảng dạy , bồi dưỡng Đó lý để định viết chuyên đề Quy nạp hình học 2) Nội dung nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nội dung hình học phẳng góc độ quy nạp Đây kết hợp đại số hình học, cho thấy tính thống hữu hai phân môn toán 2.1) Khách thể nghiên cứu Đề tài nghiên cứu khách thể học sinh trung học phổ chuyên, đối tượng chủ yếu lớp luyện thi đại học lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Quá trình giảng dạy lớp bồi dưỡng học sinh giỏi nên viết đề tài này, muốn giới thiệu em ứng dụng tốt phương pháp quy nạp mà em chưa để ý nhiều 2.2) Tác động thực + Hiện trạng : Học sinh học phương pháp quy nạp toán học, nhiên ví dụ minh họa toán em gặp thường góc độ đại số số học Còn góc độ hình học vấn đề mẻ Chính gặp toán hình học mà phát biểu theo kiểu đệ quy em thường lúng túng Tuy nhiên theo tham khảo tác giả toán dùng quy nạp hình học lại xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi + Cơ sở khoa học: Cơ sở khoa học kiến thức hình học phẳng, lượng giác phương pháp quy nạp toán học mà em học chương trình THCS, THPT Các kiến thức tảng lĩnh vực mà đề tài nghiên cứu + Cơ sở thực tiển: Cơ sở thực tiễn nội dung kiến thức học sinh gặp phải cần giải lớp luyện thi lớp bồi dưỡng học sinh giỏi 2.3) Những thuận lợi khó khăn thực đề tài + Thuận lợi: Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Được quan tâm đạo ban giám hiệu nhà trường Được động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy tổ trưởng thầy cô khác môn Toán, giới thiệu tài liệu tham khảo để chọn lọc ví dụ hay làm minh họa Được tạo điều kiện việc giảng dạy lớp luyện thi lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, qua học sinh có điều kiện tiếp xúc với kiến thức đề tài thường xuyên, đề tài có điều kiện áp dụng thực tế giảng dạy nhiều Mặt chung học sinh trường chuyên học sinh , giỏi nên việc em nắm bắt vấn đề tương đối nhanh chóng + Khó khăn: Các em để ý tới quy nạp đại số số học, hình học chưa tiếp xúc nhiều Vì triển khai em thường ngại Kiến thức tảng hình học phẳng em thường không tốt phân môn khác, tính trực quan sinh động lẫn tư trừu tượng cao môn Thời gian dành cho cho nội dung quy nạp chương trình hạn chế nên việc triển khai gặp phải nhiều khó khăn mặt thời gian Các tài liệu trước viết ứng dụng quy nạp hình học ít, kể nguồn internet nên việc sưu tầm, chọn lọc ví dụ minh họa điển hình gặp phải nhiều khó khăn, bế tắc, chí tưởng không thực 3) Phương pháp nghiên cứu đề tài Để nghiên cứu đề tài , tác giả phối hợp phương pháp: - Phương pháp tiếp cận vấn đề - Phương pháp phân tích , bình luận - Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa - Phương pháp chọn lọc 3.1) Phương pháp tiếp cận vấn đề Đề tài tác giả ấp ủ từ trước lâu, tác giả tham gia giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường phổ thông không chuyên Từ đến nay, tác giả tiếp Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học cận với nhiều khóa học trò, tiếp cần với nhiều đề thi học sinh giỏi , từ rút nhiều nội dung hơn, có đánh giá ngày toàn diện Đặc biệt năm tham gia giảng dạy bồi dưỡng trường chuyên, môi trường bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên ngiệp tỉnh, tác giả cố gắng thực hóa ý tưởng nhiều năm trước thành chuyên đề Qua phân tích giải đề thi, giúp tác giả có nhiều ví dụ dẫn chứng cho dạng tập mà đưa Từ đề tài có nội dung phong phú đa dạng Các nội dung ứng