Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
831,5 KB
Nội dung
MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Bài toán tìmgiátrịlớngiátrịnhỏ dạng toán phổ biến, thường xuất đề thi tuyển sinh vào lớp 10, tốt nghiệp THPT, tuyển sinh đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏi, học sinh thường gặp không khó khăn giải loại toán Vì để giúp em học sinh tự tin làm tốt loại toán này, riêng Thầy cô giáo đồng nghiệp xem tài liệu tham khảo bổ ích, mạnh dạng đưa sốphươngpháptìmgiátrịlớngiátrịnhỏhàmsố mà áp dụng việc giảng dạy cho học sinh nhiều năm qua đạt kết tốt Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: + Định nghĩa giátrịlớn nhất, giátrịnhỏhàmsố (hoặc biểu thức) + Một số bất đẳng thức quen thuộc, tính chất bất đẳng thức + Một sốphươngpháp thường sử dụng để tìmgiátrịlớn nhất, giátrịnhỏhàmsố (hoặc biểu thức) + Ứng dụng phươngpháp vào việc giải số tập cụ thể - Phạm vi nghiên cứu: toàn kiến thức có liên quan lớp 10, lớp 11, lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp 2, cấp 3, ôn thi đại học, cao đẳng, THCN Phươngpháp nghiên cứu: Trên sở định nghĩa khái niệm mối liên hệ khái niệm với khái niệm khác có liên quan, đề tài phân tích, tổng hợp để đưa sốphươngpháp để giải vấn đề NỘI DUNG Chương I GIÁTRỊLỚNNHẤTVÀGIÁTRỊNHỎNHẤTCỦAHÀMSỐ 1.1 Định nghĩa giátrịlớn nhất, giátrịnhỏ nhất: Cho hàmsố y = f(x) xác định tập D ⊂ R Giátrị M gọi giátrịlớn (GTLN) hàmsố f(x) tập D nếu: f ( x) ≤ M ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M Giátrị m gọi giátrịnhỏ (GTNN) hàmsố f(x) tập D nếu: f ( x) ≥ m ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m Ta ký hiệu GTLN GTNN hàmsố f (x) lần lược là: M = max f ( x) x∈D m = max f ( x) x∈D * Đối với hàmbiểuthức nhiều biến ta có định nghĩa tương tự * Từ định nghĩa thông thường để tìm GTLN GTNN ta tiến hành bước sau: - Bước 1: lập bất đẳng thức dạng f ( x ) ≤ M f ( x ) ≥ m Với M, m số - Bước 2: Xét xem dấu đẳng thức sảy - Bước 3: kết luận Max theo yêu cầu Giátrịlớn nhất, giátrịnhỏhàmsố khoảng (a; b): giátrị cực đại hay giátrị cực tiểu hàmsố (a; b) Giátrịlớn nhất, giátrịnhỏhàmsố nửa khoảng, đoạn [a; b]: Lập bảng biến thiên hàm số, dựa vào bảng biến thiên ta suy kết cần tìm 1.2 Bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski: 1.2.1 Bất đẳng thức Côsi: Cho a, b hai số không âm, ta có bất đẳng thức: xãy a= b -2- a+b ≥ ab Dấu Tổng quát: với n số không âm, ta có bất đẳng thức a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an Dấu xãy khi: a1 = a2 = = an n 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Với bốn sốthực ta có: ac + bd ≤ a + b c + d Dấu xãy khi: a c = b d Tổng quát: Với hai sốthực (a1; a2;…; an) (b1; b2;…; bn) Ta có: (a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) Dấu xãy a1 a2 a = = = n b1 b2 bn Chú ý: ta phải thêm, bớt, tách nhóm, chia, nhân số hạng để đưa dạng áp dụng trực tiếp 1.3 Tam thức bậc hai: 1.3.1 Định nghĩa tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai biểuthức f ( x) = ax + bx + c Trong x ẩn, a, b, c hệ số a≠ Nghiệm tam thức nghiệm phương trình bậc hai f(x)=0 1.3.2 Định lý: ĐL1: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) ∆ = b − 4ac + Nếu ∆ < a f ( x) > ∀x ∈ R + Nếu ∆ = a f ( x) ≥ ∀x ∈ R f ( x) = ⇔ x = − b 2a + Nếu ∆ > f(x) có hai nghiệm x1 , x2 a f ( x) > ∀x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; + ∞) ; a f ( x) < ∀x ∈ ( x1 ; x2 ) ĐL2: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) sốthực α Nếu a f (α ) < f(x) có hai nghiệm x1 , x2 x1 < α < x2 1.3.3 Đồ thị hàmsố f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) : Dựa vào đồ thị ta có: b + Nếu a>0 f ( x) ≥ f − ÷∀x ∈ R 2a -3- b + Nếu a 0) , dấu xãy A=B=0 2.1.