MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ NỘI XẠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ HƯỜNG MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh Đà Nẵng - Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết qủa nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng năm 2014 HV thực Trần Thị Hường MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT 13 CHƯƠNG MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ VÀ ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH 22 2.1 MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ 22 2.2 MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH 31 CHƯƠNG VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ VÀ CÁC LỚP VÀNH LIÊN QUAN 45 3.1 VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ 45 3.2 VÀNH ĐẾ NỘI XẠ MẠNH 55 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) 64 LỜI MỞ ĐẦU TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Lý thuyết vành mơđun đóng vai trò quan trọng đại số kết hợp Nhiều kiến thức lý thuyết vành mơđun nghiên cứu có nhiều ứng dụng Chúng ta biết đến kết mơđun nội xạ Một số mở rộng nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Trong đề tài này, nghiên cứu trường hợp tổng quát nó, lớp môđun đế - nội xạ Một số áp dụng vành tựa - Frobenius giả - Frobenius xét đến lớp vành đế - nội xạ Cùng với định hướng TS Trương Công Quỳnh, tơi chọn đề tài “MƠĐUN VÀ VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ” làm đề tài luận văn thạc sĩ MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Mục tiêu nghiên cứu đề tài tìm hiểu khái niệm, tính chất, định lý mơđun vành đế - nội xạ vành liên quan Qua làm rõ nghiên cứu có, tìm hiểu sâu môđun vành đế nội xạ, đế - nội xạ mạnh Thông qua việc nghiên cứu tính chất, đặc trưng mơđun vành đế - nội xạ, làm rõ mối liên hệ với số lớp vành môđun khác ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng đề tài nghiên cứu khái niệm, tính chất, đặc trưng môđun vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh, mối liên hệ chúng với lớp môđun vành khác Phạm vi nghiên cứu đề tài vấn đề liên quan đến lớp môđun, vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh áp dụng chúng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Đọc tài liệu môđun vành đế - nội xạ, hệ thống kiến thức - Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp - Tiến hành xêmina với nhóm nghiên cứu TS Trương Cơng Quỳnh BỐ CỤC ĐỀ TÀI Ngoài lời mở đầu kết luận, luận văn trình bày chương: Chương Các kiến thức liên quan Một số khái niệm Một số kết biết Chương Môđun đế - nội xạ Môđun đế - nội xạ Môđun đế - nội xạ mạnh Chương Vành đế - nội xạ lớp vành liên quan Vành đế - nội xạ Vành đế - nội xạ mạnh Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN - Đề tài mang tính chất lý thuyết nên