dụng khác trình bày theo dạng học § , nhằm tránh nặng nề không cần thiết cho học sinh Cuối có phần tập đề nghị để học sinh tự rèn luyện kiến thức kỹ cho 3.2) Phương pháp phân tích , bình luận Trước vào dạng , tác giả thường đưa phân tích vấn đề thường gặp dạng Khái quát phương pháp giải việc cần làm giải Học sinh bước đầu hình dung nội dung phương pháp giải tổng quát vấn đề gặp Qua ví dụ , tác giả thường có bình luận dạng tập đó, từ học sinh thấy rõ chất vấn đề gặp phải Thấy tính cụ thể tổng quát toán Qua bình luận tác giả muốn trao đổi với người đọc phương pháp giải, cách suy nghĩ tới lời giải Thấy tính tương tự hóa toán khác Một nắm chất, học sinh làm tập tương tự , sáng tạo toán khác từ toán gốc 3.3) Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa Đây phương pháp chủ đạo đề tài Nội dung đề tài phân chia thành nhiều dạng Toán, trình tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu từ thân rút Các dạng tập đưa mức độ trở lên, nên đòi hỏi nhiều trình suy luận tổng hợp lời giải Vì nội dung đề tài xuyên suốt vấn đề Toán học rộng , nên đòi Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học hỏi người viết phải có chuẩn bị lâu dài mặt thời gian ( ý tưởng hình thành), viết cần phải tổng hợp kiến thức lại thành chủ đề thống Các chủ đề khác hệ thống hóa theo bố cục chặt chẽ , nhằm làm toát lên tính ứng dụng phương pháp quy nạp vào hình học Đọc qua đề tài ta thấy vấn đề toán học đề cập tới giải góc độ quy nạp toán học Tác giả cố gắng tổng hợp vấn đề toán học có chất 3.4) Phương pháp chọn lọc Ứng dụng quy nạp nhiều tác giả chọn lọc ứng dụng mang tính rộng rãi hơn, phù hợp với trình độ học sinh, với nội dung chương trình mà em thường gặp ngày Các ứng dụng mang tính chuyên sâu mang nặng lý thuyết hàn lâm ứng dụng vào toán tô màu , ứng dụng vào xây dựng định nghĩa,quy nạp theo số chiều không gian không trình bày Các ví dụ đưa làm minh họa cho phương pháp chọn lọc kỹ, vừa cố gắng đảm bảo tính điển hình, vừa có mức kiến thức vừa phải, phù hợp với chương trình phổ thông 4) Mục đích nghiên cứu đề tài: Chọn đề Phương pháp quy nạp hình học để nghiên cứu với mục đích sau: - Chỉ ứng dụng quy nạp hình học - Muốn có đầu tư nhiều nội dung quy nạp hình học, nội dung mà thân cảm thấy vấp phải nhiều khó khăn trình giảng dạy Bằng việc nghiên cứu tìm tòi để viết nó, hi vọng trau dồi thêm kiến thức kỹ phương pháp quy nạp lĩnh vực hình học - Tạo cho tài liệu riêng theo cách hiểu mình, ngôn ngữ mình, phục vụ cho trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học - Có điều kiện để trao đổi, học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp gần xa - Đưa tới cho học sinh tài liệu tham khảo thân nghiên cứu, trình bày theo ngôn ngữ mình, giúp em trình bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi Đại học Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học 5) Nhiệm vụ việc nghiên cứu đề tài: - Thể ứng dụng phương pháp quy nạp hình học - Xây dựng hệ thống tập ứng dụng - Quá trình nghiên cứu đề tài để thân trau dồi thêm kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Cách thức thực đề tài khoa học Có điều kiện để trao đổi nhiều với thầy cô tổ Toán vấn đề Toán Quan trọng đưa tới cho học sinh số dạng tập mà em thường có điều kiện để va chạm - Đề tài mà tác giả thực với nhiệm vụ giúp học sinh cải tiến phương pháp học tập Biết quan tâm tới chất Toán học phát biểu Các em