Vành cực tiểu nội xạ

Mục lục Trang Mở đầu: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Chương Một số kiến thức chuẩn bị: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ::4 1:1 Môđun nội xạ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1:2 Sự nội xạ lẫn nhau: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ::10 1:3 Môđun liên tục : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 1:4 Môđun tựa liên tục: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 1:5 Vành tựa - Frobenius: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :::17 Chương Vành cực tiểu nội xạ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 2:1 Định nghĩa ví dụ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 2:2 Vành cực tiểu đối xứng : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :33 2:3 Tính đối ngẫu điều kiện Kasch: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 2:4 Vành cực tiểu linh hoá tử: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: 39 Kết luận: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tài liệu tham khảo: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 : 42 Mở đầu Vành cực tiểu nội xạ phải M Ikeda giới thiệu vào năm 1952 sau J Dieuconne M Harada tiếp tục nghiên cứu, năm 1970 J E Bijork năm 1989 V Camillo đưa số khái niệm ví dụ vành cực tiểu nội xạ Một số tính chất vành tự - nội xạ phải nghiên cứu từ lớp vành cực tiểu nội xạ phải Ngoài ra, số khái niệm, tính chất vành cực tiểu nội xạ phải ứng dụng vào việc nghiên cứu Q-F vành (Quasi - Frobenius rings) số vành khác Luận văn tập trung khai thác số tính chất quan trọng vành cực tiểu nội xạ phải Chủ yếu sâu vào việc chứng minh chi tiết tính chất vành cực tiểu nội xạ phải tìm hiểu mối liên hệ vành cực tiểu nội xạ phải với số vành khác như: Vành actin, vành cực tiểu đối xứng, vành cực tiểu linh hoá tử : : : Luận văn trình bày theo chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục, trình bày số khái niệm môđun nội xạ, nội xạ lẫn nhau, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, vành tựa -Frobenius Chương Vành cực tiểu nội xạ Sử dụng kết chương để tìm hiểu vành cực tiểu nội xạ mối liên hệ vành cực tiểu nội xạ với vành actin, vành cực tiểu đối xứng, vành cực tiểu linh hoá tử : : : Luận văn hoàn thành nhờ tận tình hướng dẫn thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh, đặc biệt thầy cô giáo tổ Đại số tạo điều kiện giúp đỡ góp ý để tác hiểu sâu vấn đề, tạo điều kiện để luận văn hoàn thành Mặc dù cố gắng trình độ thời gian có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong góp ý quý thầy cô giáo đồng nghiệp để tác giả hiểu sâu vấn đề Lê Na r Chương Một số kiến thức chuẩn bị Đặt J = J(R) = \T Ătối đại T Jacobson R Mn (R) vành ma trận n Ê n R Các môđun phải, trái kí hiệu MR RM , đồng cấu môđun hiểu theo nghĩa thông thường Nếu M R Ă môđun, ký hiệu Z(M); Soc(M ) M Ô = homR (M; R) môđun suy biến, đế đối ngẫu M Chiều Goldie môđun M kí hiệu dim(M ) R vành, ký hiệu Soc(RR ) = Sr ; Soc(R R) = Sl ; Z(RR ) = Zr Z(R R) = Zl : Môđun tối đại, môđun cốt yếu môđun bé N M kí hiệu là: N àmax M; N àe M N àsm M; kí hiệu N àâ M N hạng tử trực tiếp M Các linh hoá tử phải kí hiệu là: r(Y ) = rX (Y ) = fx X j yx = 0; 8y Y g, tương tự với linh hoá tử trái lX (Y ) = l(Y ) Các ánh xạ x 7! ax x 7! xa kí hiệu a Âa, ẳ tính chất môđun, ta gọi M môđun ẳ có tính chất ẳ vành R vành ẳ phải RR môđun ẳ (với quy ước tương tự bên trái) 1.1 môđun nội xạ 1.1.1 Định nghĩa Cho