Đa thức Hilbert-Samuel

Đa thức Hilbert

3.3 Đa thức Hilbert-Samuel

Định nghĩa 3.3.1. (i) Cho R là vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ ... ⊃ pn của R được gọi là một xích nguyên tố. Có độ dài là n.

(ii) Cho p là iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố bắt đầu bằng p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là

ht(p),

ht(p) = sup{n|p = p0 ⊃ p1 ⊃ ...⊃ pn là một xích nguyên tố }.

Với I là iđêan của R. Độ cao của I, kí hiệu là ht(I), được xác định bởi

ht(I) = inf{ ht(p)|p∈ V(I)}.

(iii) Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều của vành R, kí hiệu là dim R (còn gọi là chiều Krull của R). Với M là một R−môđun thì chiều của M, kí hiệu là dim M, được xác định bởi

dim M = dim(R/AnnM)

Ví dụ 3.3.2. (i) dim Z =1 vì mọi xích nguyên tố của Z đều có dạng

(ii) Khi k là một trường thì dim k = 0 vì k có duy nhất một iđêan nguyên tố là 0.

(iii) Nếu k là một trường thì dim k[x] = 1 vì mọi xích nguyên tố của k[x]

đều có dạng 0 ⊂(f(x)), với f(x) là đa thức bất khả quy trên k[x]. (iv) Với k là một trường thì dim k[x1, ..., xn] = n.

(v) Nếu R là một vành Noether, ta có dim R[x1, ..., xn] = dim R+n.

(vi) Cho R = R[x, y] và I = (x2, xy). Khi đó I = (x2, y) ∩ (x2, x) = (x2, y)∩(x) là một phân tích nguyên sơ của I. Suy ra

ht(I) = inf {ht(x), ht(x2, y)} = 1.

Đặt Q1 = (x), Q2 = (x2, y). Khi đó nếu p là iđêan nguyên tố chứa

Q1 ∩ Q2 thì p ⊆ Q1 hoặc p ⊇ Q2 theo định lý tránh nguyên tố. Từ đó suy ra xích nguyên tố trong R chứa Q1 ∩Q2 là xích nguyên tố trong R chứa Q1 hoặc Q2, và dim(R/I) = dim(R/Q1 ∩ Q2) = sup{dim(R/Q1), dim(R/Q2) }. Từ dim(R/I) = dim(R/√

I), suy ra dim(R/√ I) = sup{dim(R/√ Q1), dim(R/√ Q2)} = sup{dim(R/(x)), dim(R/(x, y))}.

Vì R/(x, y) ∼= R, R/(x) ∼= R[y] nên dim(R/I) = 1.

Nhận xét 3.3.3. (1) Giả sử R là vành Noether, I là iđêan của R. Giả sử I có phân tích nguyên sơ thu gọn I = Q1 ∩ ...∩ Qn, Qi là iđêan pi−nguyên sơ. Theo định nghĩa thì ht(I) = inf{ht(p)i|i = 1,2, ..., n} = inf{ht(p)i|pi tối tiểu trong {p1, ...,pn}}.

(2) Giả sử 0 = Q1∩...∩Qn là phân tích nguyên sơ của iđêan 0 của R với

Qi là pi−nguyên sơ. Theo định nghĩa

dim R = sup{dim(R/pi|i = 1, ..., n)} = sup{dim(R/p)i|pi tối tiểu trong {p1, ...,pn}}.

(3) Cho R là vành địa phương (R/m). Khi đó ta có dimR = ht(m).

(4) Cho p là iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó Rp là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất pRp. Vậy dimRp = ht(pRp). Mặt khác Spec(Rp) = {QRp|Q ∈Spec R, Q ⊆ p } suy ra dim Rp = ht(pRp) = ht(p).

Mệnh đề 3.3.4. Cho R là vành Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương:

(i) M có độ dài hữu hạn. (ii) R/AnnM là vành Artin. (iii) dimM = 0.

