Phép quy nạp trong hình hoc

Phép quy nạp trong hình hoc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN ---- Đề tài: PHÉP QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC Giáo viên hướng dẫn : Ths. Nguyễn Chiến Thắng Sinh viên thực hiện : Nguyễn Huy Hùng MSSV : 0851007961 Lớp : 49A Toán Vinh - 2011 Mục lục 2 Nhận xét của giáo viên …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 3 Lời nói đầu Phép quy nạp được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và lý thuyết số. Và phép quy nạp được coi là 1 tuyệt chiêu trong toán học. Nó là một trong những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Quy nạp thường được dùng trong việc chứng minh một khẳng định nào đó. Nhìn chung, giải bài toán theo phương pháp quy nạp nghĩa là đưa bài toán này thành 2 bài toán con nhỏ hơn để giải quyết. Hai bài toán con nhỏ hơn này thường là : P1: Là bài toán tương tự như bài toán đã cho, có giả thiết là trường hợp đặc biệt của giả thiết của bài toán ban đầu, P1 thường được giải dễ dàng. P2: Ta chứng minh sau 1 phép biến đổi (*) giả thiết của bài toán tương tự như bài toán ban đầu thành một giả thiết khác, điều khẳng định vẫn còn đúng. (Với điều kiện rằng sau 1 số lần hữu hạn thực hiện phép biến đổi (*) như vậy đối với giả thiết của P1, ta thu được bài toán ban đầu, nhờ vậy bài toán ban đầu được chứng minh) Lấy 1 ví dụ nhỏ. Ta hãy chứng minh với một số n thuộc tập thì luôn tồn tại một số n A có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 sao cho n A này chia hết cho 2 n . P1: n=1. Số cần tìm là 2. P2: Ta chứng minh sau phép biến đổi giả thiết : Tăng n lên 1 đơn vị, bài toán vẫn đúng (Sau 1 số lần hữu hạn tăng 1 đơn vị liên tiếp, ta có thể "biến" số n=1 thành bất kì số nào trong tập N * và điều này dẫn đến bài toán đúng ) Hãy giả sử bài toán đã đúng với n=k, nghĩa là ta sẽ phải chứng minh bài toán cũng đúng với n=k+1. Ta có : k A = k 2 .q Nếu q lẻ ta sẽ chọn k 1 A + = k 1A , Nếu q chẵn thì chọn k 1 A + = k 2A . 4 Dễ nhận thấy (cần phải chứng minh, nhưng khá đơn giản) số k 1 A + chỉ gồm các chữ số 1,2 và nó chia hết cho k 1 2 + Như vậy, rõ ràng Quy nạp có 1 sức mạnh tuyệt vời khi giải quyết những bài toán chứng minh. Ta thường xuyên gặp những bài toán mang tính chất đại số giải quyết bằng phương pháp quy nạp và trong phần lớn các tài liệu về phương pháp này, có rất ít tài liệu đề cập đến việc sử dụng phương pháp Quy nạp để giải quyết bài toán Hình Học. Nhưng những ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý thú và hấp dẫn. Phép quy nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích cả trong mặt phẳng và trong không gian, ở hình học sơ cấp và hình học cao cấp. Vì vậy đề tài Phép quy nạp trong hình học là một đề tài thiết thực khai thác vào một phương pháp giải toán hình học mà chưa được nhắc tới nhiều. Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi không đưa ra các khái niệm, định lý, tính chất mới mà chỉ trình bày các nội dung chính thuộc đề tài, các dạng bài tập, thí dụ minh họa và bài tập ứng dụng. Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng với sự nổ lực của bản thân nhưng do trình độ hiểu biết có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự góp ý của thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến Thắng và bạn đọc. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến Thắng, Thư viện Đại học Vinh và toàn thể các bạn sinh viên lớp 49A Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này ! Người thực hiện Nguyễn Huy Hùng 5 Mở đầu I. Lí do chọn đề tài. Phép quy nạp toán học được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và lý thuyết số. Nhưng những ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý thú. Phép quy nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dung hình, quỹ tích. Vì vậy tôi chọn đề tài Phép quy nạp trong hình học. Đề tài này giúp tôi hiểu sâu hơn một phương pháp giải hiệu quả trong việc giải các bài toán hình học. II. Đối tượng nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu của đề tài là kiến thức quy nạp toán học và phép quy nạp trong hình học. III. Mục đích nghiên cứu. - Nguồn gốc và quá trình xuất hiện phép quy nạp toán học - Ứng dụng của phép quy nạp trong hình học. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Là rõ được thế nào là phép quy nạp toán học - Thể hiện được những ứng dụng của phép quy nạp trong hình học. - Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng. - Kiểm nghiệm được ý nghĩa của đề tài. V. Giả thuyết khoa học. 6 Phép quy nạp là một phương pháp toán học độc đáo được ứng dụng rất nhiều trong đại số và lý thuyết số, việc nghiên cứu tìm hiểu các ứng dụng của phép quy nạp trong hình học, sẽ giúp mở rộng các phương pháp giải bài toán trong hình học. VI. Phương pháp nghiên cứu. - Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm cho một cái nhìn tổng quát nhất về nội dung phép quy nạp toán học, quy nạp trong hình học. - Phân tích và tổng hợp các dạng bài tập nhằm xây đựng được một hệ thống bài tập với đầy đủ các dạng toán sử dung quy nạp trong hình học. 7 Nội dung. A. Phép quy nạp toán học. 1. Nguồn gốc ra đời của phép quy nạp toán học. Khi ta tính một số trong tam giác Pat-xcan bằng cách áp dụng công thức truy toán, ta phải dựa vào hai số đã tìm được ở cạnh đáy trên. Cần nghiên cứu một lược đồ tính toán không phụ thuộc vào những điều đã biết sơ bộ. Phép tính độc lập như vậy dựa vào công thức quen biết. ( 1)( 2) .( 1) 1.2.3 . r n n n n n r C r − − − + = Mà ta sẽ gọi là công thức tường minh để tính các hệ số của nhị thức r n C . Công thức tường minh đó có trong công trình của Pat-xcan ( trong đó nó được diễn đạt bằng lời chứ không phải bằng các kí hiệu hiện đại). Pat- xcan không cho biết ông đã làm như thế nào để rút ra công thức đó và chúng ta sẽ không phải bận tâm đến một điều là trước khi đến công thức đó ông đã suy nghĩ như thế nào (Có thể khi đầu mới chỉ là phỏng đoán – ta thường phát hiện ra các quy luật nhờ quan sát lúc đầu, rồi sau thử khái quát hóa các kết quả có được. Tuy vậy, Pat-xcan đưa ra một cách chứng minh chính xuất sắc cho công thức tường minh của mình. Ta thấy có một nhận xét sơ bộ: Công thức tường minh dưới dạng đã viết không áp dụng được trong trường hợp r=0. Tuy vậy, ta quy ước rằng khi r=0 thì theo định nghĩa 0 1 n C = Còn trong trường hợp r=n thì công thức không mất ý nghĩa và ta có: ( 1) .2.1 1 1.2 ( 1) n n n n C n n − = = − 8 đó là một kết quả đúng. Như vậy, ta chỉ cần chứng minh công thức chỉ đối với 0 < r < n, tức là ở bên trong tam giác Pat-xcan, ở đó công thức truy toán có thể chứng minh được. Tiếp theo ta trích dẫn Pat-xcan với một số thay đổi không căn bản, một phần những thay đỏi đó ở giữa các dấu ngoặc vuông. Mặc dầu rằng mệnh đề đang xét (công thức tường minh đối với các hệ số nhị thức) có trong vô số trường hợp riêng, ta có thể chứng minh nó một cách hoàn