M RĂ môđun (môđun phải), K môđun M gọi môđun cốt yếu M với môđun X 6= M K \ X 6= 0, kí hiệu: K àe M 1.1.2 Bổ đề Cho M môđun (1) Nếu K N M K àe M , K àe N N àe M (2) Nếu K àe N M K àe N M K \ K àe N \ N (3) Nếu đ : M ! N đồng cấu K àe N đĂ1 (K) àe M , với đĂ1(K) = fm M j đ(m) Kg (4) Cho M = âi2I Mi tổng trực tiếp, Mi M với i cho Ki Mi với i Khi âi2I Ki àe M , Ki àe Mi với i Chứng minh Ta chứng minh (1) K àe M , 80 6= Q M ta có K \ Q 6= ) P = N \ Q 6= ) N àe M Ta lại có K \ P 6= ) K àe N: Ngược lại K àe N N àe M Lấy 6= H M ta chứng minh H \ K 6= Thật vậy, N àe M ) X = H \ N 6= ) X N; X 6= Vì K àe N nên K \ X 6= mà X H ) K \ H 6= ) K àe M (2) K àe N M; K àe N M Ta cần chứng minh K \ K àe N \ N Giả sử 6= X N \ N ) K \ X 6= (vì K àe N 0; X N ) ) K \ X N (vì X N ) ) K \ (K \ X) 6= (vì K àe N) ) K \ K àe N \ N (3) Giả sử 6= X M ta chứng minh X \ đĂ1 (K) 6= Thật vậy, đặt Y = đ(X), đ đồng cấu nên suy Y N Nếu 6= Y; K àe N ) Y \ K 6= ) X \ đĂ1 (K) 6= Nếu = Y ) X ker(đ) đĂ1(K) ) X \ đĂ1(K) = X 6= ) đĂ1 (K) àe M (4) Đặt K = âi2I Ki giả sử Ki àe Mi ; i I Khi K àe M , mR \ K 6= với 6= m M Trường hợp 1: I hữu hạn Ta dùng phương pháp quy nạp Giả sử jIj = 2, cho K1 àe M1 ; K2 àe M ) K1 \ K2 àe M1 \ M2 Ta có àe M1 \ M2 ) M1 \ M2 = ) tồn M1 â M2 Xét ẳ1 : M1 â M2 Ă! M1 ẳ2 : M1 â M2 Ă! M2 Do K1 àe M1 nên K1 â M2 = ẳ1Ă1 (K1 ) àe M1 â M2 (theo (3)) Tương tự ta có M1 â K2 = ẳ2Ă1 (K2 ) àe M1 â M2 Suy ra, K1 â M2 \ M1 â K2 àe M1 â M2 (theo (2)) Ta lại có, K1 â M2 \ M1 â K2 = [(K1 â M2 ) \ M1 ] â K2 = K1 â (M2 \ M1 ) â K2 = K1 â K2 ) K1 â K2 àe M1 â M2 : Trường hợp 2: I vô hạn Lấy 6= m M ) m = m1 +    + mn ) mR m1 R +    + mn R M1 â    â Mn (do miR Mi ) Theo trường hợp ta có: ân1 Ki àe ân1 Mi ) mR \ ân1 Ki 6= suy ra, mR \ âI Ki 6= ) âI Ki àe âI Mi: 1.1.3 Định nghĩa Cho M A RĂ môđun (i) M gọi AĂ nội xạ với X môđun A, đồng cấu f : X Ă! M tồn mở rộng f f Ô : A Ă! M , nghĩa f Ô i = f với i phép nhúng đồng (ii) M gọi tự- nội xạ (tựa- nội xạ) M M Ă nội xạ (iii) M gọi nội xạ M AĂ nội xạ với môđun A 1.1.4 Bổ đề Môđun E nội xạ K M , đồng cấu : K Ă! E mở rộng thành đồng cấu : M Ă! E Chứng minh Nếu E nội xạ, từ định nghĩa ta suy với K M , đồng cấu : K Ă! E tồn mở rộng : M Ă! E Ngược lại, đ : N Ă! M đơn cấu, ánh xạ đ0 : đ(N) Ă! N xác định đ0(đ(n)) = n; n N Khi đó, cho ánh xạ : N Ă! E, ánh xạ đ0 : đ(N) Ă! E mở rộng thành : M Ă! E (theo giả thiết), ta kiểm tra đ = Vậy E nội xạ (theo định nghĩa) 1.1.5 Hệ Giả sử E = ƯiEi tích trực tiếp môđun, E nội xạ Ei nội xạ với i ẳ ắi j Chứng minh Cho Ei ĂĂ ! E ĂĂ! Ej ánh xạ tắc Nếu E nội xạ nếuK M , cho : K Ă! Ei, tồn : M Ă! E cho = ắi K Khi ẳi : M Ă! Ei mở rộng Vậy Ei nội xạ (theo bổ đề 1.1.4) Ngược lại, Ei nội xạ, lấy đ : K Ă! E; K M Với i, tồn i : M Ă! Ei mở rộng ẳi đ Nếu : M Ă! E xác định (m) = (i(m)), với m M mở rộng đ x = (ẳi (x)), với x M Vậy E nội xạ (theo bổ đề 1.1.4) 1.1.6 Bổ đề (Tiêu chuẩn Baer) RĂ môđun phải E nội xạ với T R iđêan phải, đồng cấu : T Ă! E mở rộng thành R ! E = c phép nhân, c phần tử thuộc E 1.1.7 Bổ đề Cho R vành, khẳng định sau đúng: (1) Nếu Q nhóm chia ER = homZ (R; Q) RĂ môđun nội xạ phải (2) Mỗi môđun MR nhúng vào môđun nội xạ phải Chứng minh (1): Nếu E; a R, E trở thành RĂ môđun phải theo (á:a)(r) = á(ar); 8r R Cho : T Ă! ER đồng cấu, T iđêan phải R Từ bổ đề 1.1.6 ta mở rộng thành RR Ă! ER Xác định : T Ă! Q cho à(t) = [(t)](1) Khi ZĂ cấu xạ Do Z Q nội xạ nên xác định à^ : R Ă! Q ZĂ cấu xạ mở rộng ^ Từ à^ E, xác định ^ : R Ă! E cho ^ (a) = à:a; 8a R Thử lại thấy ^ đồng cấu, rõ ràng mở rộng ; ^(t) = (t); 8t T Nếu r R ta có: ^ ^ [^ (t)](r) = [à:t](r) = à(tr) = à(tr) = [(tr)](1) = [(t):r](1) = [(t)](r) đồng cấu (t) E Do ^(t) = (t) (2): Cho MR ; ' : Z(I) Ă! M ZĂ toàn cấu với tập I cho ZM ằ = Z(I)=K QI =K; K = ker(') Đặt Q = QI =K, Q chia Từ MR ằ = hom(RR ; MR ) với m 7! m ta có MR ằ = homR (RR ; MR ) homZ (R; M ) ,! homZ (R; Q): Do ER = homZ (R; Q) nội xạ theo (1) Suy (2) chứng minh 1.1.8 Hệ Môđun E nội xạ đơn cấu ắ : E Ă! M chẻ ra, nghĩa ắ(E) àâ M Chứng minh Nếu ắ : E Ă! M đơn cấu, tồn : M Ă! E cho ắ = 1E Khi M = ắ(E) â ker() Điều ngược lại suy từ bổ đề 1.1.7 Vì hạng tử trực tiếp môđun nội xạ nội xạ 1.1.9 Bổ đề (Bổ đề cốt yếu) Cho K M môđun Nếu C phần bù K M khẳng định sau đúng: (1) K â C àe M; (2) (K â C)=C àe M=C: Chứng minh (1): Cho 6= X M Ta chứng minh X \ (K â C) 6= Phản chứng: Nếu K â C \ X = ) K â C â X ) K \ (C â X) = Mà C ẵ C â X ) mâu thuẫn với tính tối đại C Suy K â C \ X 6= ) K â C àe M: (2): Cho Y =C \ (K â C)=C = Nếu Y 6= C Y \ K 6= theo cách chọn C Lấy 6= a Y \ K, a + C Y=C \ (K â C)=C 6= 0, a C Nhưng 6= a C \ K = ) mâu thuẫn Vậy Y =C \ (K â C)=C 6= ) (K â C)=C àe M=C: 1.2 Sự nội xạ lẫn 1.2.1 Bổ đề Cho G = Ưi2I Gi M môđun Khi G M Ă nội xạ Gi M Ă nội xạ với i I Chứng minh Điều kiện cần: Cho G nội xạ, tồn Ô mở rộng Ô Ô pi ^ 1ii hay Ô i = 1ii Lấy ^i : M ĂĂ ! G ĂĂ! Gi; pi = i pi phép chiếu Ta có ^i i = pi Ô i = pi1i i = 1Gi i = i ) Gi M Ă nội xạ với i I Điều kiện đủ: Cho Gi M Ă nội xạ với i I pk ^ Cho pk : X ĂĂ! G ĂĂ ! Gk Với 8k I; k mở rộng pk hay ^k i = pk ^ = (^k (b))I G ^ : M Ă! G Lấy ^ = ẳ^k : M Ă! G xác định (b) ^ = với x X M ta có đồng cấu i ^ ^ i(x) = (x) = (^k (x))I = (^k i(x))I = (pk (x))I = (x) a G = ƯGi , a = (pk (a))I ) G M Ă nội xạ 1.2.2 Bổ đề Nếu G MĂ nội xạ N M G vừa NĂ nội xạ vừa (M=N)Ă nội xạ 1.2.3 Bổ đề (Bổ đề Azumaya) Nếu G M = M1 â    â Mn môđun G M Ă nội xạ G Mi Ă nội xạ với i = 1; 2; : : : ; n Chứng minh Nếu G MĂ nội xạ G MiĂ nội xạ với i (theo bổ đề 1.2.2) 10 (5) R cực tiểu nội xạ với đế cốt yếu đơn, R không nơte (6) Kí hiệu X = spanF fx1; x2 ; : : : g, ánh xạ A 7Ă! A \ X U 7Ă! F m â U có tính tương hỗ nghịch đảo dàn tự đẳng cấu dàn iđêan A 6= R dàn F Ă không gian U X Chứng minh Dễ dàng chứng minh (1), (2) (3), (4) suy tích hai phần tử J thuộc F m (5) Vì R cực tiểu nội xạ (theo (4) ví dụ 2.1.4) R không nơte (theo (6)) F m ẵ F m â F x1 ẵ F m â F x1 â F x2 ẵ : : : Từ (6), ta có F m â U iđêan với U (F m â U )R F mR + U R F m + (U F + mF ) F m + U Hợp phần ánh xạ (6) U 7Ă! F m â U 7Ă! (F m â U ) \ X = U U X, A 7Ă! A \ X 7Ă! F m â (A \ X) = A theo luật modular F m A J = F m â X sử dụng (3) Do hai ánh xạ tương hỗ nghịch đảo Chúng dễ dàng bảo toàn bao hàm thức Chú ý: J = F m âX 2.1.7 Định lí Nếu R cực tiểu nội xạ phải eRe với e2 = e R thoả mãn ReR = R Chứng minh Đặt S = eRe cho rS (k) rS (a); k; a S kS iđêan phải đơn S Ta khẳng định kS đơn R Nếu kr 6= 0; r R, krReR 6= 0, tồn t R cho 6= krte = (ke)rte kS Do k krteS krR Từ kR đơn Vậy rR (k) rR (a) Khi a Rk a = ea eRk = Sk Cho kx = 0; x R, đặt = Đni=1 aiebi; ai; bi R Khi k(exai e) = với 28 i, a(exaie) = theo giả thiết Do ax = Đni=1 axaiebi = a = ae 2.1.8 Bổ đề Cho K iđêan phải đơn vành R Nếu dK 6= mở rộng với d R K mở rộng Chứng minh ánh xạ ắ(x) = dx xác định đẳng cấu ắ : K Ă! dK Cho : K Ă! RR ta có ắĂ1 : dK Ă! R, theo giả thiết ta có ắĂ1 = cÂ; c R Suy = (cd): 2.1.9 Định lí Vành R cực tiểu nội xạ phải vành Mn (R) cực