Vành và môđun phân bậc luận văn thạc sĩ toán học

Một môđun con N của M được gọi là môđun con thuần nhất hay môđun con phân bậc nếu 1 Gọi R n là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n là các đa thức mà các đơn thức trong đó đều cùng bậ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ ÁNH TUYẾT

VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 12.2011 MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Chương 1 Vành và môđun phân bậc 5

1.1 Vành phân bậc 5

1.2 Môđun phân bậc 13

1.3 Vành và môđun Rees 15

1.4 Vành và môđun phân bậc liên kết 19

Chương 2 Sự phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc 24 2.1 Sự phân tích nguyên sơ của môđun 24

2.2 Sự phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc 26

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 32

=⊕ là một vành G - phân bậc Người ta thường gọi Rαlà

thành phần bậc α của R và kí hiệu là [ ]R α Mỗi phần tử x R∈ αđược gọi là

phần tử thuần nhất bậc α Một iđêan I của R được gọi là iđêan thuần nhất

hiệu là [ ]M β Chú ý rằng M và họ { }Mβ β∈G*đều là các R 0 – môđun Mỗi phần

tử x ∈ Mβ được gọi là phần tử thuần nhất bậc β Một môđun con N của M được gọi là môđun con thuần nhất hay môđun con phân bậc nếu

1) Gọi R n là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n (là các đa thức mà các đơn

thức trong đó đều cùng bậc n), tính cả đa thức 0 Khi đó

0

n n

≥

một vành ¥ phân bậc Kiểu phân bậc như vậy của vành đa thức được gọi là−

phân bậc chuẩn hay phân bậc tự nhiên.

2) ¥ là một vị nhóm giao hoán với phép cộng Với mỗid

Chương 1: Vành và môđun phân bậc Trong chương này, chúng tôitrình bày về môđun phân bậc, vành phân bậc, vành và môđun Rees, vành vàmôđun phân bậc liên kết.

Chương 2: Sự phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc Trong chươngnày, chúng tôi trình bày sự phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc và tìmhiểu về tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun phân bậc

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS.Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến cô.Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học,Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo khoa Toán đã tận tình giảng dạy

và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập Tôi cũng xin cảm ơn Ban giámhiệu Trường THCS An Lạc Quận Bình Tân cùng tập thể các đồng nghiệp đãtạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập Cuối cùng xin cảm ơn cácanh chị, các bạn trong lớp Cao học 17 – Đại số và Lý thuyết số của TrườngĐại học Vinh tại Đại học Sài Gòn đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tôi trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu

Do điều kiện hạn chế về mặt thời gian cũng như kiến thức nên dù đã cónhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót.Kính mong nhận được các góp ý của quý thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp

để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1. VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC

1.1 Vành phân bậc

1 1.1 Định nghĩa Cho (G,+) là một vị nhóm cộng giao hoán với phần tử

trung hòa 0 Một vành giao hoán có đơn vị R được gọi là một vành G - phân

bậc, nếu tồn tại một họ các nhóm con cộng giao hoán { }Rα α∈G của R thỏa

mãn các điều kiện sau:

Chứng minh Bởi R R0 0 ⊂R0nên R 0 là đóng với phép nhân, do đó R 0 là một

i) Mỗi phần tử x R∈ αđược gọi là một phần tử thuần nhất bậcα và kí

hiệu bậc của x là deg x=α

Quy ước: Phần tử 0 được coi là một phần tử thuần nhất bậc tùy ý

ii) Vành con S của R gọi là một vành con phân bậc hay vành con thuần

1 1.4 Định lý Cho I là một iđêan của vành phân bậc R Khi đó ba mệnh

đề sau là tương đương:

i) Iđêan I là thừa nhận được;

ii) Iđêan I là thuần nhất;

iii) Iđêan I được sinh bởi các phần tử thuần nhất nào đó của R.

nhận được, nên tất cả xα∈I Do đó xα∈ ∩I Rα Vậy I ⊂ ⊕ ∩α∈G(I Rα) Bao

hàm thức ngược lại là điều hiển nhiên

Bởi S là hệ sinh của I, nên xα∈I Do đó I là một iđêan thừa nhận được W

Cho I, J là các iđêan của R.

