2.2.1. Chiều Hausdorff dùng làm đặc trng để phân biệt các tập
2.2.1.1. Định lý. Cho E F, ⊂Ă n. Nếu f E: →F là ánh xạ song Lipschitz,
nghĩa là :
( ) ( )
1 2
c x y− ≤ f x − f y ≤c x y− với ∀x y E, ∈ ;0< < < ∞c1 c2
thì dimH f E( ) dim= HE.
Chứng minh. Vì f là Lipschitz nên f là song ánh. Do đó tồn tại f−1, hơn nữa
E E f f−1: ( )→ thỏa mãn 1( ( )) 1( ( )) ( ) ( ) 1 1 f f x f f y x y f x f y c − − − = − ≤ − .
Suy ra f−1 cũng là ánh xạ Lipschitz. Theo Mệnh đề 1.2.8.2 ta có
1( ( )) ( )
H H H
dim f− f E =dim E≤dim f E . (1) Mặt khác, f là Lipschitz nên ta có dimH f E( ) dim≤ HE. (2) Từ (1) và (2) ta có dimH f E( ) dim= HE.
2.2.1.2. Hệ quả. Nếu hai tập bất kỳ có chiều Hausdorff khác nhau thì không thể tồn tại song Lipschitz giữa chúng.
Để ý rằng, ánh xạ song Lipschitz rất đợc quan tâm trong toán học. ánh xạ Lipschitz không mở rộng khoảng cách hơn một hằng số cho trớc và nó mạnh hơn tính liên tục đều. Hơn nữa, ánh xạ song Lipschitz không mở rộng hoặc co rút ngắn khoảng cách hơn một hằng số cho trớc nên nó còn cho tính chất liên tục đều của ánh xạ ngợc. Nh vậy, chiều Hausdorff là một đặc trng để xem hai tập là "nh nhau" (tức là tồn tại song Lipschitz giữa chúng). Do đó, ngời ta dùng
H
dim làm đặc trng để phân biệt các tập.
2.2.2. ứng dụng trong phơng pháp xấp xỉ Newton để tìm nghiệm gần đúng của phơng trình
Bên cạnh những ứng dụng kỳ lạ trong tự nhiên, Fractal còn có những ứng dụng quan trọng trong toán học. Một trong những ứng dụng này là việc giải thích phơng pháp xấp xỉ Newton tìm nghiệm gần đúng của phơng trình. Phơng pháp này đợc Isacc Newton xây dựng vào khoảng những năm 1670 và nó khá quen thuộc với những ai nghiên cứu tính toán. Bớc đầu của phơng pháp này là tạo ra một phán đoán về nghiệm x0 của phơng trình f(x) = 0. Sau đó cải thiện dự đoán ban đầu bằng cách lặp lại công thức
1 ( ) '( ) n n n n f x x x f x + = − .
Khi đó { }xn hội tụ về một nghiệm của phơng trình.
Ta biết rằng phơng trình xn =1 với n là số nguyên dơng. Phơng trình này luôn có nghiệm là 1 và nếu n là số chẵn thì -1 cũng là một nghiệm thực của phơng trình. Các nghiệm còn lại là các nghiệm phức. Nếu biểu diễn các nghiệm này
trên mặt phẳng phức thì chúng “cách đều nhau” trên một đờng tròn đơn vị. Khi mở rộng các nghiệm này trong trờng số phức thì việc tìm nghiệm sẽ gặp một số khó khăn. Chẳng hạn năm 1879, Cayley đã đặt câu hỏi: nếu nghiệm dự đoán ban đầu là số phức thì sự hội tụ của dãy { }xn đợc hiểu nh thế nào? Hay nếu ta
không đủ may mắn để chọn lựa một giá trị nghiệm ban đầu “gần nhất” với một nghiệm nào đó mà nó lại cách đều với hai nghiệm phân biệt của phơng trình thì dãy { }xn “nhảy hỗn loạn”. Hình dạng biểu diễn của các số này nh thế nào? Gần
đây câu hỏi này mới đợc trả lời đầy đủ và đó là một mô hình Fractal rất đẹp. Fractal đợc tạo thành sẽ có số “đờng chaos” khác nhau, phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình. Ta có thể tạo nên đợc rất nhiều fractal. Chẳng hạn, với
n=3 thì ta có hình dạng của Fractal nh sau:
Hay với n = 10 thì hình dạng của Fractal nh sau:
2.2.3. Chiều Hausdorff dùng để kiểm tra tính hoàn toàn không liên thông của một tập
2.2.3.1. Định lý. Tập F ⊂Ă nvới dimH F <1 thì F là hoàn toàn không liên thông.