tiểu nội xạ phải với (một vài) n Chứng minh Nếu S = Mn (R) cực tiểu nội xạ phải R ằ = e11Se11 Se11S = S (eij ma trận đơn vị) Ngược lại, giả sử R cực tiểu nội xạ phải Theo Định lí 2.1.7 thoả mãn với n = Cho kS iđêan phải đơn S = M2 (R) Ta chứng minh lr(k) = Sk Nếu hàng i k khác không e1ik 6= 0, theo bổ đề 2.1.8 ta giả sử k e11 S Nếu cột j k khác không kej1 6= 0, kS = kej1 S k ; k R Khi kR đơn, Giả sử k e11 Se11 , đặt k = 0 r(k) r(k) 5, suy Rk = lr(k) theo bổ đề 2.1.2 Nhưng rS (k) = R R 3 r(k) Rk 5=4 lrS (k) = r(k) Rk 2.1.10 Định nghĩa Nếu e luỹ đẳng R, RĂ môđun phải MR gọi eRĂ cực tiểu nội xạ đồng cấu xạ : K Ă! M mở rộng thành eR Ă! M K eR iđêan phải đơn, nghĩa 29 = m với m M Rõ ràng, M cực tiểu nội xạ RĂ cực tiểu nội xạ 2.1.11 Bổ đề Cho e; f; e1 ; : : : ; en luỹ đẳng vành R MR môđun (a) Nếu = e1 +    + en M cực tiểu nội xạ M eiRĂ cực tiểu nội xạ với i (b) Nếu eR ằ = f R M eRĂ cực tiểu nội xạ M f RĂ cực tiểu nội xạ (c) Nếu MR = âi2I Mi M eRĂ cực tiểu nội xạ Mi eRĂ cực tiểu nội xạ Chứng minh (a) Cho : K Ă! MR đồng cấu, K iđêan phải đơn Khi eiK 6= với i đó, ắ(k) = eik xác định đẳng cấu ắ : K Ă! eiK Nếu M eiRĂ cực tiểu nội xạ ta có ắĂ1 = m với m M , = (mei) M cực tiểu nội xạ Điều ngược lai hiển nhiên (b) Cho ắ : eR Ă! f R đẳng cấu Cho : X Ă! M; X f R đơn, K = ắĂ1 (X) eR đơn (ắ jK ) đồng cấu xạ K Ă! M Do đó, theo giả thiết (ắ jK ) = m với m M Đặt a = ắĂ1 (f ) Khi (x) = ( ắ)(ắĂ1x) = mắĂ1 (x) = m(ax) với x X, = (ma) (c) Giả sử Mi eRĂ cực tiểu nội xạ Nếu : K Ă! M đồng cấu, K = kR eR đơn, cho (K) = ânt=1 Mt Nếu ẳt : M Ă! Mt phép chiếu với t theo giả thiết ẳt = mt Â; mt Mt Nếu k K 30 (k) = Đnt=1m0t m0t = ẳt (k) = mt k, từ suy = mÂ; m = Đnt=1mt Suy M eRĂ cực tiểu nội xạ Dễ dàng chứng minh điều ngược lại 2.1.12 Định lí Cho = f1 +    fn R, fi luỹ đẳng trực giao, cho e1 ; : : : ; em luỹ đẳng cho fe1 R; : : : ; em Rg tập đầy đủ đại diện ff1 R; : : : ; fn Rg Các mệnh đề sau tương đương: (1) R cực tiểu nội xạ phải (2) ei R ej RĂ cực tiểu nội xạ với i; j m Chứng minh (1))(2) Giả sử có (1) Từ R = âfj R suy fj R cực tiểu nội xạ (hạng tử trực tiếp môđun cực tiểu nội xạ lại cực tiểu nội xạ), eiR cực tiểu nội xạ (tính cực tiểu nội xạ bảo toàn qua phép đẳng cấu) Từ bổ đề 2.1.11(a) (với M = eiR) ta có ei R fj RĂ cực tiểu nội xạ với j Vậy (2) suy từ bổ đề 2.1.11(b) (2))(1) Cố định i với i m Từ (2) ta có ei R fj RĂ cực tiểu nội xạ với j (theo bổ đề 2.1.11(b)) Do đó, theo bổ đề 2.1.11(a) ei R cực tiểu nội xạ RĂ môđun phải Điều với i, fj R cực tiểu nội xạ phải (tính cực tiểu nội xạ bảo toàn qua phép đẳng cấu) Từ 2.1.11(c) suy RR = âni=1 fj R cực tiểu nội xạ 2.1.13 Định lí Cho R vành cực tiểu nội xạ phải (1) (min- C2) Nếu K iđêan phải đơn K ằ = eR; e2 = e K = gR với g = g (2) (min- C3) Nếu eR 6= f R đơn, e2 = e; f = f eR â f R = gR với g = g 31 Chứng minh (1) Nếu : K Ă! eR đẳng cấu, lấy = cÂ; c R Khi cK = eR 6à J(R), K 6= K đơn nên suy (1) (2) Ta có eR â f R = eR â (1 Ă e)f R Nếu (1 Ă e)f R = ta chứng minh xong Mặt khác, (1 Ă e)f R ằ = f R ta có (1 Ă e)f R = hR; h2 = h (theo (1)) Như eh = 0, g = e + h Ă he luỹ đẳng thoả mãn eg = e = ge; hg = h = gh Suy eR â f R = eR â hR = gR Môđun M thoả mãn C1- điều kiện môđun M cốt yếu hạng tử M Tương tự, min- C1 hiểu sau: Nếu K môđun tối tiểu M K cốt yếu hạng tử trực tiếp M Tuy nhiên, từ ví dụ 2.1.5 ta thấy điều cố định vành cực tiểu nội xạ phải 2.1.14 Định nghĩa Vành R gọi I- hữu hạn chứa dãy trực giao không vô hạn Từ ta có = e1 +    + en , ei luỹ đẳng