1 1.5 Mệnh đề Nếu I, J là các iđêan thuần nhất của một vành phân bậc R,

thì I + J; IJ; I ∩J cũng là các iđêan thuần nhất Và nếu n

n

∈Ζ

=⊕ là một vành ¢ -phân bậc, thì I ; (I J cũng là các iđêan thuần nhất.: )

Chứng minh Do Định lý 1.1.4 nên I + J; IJ; I ∩J là các iđêan thuần nhất

Xét trường hợp R là một vành ¢-phân bậc, I và J là các iđêan thuần

n

∈Ζ

=⊕ Giả sử r là một phần tử bất kì thuộc I , thì r luôn phân

tích được dưới dạng r r= + +d1 r d m, trong đó r d1∈R d1, d 1 < … < dm và r d1 ≠0.

nhất, nên r d n1∈I, dẫn đến r d n1∈ I Lập luận tương tự, thay r bởi r r− d1, ta

được r d2 ∈ I , Sau hữu hạn bước, ta thu được mọi thành phần thuần nhất

của r đều thuộc I Vậy I là một iđêan thuần nhất.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (I J cũng là iđêan thuần nhất Thật vậy,: )

giả sử r là một phần tử bất kì thuộc ( I J Khi đó : ) 1

rx r x= + ∈I, ta suy ra r x d1 e1∈I Thay x bởi x x− e1, ta lại rút ra r x d1 e2 ∈I.

Quá trình lặp lại sau hữu hạn bước, ta được r x d1 e n ∈I, do đó r x I d1 ∈ hay

d

r ∈ I J Thay r bởi r r− d1, lập luận tương tự suy ra r d2∈( : )I J , và sau

hữu hạn bước lặp ta nhận được mọi thành phần thuần nhất của r đều thuộc (I:

J) Vậy (I J là iđêan thuần nhất : ) W

Với mỗi I là một iđêan phân bậc của vành G - phân bậc R, ta nhận được

→ ⊕  ∩ ÷ cho bởi F(x) = x * Dễ kiểm

tra được F là một toàn cấu với Ker F = I Vì vậy ta nhận được đẳng cấu sau:

G

G G

R R

1 1.7 Chú ý Cho S là một vành con của vành R (không nhất thiết phân

bậc) Khi đó người ta gọi R là S - đại số Nếu a 1, , an ∈ R, kí hiệu S[a 1, ,

an ] là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính trên S của các phần tử

1

1p p n( , ,1 )

a a p p ∈¥ Tập này rõ ràng là một vành con của R Có thể xem nó

như vành đa thức nhưng ở đây a 1, , an không phải là các biến độc lập Nếu

tồn tại a 1, , an ∈ R để R = S[a 1, , an ] thì R được gọi là S - đại số hữu hạn

sinh Giả sử R i R i

∈

= ⊕

¢ là ¢-phân bậc Nếu Ri = 0 với mọi i < 0 thì R gọi là

vành phân bậc dương hay ¥ phân bậc Vành phân bậc dương − R i 0R i

≥

= ⊕ được

gọi là vành phân bậc chuẩn trên R 0 nếu R = R0 [R 1]

1 1.8 Ví dụ Vành phân bậc chuẩn hay gặp nhất là vành đa thức A[x], trong

đó A là một vành, với A i là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức có bậc tổng thể

là i và hệ số thuộc A Như vậy đa thức thuần nhất là tổng của các từ có bậc

tổng thể bằng nhau

I là iđêan thuần nhất của A[x] nếu nó sinh bởi các đa thức thuần nhất.

Chẳng hạn mọi iđêan đơn thức là iđêan thuần nhất;

( x3− y z x yz y z2 ; 4 − 5 +6y z2 4)là iđêan thuần nhất của K[x, y, z] Khi đó vành

thương [ ]A x I là một ví dụ khác về vành phân bậc chuẩn.