Chứng minh. (ii) =⇒ (iii) Giả sử R/AnnM là vành Artin. Khi đó, mọi iđêan nguyên tố p khác 0 của R/AnnM đều tối đại (tính chất của vành Artin). Vậy dimM = dimR/AnnM = 0.

(iii) =⇒ (ii) Giả sử dimM = 0. Khi đó dim(R/AnnM) = 0. Vì R

là Noether nên R/AnnM là Noether. Mặt khác, nếu p 6= 0 là một iđêan nguyên tố của R/AnnM thì p thuộc một iđêan tối đại q, suy ra có xích nguyên tố q ⊇ p. Do dim(R/AnnM) = 0 nên q = p, suy ra p là tối đại. Vậy R/AnnM là vành Artin.

(ii) =⇒ (i) Giả sử R/AnnM là vành Artin. Do M là R−môđun Noether nênM là hữu hạn sinh,M = Rm1+...+Rmn vớim1, ..., mn ∈ M.

Xét tương ứng

ϕ : R×...×R −→ M

sao cho ϕ(a1, ..., an) = a1m1 +...+anmn.

Hiển hiên ϕ là ánh xạ và là đồng cấu R−đồng cấu môđun. ϕ sẽ cảm sinh ánh xạ

ϕ : (R/AnnRM)n −→M

sao cho ϕ(a1, ..., an) = a1m1 + ...+ anmn. ϕ hiển nhiên là R−đồng cấu môđun. (ϕ là ánh xạ vì nếu (a1, ..., an) = (b1, ..., bn) thì ai = b1 ∈AnnRM, suy ra (ai+bi)mi = 0 hay aimi = bimi,∀i = 1, ...n). ϕ hiển nhiên là toàn ánh. Vậy ϕ là toàn cấu môđun. Vì R/AnnRM là R−môđun Artin nên

(R/AnnRM)n = (R/AnnRM) × ... × (R/AnnRM) là R−môđun Artin, suy ra (R/AnnRM)n/Ker(ϕ) nên M là R−môđun Artin. Suy ra M có độ dài hữu hạn.

(i) =⇒(ii) Xét tương ứng

ψ : R −→Mn = M ×...×M

sao choψ(a) =(am1, ..., amn). Rõ ràngψ là ánh xạ và là đồng cấu môđun. Ta xét a ∈ R, khi đó ψ(a) = 0 khi và chỉ khi a = 0,∀mi ∈ M, i = 1, ..., n

hay a ∈ AnnRM. Vậy R/AnnRM ∼= Imψ.

Xét tương ứng

ψ : R/AnnRM −→ Mn

sao cho ψ(a) = (am1, ..., amn).

ami = bmi,∀i = 1, ..., n. Hơn nữa ψ là đồng cấu môđun và ψ là đơn cấu vì ψ là đơn cấu. Do R/AnnRM ∼= Im ψ. Vì M là môđun Artin trên Mn là Artin. Do Imψ là môđun con của Mn nên Imψ cũng là môđun Artin. Từ đó suy ra R/AnnRM là Artin.

Cho (R,m) là vành địa phương Noether.

Định nghĩa 3.3.5. Một iđêan I của (R,m) gọi là iđêan định nghĩa của

(R,m) nếu ∃n > 0 sao cho mn ⊆ I ⊆ m (tức I là iđêan m−nguyên sơ). Khi đó theo mệnh đề 3.3.4, nếuI là iđêan định nghĩa thì dim(R/I)= dim(R/√

I) = dim(R/m) = 0, do đó R/I là vành Artin. Suy ra `(R/I) <

+∞, do vậy `(R/Im) < +∞ (vì mmn ⊆ In ⊆ m nên In là iđêan định nghĩa).

Cho I là một iđêan định nghĩa của vành địa phương (R,m). Ta xét vành GI(R) = ⊕n≥0In/In+1. Với M là R−môđun hữu hạn sinh, xét môđun GI(M) = ⊕n≥0InM/In+1M. Giả sử I = a1R + ... + akR. Khi đó GI(R) ∼= (R/I)[a 1, ...,ak], ai = ai + I2 ∈ I/I2. Đặt FM,I(n) = `(GI(M)n) =`(InM/In+1M) và HM,I(n) = n X i=0 FM,I(i) = n X n0 `(In0M/In0+1M)

= `(M/I) +...+`(InM/In+1M) = `(M/In+1M).

Theo Định lý đa thức Hilbert thì FM,I(n) = PM,I(n) với n 0, PM,I(n)

là đa thức Hilbert. Suy ra HM,I(n) =PM,I(n) khi n 0.

Khi đó PM,I(n) gọi là Đa thức Hilbert-Samuel của M đối với I.

Mệnh đề 3.3.6. Cho (R/m) là vành địa phương Noether và M là R−

môđun hữu hạn sinh. Khi đó bậc của Đa thức Hilbert-Samuel PM,I(n)

Chứng minh. Giả sử I, J là hai iđêan định nghĩa của M, ta chứng minh

degPM,I(n) = degPM,J(n).

Thật vậy, vì I là iđêan của m nên tồn tại t sao cho I ⊇ mt suy ra Jt ⊇ mt ⊇ I, do đó `(M/In+1M) ≤ `(M/Jt(n+1)M) hay PM,I(n) ≤

PM,J(tn),∀n. Vậy degPM,I(n) ≤ degPM,J(n).

Vì I và J đóng vai trò như nhau nên ta cũng chứng minh được rằng degPM,J(n) ≤ degPM,I(n). Từ đó suy ra degPM,I(n) = degPM,J(n).

Mệnh đề 3.3.7. Cho

0 −→M0 −→ M −→ M00 −→ 0

là dãy khớp ngắn các R−môđun Noether, I là iđêan định nghĩa của M. Khi đó

(i) d(M) = Max(d(M0), d(M00)).

(ii) Hệ số bậc cao nhất củaPM,I(n)−PM00,I(n) và của PM0,I(n) bằng nhau. (iii) deg(PM,I(n)−PM0,I(n)−PM00,I(n)) < degPM0,I(n).

Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử M00 = M/M0, suy ra

M00/InM00 = (M/M0)/In(M/M0). Vì In(M/M0) = (InM + M0)/M0 nên

M00/InM00 = (M/M0)/((InM +M0)/M0) = M/(InM +M0). Do đó

`(M/InM) =`(M/(InM + M0)) +`((M0 +InM)/InM) = `(M/(InM +M0)) +`(M0/M0∩InM).

Đặt ϕ(n) = `(M0/M0 ∩ In+1M). Khi đó PM,I(n) = PM00,I(n) +ϕ(n) (1). Theo Định lý Artin-Rees thì ∃c > 0 sao cho

Vì M0 ⊆ M nên ta có

In+1M0 ⊆ In+1M ∩M0 = In+1−c(IcM ∩M0) ⊆In+1−cM0∩ In+1−cM0

suy ra M0/In+1M0 ⊇ M0/In+1M ∩ M0 ⊇ M0/In+1−cM0. Vậy PM0,I ≥

ϕ(n) ≥ PM0,I(n−c).(2)

(i) Từ (1) ta có degPM,I(n) = Max(degPM00,I(n), degϕ(n)), suy ra

d(M) = Max(degd(M00), degϕ(n)).(3)

Từ (2) ta có degϕ(n) =d(M00). Kết hợp với (3) ta được

d(M) = Max{d(M0), d(M00)}.

(ii) Từ (1) suy ra PM,I(n)−PM00,I(n) =ϕ(n). Do vậy hệ số cao nhất của ϕ(n) và PM,I(n)−PM00,I(n) là bằng nhau và bằng hệ số cao nhất của

PM0,I(n) (do (2)).

