Về môđun và vành JCP nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HOÀNG MỸ HẠNH VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH JCP-NỘI XẠ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Gia Định Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 22 tháng 10 năm 2011. Có thể tìm hiểu luận văn tại: ⊕ Trung tâm Thông Tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng ⊕ Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trước tiên, chúng tôi đề cập đến vành tựa Frobenius (quasi-Frobenius, viết tắt là QF). Vành QF được Nakayama giới thiệu vào năm 1939, và đến năm 1951, Ikeda đã đặc trưng vành này thông qua vành Artin trái và phải, tự nội xạ trái và phải. Sở dĩ Ikeda có thể đặc trưng được vành QF như vậy, một phần là nhờ việc Baer đã giới thiệu khái niệm môđun nội xạ vào năm 1940. Trong lĩnh vực nghiên cứu này, có thể kể đến giả thuyết của Faith: "Phải chăng một vành nửa nguyên sơ, tự nội xạ phải là tựa Frobenius?" Rất nhiều nhà nghiên cứu đã quan tâm đến giả thuyết này và có nhiều cách tiếp cận khác nhau nhưng vẫn chưa có câu trả lời cho toàn bộ giả thuyết. Song trong quá trình tiếp cận, các nhà nghiên cứu cũng đưa ra được đặc trưng của vành QF thông qua các điều kiện yếu hơn. Như vậy, có thể coi giả thuyết Faith là một trong những nguồn gốc của sự mở rộng khái niệm nội xạ. Trở lại với khái niệm nội xạ, chúng ta nhắc lại tiêu chuẩn Baer: "Cho Q là R-môđun phải. Khi đó Q là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi iđêan phải U ≤ R R và mọi đồng cấu f : U → Q, tồn tại đồng cấu f : R → Q sao cho f là mở rộng của f, tức là f ◦ i = f, trong đó i : U → R là đơn cấu chính tắc." Từ khái niệm nội xạ ban đầu, có nhiều khái niệm mới đã được hình thành và được nghiên cứu. Ví dụ, trong tiêu chuẩn Baer về nội xạ, nếu lấy U là những iđêan phải chính thì ta có khái niệm p-nội xạ, tức là mọi R-đồng cấu từ aR vào Q đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ R vào Q. Nếu vành R là p-nội xạ như một R-môđun phải thì R được gọi là vành p-nội xạ phải. Tiếp theo, chúng ta xét một mở rộng mới của khái niệm nội xạ liên quan đến phần tử suy biến. Một R-môđun phải M được gọi là Jcp-nội xạ nếu với mỗi 2 phần tử không suy biến a của R, mọi R-đồng cấu từ aR vào M đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ R vào M. Nếu vành R là Jcp-nội xạ như một R-môđun phải thì R được gọi là vành Jcp-nội xạ phải. Rõ ràng ta có nội xạ ⇒ p-nội xạ ⇒ Jcp-nội xạ. Vì quan tâm đến giả thuyết của Faith nên chúng tôi quyết định chọn đề tài "Về môđun và vành Jcp-nội xạ" để tiến hành nghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểu sâu hơn về tính chất của môđun và vành Jcp-nội xạ, mối quan hệ với các vành khác, đưa ra đặc trưng của vành QF thông qua một số điều kiện liên quan đến vành Jcp-nội xạ. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn này được thực hiện với mục đích tìm hiểu một số tính chất của môđun và vành Jcp-nội xạ. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng chính là môđun và vành Jcp-nội xạ. Đồng thời tiến hành nghiên cứu trên một số lớp vành có tính chất liên quan. 4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, chủ yếu là : ⊕ Thu thập các bài báo khoa học, các giáo trình của những tác giả nghiên cứu liên quan đến vành và môđun Jcp-nội xạ. ⊕ Tham gia các buổi seminar để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận văn được thực hiện dựa trên việc hệ thống, tổng hợp và làm rõ một số kết quả của các sách và bài báo có liên quan. Luận văn là một tài liệu tham khảo cho các độc giả nghiên cứu về môđun và vành Jcp-nội xạ, cũng như một số lớp vành có liên quan. 6. Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn được chia làm ba chương: Chương 1 trình bày một số khái niệm như linh hóa tử, môđun nội xạ, một số lớp vành như vành nửa nguyên tố, vành chia được, . Đồng thời, chúng tôi cũng nêu lại một số tính chất nhằm hỗ trợ cho các chương sau. 3 Chương 2 được coi như là chương chính của luận văn này. Chương này trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản của môđun và vành Jcp-nội xạ thông qua khái niệm linh hóa tử (Định lý 2.1.1), mối quan hệ với các vành khác, mối quan hệ giữa môđun con suy biến phải và căn Jacobson của một vành Jcp-nội xạ phải (Định lý 2.2.8). Trong chương này, chúng tôi cũng xem xét một số điều kiện để vành Jcp-nội xạ phải trở thành vành p-nội xạ phải (Hệ quả 2.2.5, Định lý 2.2.13). Ngoài ra trong chương này cũng đưa ra một số ví dụ về vành Jcp-nội xạ phải dựa trên nhận xét 2.1.3, đồng thời cũng chỉ ra tồn tại một vành là Jcp-nội xạ phải nhưng không phải là vành p-nội xạ phải (Ví dụ 2.2.4). Chương 3 trình bày một số tính chất liên quan đến linh hóa tử cực đại, một số điều kiện hạn chế, phần tử đều, vành QF và vành nửa đơn. HOÀNG MỸ HẠNH 4 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và một số tính chất sẽ được sử dụng trong luận văn. Trong toàn bộ luận văn này, ta qui ước vành R có đơn vị khác không và được kí hiệu là 1, và mọi R-môđun được xét là môđun unita. 1.1 Một số khái niệm Cho vành R, viết M R (t.ư., R M) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư., trái). Trong một số trường hợp cụ thể, nếu không sợ nhầm lẫn, để đơn giản ta viết môđun M thay vì M R . Nếu A là hạng tử trực tiếp của M, ta viết A|M. Ta viết M n (R) để chỉ vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trên vành R. Cho M và N là các R-môđun phải, đồng cấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N. Định nghĩa 1.1.1. Cho Q R là một môđun. Lúc đó Q được gọi là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : K → M, ∀K, M và với mỗi đồng cấu ν : K → Q đều tồn tại một R-đồng cấu ν : M → Q sao cho ν ◦ f = ν. Môđun xạ ảnh được định nghĩa một cách đối ngẫu. Tiêu chuẩn Baer. Cho Q là R-môđun phải. Khi đó Q là nội xạ nếu và chỉ nếu với mọi iđêan phải U ≤ R R và mọi đồng cấu f : U → Q, tồn tại đồng cấu 5 f : R → Q sao cho f là mở rộng của f, tức là f ◦ i = f, trong đó i : U → R là đơn cấu chính tắc. Định nghĩa 1.1.2. Môđun M R được gọi là p-nội xạ nếu với mọi iđêan phải chính I của R, mọi đồng cấu f : I → M đều có thể mở rộng thành đồng cấu g : R → M. Định nghĩa 1.1.3. (1) Cho M là một R-môđun phải, ∅ = X ⊆ M. Linh hóa tử phải của X trong R, kí hiệu là r R (X) và được xác định như sau r R (X) = {r ∈ R | xr = 0, x ∈ X}. (2) Cho A ⊆ R. Linh hóa tử trái của A trong M, kí hiệu l M (A) và được xác định như sau l M (A) = {x ∈ M | xa = 0, a ∈ A}. Định nghĩa 1.1.4. Môđun con K của M được gọi là cốt yếu (hoặc lớn) trong M, kí hiệu K ≤ e M, nếu với mọi môđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L = 0. Đối ngẫu với khái niệm cốt yếu, môđun con K của M gọi là đối cốt yếu (hoặc bé ) trong M, kí hiệu K  M, nếu với mọi môđun con L ≤ M, K + L = M suy ra L = M. Bao nội xạ của một môđun M là một môđun nội xạ E cùng với một đơn cấu cốt yếu i : M → E. Lúc này, người ta vẫn thường gọi E là bao nội xạ của M, và kí hiệu là E = E(M). Mà mọi môđun được nhúng cốt yếu vào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nội xạ. Định nghĩa 1.1.5. Với môđun M R cho trước, chúng ta đặt Z(M) = {m ∈ M | mI = 0, I R ≤ e R R } = {m ∈ M | r R (m) ≤ e R R }. Ta có Z(M) là một môđun con của M và được gọi là môđun con suy biến của M. Nếu Z(M) = M thì M được gọi là suy biến, còn nếu Z(M) = 0 thì M được gọi là không suy biến. Chúng ta cũng có thể kí hiệu Z r (t. ư., Z l ) thay vì Z(R R ) (t. ư., Z( R R)). 