Ta biết rằng một iđêan thực sự I của vành R tùy ý là nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R mà ab I∈ thì hoặc a I∈ hoặc b I∈ Mệnh đề sau đây là tiêuchuẩn hữu hiệu để nhận biết một iđêan nguyên tố thuần nhất trong các vành

ii ⇒i Giả sử ab I∈ và b I∉ Giả sử a được biểu diễn thành tổng các phần

tử thuần nhất a a= +e a e+1+ + a d với a j∈R j và a e ≠0.Vì b I∉ , nên b = b’

+ c, trong đó ' b ∈I, c b= +r b r+1+ + b svới tất cả các b j∈R I j \ Như vậy ta

được ac a b= e r +(a b e+1 r +a b e r+1) + +a b d s∈I Vì I là một iđêan thuần nhất

I và b r∉I nên a e+1∈I Tiếp tục quá trình trên ta sẽ thu được tất cả các a j∈I

Do đó a I∈ Vậy I là một iđêan nguyên tố W

Chứng minh Giả sử a và b là các phần tử thuần nhất của R và ab∈p* Khi

đó ab∈p Vì p nguyên tố nên a∈ p hoặc b∈ p Mà p* là iđêan sinh bởi tập

tất cả các phần tử thuần nhất trong p nên a∈ p* hoặc b∈ p* Do đó, theoMệnh đề 1.1.9 ta có p* là một iđêan nguyên tố W

1 1.11 Hệ quả Trong một vành ¢-phân bậc n

Chứng minh Vì R là vành giao hoán có đơn vị, nên R luôn có một iđêan cực

đại m Do m là iđêan cực đại nên nó cũng là iđêan nguyên tố Do đó theo Hệquả 1.1.10 thì m* là iđêan nguyên tố thuần nhất của R W

Cho vành

0

n n

tập các phần tử thuần nhất có bậc dương trong R Khi đó {x1, ,x là một hệ n}

sinh của R+ khi và chỉ khi R R x= 0[ 1, ,x n] .

Chứng minh.( )⇒ : Giả sử R+ =(x1, ,x n) , ta cần chứng minh

[ ]

0 1, ,

R ⊂R x x Dễ thấy R0 ⊂ R x0[ 1, ,x n] Giả sử Mệnh đề đúng với mọi

t < r, tức là R t ⊂ R x0[ 1, ,x n] với mọi t < r Ta chứng minh Mệnh đề đúng đến r Lấy x bất kì thuộc R r thì x được viết x a x= 1 1+ + a x n n với a i∈R

Nhận xét rằng ta luôn có thể coi các a i là các phần tử thuần nhất Khi đó với

mọi i ta có deg a x i i =dega i +degx i =r Từ đó suy ra deg a i < r Sử dụng giả

thiết quy nạp, ta suy ra a i ∈R x0[ 1, ,x n] Từ đó ta có R r ⊂ R x0[ 1, ,x n] Vậyquy nạp đã xong ta được R R x= 0[ 1, ,x n]

( )⇐ : Nếu R R x= 0[ 1, ,x n] thì {x1, ,x là hệ sinh của R+ n} W

1 1.13 Hệ quả Cho

0

n n

( )⇐ : Ta có R R x= 0[ 1, ,x n] và R 0 là Noether Dễ thấy, R là ảnh đồng cấu của vành đa thức n-biến trên R 0 : A = R R x= 0[ 1, ,x n] Theo Định lí cơ sở của

Hilbert thì A là vành Noether Do đó R là vành Noether W

1 1.14 Định nghĩa Cho R, S là hai vành G - phân bậc và : f R→Slà một

đồng cấu vành Đồng cấu f được gọi là một đồng cấu phân bậc hay thuần

nhất bậc β nếu f R( )0 ⊂Sα β+ với mọi α ∈G Một đồng cấu thuần nhất với

một bậc nào đó, gọi tắt là một đồng cấu thuần nhất hay đồng cấu phân bậc.

1 1.15 Ví dụ a/ Cho R là một vành G - phân bậc và r R∈ β Khi đó đồng

cấu : Rϕ →R nhân bởi r là thuần nhất bậc β

b/ Xét vành đa thức hai biến R = k[X, Y] trên trường k với phân bậc chuẩn.