nguyên thuỷ, trực giao 2.1.15 Định lí Cho R I- hữu hạn cực tiểu nội xạ phải Khi Rằ = R1 Ê R2 , R1 nửa đơn iđêan phải đơn R2 luỹ linh Chứng minh Cho = e1 +    + en , ei luỹ đẳng nguyên thuỷ, trực giao eiR đơn i m ej R không đơn j > m Ta có eiRej = = ej Rei với i m < j n Thật vậy, 6= a ei Rej a : ej R Ă! eiR toàn cấu (vì eiR đơn) đẳng cấu (vì ej R không phân tích được), điều mâu thuẫn với ej R không đơn Giả sử 6= b ej Rei b : eiR Ă! ej R đơn cấu (vì eiR đơn), theo Định lí 2.1.13 ta có bR = f R; f = f Do b toàn cấu (vì ej R không phân tích được), điều mâu thuẫn 32 Nếu e = e1 +    em suy eR(1 Ă e) = = (1 Ă e)Re Do e luỹ đẳng trung tâm R1 = eR = eRe nửa đơn Ta iđêan phải đơn K â (1 Ă e)R luỹ linh Phản chứng, K = f R; f = f Vì K(1 Ă e) 6= 0, mà Kej 6= 0; j > m Nên f Rej 6= với 6= c f Rej Khi c : ej R Ă! f R đẳng cấu; điều mâu thuẫn ej R không đơn 2.1.16 Hệ Cho R I- hữu hạn cực tiểu nội xạ phải với = e1 +    + en, ei luỹ đẳng nguyên thuỷ, trực giao Thì eiR đơn Sr2 = Chứng minh Nếu eiR không đơn R = R2 Định lí 2.1.15, K = với iđêan phải đơn K R Ta chứng minh SK = với iđêan phải đơn S Phản chứng, SK = S, S = (SK)K = 0, điều mâu thuẫn 2.2 Vành cực tiểu đối xứng 2.2.1 Định lí Cho R vành cực tiểu nội xạ phải, cho k; m R (a) Nếu kR iđêan phải đơn Rk iđêan trái đơn (b) Nếu kR ằ = mR đơn Rk ằ = Rm; thật Rk = (Rm)u với u R: (c) Sr Sl Chứng minh (a) (c) Nếu kR đơn 6= ak Rk, xác định = a : kR Ă! akR Khi đẳng cấu R cực tiểu nội xạ phải, lấy Ă1 = cÂ, c R Vì k = Ă1 (ak) = cak Rak, suy 33 (a) Cho x Sr ; x k1 R â    â kn R, kiR đơn Do ki Sl với i theo (a) suy (c) (b) Nếu ắ : kR Ă! mR đẳng cấu, đặt ắ(k) = mu; u R Rõ ràng muR = mR đơn r(mu) = r[ắ(k)] = r(k) Từ R cực tiểu nội xạ phải, ta có Rmu = Rk theo bổ đề 2.1.2 Nếu K, M môđun với K đơn Đặt socK (M ) = ĐfX M j X ằ = Kg với thành phần M sinh K Với tất bất biến M đ[socK (M)] socK (M ) với đ end(M ) 2.2.2 Hệ Nếu kR iđêan phải đơn vành cực tiểu nội xạ phải R, sockR (RR ) = RkR iđêan đơn R chứa socRk (R R) Chứng minh Đặt S = sockR (RR) Luôn có RkR S Giả sử ắ : kR Ă! M R R- đồng cấu Khi ắk Rk (theo bổ đề 2.1.2) Do M = (ắk)R (Rk)R Vậy S (Rk)R Cho 6= A S, với A iđêan R Nếu M A iđêan phải đơn M ằ = kR Do X iđêan phải đẳng cấu với kR, cho : M Ă! X R R- đẳng cấu Khi = cÂ; c R, X = (M ) = cM cA A Suy S A, S = A S iđêan đơn Ta có (Rk)R socRk (R R) 2.2.3 Định nghĩa Vành R gọi cực tiểu đối xứng phải kR đơn, k R gọi cực tiểu đối xứng trái Rk đơn 2.2.4 Định lí Cho vành R, mệnh đề sau tương đương: (a) R cực tiểu đối xứng phải 34 (b) Nếu kR iđêan phải đơn l[kR \r(a)] = l(k)+Ra; 8a R Chứng minh (1))(2) Giả sử kR đơn, cho a R Nếu ak = kR \ r(a) = kR vàl(k) + Ra = l(k), suy (2) Nếu ak 6= l(k) + Ra = R [vì l(k) tối đại theo (1)] kR \ r(a) = (vì kR đơn), suy (2) (2))(1) Nếu kR đơn, cho a 62 l(k) Khi kR \ r(a) = 0, l(k) + Ra = R (theo (2)) Từ ta có l(k) tối đại 2.2.5 Định nghĩa Phần tử a vành R gọi quy thoả mãn điều kiện tương đương sau: (a) Tồn b R cho aba = a: (b) R = aR â T với iđêan phải T R: (c) R = Ra â L với iđêan phải L R: Vành R gọi vành quy phần tử quy Vành R gọi nửa quy R=J quy luỹ đẳng nâng lên modulo J 2.2.6 Định lí Nếu R vành nửa quy, cực tiểu nội xạ phải thoả mãn Sr àe RR J = Sr : Chứng minh Vì R cực tiểu nội xạ phải nên theo Định lí 2.2.1 ta có Sr Sl , từ giả thiết suy Sl àe RR Do J Zr Mặt khác, R nửa quy nên ta có Zr J 35 2.3 Tính đối ngẫu điều kiện Kasch Nếu MR RĂ môđun phải môđun đối ngẫu M kí hiệu M Ô = homR (MR ; R) môđun trái thoả mãn (rá)(m) = r  á(m), 8r R; M Ô ; m M 2.3.1 Bổ đề Nếu M = mR RĂ môđun phải T = r(m) M Ô ằ = l(T ) = lr(m) với RĂ môđun trái Chứng minh Nếu b l(T ), ánh xạ áb : M Ă! R xác định áb (mr) = br Khi b 7Ă! áb đơn cấu l(T ) Ă! M Ô RĂ môđun trái, ánh xạ lên M Ô , = áb, với b = á(m) l(T ) 2.3.2 Định lí Cho vành R, mệnh đề sau tương đương: (1) R cực tiểu nội xạ phải (2) M Ô đơn không với RĂ môđun đơn MR (3) l(T ) đơn không với iđêan phải tối đại T R (4) K Ô đơn với iđêan phải đơn K R Chứng minh (1))(2) Cho MR đơn Nếu M Ô = ta không cần chứng minh Mặt khác, cho 6= M Ô Ta chứng minh M Ô = R Trước hết ta có : Ă1 M Ă! (M ) đẳng cấu Cho M Ô ta có (M ) ĂĂ! M ĂĂ! R, Ă1 = a với a R (theo (1)) Suy = a (2))(3) Nếu T iđêan phải tối đại R=T = (1 + T )R đơn r(1 + T ) = T Do l(T ) ằ = (R=T )Ô theo bổ đề 2.3.1, áp dụng (2) ta suy điều cần chứng minh 36 (3))(4) Nếu K = kR iđêan phải đơn, đặt T = r(k) Khi T tối đại, theo (3) bổ đề 2.3.1 ta có K Ô ằ = l(T ) đơn không Nhưng K Ô 6= chứa bao hàm thức ánh xạ (4))(1) Cho : K Ă! R, K = kR iđêan phải đơn, cho t : K Ă! R bao hàm thức Khi K Ô = Rt, = ct với c R Suy = c  : Định lí 2.3.2 vành cực tiểu nội xạ M Ô đơn không với môđun MR phải đơn Từ Định lý1.5.11 ta có vành Kasch phải linh hoá tử trái iđêan phải tối đại khác không Kết hợp hai điều ta suy đặc điểm mối liên hệ vành cực tiểu nội xạ Kasch phải 2.3.3 Định lí Cho vành R, khẳng định sau tương đương: (1) R cực tiểu nội xạ phải Kasch phải (2) M Ô đơn với môđun MR phải đơn (3) l(T ) đơn với iđêan phải tối đại T R Trong trường hợp linh hoá tử trái khác không R chứa iđêan trái đơn Chứng minh Sự tương đương (1), (2), (3) đồng thời suy từ Định lí 1.5.11 Định lí 2.3.2 Giả sử 6= L = l(X) linh hoá tử trái, X R, Giả sử X iđêan phải X 6= R, cho X T với T iđêan phải tối đại Như l(T ) l(X) = L l(T ) đơn theo (3) 37 2.3.4 Định lí Cho R vành cực tiểu nội xạ phải, Kasch phải xét ánh xạ : T Ă! l(T ) từ tập iđêan phải tối đại T R tới tập iđêan trái tối tiểu R Khi khẳng định sau đúng: (a) ánh xạ 1-1 (b) song ánh lr(K) = K với iđêan trái tối tiểu K R Trong trường hợp ánh xạ nghịch đảo xác định K 7Ă! r(K) Chứng minh (a) Nếu T iđêan phải tối đại l(T ) đơn theo Định lí 2.3.3, xác định Từ T rl(T ) 6= R ta có T = rl(T ) T tối đại (a) chứng minh (b) Nếu ánh xạ lên, iđêan trái tối tiểu K linh hoá tử, lr(K) = K Ngược lại, giả sử lr(K) = K với iđêan trái tối tiểu K Ta chứng minh r(K) tối đại Thật vậy, cho r(K) T , T tối đại Khi K = lr(K) ả l(T ) 6= (vì R Kasch phải), K = l(T ) K đơn Như r(K) = rl(T ) ả T , r(K) = T Từ ta có ánh xạ xác định K 7Ă! r(K) nghịch đảo Thật trở thành T Ă! l(T ) Ă! rl(T ) = T theo chứng minh (a) trở thành K 7Ă! r(K) 7Ă! lr(K) = K theo giả thiết, suy (b) chứng minh 38 2.4 Vành cực tiểu linh hoá tử 2.4.1 Định nghĩa Vành R cực tiểu linh hoá tử trái iđêan trái tối tiểu K R linh hoá tử, nghĩa lr(K) = K: Ví dụ: Mỗi vành cực tiểu nội xạ hai phía cực tiểu linh hoá tử hai phía Nếu K = Rk đơn kR đơn R cực tiểu nội xạ trái (Định lí 2.2.1), lr(K) = K R cực tiểu nội xạ phải (bổ đề 2.1.2), R cực tiểu linh hoá tử trái cực tiểu linh hoá tử phải theo tính đối xứng 2.4.2 Định lí Cho R vành cực tiểu linh hoá tử trái, mệnh đề sau tương đương: (1) R cực tiểu nội xạ phải (2) R cực tiểu đối xứng phải (3) Sr Sl Chứng minh (1))(2))(3) suy trực tiếp từ Định lí 2.2.1 Cho (3), lấy kR đơn Khi k Sl theo (3), Rk ả Rm, Rm đơn Vậy, r(k) r(m) Do r(k) = r(m) r(k) tối đại R cực tiểu linh hoá tử trái nên Rk lr(Rk) = lr(Rm) = Rm Rk Rm đơn, Rk = lr(Rk) = lr(k) Do R cực tiểu linh hoá tử phải 2.4.3 Hệ Vành R cực tiểu nội xạ phải trái Sr = Sl R vành cực tiểu linh hoá tử phải trái 2.4.4 Hệ Cho R vành cực tiểu linh hoá tử trái Sl àe R R Khi R cực tiểu nội xạ phải 39 2.4.5 Định lí Cho vành R, mệnh đề sau tương đương: (1) Mỗi RĂ môđun phải cực tiểu nội xạ (2) Mỗi RĂ môđun phải cực tiểu nội xạ (3) K = với iđêan phải đơn K R (4) Sr \ J = (5) R cực tiểu nội xạ phải Sr xạ ảnh RĂ môđun phải Chứng minh (1))(2) Hiển nhiên (2))(3) Nếu K = kR đơn, k R, ta có đẳng cấu : kR Ă! R=r(k) xác định (ka) = a + r(k) Theo (2), phép nhân trái c + r(k), với c R Vậy ck + r(k) = (k) = + r(k), kck = k Nếu e = ke 6= e2 = e K (3))(4) Hiển nhiên (4))(5) Nếu K iđêan phải đơn K = eR, e2 = e theo (4) (5))(1) Nếu : K Ă! MR đồng cấu, K iđêan phải đơn Khi K ằ = eR; e2 = e (vì Sr xạ ảnh) Từ R cực tiểu nội xạ phải suy eR = cK với c R Do K 6à J, K = f R với f = f R Suy = mÂ, m (f ) 40 Kết luận Một số kết đạt luận văn Hệ thống hoá số kiến thức môđun nội xạ, nội xạ lẫn nhau, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, Q-F vành liên quan đến vành cực tiểu nội xạ Tìm hiểu, khai thác sâu vào việc chứng minh chi tiết số tính chất vành cực tiểu nội xạ phải Tìm hiểu mối liên hệ vành cực tiểu nội xạ với số vành khác như: Vành actin, vành cực tiểu đối xứng, vành cực tiểu linh hoá tử Một số hướng phát triển luận văn Tiếp tục nghiên cứu tính chất vành cực tiểu nội xạ phải tìm hiểu vành cực tiểu nội xạ hai phía, vành cực tiểu nội xạ trái Sử dụng tính chất vành cực tiểu nội xạ vào việc nghiên cứu Q-F vành số vành khác 41 Tài liệu tham khảo [1]: F.W Anderson and K.R Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, Second Edition Graduate Text Vol.13 Springer -Verlag, Berlin -Heidelberg- New York [2]: J E Bjork (1970), Ring satisfying certain chain conditions, J.Reine Angew Math (Vol.245), 63-73 [3]: V.Camillo (1989), Commutative rings whose principal ideals are annihilators, Portu galiae Math (Vol 46), 33-37 [4]: D V Huynh and N S Tung (1996), A note on quasi - Frobenius rings, Proc Am Math (Vol 124), 371-375 [5]: W.K Nicholson and M.F Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge University Press- UK 42 [...]... ra mỗi fj R là cực tiểu nội xạ (hạng tử trực tiếp của môđun cực tiểu nội xạ lại là cực tiểu nội xạ) , do đó mỗi eiR là cực tiểu nội xạ (tính cực tiểu nội xạ được bảo toàn qua các phép đẳng cấu) Từ bổ đề 2.1.11(a) (với M = eiR) ta có mỗi ei R là fj RĂ cực tiểu nội xạ với mỗi j Vậy (2) được suy ra từ bổ đề 2.1.11(b) (2))(1) Cố định i với 1 6 i 6 m Từ (2) ta có ei R là fj RĂ cực tiểu nội xạ với mỗi j (theo... là eRĂ cực tiểu nội xạ thì M là f RĂ cực tiểu nội xạ (c) Nếu MR = âi2I Mi thì M là eRĂ cực tiểu nội xạ khi và chỉ khi mỗi Mi là eRĂ cực tiểu nội xạ Chứng minh (a) Cho : K Ă! MR là đồng cấu, K là một iđêan phải đơn Khi đó eiK 6= 0 với i nào đó, vì vậy ắ(k) = eik xác định một đẳng cấu ắ : K Ă! eiK Nếu M là eiRĂ cực tiểu nội xạ ta có ắĂ1 = m với m 2 M , khi đó = (mei) và M là cực tiểu nội xạ Điều... gọi là eRĂ cực tiểu nội xạ nếu đồng cấu xạ : K Ă! M mở rộng thành eR Ă! M khi K à eR là một iđêan phải đơn, nghĩa là nếu 29 = m với m 2 M Rõ ràng, M là cực tiểu nội xạ khi và chỉ khi nó là RĂ cực tiểu nội xạ 2.1.11 Bổ đề Cho e; f; e1 ; : : : ; en là các luỹ đẳng trong vành R và MR là một môđun (a) Nếu 1 = e1 +    + en thì M là cực tiểu nội xạ khi và chỉ khi M là eiRĂ cực tiểu nội xạ với mỗi... mỗi j (theo bổ đề 2.1.11(b)) Do đó, theo