thấy mối liên quan chặt chẽ quy nạp hình học - Đề tài công bố, phải giúp học sinh nắm vững phương pháp quy nạp Thấy chất quy nạp lên từ điều tương tự có trước Đây kĩ quan trọng sống 6) Phạm vi nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu hoàn toàn lĩnh vực hình học khám phá tư tưởng quy nạp Các kỹ thuật chứng minh phân tích kỹ trình bày dạng học Thiết nghĩ cách trình bày tách bạch phương pháp, tránh nặng nề không cần thiết học sinh - Công cụ nghiên cứu hoàn toàn dùng hình học sơ cấp, chủ yếu nghiên cứu hình học phẳng PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG ĐỀ TÀI Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Trong phần ta nghiên cứu ứng dụng mang tính phổ biến quy nạp hình học Những ứng dụng theo chủ quan cá nhân quan trọng, đặc biệt dành cho đối tượng học sinh giỏi Do phạm vi đối hướng tới đề tài tượng nghiên cứu học sinh phổ thông nên ứng dụng cao dùng quy nạp để xây dựng định nghĩa, khái niệm, quy nạp theo số chiều không gian không xét đến §1 QUY NẠP TRONG ĐẾM SỐ MIỀN CỦA MẶT PHẲNG Ví dụ 1: Cho n đường tròn mặt phẳng, hai đường tròn cắt hai điểm phân biêt, ba đường tròn qua điểm Chứng minh n đường tròn chia mặt phẳng thành  n  n  1 miền Chứng minh: Đặt M n   n  n  1 số miền mặt phẳng chia n đường tròn thỏa mãn điều kiện Với n  ta có M  nên khẳng định Giả sử khẳng định tới n  k  Ta có k đường tròn chia mặt phẳng thành M k   k  k  1 miền ta phải chứng minh khẳng định với n  k  , nghĩa với k  đường tròn chia mặt phẳng thành M k 1    k  1 k miền Thật vậy, đường tròn thứ k  bị k đường tròn cắt 2k điểm bị chia thành 2k cung Mõi cung chia miền chứa thành hai miền Vì số miền mặt phẳng tăng lên k miền Nghĩa ta có M k 1  M k  2k Do M k 1   k  k  1  2k   k  k  1 Ta có khẳng định với n  * Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Ví dụ 2: Chứng minh tổng góc đa giác lồi n cạnh ( n  ) S n   n   1800 Chứng minh: Với n  khẳng định hiển nhiên Giả sử khẳng định với n  k  , tức ta có Sk   k   1800 (1) Ta cần chứng minh khẳng định với n  k  Tức phải chứng minh Sk 1   k  1 1800 (2) Thật vậy: Từ đa giác n đỉnh A1 A2 A3 An ta vẽ thêm đỉnh An 1 Nên ta tạo thêm tam giác An An 1 A1 , nên tổng số góc cộng thêm 1800 Điều có nghĩa S n 1  S n  1800   n  1800  1800   n  11800 Khẳng định chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi Cn  n  n  3 , n Chứng minh: Khẳng định với n  tứ giác có hai đường chéo Giả sử khẳng định với n  k  , tức Ck  k  k  3 Ta cần chứng minh khẳng định n  k  , có nghĩa phải chứng minh Ck 1   k  1 k   Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Thật Khi ta vẻ thêm đỉnh Ak 1 cạnh Ak A1 trở thành đường chéo Ngoài từ đỉnh Ak 1 ta kẻ tới k  đỉnh lại để tạo thành đường chéo Nên số đường chéo tạo thành ta thêm đỉnh Ak 1 k    k  Vậy ta có Ck 1  Ck  k   k  k  3  k  1 k   Khẳng định chứng minh  k 1  2 Ví dụ 4: Chứng minh n đường thẳng mặt phẳng sẻ chia mặt phẳng thành Mn  n  n  1  1, n  miền Chứng minh: Hiển nhiên khẳng định với n  Ta giả sử khẳng định với n  k  , tức M k  k  k  1  Ta cần chứng minh khẳng định với n  k  Điều có nghĩa k  đường thẳng chia mặt phẳng tối đa thành M k 1   k  1 k    Thật vậy, để chia mặt phẳng thành nhiều miền đường thẳng thứ k  phải cắt k đường thẳng k điểm phân biệt Khi đoạn thẳng tạo hai điểm phân biệt chia mặt phẳng làm hai miền với k điểm phân biệt cắt đường thảng làm k  phần.Vậy số miền mặt