(iii) Từ (1) và (2) suy ra deg(PM,I(n) − PM0,I(n) − PM00,I(n)) = deg(ϕ(n) −PM0,I(n)) ≤ degPM0,I(n) (4).Theo (ii) thì hệ số cao nhất của

PM,I(n) − PM00,I(n) và của PM0,I(n) bằng nên deg(PM,I(n) − PM0,I(n) −

PM00,I(n)) < degPM0,I(n).

Mệnh đề 3.3.8. Cho(R,m)là vành địa phương Noether. M là R−môđun hữu hạn sinh và dim M = r, khi đó ∃x1, ..., xr ∈ m sao cho

`(M/(x1, ..., xr)M) < +∞.

Chứng minh. Quy nạp theo r.

Nếu r = 0 thì M là vành Artin nên `(M/(x1, ..., xr)M) < +∞ suy ra mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với r −1, r > 0, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với r.

Giả sử {p1, ...,pt} là các iđêan nguyên tố tối thiểu trong tập AssR(M) suy ra m ∈ {/ p1, ...,pt} (vì nếu m = pi thì ht(pi) = ht(m) = dim M = r > 0, mà pi ∈ AssR(M) và pi là tối thiểu suy ra ht(pi) = 0, vô lí). Theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại x ∈ m\ ∪t

i=1 pi. Xét môđun M = M/xM, ta chứng minh dimM = r −1.

Thật vậy, hiển nhiên dimM ≥ r −1. Mặt khác ta có

\

p∈Ass(M/xM)

p = pAnn(M/xM) = p(x) + AnnRM(∗).

Từ (*) suy ra, nếu p ∈ AssR(M) thì x ∈ p và √

AnnM ⊆ p. Do đó tồn tại i ∈ {1, ..., t} sao cho pi ⊂ p, suy ra dim(R/pi) > dim(R/p), ta được dimM > dim(M/xM) = dimM. Từ đó suy ra dimM < r −1. Vậy dimM = r −1.

Áp dụng giả thiết quy nạp cho M = M/xM, tồn tại x1, ..., xr−1 sao cho `(M /(x1, ..., xr−1)M) < +∞. Vì

M /(x, x1, ..., xr−1)M ∼= M/(x, x

1, ..., xr−1)M

nên `(M/(x, x1, ..., xr−1)M) < +∞. Vậy mệnh đề đúng với r.

Đặt δ(M) = min {r|∃x1, ..., xn ∈ m, `(M/(x1, ..xn)M) < +∞}. Khi đó ta có đẳng thức giữa chiều của đa thức Hilbert với chiều của môđun

M và δ(M). Điều này được khẳng định trong định lý dưới đây.

Định lý 3.3.9. Cho (R,m) là vành địa phương Noether. M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó δ(M) = d(M) = dimM.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh dimM ≥ δ(M) ≥ d(M) ≥dim M.

(1) dimM ≥ δ(M). Thật vậy, giả sử dimM = r. Khi đó theo mệnh đề 3.3.8, tồn tại x1, ..., x4 ∈ m sao cho `(M/(x1, .., xr)M) < +∞. Suy ra

(2) δ(M) ≥ d(M). Giả sử δ(M) = r, suy ra tồn tại x1, ..., xr ∈ m sao cho

`(M/(x1, ..., xr)M) < +∞.

Đặt M0 = M/(x1, ..., xr)M, J = (x1, ..., xr)R. Khi đó AnnRM0 ⊇ J

suy ra `(M0/In+1M0) =`(M0) < +∞ và PM0,I(n) là hằng số khi n . Vậy degPM0,I(n) =d(M0) = 0.