6 Định nghĩa 1.1.6. (1) Cho M là R-môđun phải. Căn của M, kí hiệu là rad(M), là một môđun con của M, xác định bởi rad(M) =  AM A =  B≤M B, trong đó B là môđun con cực đại của M. (2) Cho M là R-môđun phải. Đế của M, kí hiệu là Soc(M), là một môđun con của M, xác định bởi Soc(M) =  A≤ e M A =  B≤M B, trong đó B là môđun con đơn của M. Định lý 1.1.7. ([1], Định lý 1.2.5) Ta có: rad(R R ) = rad( R R), và thường được kí hiệu chung là J(R). Vậy J(R) = {a ∈ R | 1 − ar khả nghịch, ∀r ∈ R}. Mệnh đề 1.1.8. ([1], Mệnh đề 5.1) Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếp của R R nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR. Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy và (1 − e)R là phần phụ của eR, nghĩa là R R = eR ⊕ (1 − e)R. Cho M là một R-môđun phải, K là một môđun con của M. Khi đó một môđun con C được gọi là phần bù (complement) của K trong M nếu C là cực đại với tính chất K ∩ C = 0. 1.2 Vành C2, vành nửa nguyên tố, vành QF và một số vành khác Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R-môđun phải. M được gọi là thỏa mãn điều kiện C2 nếu mọi môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp 7 của M, thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M. Vành R được gọi là vành C2 phải nếu R R thỏa mãn điều kiện C2. Định nghĩa 1.2.2. (1) Một iđêan C của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu với bất kì iđêan I của R, I 2 ≤ C ⇒ I ≤ C. (2) Một vành được gọi là vành nửa nguyên tố nếu (0) là iđêan nửa nguyên tố. Định nghĩa 1.2.3. Môđun M R gọi là chia được nếu ∀r ∈ R, r = 0 ⇒ Mr = M. Vành R gọi là vành chia được nếu R R là môđun chia được. Mệnh đề 1.2.4. ([7], Proposition 21.16) Cho e ∈ R là một phần tử lũy đẳng. 1. Nếu eR là iđêan phải cực tiểu của R, thì eRe là vành chia được. 2. Chiều ngược lại đúng nếu R là vành nửa nguyên tố. Định nghĩa 1.2.5. Vành R được gọi là tựa Frobenius (viết tắt là QF) nếu nó là vành Artin (trái và phải), tự nội xạ (trái và phải). Định lý 1.2.6. ([11], Theorem 1.50) Cho vành R. Khi đó các điều kiện sau là tương đương. 1. R là vành tựa Frobenius. 2. R là vành Artin trái hoặc phải, tự nội xạ trái hoặc phải. 3. R là vành Nơte trái hoặc phải, tự nội xạ trái hoặc phải. 4. R thỏa mãn ACC trên các linh hóa tử trái hoặc phải, tự nội xạ trái hoặc phải. 8 5. R là vành Nơte trái và phải, rl(T) = T với mọi iđêan phải T, và lr(L) = L với mọi iđêan trái L. Định lý 1.2.7. ([11], Theorem 7.56) Cho vành R. Khi đó các điều kiện sau là tương đương. 1. R là vành tựa Frobenius. 2. Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ đều là xạ ảnh. 3. Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh đều là nội xạ. Định nghĩa 1.2.8. Cho (T α ) α ∈ A là một tập các môđun đơn của M. Nếu M là tổng trực tiếp các môđun con đơn này, nghĩa là M =  A T α thì M =  A T α được gọi là một phân tích nửa đơn của M. Môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn. Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun R R ( R R) là nửa đơn. Mệnh đề 1.2.9. ([1], Định lý 2.3.6) Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho. 1. R nửa đơn. 2. Mỗi R-môđun phải là nội xạ (xạ ảnh). 3. Mỗi R-môđun trái là nội xạ (xạ ảnh). Định nghĩa 1.2.10. Một vành R được gọi là vành Kasch phải nếu với mọi R-môđun phải đơn S đều tồn tại một đơn cấu i : S → R R , hoặc tương đương với điều kiện l(M) = 0 với mọi iđêan phải cực đại M của R. Mệnh đề 1.2.11. ([11], Proposition 5.19; 5.20) (1) Cho R là vành p-nội xạ phải, Kasch phải. Khi đó l(J(R)) cốt yếu trong R R . (2) Cho R là vành nửa hoàn chỉnh, p-nội xạ phải. Khi đó R là vành Kasch phải nếu và chỉ nếu S r là cốt yếu trong R R . . là vành p -nội xạ phải nếu và chỉ nếu R là vành Jcp- nội xạ phải và nội xạ bé chính phải. 2. R là vành SP P phải nếu và chỉ nếu mọi ảnh đồng cấu của R -môđun. VÀ VÀNH JCP- NỘI XẠ Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu về khái niệm môđun và vành Jcp- nội xạ phải, tính chất cơ bản của vành Jcp- nội xạ phải,