kết đóng góp cho lĩnh vực lý thuyết vành môđun - Làm tài liệu cho nghiên cứu sau CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Một R - mơđun phải M là: (1) nhóm cộng aben M với (2) ánh xạ M × R −→ M (m, r) −→ mr gọi phép nhân môđun, thỏa mãn điều kiện sau: (i) qui tắc kết hợp: (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) (ii) qui tắc phân phối : (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 (iii) qui tắc unita: m1 = m m, m1 , m2 phần tử tùy ý M, r1 , r2 ∈ R Lúc R gọi vành sở Nếu M R - mơđun phải ta thường ký hiệu M = MR Tương tự ta có định nghĩa khái niệm R môđun trái Định nghĩa 1.1.2 Cho M R - môđun phải Tập A M gọi môđun M , ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR , A R - môđun phải với phép toán cộng nhân hạn chế A Định nghĩa 1.1.3 Mơđun MR gọi có chiều Goldie hữu hạn M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun Vành R gọi có chiều Goldie hữu hạn RR mơđun có chiều Goldie hữu hạn Định nghĩa 1.1.4 (1) Mơđun MR gọi đơn M = M có hai mơđun M , nghĩa là, M không chứa môđun thực (2) Vành R gọi đơn R = R có hai iđêan hai phía R (3) Môđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu môđun M A = ∀B ≤ M mà B < A suy B = (4) Mơđun A ≤ M gọi môđun cực đại môđun M A = M ∀B ≤ M mà A < B suy B = M Định nghĩa 1.1.5 (1) Cho (Tα )α∈A tập môđun đơn M Nếu M tổng trực tiếp môđun đơn này, nghĩa M= A Tα (∗) (*) gọi phân tích nửa đơn M (2) Một mơđun M gọi nửa đơn có phân tích nửa đơn (3) Vành R gọi nửa đơn phải (trái) môđun RR (R R) nửa đơn Ta thấy môđun đơn nửa đơn vành R tồn mơđun nửa đơn Ngồi ta thấy mơđun nửa đơn 0= i∈∅ Mi , không đơn (theo định nghĩa) Mi đơn, Định nghĩa 1.1.6 Cho MR N ≤ MR Khi nhóm cộng aben M/N với phép nhân mơđun M/N × R −→ M/N (m + N, r) −→ (m + N )r = mr + N R - môđun phải gọi môđun thương mơđun M mơđun N Định nghĩa 1.1.7 R - môđun phải F gọi môđun tự thỏa mãn điều kiện đây: (1) F có sở (2) F = Σi∈I Ai với i ∈ I, RR ∼ = Ai Định nghĩa 1.1.8 Cho MR N ≤ MR N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun P M cho M = N ⊕ P Lúc ta nói P mơđun phụ N M Từ định nghĩa ta suy ngay: N hạng tử trực tiếp M ⇔ ∃P ≤ M : M = N + P N ∩ P = Định nghĩa 1.1.9 (1) Một môđun K M cốt yếu (lớn) M , ký hiệu: K ≤ess M , trường hợp với môđun L ≤ M , K ∩ L = suy L = (2) Một môđun K M đối cốt yếu (nhỏ) M , ký hiệu: K M , trường hợp với môđun L ≤ M , K + L = M suy L = M Định nghĩa 1.1.10 Cho U, M R - môđun phải U gọi xạ ảnh theo M (hay U M - xạ ảnh) với toàn cấu g : MR −→ NR ¯ : U −→ M đồng cấu h : UR −→ NR tồn R - đồng cấu h cho biểu đồ sau giao hoán: U ¯ h M h ~  /N g /0 Mơđun PR gọi xạ ảnh M - xạ ảnh với R - môđun phải M Định nghĩa 1.1.11 Cho U, M R - môđun phải U gọi nội xạ theo M (hay U M - nội xạ) với đơn cấu f : KR −→ MR ¯ : M −→ U đồng cấu h : KR −→ UR tồn R - đồng cấu