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểuthức P ( x, y ) = x + y − x + y + Phân tích: + Ta thấy: P ( x, y ) = x − x + y + y + = ( x − x + 1) + ( y + y + 1) + + Nên: P ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 1) + ≥ ∀x, y ∈ R x −1 = x = ⇔ Vậy: P = y + = y = −1 + Dấu “ =” sảy 3x + x + 10 Ví dụ 2: Tìm GTLN hàmsố : f ( x ) = x + 2x + Phân tích: 3x + x + 10 3( x + x + 2) + + f ( x) = = x + 2x + x2 + x + + f ( x) = + 4 =3+ ≤7 x + 2x + ( x + 1) + + Dấu “ =” Sảy x+1=0 hay x=-1 Vậy: maxf(x) = x=-1 Ví dụ 3: Cho x > Tìm x để biểuthức M = Phân tích: -5- x đạt giátrịlớn ( x + 2000) + Vì x > nên M = x → > M → max ⇔ ( x + 2000) M x + x.2000 + 20002 x − 2.2000 x + 20002 + 4.2000 x + = ( x + 2000) = = M x x x = ( x − 2000) + 8000 ≥ 8000 x + Dấu “=” sảy x = 2000 nên + Vậy maxM = = 8000 x=2000 M đạt x = 2000 8000 Ví dụ 4: Cho x + y + z = Tìm GTLN GTNN biểu thức: T = xy + yz + zx Phân tích: + Từ ( x + y + z ) ≥ ⇒ x + y + z + 2( xy + yz + zx ) ≥ Dấu xãy x+y+z=0 + Khi đó: + 2T ≥ ⇔ T ≥ − 1 ;z = − Dấu xãy khi: x = 0; y = 2 2 Vậy T = − ( x − y ) ≥ 2 2 + Ta có : ( y − z ) ≥ ⇒ 2( x + y + z ) ≥ 2( xy + yz + zx) ( z − x ) ≥ + Suy T ≤ Dấu sảy x = y = z = ± Vậy: maxT = x = y = z = ± 3 2.2 Phươngpháp đưa việc khảo sát tam thức bậc hai: 2.2.1 Phương pháp: - Biến đổi biểuthức đưa phương trình bậc hai : ax + bx + c = (a ≠ 0) - Áp dụng tính chất tam thức bậc hai: + Nếu phương trình có nghiệm ∆ = b − 4ac ≥ + Nếu ∆ ≤ af ( x ) ≥ ∀x -6- - Kết hợp với định nghĩa, đưa kết - Xét toán tìm GTLN GTNN hàmsố y = ax + bx + c với x ∈ R mx + nx + k * Áp dụng phươngpháp trên, ta có: + Biến đổi: y (mx + nx + k ) = ax + bx + c ⇔ (my − a ) x + (ny − b) x + ky − c = + Từ điều kiện có nghiệm phương trình ( ∆ ≥ ), ta suy y ≤ M y ≥ m ta tìm GTLN GTNN * Chú ý: Ta cần xét A = so sánh giátrị y hai trường hợp A ≠ A = Đồ thị hàmsố y = ax + bx + c = (a ≠ 0) parabol với đỉnh có tọa ∆ b ; − ÷ 2a 4a độ S − Nếu dùng ẩn phụ để đưa dạng bậc hai phải ý điều kiện kèm theo 2.1.2 Các ví dụ: x2 + Ví dụ 5: Tìm GTLN GTNN hàmsố y = x −x+2 + Tập xác định hàmsố R + Biến đổi đưa pt bậc hai ẩn x: y = x2 + ⇔ ( y − 1) x − yx + y − = (*) x −x+2 + Xét trường hợp: y -1 = ⇔ y = ta có x = -1 + Xét trường hợp: y -1 ≠ ⇔ y ≠ Phương trình (*) có nghiệm x nên ∆ ≥ hay y − 4( y − 1)(2 y − 3) ≥ ⇔ −7 y + 20 y − 12 ≥ ⇔ ≤ y≤2 + So sánh hai trường hợp ta có: Maxy = x =1 Miny = x=-3 Ví dụ 6: Tìm GTLN GTNN hàm số: y = sin x − sin x + + Đặt t = sinx Điều kiện t ∈ [ −1;1] , ta y = t2 – t + 4, tung độ đỉnh t = -7- ∈ [ −1;1] 15 + Suy Maxy = Max { y ( −1); y (1)} = y (−1) = Miny= ys= y ÷ = 2 Ví dụ 7: Tìm GTLN GTNN hàmsố y = + x + − x − (3 + x)(6 − x) 3 + x ≥ ⇔ −3 ≤ x ≤ 6 − x ≥ + Điều kiện + Đặt t = + x + − x > ⇒ t = + + x − x ≥ ⇒ t ≥ + Mặt khác: t = + x + − x ≤ = (BĐT BCS) t2 − 9 + Do f ( x ) = g (t ) = t − = − t + t + với ≤ t ≤ 2 2 t2 − 9 + g (t ) = t − = − t + t + parabol với đỉnh S có hoành độ t=1 2 ( ) < ≤ nên Minf =Ming= g = − ; Maxf =Maxg=g(3)=3 