Khi đó đồng cấu :f R→S xác định bởi f(X) = X + Y và f(Y) = X là một tự đồng cấu phân bậc của R Nhưng đồng cấu : h R→R xác định bởi

h X =X + và h Y( ) = 1Y + không phải là một đồng cấu phân bậc

1 1.16 Mệnh đề Cho R, S, T là các G-phân bậc Nếu : Rϕ →S là một đồng cấu thuần nhất bậc β và : Sψ →T là một đồng cấu thuần nhất bậc γ

( ) 0xα

ϕ = với mọi α ∈J Vậy xα∈Kerϕ với mọi α ∈J Do đó Kerϕ là

một iđêan thuần nhất của R W

là một R-môđun G * -phân bậc nếu tồn tại một họ { }Mβ β∈G*các nhóm con cộng

của M thỏa mãn các điều kiện sau:

ii) R Mα β ⊂Mα β + với mọi α∈G,β∈G*

Người ta thường gọi Mβlà thành phần thuần nhất phân bậc β của M

và kí hiệu là [ ]M β Dễ thấy rằng M và họ { }Mβ β∈G*đều là các R 0-môđun.

môđun con thuần nhất, nếu ( )

-môđun phân bậc và :ϕ M →M ' là một đồng cấu R-môđun ϕ được gọi là

một đồng cấu phân bậc hay thuần nhất bậc γ nếu ϕ( )Mβ ⊂M'β γ+ với mọi

*

G

β ∈ Nếu đồng cấu ϕ là thuần nhất bậc nào đó, thì người ta gọi tắt là đồng

cấu thuần nhất hay đồng cấu phân bậc.

1 2.4 Ví dụ Cho M là môđun phân bậc trên vành phân bậc Cho p∈¢ Kí

hiệu M(p) là môđun M nhưng với phân bậc

M(p)i = M p + i

Khi đó M(p) cũng là môđun phân bậc trên R Ta nói M(p) là môđun dịch

chuyển của M và p là số dịch chuyển.

Các kết quả dưới đây là tương tự như trong vành và chứng minh củachúng cũng giống như chứng minh các mệnh đề tương tự trong vành

1 2.5 Định lý Cho N là một môđun con của môđun phân bậc M Khi đó ba

mệnh đề sau là tương đương:

i) Môđun con N là thừa nhận được;

ii) Môđun con N là thuần nhất;

iii) Môđun con N sinh bởi tập những phần tử thuần nhất của M.

1 2.6 Mệnh đề Nếu L và N là các môđun con thuần nhất của một R-môđun

phân bậc M và I là một iđêan thuần nhất của R thì L +N, L∩N , IL đều là

các môđun con thuần nhất của M Thêm nữa, nếu n

phân bậc và

*

G

M M

-môđun phân bậc và :ϕ M →M 'là một đồng cấu thuần nhất R-môđun Khi

đó Kerϕ, Imϕ tương ứng là các môđun con thuần nhất của M, M’.

1 2.9 Mệnh đề Cho R, S là các vành G-phân bậc Khi đó mỗi đồng cấu

vành : f R→S cảm sinh một cấu trúc R-môđun trên S, cho bởi: r * s = f(r)s với mọi r R∈ và s S∈ , và S là một R-môđun phân bậc nếu và chỉ nếu f là một đồng cấu thuần nhất bậc 0.

Chứng minh S là một R - môđun phân bậc khi và chỉ khi ∀α β, ∈G ta có:

[ ] [ ]R α* S β = f R( ) [ ]α [ ] [ ]S β ⊂ S α β+ Điều này xảy ra khi và chỉ khi

F = I ≥ các iđêan của R Họ F được gọi là một lọc các iđêan của R nếu nó

đồng thời thỏa mãn hai điều sau:

i) R I= ⊃0 I1 ⊃ ⊃I n

ii) I I m n ⊂I m n+ với mọi m và n.

Lọc F được gọi là lọc tách được nếu

0

0

n n

I

≥

=

Cho F ={ }I n n≥0là một lọc các iđêan của vành R Khi đó F sinh ra các

I t I

I t I

I t I

⊕  ÷ là một dạng biểu diễn của G(F).

Giả sử m là một iđêan cực đại của vành R và J là một iđêan m - nguyên

sơ Khi đó F F J( )=R F( )JR F( ) được gọi là fiber cone của lọc F theo iđêan J

và có dạng biểu diễn phân bậc là F J (F) =

I t JI

≥

⊕  ÷Lọc F ={ }I n n≥0 được gọi là một lọc Noether nếu

0

n n

• ( )1

0

n n

Đại số Rees mở rộng của I.

Bốn vành phân bậc này đều được gọi là các vành nổ theo tâm I.