h cho biểu đồ sau giao hoán: / K h f /  } M ¯ h U Mơđun QR gọi nội xạ M - nội xạ với R - môđun phải M Định nghĩa 1.1.12 Cho M R - môđun phải (1) Đơn cấu f : M −→ Q gọi bao nội xạ M Q môđun nội xạ imf ≤ess Q (2) Toàn cấu g : P −→ M gọi phủ xạ ảnh (hoặc bao xạ ảnh) M P môđun xạ ảnh kerg P 53 Do đó, tương đương (b) (c) suy từ (6) (a) ⇒ (d) Theo (4) ta có Sr ⊆ Sl ⊆ rl(Sr ), kết hợp với giả thiết (a), ta Sr ⊆ Sl ⊆ Sr Vậy Sr = Sl (d) ⇒ (a) Vì R vành minfull phải nên theo Bổ đề 1.2.26, R Kasch trái l(Sl ) = J , kết hợp với giả thiết Sr = Sl , ta rl(Sr ) = r(J) Mặt khác, R vành nửa hoàn chỉnh nên r(J) = Sl Vậy rl(Sr ) = Sl = Sr (d) ⇔ (e) ⇔ (f ) Suy từ (8) Bổ đề 1.2.26 (d) ⇔ (g) Suy từ Mệnh đề 3.1.6 (g) ⇔ (i) Giả thiết (g) Do (g) tương đương với (e) nên Soc(Re) = cho lũy đẳng địa phương e ∈ R (do Soc(Re) đơn) Như vậy, ta có R vành nửa hoàn chỉnh, nội xạ đơn trái với Soc(Re) = cho lũy đẳng địa phương e ∈ R R vành minfull trái Điều ngược lại hiển nhiên (g) ⇒ (h) Giả sử R nội xạ đơn trái, cho K = n i=1 Rki tổng trực tiếp iđêan trái cực tiểu R Khi đó, theo tính nội xạ đơn trái, ta có n i=1 ki R Bổ đề 1.2.24, lr( tổng iđêan phải cực tiểu R Theo n i=1 Rki ) = n i=1 Rki , nghĩa là, lr(K) = K (h) ⇒ (d) Suy từ [24, Theorem 3.14] Kết cho ta thấy quan niệm tính nội xạ đế nội xạ trùng Kết chứng minh lần [33, Lemma 2.14] Mệnh đề 3.1.8 Nếu R/Sr Artinian nửa đơn, mơđun M đế - nội xạ M nội xạ 54 Hệ 3.1.9 Các điều kiện sau vành R tương đương: (1) R/Sr Artinian nửa đơn R đế - nội xạ phải (2) R vành tựa - Frobenius thỏa J = 0, J = J(R) Jacobson R Chứng minh (1) ⇒ (2) Vì R/Sr Artinian nửa đơn R đế - nội xạ phải nên theo Mệnh đề 3.1.8, R vành tự - nội xạ phải Điều kéo theo RR môđun đế - nội xạ mạnh Như vậy, ta có R/Sr Artinian phải RR môđun đế - nội xạ mạnh nên theo Hệ 2.2.15, R tựa - Frobenius Do R/Sr Artinian nửa đơn nên J ⊆ Sr , J = (2) ⇒ (1) Hiển nhiên Dưới ví dụ vành nội xạ đơn phải Artinian hai phía khơng đế - nội xạ phải Ví dụ 3.1.10 [4, Proposition 2.2] Cho K trường cho đẳng cấu ¯ ⊆K α : K −→ K a −→ a ¯ ¯ = K Cho R không gian véc tơ trái trường K trường K với sở {l, t} thỏa mãn t2 = ta = a ¯t với a ∈ K Khi R vành nội xạ đơn phải địa phương với R/J ∼ = K J = Rõ ràng, J = Rt = Kt iđêan trái thực R, trường hợp R Artinian trái Nó khơng khó để thấy R khơng nội xạ đơn trái, theo Hệ 3.1.9, R không đế - nội xạ phải Chú ý dim(K¯ K) hữu hạn R vành Artinian phải 55 3.2 VÀNH ĐẾ NỘI XẠ MẠNH Định nghĩa 3.2.1 Một vành R gọi đế - nội xạ mạnh phải, R - môđun phải RR đế - nội xạ mạnh Ví dụ 3.2.2 Các vành đa thức vành số nguyên Z ví dụ vành đế - nội xạ mạnh Chú ý Z nội xạ Trong kết tiếp theo, làm bật vài tính chất "tốt" vành đế - nội xạ mạnh phải Định lý 3.2.3 Một vành R đế - nội xạ mạnh phải R - môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh đế - nội