phẳng tạo k  Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học k  k  1  k  1 k      k  1   Do ta có M k 1  M k  k   2 Ví dụ 5: Trong đường tròn ta vẽ n dây cung, số giao điểm nằm đường tròn dây m ( ta quy định có p dây qua điểm số giao điểm p  ) Chứng minh hình tròn bị chia thành n  m  miền Chứng minh: Đặt Sn  n  m  (1) Khẳng định với n  với đường số gia điểm m  nên S1  Giả sử khẳng định với n  k  , tức với k đường có m giao điểm số miền Sk  k  m  Ta cần chứng minh với k  dây số miền Sk 1  k  m ' , m ' số giao điểm ứng với k  đường Thật Dây thứ k  cắt k dây nên số giao điểm tăng thêm m ' m Các giao điểm chia dây thứ k  thành m ' m  phần, nên số miền tăng lên m ' m  Do Sk 1  Sk  m ' m   k  m    m ' m  1  k  m ' Vậy khẳng định chứng minh Ví dụ 6: Cho đa giác lồi n cạnh Hỏi chia đa giác thành tam giác đường chéo không cắt Giải: Với n  số tam giác S    Với n  số tam giác S    Ta dự đoán S  n   n  2, n  10 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Phần ta chứng minh với đa giác lồi, số cạnh đường chéo lớn không vượt hai Giả sử tồn đa giác lồi có đường chéo lớn độ dài a số cạnh a có nhiều hai cạnh Ta chọn từ hai cạnh đỉnh chung chẳng hạn AB CD ( cạnh ba cạnh tam giác) Ta chứng minh tồn đường chéo có độ dài lớn a Thật ta có AC  BD  AB  CD  a  a , nên tồn hai đường chéo có độ dài lớn a Ví dụ 2: Chứng minh chia tam giác vuông cân thành tam giác vuông cân đôi không Giải: Xét tam giác ABC vuông cân A, có AB  AC  a Ta dựng tam giác sau Dựng ML//BC, LP  BC , MO  AC , ON  PL Nếu trình dẫn đến tam giác NOP vuông cân tam giác lại vuông cân Đặt AM  x  x   Ta cần tìm x tam giác NOP vuông cân Ta có ML  LO  x , MO  x , ON  x Ta cần phải có ON  OP Mà BL  a  x , LP  Như ta cần có a  x 2  a  3x  2 , OP  LP  OL   2x  x  a  x 2 x   a  3x  2 a Như ta cần chọn điểm M cạnh 7 AC cho AM  AC ta có kết cần tìm 31 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Ví dụ 3: Chứng minh ta chia đa giác lồi n cạnh  n   thành ngũ giác lồi Chứng minh: Với n  6, n  7, n  ta chia Bây ta chứng minh khẳng định quy nạp Giả sử khẳng định với n  k  Ta chứng minh khẳng định với n  k  Xét đa giác A1 A2 A3 Ak 3 Ta chia đa giác thành hai miền đường chéo A1 Ak Theo giả thiết quy nạp đa giác A1 A2 A3 Ak chia Còn đa giác Ak Ak 1 Ak  Ak 3 A1 ngũ giác lồi Theo nguyên lý quy nạp toán chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh ta chia tam giác thành n tam giác cân với n số tự nhiên lớn Chứng minh: Ta dùng tư tưởng quy nạp để chứng minh điều khẳng định Trước hết ta dùng hình vẽ trường hợp n  4, n  5, n  Ta giả sử khẳng định với n  Ta chứng minh khẳng định với n  k  Điều thực cách chia tam giác ban đầu thành n tam giác cân Bây n tam giác cân ta thực chia làm tam giác cân số tam giác cân tăng lên 32 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Chính tổng số tam giác cân ta có n  Bài tập đề nghị 1) Chứng minh chia tam giác thành 2n tam giác cân với n số tự nhiên lớn 2) Chứng minh chia tam giác thành n tam giác vuông với n số tự nhiên lớn 3) Chứng minh chia tam giác thành tam giác nhọn 4) Chứng minh không tồn hai điểm nằm hình vuông cho sau kẻ đoạn thẳng nối điểm với đỉnh hình vuông hình vuông chia làm phần có diện tích §7 QUY NẠP TRONG BÀI TOÁN DỰNG HÌNH VÀ QUỸ TÍCH Ví dụ1: Trong mặt phẳng cho 2n  điểm Hãy dựng  2n  1 - giác nhận 2n  điểm làm trung điểm cạnh Giải: Với n  ta có toán cấp quen thuộc :” dựng tam giác biết ba trung điểm ba cạnh”.Với n  k  Giả sử với 2k  điểm cho trước điểm thẳng hàng , ta dựng 2k  - giác thỏa mãn nhận 2k  điểm làm trung điểm 33 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Tiếp theo ta xét  2k  1  điểm tùy ý ba điểm thẳng hàng A1 , A2 , , A2 k 1 , A2 k  , A2 k 3 Giả sử điểm trung điểm cạnh B1 B2 , B2 B3 , , B2 k  B2 k 3 Khi ta có điểm A2 k 1 , A2 k  , A2 k 3 trung điểm cạnh B2 k 1 B2 k  , B2 k  B2 k 3 , , B2 k 3 B1 Ta gọi A trung điểm B1 B2 k 1 Rõ ràng tứ giác AA2 k 1 A2 k  A2 k 3 hình bình hành Theo giả thiết ta dựng đa giác B1 B2 B2 k 1 nhận 2k điểm Ai 1  i  2k  làm trung điểm A trung điểm B1 B2 k 1 Bây từ điểm B1 ta kẻ đường song song với cạnh AA2 k 1 cắt cạnh B2 k 1 A2 k 1 kéo dại B2 k  Từ B2 k 1 ta kẻ đường song song với đoạn AA2 k 3 cắt đoạn thẳng B1 A2 k 3 điểm B2 k 3 Ta dễ dàng chứng minh điểm B2 k  , B2 k 3 thỏa mãn điều kiện toán Ví dụ2: Cho trước n điểm phân biệt Tìm tập hợp điểm mặt phẳng thỏa mãn điều kiện tổng bình phương khoảng cách từ điểm tới n điểm cho bình phương số cho trước Giải: Bài toán khái quát lại thành “ Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức MA12  MA22   MAn2  k Với n  toán quen thuộc , tập hợp ta biết đường tròn Bằng cách lấy điểm I trung điểm đoạn thẳng A1 A2 Sử dụng công thức đường tủng tuyến ta tính MA12  MA22  2MI  2k  A1 A22 A1 A22  MI  2 Với n điểm cho giả sử ta tìm tập hợp đường tròn Xét hệ  n  1 điểm A1 , A2 , , An , An 1 Theo giả thiết quy nạp ta tìm điểm I thuộc đoạn An An 1 cho 34 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học AA MAn2  MAn21  MI  n n 1 Kết hợp với giả thiết quy nạp ta cần tìm điểm cho MA12  MA22   MAn21  MI  const Hệ có n điểm nên tập hợp điểm M đường tròn Cái điểm lưu ý bước quy nạp ta giả sử tập hợp đường tròn Bài tập đề nghị Cho n đoạn thẳng B1C1 , B2C2 , , BnCn đoạn thẳng nằm cạnh n - giác lồi A1 A2 An Tìm quỹ tích điểm M nằm đa giác cho tổng diện tích tam giác MB1C1 , MB2C2 , , MBnCn số §8 QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP Ý tưởng quy nạp tìm thấy toán hình học tổ hợp xuất đề thi học sinh giỏi Đó toán phát biểu thông qua việc cho n - điểm n - cạnh Lúc ta cần dùng kiến thức quy nạp để chứng minh tính đắn phát biểu theo số n Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n  , khẳng định sau đúng: Mỗi tứ giác nội tiếp chia thành n tứ giác mà tứ giác lại tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh: Ta chứng minh khẳng định với n  Giả sử A góc nhỏ tứ giác ABCD Từ A ta dựng tia hướng vào bên góc BAD Ta lấy tia điểm A1 Từ điểm ta kẻ đường song song với AB, AD cắt cạnh BC, CD tương ứng B1 , D1 ( ta lấy điểm A1 đảm bảo công việc 35 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học thực được) Trên cạnh AB, AD lấy điểm L, K cho  A1 LB   ABC ,  A1 KD   ADC Lúc hình thang A1 LBB1 , A1 KDD1 cân nên nội tiếp Còn hình thang A1 B1CD có góc góc hình thang ABCD nên nội tiếp Cuối hình thang AKA1 L có  ALA1   AKA1  1800  B   1800  D   1800 nên nội tiếp Khẳng định với n  Còn khẳng định n  sau chia thành hình thang cân hình thang cân chia thành nhều hình thang cân khác Vậy toán chứng minh Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho n điểm ( n  ) Ta gọi đường kính hệ điểm khoảng cách d lớn nối hai điểm hệ Chứng minh số lượng đường kính không vượt số n Chứng minh: Giả sử từ điểm A hệ ta có đường kính AB,AC,AD Khi rõ ràng B,C,D nằm đường tròn C1  A, d  Tất điểm lại hệ điểm nằm C1  A, d  Vì đoạn nối hai ba điểm B,C,D không vượt d nên chúng phải nằm cung có số đo không vượt 600 ( ta áp dụng tính chất góc đối diện cạnh lớn  mà có số đo lớn hơn) Không tổng quát ta giả sử C thuộc cung BD   600 sd BD Bây từ C ta vẽ đường tròn C2  C , d  Khi điểm cuối đường kính kẻ từ C nằm cung MN  C2  mà nằm bên đường tròn  C1  Nhưng 36 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học điểm cung MN ( ngoại trừ điểm A) cách điểm B,D khoảng nhỏ d Như CA đường kính xuất phát từ C Từ lập luận ta đưa khẳng định từ n điểm hệ tồn hai khả Hoặc tồn điểm hệ mà từ có không đường kính ( giống điểm C) Hoặc từ điểm xuất phát hai đường kính Ta chứng minh khẳng định quy nạp Với n  khẳng định Giả sử khẳng định với n  k  điểm Ta chứng minh với hệ gồm n  k  điểm Thật từ k  điểm giả sử tồn điểm chẳng hạn A1 mà từ không xuất phát đường kính có đường kính số đường kính hệ k  điểm nhiều hệ gồm A2 , A3 , , Ak 1 không đường Nên thao giả thiết quy nạp số đường kính hệ k  điểm không vượt k  đường kính Ngược lại từ điểm hệ tốn hai đường kính số đường kính hệ  k  1  k 1 Từ khẳng định chứng minh theo nguyên lý quy nạp Ví dụ 3: Trong mặt phẳng cho n  điểm, tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối hai điểm n điểm cho tạo số đường thẳng khác không nhỏ n Chứng minh: Hiển nhiên khẳng định với n  Gỉa sử khẳng định đến n  k  Ta phải chứng minh khẳng định với n  k  37 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học Ta nhận xét có k  điểm không nằm đường thẳng tồn đường thẳng chứa hai điểm ( toán Sylvester) Trở lại với toán giả sử ta có k  điểm đường thẳng qua hai điểm Ak Ak 1 chứa hai điểm mà Khi xảy hai khả  Nếu điểm A1 , A2 ,,, Ak nằm đường thẳng  điểm Ak 1 không thuộc  Khi từ điểm Ak 1 ta kẻ k đường thẳng khác tới điểm A1 , A2 ,,, Ak , với đường thẳng  ta có tất k  đường thẳng  Nếu điểm A1 , A2 ,,, Ak không năm đường thẳng , theo giả thiết quy nạp ta có không k đường thẳng qua điểm A1 , A2 ,,, Ak Theo giả sử tất đường thẳng đường trùng với đường qua Ak Ak 1 Như ta có không k  đường thẳng từ k  điểm Bài tập đề nghị 1) Bên hình vuông cạnh cho n điểm cho ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác có đỉnh điểm cho có diện tích S thỏa mãn bất đẳng thức S  n2 2) Bên hình vuông cạnh cho n điểm Chứng minh tồn tam giác có đỉnh điểm cho đỉnh hình vuông cho diện tích S thỏa mãn bất đẳng thức S   n  1 3) Trong mặt phẳng cho n điểm  n   , biết ba điểm thẳng hàng Chứng minh có Cn23 tứ giác lồi với đỉnh số điểm cho 38 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học 4) Trong mặt phẳng cho 100 điểm , ba điểm thẳng hàng Ta xét tất khả tạo thành tam giác điểm Chứng minh có nhiều 70% tam giác nói tam giác nhọn 39 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học PHẦN III - KẾT QUẢ Trên nội dung đề tài ”Quy nạp hình học ” Việc áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy thực theo phần Đề tài phát huy tốt lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Sau phần kết Sử dụng chương trình Bồi dưỡng học sinh giỏi: Chuyên đề tác giả năm sử dụng để dạy đội tuyển học sinh giỏi trường không chuyên bước đầu cho thấy có số kết Học sinh bồi dưỡng cảm thấy tự tin làm bai Các em biết sử dụng quy nạp làm công cụ để giải toán hình học phẳng, số học, đa thức, lượng giác Một số em đạt số giải cấp Tỉnh Họ tên