toàn ngắn gọn dựa trên hai bổ đề. Bổ đề thứ nhất khẳng định rằng mệnh đề đó đúng với đáy thứ nhất – điều này là hiển nhiên [khi n=1 công thức tường minh đúng bởi vì trong trường hợp đó mọi giá trị có thể được của r, nghĩa là r=0, r=1, rơi vào điều đã nhận xét ở trên]. Bổ đề thứ hai khẳng định như sau: nếu mệnh đề của ta đúng với một đáy tùy ý [đối với giá trị n tùy ý] thì nó sẽ đúng cả với đáy tiếp theo của nó [đối với r=n+1]. Từ hai bổ đề đó, ắt suy ra được sự đúng đắn của mệnh đề với mọi giá trị của n. Thật vậy, do bổ đề thứ nhất mệnh đề đúng với n=1; do đó, theo bổ đề thứ hai nó đúng với n=2, và tiếp tục theo bổ đề thứ hai nó đúng với n=3, n=4 và tới vô hạn. Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề thứ hai. Theo cách phát biểu của bổ đề đó, ta giả thiết rằng công thức của ta đúng với đáy thứ n, nghĩa là đối với giá trị tùy ý của n và với mọi giá trị có thể được của r (đối với r=1,2,…,n). Đặc biệt, đồng thời với cách viết ( 1)( 2) .( 1) 1.2.3 . r n n n n n r C r − − − + = Ta cũng có thể viết (với 1r ≥ ): 9 1 ( 1)( 2) .( 2) 1.2.3 .( 1) r n n n n n r C r − − − − + = − Cộng hai đẳng thức đó và áp dụng công thức truy toán ta được hệ quả: 1 1 ( 1) .( 2) 1 . 1 1.2 ( 1) r r r n n n n n n r n r C C C r r − + − − + − +   = + = +  ÷ −   ( 1) .( 2) 1 . 1.2 .( 1) n n n r n r r − − + + = − ( 1) ( 1) .( 2) 1.2.3 . n n n n r r + − − + = Nói cách khác, sự đúng đắn của công thức tường minh đối với giá trị n nào đó kéo theo tính chất đứng đắn của nó với n+1. Chính điều này được khẳng định trong bổ đề thứ hai. Như vậy, ta đã chứng minh bổ đề đó. Những lời của Pat-xcan đã trích dẫn ở trên có một giá trị lịch sử bởi vì chứng minh của ông là sự vận dụng lần đầu tiên một phương pháp suy luận cơ bản và mới mẻ, và sau này ta gọi đó là Phép quy nạp toán học. 2. Kinh nghiệm và quan niệm. Kinh nghiệm đưa đên sự thay đổi quan niệm của con người. Chúng ta học tập xuất phát từ kinh nghiệm, hay nói đúng hơn là chúng ta phải học tập từ kinh nghiệm. Sử dụng kinh nghiệm một cách hiệu quả nhất, đó là một trong những nhiệm vụ to lớn của con người , còn lao động để giải quyết nhiệm vụ đó là chức năng chân chính của các nhà bác học. Nhà bác học, đúng với danh hiệu đó, cố gắng rút ra quan niệm đúng đắn nhất từ kinh nghiệm đã biết, và thu thập những kinh nghiệm thích hợp nhất để xây dựng nên quan niệm đúng về một vấn đề đặt ra. Phương pháp nhờ đó nhà bác học xử lí với kinh nghiệm thường gọi là phép quy nạp. 3. Sự tiếp xúc gợi ý. 10 [...]... th dựng phộp quy np mi cú th gii c Khụng ch trong i s v lý thuyt s m trong hỡnh hc, phộp quy np cng l mt phng phỏp c ỏo v lý thỳ khụng ch ng dng trong vic tớnh toỏn cỏc i lng hỡnh hc n thun m nú cũn c ỏp dng trong vic chng minh nh lý hỡnh hc, trong gii cỏc bi toỏn dng hỡnh, qu tớch c trong mt phng v trong khụng gian, hỡnh hc s cp v hỡnh hc cao cp Bi toỏn m u :Cho n l mt s t nhiờn ln hn hoc bng 6 Chng... hỡnh hc I Phộp quy np trong tớnh toỏn hỡnh hc Trong lý thuyt s v i s, phộp qui np toỏn hc l mt phng phỏp hiu qu trong vic tớnh toỏn cỏc giỏ tr i s v cỏc i lng toỏn hc Trong hỡnh hc gii cỏc bi toỏn tớnh toỏn thỡ vic ỏp dng phộp qui np thc hin hon ton cú th v nú cú th thc hin mt cỏch chớnh xỏc Thớ d 1: Tớnh tng cỏc gúc trong ca mt n-giỏc khụng t ct Gii: Ta cú th thy ngay: Tng cỏc gúc trong ca mt tam... thi Euler v l mt trong nhiu tớnh cht ca cỏc s m chỳng ta rt quen thuc, nhng chỳng ta vn cha chng minh hay bỏc b c Nhng