Vành và môđun phân bậc luận văn thạc sĩ toán học

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGễ TH NH TUYT VNH V MễUN PHN BC LUN VN THC S TON HC Ngh An 12.2011 MC LC Trang Mc lc M u Chng Vnh v mụun phõn bc 1.1 Vnh phõn bc 1.2 Mụun phõn bc 13 1.3 Vnh v mụun Rees 15 1.4 Vnh v mụun phõn bc liờn kt 19 Chng S phõn tớch nguyờn s ca mụun phõn bc 24 2.1 S phõn tớch nguyờn s ca mụun .24 2.2 S phõn tớch nguyờn s ca mụun phõn bc .26 Kt lun 31 Ti liu tham kho 32 M U Trong ton b Lun vn, cỏc vnh c nhc n l vnh giao hoỏn cú n v Cho G l mt v nhúm cng giao hoỏn vi phn t trung hũa Mt vnh giao hoỏn cú n v R c gi l mt vnh G-phõn bc, nu tn ti mt h cỏc nhúm cng giao hoỏn { R } G ca R tha cỏc iu kin sau: i) R = R ; ii) R R R + vi mi , G G Cho R = R l mt vnh G - phõn bc Ngi ta thng gi R l G thnh phn bc ca R v kớ hiu l [ R ] Mi phn t x R c gi l phn t thun nht bc Mt iờan I ca R c gi l iờan thun nht hay iờan phõn bc nu I = ( I R ) G Cho G l mt v nhúm ca v nhúm cng giao hoỏn G*, R = R G l mt vnh G - phõn bc Mt R mụun M c gi l R mụun G* phõn bc nu tn ti mt h { M } G* cỏc nhúm cng ca M tha cỏc iu kin sau: M ; (i) M = G* (ii) R M M + , vi mi G, G* M l R-mụun phõn Cho R = R l mt vnh phõn bc v M = * G G bc Ngi ta thng gi M l thnh phn thun nht bc ca M v kớ hiu l [ M ] Chỳ ý rng M v h { M } G* u l cỏc R0 mụun Mi phn t x M c gi l phn t thun nht bc Mt mụun N ca M c gi l mụun thun nht hay mụun phõn bc N= G* nu (N M ) Cho K l mt trng, vnh a thc R = K[X1, , Xd] l mt vớ d in hỡnh v vnh phõn bc Vnh ny cú th phõn bc nh sau: 1) Gi Rn l tt c cỏc a thc thun nht bc n (l cỏc a thc m cỏc n thc ú u cựng bc n), tớnh c a thc Khi ú R = Rn tr thnh n mt vnh Ơ phõn bc Kiu phõn bc nh vy ca vnh a thc c gi l phõn bc chun hay phõn bc t nhiờn 2) Ơ d l mt v nhúm giao hoỏn vi phộp = (1 , , d ) Ơ d , t R = KX 11 X 2 X d d Khi ú R = cng R N d Vi mi cng l mt vnh Ơ d -phõn bc Nh vy, ta thy trờn cựng mt vnh cú th cú nhiu cỏch phõn bc khỏc Vnh Rees, mụun Rees, vnh phõn bc liờn kt v mụun phõn bc liờn kt l cỏc trng hp c bit ca vnh v mụun phõn bc Chỳng va l i tng va l cụng c quan trng ca i s giao hoỏn v Hỡnh hc i s Mc ớch ca Lun l da vo cỏc ti liu tham kho trỡnh by mt cỏch cú h thng mt s v vnh v mụun phõn bc, s phõn tớch nguyờn s ca mụun phõn bc Lun c chia lm hai chng Chng 1: Vnh v mụun phõn bc Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by v mụun phõn bc, vnh phõn bc, vnh v mụun Rees, vnh v mụun phõn bc liờn kt Chng 2: S phõn tớch nguyờn s ca mụun phõn bc Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by s phõn tớch nguyờn s ca mụun phõn bc v tỡm hiu v cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca mụun phõn bc Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo TS Nguyn Th Hng Loan Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh n cụ Nhõn dp ny, tụi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim khoa Sau i hc, Ban ch nhim khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn ó tn tỡnh ging dy v giỳp tụi sut thi gian hc Tụi cng xin cm n Ban giỏm hiu Trng THCS An Lc Qun Bỡnh Tõn cựng th cỏc ng nghip ó to iu kin cho tụi sut quỏ trỡnh hc Cui cựng