Chứng minh. Giả sử x y F, ∈ và x y≠ . Ta chứng minh x, y nằm trong hai
thành phần liên thông khác nhau của mỗi điểm ấy. Thật vậy, xét : 0, ) ( ) x x f F z f z z x → +∞ = − a
Khi đó f zx( )1 − f zx( )1 = z1− − − ≤ −x z2 x z1 z2 . Vậy fx là ánh xạ Lipschitz.
Theo Mệnh đề 1.2.8.2 thì dimH f Fx( ) dim≤ H F <1.
Suy ra H1( f Fx( )) =0. Điều này dẫn đến L1( f Fx( )) =0.
Vì f Fx( )⊂Ă nên f Fx( ) không chứa trọn một khoảng nào cả. Do đó,
tồn tại r∈ ( ,0fx(y)) \fx(F)( rõ ràng f yx( )= − >x y 0 do y x≠ ). Suy ra
{ : } { : }
F = ∈z F z x r− < ∪ ∈z F z x r− > . Thật vậy, nếu z F∈ ta có các khả năng sau:
(1) z x r− = ; (2) z x r− < ;
(3) z x r− > .
Nếu (1) xảy ra thì f zx( )=r (vô lý) nên chỉ xảy ra (2) hoặc (3).
Lại có x∈ ∈{z F z x r: − < } =FL vì f xx( ) 0= và y∈ ∈{z F z x r: − > } =FR vì ( ,0f (y))\f (F)
r∈ x x mà FL∩FR = ∅.
Kết luận
Vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu chiều trong hình học Fractal là vấn đề thời sự và có tính hấp dẫn lớn. Tiếp cận với hớng nghiên cứu mới này, chúng tôi đã cố gắng nghiên cứu khá nhiều tài liệu để có thể nắm bắt và hiểu một cách thấu đáo các nội dung đã trình bày trong khoá luận. Cụ thể là
1. Trình bày rõ ràng, cụ thể và có hệ thống về các định nghĩa, các tính chất về chiều và độ đo Hausdorff, chiều hộp, chiều hộp cải biên và chiều gói.
2. Chứng minh chi tiết các Mệnh đề 1.1.2; 1.2.4; 1.2.5.1; 1.2.5.2; 1.2.8.1; 1.2.8.2; 1.2.9.1; 1.3.2.1; 1.3.2.2; 1.3.2.3; 1.3.2.4; 1.6.2.1; Bổ đề 1.2.6.1; 1.2.6.2; Định lý 2.2.1.1; 2.2.3.1.
3. Tìm hiểu một số ví dụ về việc tính chiều Hausdorff, chiều hộp của các tập Fractal.
4. Trình bày một số ứng dụng của chiều Hausdorff trong toán học.
Trong lĩnh vực này, ngoài việc sử dụng định nghĩa và các tính chất của chiều để tính chiều mà chúng tôi đã trình bày còn có nhiều phơng pháp để tính chiều. Trong khuôn khổ của một khóa luận chúng tôi cha đi nghiên cứu sâu về các kỹ thuật, phơng pháp tính chiều. Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ cố gắng tiếp tục nghiên cứu các vấn đề này, đồng thời tìm hiểu thêm về ứng dụng của chiều Hausdorff trong toán học cũng nh trong các lĩnh vực khác.
Tài liệu tham khảo
Tiếng việt
[1] Hoàng Tuỵ (1979), Giải tích hiện đại Tập I, Nhà XBGD. [2] Hoàng Tuỵ (2000), Hình học Fractal, Bài giảng Viện toán.
[3] Trần Văn Ân - Đinh Huy Hoàng (2003), Giáo trình Độ đo - Tích phân, Nhà XBGD.
Tiếng anh
[4] Gerald Edgar (2007), Measure, Topology, and Fractal Geometry.
[5] K. Falconer (1990), Fractal Geomerty, Mathematical Foundations and Applications, John Wiley.
[6] K. Falconer (1997), Techniques in Fractal Geomerty, John Wiley and Sons.