Ví dụ 8: Tìm GTLN GTNN hàmsố y = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) + Ta có y = ( x − x + 4)( x − x + 6) + Đặt t = x − x + = ( x − ) − 9 Ta có: t ≥ − 4 Miny=y(-1)=-1 x → +∞ y → +∞ nên không tồn giátrịlớn + Xét hàmsố y = f (t ) = t + 2t với t ≥ − Dựa vào bảng biến thiên ta 2.3 Phươngpháp tọa độ vectơ: 2.3.1 Phương pháp: - Chọn vectơ với tọa độ thích hợp - Áp dụng bất đẳng thức vectơ để đưa định nghĩa 2.3.2 Các ví dụ: Ví dụ 9: Cho x, y, z thỏa mãn 2x + 2y – z – = Tìm GTNN biểuthức P = (1 − x) + (2 − y ) + (3 − z ) + Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A(1; 2; 3) mặt phẳng (α ) có phương trình: 2x + 2y – z – = + Nếu M(x ; y ;z)∈ (α ) thì: AM = (1 − x ) + (2 − y ) + (3 − z ) -8- + Mà AM ≥ d ( A,(α )) = 2+ 4−3−9 + +1 = nên P= (1 − x) + (2 − y ) + (3 − z ) ≥ dấu “=” xãy M(x; y; z) chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (α ) + Vậy MinP=4 2.4 Phươngpháp dùng bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpsky-shwarz: * Phương pháp: - Áp dụng bất đẳng thức thích hợp, kết hợp với định nghĩa giátrịlớn nhất, giátrịnhỏ để đến kết cần tìm - GTLN hay GTNN đạt dấu xãy * Các ví dụ: Ví dụ 10: Tìm GTLN biểu thức: A= ab c − + bc a − + ca b − Với a ≥ 3; b ≥ 4; c ≥ abc + Thu gọn, ta có: A = + Phân tích: c−2 = c−2 a −3 b−4 + + c a b (c − 2).2 = (c − 2).2 2 + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm c-2 ta có: c−2 ≤ (c − 2) + c c−2 = Dấu “=” xãy c–2=2 ⇔ ⇒ ≤ 2 2 c 2 c=4 + Tương tự: a −3 ≤ Dấu “=” xãy a– 3= ⇔ a = a b−4 1 ≤ = Dấu “=” xãy b– 4= ⇔ b = b 4 + Vậy MaxA = 2 + + a=6; b=8; c=4 Ví dụ 11: Tìm GTNN hàmsố y = x + với x >0 x2 -9- + Phân tích: y = x + x= 1 = x + x + ≥ 3 x.x = Dấu “=” xãy x x x ⇔ x3 = ⇔ x = > Vậy Miny=3 x Ví dụ 12: Cho x, y, z >0 thỏa mãn điều kiện x +y +z = Tìm GTLN biểuthức Q= x y z + + x +1 y +1 z +1 + Từ bất đẳng thức quen thuộc: với a, b, c >0 ta có 1 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ ⇔ + + ≥ a b c a b c a +b+c + Biến đổi Q = ≤ 3− x +1−1 y +1−1 z +1−1 1 + + = 3−( + + ) x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 9 = − = Dấu “=” xãy x = y = z = x +1+ y +1+ z +1 4 + Vậy MaxQ = Ví dụ 13: Cho x,y z thỏa điều kiện x + y + z = Tìm GTLN GTNN biểuthức P=x+y+z+xy+yz+zx + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski – swharz ta có : x + y + z ≤ 3( x + y + z ) = xy + yz + zx ≤ x + y + z x + y + z = x + y + z = 1 + Suy P ≤ + Dấu “=” xãy x=y=z= Vậy MaxP= + + Mặt khác: ( x + y + z ) = x + y + z + 2( xy + yz + zx) = + 2( xy + yz + zx ) ( x + y + z ) − ( x + y + z + 1)2 − + Suy P = x + y + z + = ≥ −1 2 Dấu “=” xãy x=-1; y= 0; z= Vậy MinP=-1 Ví dụ 14: Cho ba góc a, b, c cho a+b+c= π Tìm GTLN biểuthức : T = tga.tgb + + tgb.tgc + + tgatgc + - 10 - + Ta có a + b = π − c ⇒ tan(a + b) = cot c hay tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc= + Khi đó: T = tan a.tan b + + tan b.tan c + + tan a.tan c + ≤ tan a.tan b + tan b.tan c + tan a.tan c + = + = Dấu “=” xãy a = b = c = π Vậy MaxT= 2.5 Phươngpháp đạo hàm: 2.5.1 Phương pháp: - Lập bảng biến thiên hàmsố - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận 2.5.2 Các ví dụ: Ví dụ 15: Tìm GTNN hàmsố f ( x ) = + khoảng ( 0;1) 1− x x x2 + x − − = + Ta có f '( x ) = ; f '( x ) = ⇔ x = −1 ± (1 − x) x x (1 − x) + Bảng biến thiên: x -1+ f'(x) - + f(x) 3+2 + Vậy Minf ( x ) = + 0< x