xin cm n cỏc anh ch, cỏc bn lp Cao hc 17 i s v Lý thuyt s ca Trng i hc Vinh ti i hc Si Gũn ó cng tỏc, giỳp v ng viờn tụi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu Do iu kin hn ch v mt thi gian cng nh kin thc nờn dự ó cú nhiu c gng nhng lun khụng trỏnh nhng hn ch v thiu sút Kớnh mong nhn c cỏc gúp ý ca quý thy, cụ giỏo, cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Ngh An, thỏng 12 nm 2011 Tỏc gi CHNG VNH V MễUN PHN BC 1.1 Vnh phõn bc 1.1 nh ngha Cho (G,+) l mt v nhúm cng giao hoỏn vi phn t trung hũa Mt vnh giao hoỏn cú n v R c gi l mt vnh G - phõn bc, nu tn ti mt h cỏc nhúm cng giao hoỏn { R } G ca R tha cỏc iu kin sau: i) R = R ; G ii) R R R + vi mi , G 1.2 Mnh Nu R = R l mt vnh G-phõn bc thỡ R0 l mt vnh G ca R cha n v 1, v R l cỏc R0-mụun vi mi G Chng minh Bi R0 R0 R0 nờn R0 l úng vi phộp nhõn, ú R0 l mt vnh ca R Gi s = x v x = hu ht tr mt s hu hn Khi G ú vi mi G ta cú x = 1x = x x Do biu din tng l nht nờn G x = x0 x vi mi G iu ny dn n x = x0x vi mi x R , vy x0 = v R0 Cui cựng t R0 R R vi mi G , nờn R l cỏc R0 - mụun vi mi G 1.3 W nh ngha Cho mt vnh G - phõn bc: R = R G i) Mi phn t x R c gi l mt phn t thun nht bc v kớ hiu bc ca x l deg x = Quy c: Phn t c coi l mt phn t thun nht bc tựy ý ii) Vnh S ca R gi l mt vnh phõn bc hay vnh thun nht nu S = ( S R ) G iii) Mt iờan I ca R c gi l mt iờan phõn bc hay iờan thun nht nu I = ( I R ) G iv) Mt iờan I ca R c gi l tha nhn c nu mi hu hn J ca R, thỡ t x J I vi x R , s kộo theo cỏc thnh phn thun nht x u thuc I 1.4 nh lý Cho I l mt iờan ca vnh phõn bc R Khi ú ba mnh sau l tng ng: i) Iờan I l tha nhn c; ii) Iờan I l thun nht; iii) Iờan I c sinh bi cỏc phn t thun nht no ú ca R Chng minh i ) ii ) : Gi s x = x I , x R Vỡ I l mt iờan tha J ( I R ) Bao nhn c, nờn tt c x I Do ú x I R Vy I G hm thc ngc li l iu hin nhiờn ii ) iii ) : Hin nhiờn iii ) i ) : Gi s I c sinh bi S nhng phn t thun nht ca R Ly x n tựy ý thuc I, thỡ x = i si vi i R, si S Gi x l tng tt c cỏc hng i =1 t cựng bc tng biu din ca x, thỡ x = deg( i , si ) = i si v x = x J Bi S l h sinh ca I, nờn x I Do ú I l mt iờan tha nhn c Cho I, J l cỏc iờan ca R W I : J = { x R | xJ I } = { x R | xy I , y J } Khi ú I : J l iờan ca R v gi l iờan thng ca I v J 1.5 Mnh Nu I, J l cỏc iờan thun nht ca mt vnh phõn bc R, thỡ I + J; IJ; I J cng l cỏc iờan thun nht V nu R = Rn l mt n vnh  -phõn bc, thỡ I ; ( I : J ) cng l cỏc iờan thun nht Chng minh Do nh lý 1.1.4 nờn I + J; IJ; I J l cỏc iờan thun nht Xột trng hp R l mt vnh  -phõn bc, I v J l cỏc iờan thun nht ca R = Rn Gi s r l mt phn t bt kỡ thuc n I , thỡ r luụn phõn tớch c di dng r = rd1 + + rdm , ú rd1 Rd1 , d1 < < dm v rd1 n n n Vỡ r I nờn tn ti n r = (rd1 + + rdm ) = rd1 + I Do I l thun n n nht, nờn rd1 I , dn n rd1 I Lp lun tng t, thay r bi r rd1 , ta c rd2 I , Sau hu hn bc, ta thu c mi thnh phn thun nht ca r u thuc I Vy I l mt iờan thun nht Tip theo, ta s chng minh ( I : J ) cng l iờan thun nht Tht vy, gi s r l mt phn t bt kỡ thuc ( I : J ) Khi ú r = rd1 + + rdm , ú rd1 Rd1 , d1 < < dm v rd1 Ly x bt kỡ thuc J Do J l mt iờan phõn bc nờn x = xe1 + + xen vi xei Rei J , e1