1 3.2 Định lý Cho I là một iđêan của một vành Noether R, m là một iđêan

cực đại của R và J là một iđêan m - nguyên sơ Khi đó các vành:

( )1

n n

I I

Chứng minh Vì R là một vành Noether nên iđêan I là một iđêan hữu hạn

sinh Do đó R(I)= R[IT]; T[I] = R[t -1 ;It] đều là các đại số hữu hạn sinh trên R,

nên cả hai đều là các vành Noether Lại do G(I) và F J (I) cùng là các vành thương của R[I] nên chúng cũng là các vành Noether W

Cho M là một R-môđun, một họ W ={ }M n n≥0các R-môđun con của M được gọi là một lọc tương thích với lọc F = { }I n n≥0 các iđêan của R, nếu họ

W đồng thời thỏa mãn ba điều sau:

i) M0 = M.

ii) Mn+1⊂M n,∀ ≥n 0.

iii) I M n m ⊂M n m+ ,∀m n,

Với một lọc W ={ }M n n≥0 các R - môđun con của một R - môđun M,

tương thích với một lọc F = { }I n n≥0 các iđêan của R Khi đó ta thu được một

R(F) - môđun phân bậc: R W( ) : n 0M t n n

≥

W = M ≥ các môđun con của M được gọi là một I-lọc nếu W ={ }M n n≥0là

một lọc tương thích với lọc I-adic F ={ }I n n≥0 Một lọc được gọi là một

I-lọc ổn định hay I-lọc I-ổn định nếu IMn = Mn+1 với mọi n đủ lớn.

1 3.4 Mệnh đề Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R, I là

một iđêan của R, và giả sử W ={ }M n n≥0là một I-lọc của M Khi đó hai mệnh

đề sau là tương đương:

i) { }M n n≥0là một I-lọc ổn định.

ii) R(W) là một R(I)-môđun phân bậc Noether.

Chứng minh Theo Định lý 1.3.2 thì R(I) là vành Noether Do đó R(W) là một R(I) - môđun phân bậc Noether khi và chỉ khi R(W) là một R(I) - môđun hữu

hạn sinh Nhưng R(W) là một R(I) - môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dương n để

1 3.5 Hệ quả Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R, I là

một iđêan của R, W ={ }M n n≥0 là một lọc I-ổn định của M Khi đó nếu N là một môđun con của M thì V ={N n = ∩N M n n} ≥0là một lọc I-ổn định của N.

Chứng minh Dễ kiểm tra được V là một I-lọc Từ đó suy ra R(V) là một

R(I)-môđun con của R(W) Vì W ={ }M n n≥0là một lọc I-ổn định của M, nên theo

Mệnh đề 1.3.4 thì R(W) là một R(I)-môđun Noether Vì vậy R(V) cũng là một

R(I)-môđun Noether Do đó, theo Mệnh đề 1.3.4, ta được V là một lọc I-ổn

định của N W

Từ hệ quả này ta có ngay hệ quả sau đây

1 3.6 Hệ quả (Bổ đề Artin-Rees) Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên

vành Noether R và I là một iđêan của R, N là môđun con của M Khi đó với mọi số nguyên m đủ lớn ta có:

( ) ( )

I I M ∩N = I + M ∩N với mọi k ≥0.

1 4 Vành và môđun phân bậc liên kết

1 4.1 Giới hạn ngược Xét một dãy các nhóm {A n} và các đồng cấu

fn+1: An+1 → An.

Ta gọi chúng là một hệ ngược Khi đó nhóm tất cả các dãy (a n ), trong đó a n ∈

An và f n+1 (a n+1 ) = a n được gọi là giới hạn ngược của hệ ngược nói trên và được

ký hiệu là lim n

n A

suuu

1 4.2 Đầy đủ I-adic Cho R là một vành và I là một iđêan của vành R Ta xét

R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan I , với n = n 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý r R∈ gồm các lớpghép r I+ n với n = 0, 1,2 Tôpô xác định bằng cách này trên R được gọi là tôpô I-adic.

Ta có hệ ngược {R/I n R} và giới hạn ngược của hệ ngược này được kí

hiệu là R∧ ( R∧ = lim /suuun R I R n ) Khi đó R∧ là một vành và gọi là đầy đủ I-adic

của vành R Nếu R ≅ R∧ thì R được gọi là vành đầy đủ theo tôpô I- adic.