Xét I là một iđêan định nghĩa nào đó của M mà (x1, ..., xr) = J ⊆ I

(chẳng hạn I = m). Trong môđun thương M/x1M ta có

`(M/x1 +In+1M) = `(M/In+1)−`((x1 +In+1M)/In+1M)

suy ra

PM ,I(n) = PM,I(n)−`((x1 +In+1M)/In+1M),(n 0).(∗)

Tức là

deg PM ,I(n) ≥ deg PM,I(n)−1

suy ra

d(M/xM) ≥ d(M)−1.

Tiếp tục làm như trên cho tất cả các phần tử x2, ..., xr ta được

d(M/(x1, ..., xr)M) ≥d(M)−r

suy ra 0≥ d(M)−r. Vậy δ(M) ≥ d(M).

(3) d(M) ≥ dim M. Trước hết ta chứng minh cho vành M = R bằng quy nạp theod(M) = d(R). Nếud(R) = 0thì degPR,m(n) = `(M/mn+1) = 0. Suy ra, tồn tại t sao cho mt = mt+1 = .... Theo Định lý giao Krull ta có ∩t≥0mt = 0 suy ra mt = ... = mt+k = ... = 0. Do đó R là vành Artin (vìR códn iđêan nguyên tố). Từ `(R) < +∞suy ra dim R = 0, do vậy d(M) ≥ dim M.

Giả sử d(M) > 0. Nếu dim M = 0 thì ta có bất đẳng thức d(M) ≥

dim M. Giả sử dim M = k > 0. Khi đó tồn tại p0 ⊇p1 ⊇ ... ⊇pk−1 ⊇

pk = p là một xích nguyên tố của R có độ dài k. Chọn x ∈ pk−1/p, ta được p0/xR ⊇ p1/xR ⊇ ... ⊇ pk−1/xR là một xích nguyên tố của

R/xR có độ dài là k−1, do đó dim R−1 ≥ dim R/xR suy ra dim

R/(xR+p) ≥ k−1. Xét dãy khớp

0−→ R/p −−→x R/p −→R/xR+p −→ 0.

Theo mệnh đề 3.3.7 ta có d(R/p) > d(R/(xR+p)) suy ra d(R/(xR+

p)) ≥ dim(R/(xR +p)) ≥ k −1. Do đó d(R) ≥ d(R/p) ≥ k suy ra

d(R) ≥ dimR. Vậy tồn tại các R−môđun con của M : M = M1 ⊃

... ⊃Mk+1 = 0 (**) sao cho Mi/Mi+1 ∼= R/p i,pi ∈ SpecR. Từ (**) ta có các dãy khớp ngắn 0 −→ Mk+1 −→ Mk −→ Mk/Mk+1 −→ 0 0 −→ Mk −→ Mk−1 −→ Mk−1/Mk −→ 0 ... 0 −→M2 −→ M1 = M −→ M/M2 −→ 0. Suy ra d(M) = Max{d(M2),d(M/M2)} = Max{d(M2),d(R/p1)} = Max{d(M3),d(M2/M3),d(R/p1)} = Max{d(M3),d(M/p2),d(M/p1)} ... = Max{d(R/pi)|i = 1, ...,k}

≥ Max{dim(R/pi)|i = 1, ...,k}

= dimM

Vậy d(M) ≥ dimM

Kết luận

Trong luận văn này tôi đã trình bày một số kết quả nghiên cứu về vành và môđun phân bậc; vành phân bậc liên kết; vành Rees. Bên cạnh đó là các định lý quan trọng: Định lý cơ sở Hilbert; Định lý Artin-Rees; Định lý đa thức Hilbert. Kết quả chính của luân văn bao gồm các nội dung sau.

1) Định nghĩa và tính chất về vành và môđun Noether, Artin; Định lý cơ sở Hilbert.

2) Định nghĩa và tính chất vành môđun phân bậc; Vành phân bậc liên kết và vành Rees.

3) Định nghĩa và tính chất về lọc môđun; Định lý Artin-Rees và các hệ quả.