học sinh Tên giải thưởng Bùi Văn Thanh Hào Khuyến khích HSG tỉnh Nguyễn Thị Mỹ Thu Lương Thế Vinh( giải II) Nguyễn Viết Xuân Lương Thế Vinh( giải II) Đỗ Thị Trang Lương Thế Vinh( giải II) Lại Thị Anh Thư Lương Thế Vinh( khuyến khích) Trần Thị Như Xuân Lương Thế Vinh ( giải III) Sau áp dụng chuyên đề vào giảng dạy bồi dưỡng, thân thấy học sinh biết áp dụng phương pháp quy nạp vào giải toán hình học Các em tự tin , linh động tình phát biểu rườm rà Biết nhìn chất vấn đề Dù cố gắng triển khai tới học sinh để em học sinh giỏi có điều kiện va chạm, nội dung kiến thức tương đối khó lạ nên đối tượng học sinh nắm bắt chưa nhiều Tuy , tác giả mạnh dạn viết đề tài giới thiệu với quý đồng nghiệp gần xa, phương thức trau dồi kiến thức, kĩ học hỏi kinh nghiệm lẫn Dù thân cố gắng tìm tòi, chắt lọc trình viết, lực kinh 40 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học nghiệm nhiều hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Mong thông cảm chia để đề tài hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn đồng nghiệp môn Toán , đặc biệt trao đổi thường xuyên từ thầy Nguyễn Văn Phi ( tổ trưởng tổ Toán chuyên Hùng Vương), thầy Trần Văn Trí có gợi ý thiết thực để giúp tác giả hoàn thành chuyên đề Xin cám ơn đạo sát từ phía ban giám hiệu trường THPT chuyên Hùng Vương để đề tài hoàn thành thời gian yêu cầu Thị xã Dĩ An , tháng năm 2015 Người viết đề tài NGUYỄN THÀNH NHÂN 41 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG 42 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC 43 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học TÀI LIỆU THAM KHẢO Trong chuyên đề có sử dụng số tài liệu tham khảo: Sáng tạo giải toán THPT ( NGYỄN HỮU ĐIỂN- NXBGD) 2) Phương pháp quy nạp toán học ( NGYỄN HỮU ĐIỂN- NXBGD) 3) Các toán hình học tổ hợp dùng cho THCS ( VŨ HỮU BÌNH- NXBGD ) 4) Chuyên đề BDHSG toán THPT CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP (PHAN HUY KHẢI- NXBGD) 5) Phép quy nạp hình học ( L.I LOGOVINA-I.M YAGLOM- KHỔNG XUÂN HIỀN dịch) 6) Báo Toán học tuổi trẻ ( NXBGD) 7) Nguồn internet 8) Chuyên đề Số phức ứng dụng ( NGUYỄN THÀNH NHÂN, SKKN năm học 2013-2014) 44 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương Sáng kiến kinh nghiệm , năm học 2014-2015 Chuyên đề Quy nạp hình học PHỤ LỤC STT NỘI DUNG TRANG Phần thứ nhất- Phần mở đầu Phần thứ hai - Nội dung đề tài §1 Quy nạp đếm số miền mặt phẳng §2 Quy nạp tính toán đại lượng hình học 13 §3 Quy nạp xây dựng dãy 18 §4 Quy nạp toán lặp 23 §5 Quy nạp nghiên cứu tính chất hệ điểm 30 §6 Quy nạp toán cắt, ghép hình 34 §7 Quy nạp toán dựng hình quỹ tích 37 §8 Quy nạp toán hình học tổ hợp 39 Kết 44 10 Tài liệu tham khảo 47 11 Phụ lục 48 45 Nguyễn Thành Nhân…… THPT Chuyên Hùng Vương- Tỉnh Bình Dương ... tác giả toán dùng quy nạp hình học lại xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi + Cơ sở khoa học: Cơ sở khoa học kiến thức hình học phẳng, lượng giác phương pháp quy nạp toán học mà em học chương trình... trạng : Học sinh học phương pháp quy nạp toán học, nhiên ví dụ minh họa toán em gặp thường góc độ đại số số học Còn góc độ hình học vấn đề mẻ Chính gặp toán hình học mà phát biểu theo kiểu đệ quy. .. học sinh cải tiến phương pháp học tập Biết quan tâm tới chất Toán học phát biểu Các em thấy mối liên quan chặt chẽ quy nạp hình học - Đề tài công bố, phải giúp học sinh nắm vững phương pháp quy