bổ đề 2.1.11(a) thì ei R là cực tiểu nội xạ như một RĂ môđun phải Điều này đúng với mỗi i, vì vậy mỗi fj R là cực tiểu nội xạ phải (tính cực tiểu nội xạ được bảo toàn qua các phép đẳng cấu) Từ 2.1.11(c) suy ra RR = âni=1 fj R là cực tiểu nội xạ 2.1.13 Định lí Cho R là một vành cực tiểu nội xạ phải (1) (min- C2) Nếu K là iđêan phải đơn và K ằ = eR; e2 = e thì... đơn của vành R Nếu dK 6= 0 là mở rộng được với d 2 R thì K mở rộng được Chứng minh ánh xạ ắ(x) = dx xác định một đẳng cấu ắ : K Ă! dK Cho : K Ă! RR ta có ắĂ1 : dK Ă! R, vì vậy theo giả thiết ta có ắĂ1 = cÂ; c 2 R Suy ra = (cd): 2.1.9 Định lí Vành R là cực tiểu nội xạ phải khi và chỉ khi vành Mn (R) là cực tiểu nội xạ phải với mọi (một vài) n á 1 Chứng minh Nếu S = Mn (R) là cực tiểu nội xạ phải... Như vậy R không là cực tiểu nội xạ ngay cả khi nó là xạ ảnh, đế phải thuần nhất 2.1.3 Ví dụ Mỗi vành đa thức R[x] là cực tiểu nội xạ phải và trái Chứng minh Vì cả hai đế của R[x] là không Chẳng hạn, nếu K = kR[x] là đơn, deg(k) = n thì K = xn+1 K vì xn+1 là trung tâm, vì vậy k 2 xn+1 kR[x], điều này mâu thuẫn 2.1.4 Ví dụ Nếu Sr là đơn và cũng là một iđêan trái, thì R là cực tiểu nội xạ phải 25 Chứng... mÂ; m = Đnt=1mt Suy ra M là eRĂ cực tiểu nội xạ Dễ dàng chứng minh điều ngược lại 2.1.12 Định lí Cho 1 = f1 +    fn trong R, fi là luỹ đẳng trực giao, cho e1 ; : : : ; em là các luỹ đẳng sao cho fe1 R; : : : ; em Rg là một tập đầy đủ các đại diện của ff1 R; : : : ; fn Rg Các mệnh đề sau là tương đương: (1) R là cực tiểu nội xạ phải (2) ei R là ej RĂ cực tiểu nội xạ với bất kì 1 6 i; j 6 m Chứng... là nội xạ nên suy ra S là tự nội xạ phải 1.5 Vành tựa - Frobenius 1.5.1 Định nghĩa Một vành gọi là tựa - Frobenius (hoặc một vành QF) nếu nó là actin phải và trái và tự nội xạ phải và trái Các ví dụ (1) Các vành nửa đơn, actin (2) Các nhóm đại số F G, F là một trường và G là một nhóm hữu hạn (3) Các vành R=aR, a 6= 0, a khác đơn vị trong một (giao hoán) miền iđêan chính R 17 Gọi iđêan phải T của vành. .. M=X = 0 vì vậy M = X 2 23 Chương 2 Vành cực tiểu nội xạ 2.1 Định nghĩa và ví dụ 2.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành, một môđun MR được gọi là cực tiểu nội xạ nếu với mỗi iđêan phải đơn K của R, mỗi đồng cấu : K Ă! MR mở rộng thành : R Ă! M ; nghĩa là = m là phép nhân với m 2 M [thật ra m = (1)] Iđêan phải T trong vành R được gọi là mở rộng được nếu mỗi đồng cấu xạ : T Ă! RR có thể mở rộng thành... và cực tiểu nội xạ phải với 1 = e1 +    + en, ei là luỹ đẳng nguyên thuỷ, trực giao Thì eiR là đơn hoặc Sr2 = 0 Chứng minh Nếu eiR không đơn thì R = R2 trong Định lí 2.1.15, vì vậy K 2 = 0 với mọi iđêan phải đơn K của R Ta chứng minh SK = 0 với mọi iđêan phải đơn S Phản chứng, SK = S, do đó S = (SK)K = 0, điều này mâu thuẫn 2.2 Vành cực tiểu đối xứng 2.2.1 Định lí Cho R là một vành cực tiểu nội xạ ... đẳng vành R MR môđun (a) Nếu = e1 +    + en M cực tiểu nội xạ M eiRĂ cực tiểu nội xạ với i (b) Nếu eR ằ = f R M eRĂ cực tiểu nội xạ M f RĂ cực tiểu nội xạ (c) Nếu MR = âi2I Mi M eRĂ cực tiểu nội. .. môđun nội xạ, nội xạ lẫn nhau, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, vành tựa -Frobenius Chương Vành cực tiểu nội xạ Sử dụng kết chương để tìm hiểu vành cực tiểu nội xạ mối liên hệ vành cực tiểu nội. .. R cực tiểu nội xạ phải (2) ei R ej RĂ cực tiểu nội xạ với i; j m Chứng minh (1))(2) Giả sử có (1) Từ R = âfj R suy fj R cực tiểu nội xạ (hạng tử trực tiếp môđun cực tiểu nội xạ lại cực tiểu nội