Vành chính quy không địa phương Tính phân tích duy nhất.
3.1 Vành chính quy không địa phương
Trong chương trước, sử dụng các đặc trưng đồng điều, ta đã chứng minh rằng địa phương hoá của vành địa phương chính quy là một vành chính quy (Định lý 2.2.3). Từ đó cho phép ta định nghĩa vành chính quy không (nhất thiết) địa phương như sau.
Định nghĩa 3.1.1. Vành R được gọi là chính quy nếu nó là vành Noether và địa phương hoá tại mọi iđêan cực đại là vành địa phương chính quy.
Ví dụ 3.1.2. (1) Xét vành các số nguyên Z. Ta đã biết Z là vành Noether. Giả sử pZ là một iđêan nguyên tố của Z, địa phương hoáZ tại iđêan nguyên tố p ta được Zp là một vành địa phương chính quy. Vậy Z là một vành chính quy.
(2) Ta có C[X1, . . . , Xn] là vành chính quy. Thật vậy, thứ nhất ta đã biết rằng C[X1, . . . , Xn] là vành Noether.
Thứ hai, mọi iđêan cực đại của C[X1, . . . , Xn] đều có dạng m = (X1 −
x1, . . . , Xn − xn), với x1, . . . , xn ∈ C. Khi đó C[X1, . . . , Xn]m ∼=
C[Y1, . . . , Yn](Y1,...,Yn), Xi 7→Yi+xi, là vành chính quy. VậyC[X1, . . . , Xn]
là vành chính quy.
Mệnh đề 3.1.3. Vành Noether R là chính quy khi và chỉ khi R[X] là chính quy.
Chứng minh. (⇒) Giả sử R là chính quy. Gọi M là một iđêan cực đại của
R[X] và đặt m = M ∩R. Ta có (Rm[X])M = {f(X) g(X) :f(X) ∈ Rm[X], g(X) ∈ M}/ = {f(X) g(X) :f(X) = n X i=0 ai siX i, ai ∈ R, si ∈/ m, g(X) ∈ M}/ = {f(X) g(X) :f(X) = n P i=0 biXi s , bi ∈ R, s /∈ m ⊂ M, g(X) ∈ M}/ = { h(X) sg(X) :h(X) ∈ R[X], sg(X) ∈ M}/ = R[X]M.
Từ đó suy ra R[X]M là địa phương hoá của Rm[X], do vậy không mất tính tổng quát ta có thể thay R bằng Rm.
Đặt k = R/m. Ta có k[X] = (R/m)[X] ∼= R[X]/m[X]. Thật vậy, xét đồng cấu
xác định bởi Pn i=0 aiXi 7→ n P i=0 aiXi. Ta thấy ϕ là toàn ánh, mặt khác ta có kerϕ = {f(X) = n X i=0 aiXi| n X i=0 aiXi = 0} = {f(X) = n X i=0 aiXi|ai = 0,∀i = 0, n} = {f(X) = n X i=0 aiXi|ai ∈ m,∀i = 0, n} = m[X]. Nên suy ra R[X]/m[X] ∼= (R/m)[X].
Ta có R[X]/m[X] có iđêan cực đại là M/m[X], suy ra tồn tại m0 ∈ (R/m)[X] sao cho m0 =< f(X) > với f(X) ∈ R[X] (Do R/m là trường nên R/m[X] là miền iđêan chính nên mọi iđêan đều có một phần tử sinh). Suy ra M/m[X] =< f(X) > hay M = (m, f). Thật vậy lấy
α ∈ M ⇒α ∈ M/m[X], suy ra
α = bf(X) ⇔ α+m[X] = b(f(X) +m[X]),
hay α = bf(X) +g(X) với g(X) ∈ m[X]. Vậy M = (m, f).
Tiếp theo ta chứng minh htM = 1 + htm. Thật vậy giả sử ta có htm = a
suy ra tồn tại xích nguyên tố có độ dài a
m = p0 ! p1 ! ...! pa Mặt khác ta có
m = R∩ M ⇒ M ⊃ mR[X],
ta được một xích các iđêan sau
M ! mR[X] = p0R[X] ! p1R[X] ! ... ! paR[X](∗).
Theo chứng minh trên ta có R[X]/piR[X] ∼= (R/p
i)[X] mà (R/pi)[X] là miền nguyên nên R[X]/piR[X] là miền nguyên. Do đó piR[X]là các iđêan
nguyên tố, hay(∗) là một xích nguyên tố củaM. Từ đó suy rahtM = a+ 1
hay htM = 1 + htm.
Tiếp theo ta sẽ đi chứng minh dimR[X]M = 1 + dimR. Thật vậy ta có
(
htM = max{n :M = p0 ! p1 ! ... ! pn}
dimR[X]M = max{r : MR[X]M ! Q1 ! ...! Qr}
Do các Qi là các iđêan nguyên tố của R[X]M nên các Qi có dạng Qi =
piR[X]M suy ra r = n. Vậy ta có htM = dimR[X]M.
Cuối cùng do ta có thể thay R bằng Rm nên theo chứng minh trên ta có
htm = dimR. Vậy ta có
dimR[X]M = htM = 1 + htm = 1 + dimR.
Mặt khác do R là chính quy nên m sinh bởi số phần tử bằng dimR, mà
M = (m, f) nên M sinh bởi số phần tử bằng dimR + 1. Từ đó suy ra
dimR[X]M = dimR+ 1 = à(M). Vậy R[X]M là chính quy hay R[X] là chính quy.
(⇐) Giả sử R[X] là chính quy. Gọi m là iđêan cực đại của R và đặt n = (m, X)
Tương tự như trên ta có R[X]n là địa phương hoá của Rm[X] do vậy không làm mất tính tổng quát ta có thể thay R bằng Rm.
Tiếp tục cũng theo các chứng minh trên ta cũng có kết quả sau
dimR[X]n = htn = 1 + htm = 1 + dimR(1).
Do x ∈ n2 khi và chỉ khix ∈ nR[X]n/(nR[X]n)2 nên tồn tại một hệ sinh tối tiểu x1, . . . , xn của m sao cho (x1, . . . , xn) là hệ sinh tối tiểu của n từ đó ta có à(n) = à(m) + 1. Mặt khác theo giả thiết R[X] là chính quy nên suy ra
R[X]n là chính quy, từ đó ta có
dimR[X]n = à(nR[X]n) =à(n) =à(m) + 1(2).
Từ (1) và (2) suy ra 1 + dimR = 1 +à(m). Vậy ta có dimR = à(m) hay