t gi thuyt ny chỳng ta ó mụ t trong nhng nột tng quỏt giai on u ca quỏ trỡnh quy np 4 Phng phỏp quy np Trong cuc sng cú nhiu ngi thng bỏm cht vo o tng, núi mt cỏch khỏc h khụng giỏm nghiờn cu nhng khỏi nim d dng b kinh nghim bỏc b, vỡ h ngi tinh thn mt cõn bng 12 Trong khoa hc, chỳng... khỏc thng mi theo c 5 Phng phỏp gii bng quy np toỏn hc chng minh mt mnh Q(n) ỳng vi mi n p ta thc hin 2 bc theo th t: Bc 1: Kim tra mnh l ỳng vi n=p Bc 2: Gi s mnh ỳng vi n=k ( k p ), ta phi chng minh rng mnh ỳng vi n=k+1 13 B Phộp quy np trong hỡnh hc Phộp quy np l mt phộp toỏn khỏ ph bin v thụng dng, nú c ng dng rt nhiu trong i s, v lý thuyt s Phộp quy np thng c s dng chng minh cỏc tớnh cht... toỏn c s : n=6,7,8 (ó c gii trong hỡnh) P2: Ta chng minh nu bi toỏn ỳng vi n=k thỡ nú cng ỳng vi n=k+3 Khỏ n gin, bng cỏch chn 1 hỡnh vuụng bt kỡ trong k hỡnh 14 vuụng ó cú, chia nú lm 4 hỡnh vuụng nh hn v ú l iu phi chng minh Nhn xột: Qua bi toỏn ny, ta rỳt ra kt lun rng P1 khụng nht thit ch l 1 bi toỏn, nú cú th l 2,3 bi hoc nhiu hn ! hiu rừ hn v cỏc ng dng ca phộp quy np trong hỡnh hc ta i sõu vo... Tng cỏc gúc trong ca mt tam giỏc l 180 o Tng cỏc gúc trong ca mt t giỏc l 360 o Nhn xột: Mi t giỏc cú th chia thnh hai tam giỏc nờn tng cỏc gúc trong ca mt t giỏc bng hai ln tng cỏc gúc trong ca mt tam giỏc Vi k < n, gi s ó chng minh c tng cỏc gúc trong ca mt kgiỏc bt kỡ l (k-2).180 o Bõy gi ta xột vi n-giỏc A1 A2 An 15 - Trc ht ta chng minh rng trong mt a giỏc bt k ta cú th tỡm c mt ng chộo x chia... dng nh lớ Euler III Dng hỡnh bng phộp quy np T cỏc bi toỏn khỏ hay nh trờn ta thy da vo phng phỏp quy np toỏn hc thc s cho ta hiu qu cao V khụng dng li vic tớnh 32 toỏn v chng minh nh lý hỡnh hc, m phng phỏp ny cũn c dựng trong cỏc bi toỏn dng hỡnh Chỳng ta cú th dựng Phộp quy np toỏn hc dng hỡnh nu iu kin ban u ca bi toỏn cha mt s nguyờn dng n no ú (chng hn trong cỏc bi toỏn dng n-giỏc ) Sau õy... lun tng N ng chộo v n cnh ca n-giỏc suy ra: 2N + n = 3(n-2) N= n 3 II Chng minh nh lớ hỡnh hc bng phộp quy np Phộp quy np l mt trong nhng phng phỏp hu hiu nht chng minh cỏc nh lý cỏc mnh m cỏc phng phỏp khụng th chng minh c Di õy ta s nghiờn cu mt s thớ d v bi toỏn chng minh nh lý mnh bng phộp quy np Thớ d 1: Cho n im A1, A2, An v n s thc a1, a2, an Chng uuu r r ai OAi = 0 ( O l tõm t c n minh... B C = tg tg 2 2 r + = cos B + cos C ) 2R Bi 2: Chng minh nh lý: Trong R 2 giao ca mt h hu hn cỏc tp li khỏc rng khi v ch khi giao ca ba tp li ca chỳng khỏc rng Hng dn: * iu kin cn hin nhiờn ỳng * iu kin : Ta chng minh bng phng phỏp quy np theo tp li 29 Trong trng hp n=4, gi 1 , 2 , 3 , v 4 cú tớnh cht giao hoỏn ca bt k ba tp bt k trong chỳng khỏc rng Ta chn Ai 4 I i i j =1 TH 1 : Bao li ca A1... giỏc ban u Bõy gi ta chng minh bi toỏn: Trong n-giỏc A1 A2 An ta v ng chộo A1 Ak chia n-giỏc ú lm k-giỏc A1 A2 Ak v (n-k+2)-giỏc A1 Ak Ak +1 An Vi gi thit ó cho thỡ tng cỏc gúc trong ca k-giỏc v (n-k+2)-giỏc ln lt l (k-2).180 o v [(n-k+2)-2].180 o Suy ra tng cỏc gúc trong ca n-giỏc A1 A2 An l: = (k-2).180 o + [(n-k+2)-2].180 o = (n-2).180 o ( l tng cỏc gúc trong ca n-giỏc) Nh vy mnh ỳng vi mi . của phép quy nạp trong hình học ta đi sâu vào hệ thống bài tập dành riêng cho mỗi loại toán hình học. I. Phép quy nạp trong tính toán hình học. Trong. dung quy nạp trong hình học. 7 Nội dung. A. Phép quy nạp toán học. 1. Nguồn gốc ra đời của phép quy nạp toán học. Khi ta tính một số trong