vành địa phương chính quy

S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Đại học thái nguyên Tr-ờng đại học s- phạm nGuyễn minh thuận vành địa ph-ơng chính quy Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên - Năm 2013 [...]... ta đã chứng minh rằng địa phương hoá của vành địa phương chính quy là một vành chính quy (Định lý 2.2.3) Từ đó cho phép ta định nghĩa vành chính quy không (nhất thiết) địa phương như sau Định nghĩa 3.1.1 Vành R được gọi là chính quy nếu nó là vành Noether và địa phương hoá tại mọi iđêan cực đại là vành địa phương chính quy Ví dụ 3.1.2 (1) Xét vành các số nguyên Z Ta đã biết Z là vành Noether Giả sử pZ... hay S/mS không là 31 Chương 3 Vành chính quy không địa phương Tính phân tích duy nhất Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu về vành chính quy không địa phương, đồng thời nghiên cứu một tính chất quan trọng của vành chính quy là tính chất phân tích duy nhất Mọi vành được xét trong chương này đều là vành Noether và nói chung không địa phương 3.1 Vành chính quy không địa phương Trong chương trước, sử... nguyên Hệ tham số chính quy Định nghĩa 1.3.1 Cho (R, m, k) là vành địa phương Noether chính quy Khi đó hệ tham số sinh ra m được gọi là hệ tham số chính quy Ví dụ 1.3.2 Ta có k[[X1 , , Xn ]] là vành địa phương chính quy Gọi m = (X1 , , Xn ) là iđêan cực đại của k[[X1 , , Xn ]] Khi đó hệ X1 , , Xn là một hệ tham số chính quy Bổ đề 1.3.3 Cho (R, m) là vành địa phương Noether chính quy Khi đó các... là vành chính quy Ta kết thúc tiết này bằng hai tính chất cơ bản của vành địa phương chính quy Mệnh đề 1.2.8 Vành R là chính quy khi và chỉ khi đầy đủ m-adic R là chính quy Chứng minh Ta có mR là iđêan cực đại của tự nhiên R/m R/mR = và R Ta cũng có các đẳng cấu m/m2 mR/(mR)2 Mặt khác ta cũng có = 10 dim R = dim R Từ đó suy ra R là chính quy khi và chỉ khi R là chính quy Định lý 1.2.9 Mọi vành địa. .. m R là chính quy Vậy các vành sau đều là vành chính quy (+) k[X](X) với k là một trường (+) k[[X]] với k là một trường: Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức một biến (+) ZpZ với p là một số nguyên tố: Vành số nguyên địa phương hoá tại iđêan nguyên tố (+) ZpZ với p là một số nguyên tố: Vành số nguyên p- adic Ví dụ 1.2.5 Vành k[X1 , , Xn ](X1 , ,Xn ) là vành địa phương chính quy Ví dụ 1.2.6 Vành k[[X1... Serre Sau đây chúng ta sẽ đi xét một tính chất đẹp khác của vành địa phương chính quy dưới tác động của mở rộng phẳng Định lý 2.2.4 Cho : (R, m, k) (S, n, l) là đồng cấu phẳng giữa các vành địa phương Noether (a) Nếu S là chính quy thì R là chính quy (b) Nếu R và S/mS là chính quy thì S là chính quy Chứng minh R-môđun k (a) Giả sử S là chính quy Lấy một giải tự do cực tiểu F của : Fn F0 k 0(1)... chứng minh địa phương hoá tại iđêan nguyên tố của vành địa phương chính quy là chính quy là vô cùng khó khăn và phức tạp, tuy nhiên với việc áp dụng đại số đồng điều việc chứng minh đã trở nên đơn giản hơn Định lý sau đây chính là một hệ quả của định lý Auslander - Buchsbaum - Serre Định lý 2.2.3 nguyên tố của Cho (R, m, k) là vành địa phương chính quy, p là một iđêan R Khi đó Rp là chính quy 26 Chứng... tính chất chính quy của vành địa phương chính quy là đặc trưng đồng điều Trong tiết này chúng ta sẽ đi tìm hiểu các đặc trưng đồng điều của vành địa phương chính quy Chúng ta sẽ bắt đầu với định lý của Ferrand - Vasconcelos Định lý 2.2.1 thực sự của Cho (R, m) là vành địa phương Noether và I = 0 là iđêan R có chiều xạ ảnh hữu hạn Nếu I/I 2 là R/I -môđun tự do thì I sinh bởi một dãy chính quy Chứng... thuyết vành chính quy đó là định lý Auslander - Buchsbaum - Serre định lý này cho ta các điều kiện tương đương để một vành địa phương là chính quy Định lý 2.2.2 (Định lý Auslander - Buchsbaum - Serre) Cho (R, m, k) là vành địa phương Các điều kiện sau là tương đương (a) R là chính quy (b) proj dim M < với mọi R- môđun hữu hạn M (c) proj dim k < Chứng minh x1 , , x n (a c) Giả sử R là dãy chính quy. .. hệ x1 , , x n chính quy là hệ sinh tối tiểu của m, hay à(m) = n Từ đây suy ra R là vành 15 Chương 2 Đặc trưng đồng điều của vành địa phương chính quy Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất đồng điều của vành địa phương chính quy Trong tiết 1 chúng ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của chiều xạ ảnh của môđun nhằm chuẩn bị kiến thức cho phần sau Kết quả chính của chương là . Đại học thái nguyên Tr-ờng đại học s- phạm nGuyễn minh thuận vành địa ph-ơng chính quy Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên - Năm