xạ mạnh Chứng minh Cho vành R đế - nội xạ mạnh phải, tức môđun RR đế - nội xạ mạnh Q R - môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh Khơng tính tổng qt, ta viết Q = n i=1 Ri , Ri = R Do đó, theo (1) Hệ 2.2.3 QR đế - nội xạ mạnh Ngược lại, RR mơđun xạ ảnh hữu hạn sinh nên theo giả thiết môđun RR đế - nội xạ mạnh Vậy vành R đế - nội xạ mạnh phải Trong Mệnh đề tiếp theo, thu phiên rõ ràng kết (1) Bổ đề 3.1.4 Mệnh đề 3.2.4 Giả thiết R vành đế - nội xạ mạnh phải Khi đó: l(A ∩ B) = l(A) + l(B) cho tất iđêan phải nửa đơn A tất iđêan phải B R 56 Chứng minh Chúng ta sử dụng phép chứng minh tương tự Ikeda Nakayama Cho x ∈ l(A ∩ B), định nghĩa ψ : A + B −→ RR ψ(a + b) = xa cho tất a ∈ A b ∈ B Khi ψ R - đồng cấu hiển nhiên, ψ kéo theo R - đồng cấu ψ˜ : (A + B)/B −→ RR Do (A + B)/B nửa đơn R đế - nội xạ mạnh phải nên ψ˜ mở rộng tới R - đồng cấu φ : R/B −→ RR Nếu φ(1 + B) = y với y ∈ R đó, rõ ràng y(a + b) = xa cho tất a ∈ A b ∈ B Trong trường hợp đặc biệt, ya = xa cho tất a ∈ A suy x − y ∈ l(A) yb = cho tất b ∈ B suy y ∈ l(B) Do x = (x − y) + y ∈ l(A) + l(B) Như l(A ∩ B) ⊆ l(A) + l(B), chứng minh hoàn thành, bao hàm thức ngược lại rõ ràng Mệnh đề 3.2.5 Nếu M R - môđun phải đế - nội xạ mạnh N R - môđun phải bất kỳ, M S - N - nội xạ Trong trường hợp riêng, vành đế - nội xạ mạnh phải S - nội xạ phải Chứng minh Cho L môđun N , γ : L −→ M R - đồng cấu với γ(L) đơn Nếu K = ker(γ), γ phép nhúng γ˜ : L/K −→ M định nghĩa γ˜ (x + K) = γ(x), cho tất x ∈ L Do M đế - nội xạ mạnh L/K đơn nên γ˜ mở rộng tới R - đồng cấu γ¯ : N/K −→ M Nếu η : N −→ N/K ánh xạ thương tắc, R - đồng cấu γ¯ ◦ η : N −→ M mở rộng γ Thật vậy, với x ∈ L ta ln có γ¯ ◦ η(x) = γ¯ (x + K) = γ˜ (x + K) = γ(x) Vậy M S - N - nội xạ Định lý sau cho ta đặc trưng vành giả - Frobenius phải qua 57 vành đế - nội xạ mạnh phải Định lý 3.2.6 Các điều kiện sau tương đương cho vành R: (1) R vành PF phải (2) R vành đế - nội xạ mạnh phải, nửa hoàn chỉnh thỏa Soc(eR) = cho lũy đẳng địa phương e R (3) R vành đế - nội xạ mạnh phải, hữu hạn đối sinh phải (4) R vành đế - nội xạ mạnh phải, Kasch phải (5) R vành đế - nội xạ mạnh phải môđun đối ngẫu R - môđun trái đơn đơn Chứng minh (1) ⇒ (2) Vì R vành tựa - Frobenius phải nên theo Định lý 1.2.17, R vành nửa hoàn chỉnh, tự - nội xạ phải với đế cốt yếu Do vậy, theo Hệ 2.2.5, R vành đế - nội xạ mạnh phải Hơn nữa, Sr ≤ess RR nên suy Soc(eR) = với phần tử lũy đẳng địa phương e ∈ R (2) ⇒ (1) Vì R vành nửa hoàn chỉnh nên theo Định lý 1.2.11, ta có R = e1 R ⊕ ⊕ en R, e2i = ei ∈ R, ei R đế - nội xạ mạnh phải khơng thể phân tích thỏa mãn Soc(ei R) = (do Soc(ei R) ≤ess ei R, ≤ i ≤ n) Áp dụng Hệ 2.2.6, ta có ei R nội xạ Từ ta có R vành nửa hồn chỉnh, tự - nội xạ phải với đế phải cốt yếu Vậy R vành PF phải (1) ⇒ (3) Suy từ Định lý 1.2.17 58 (3) ⇒ (1) Vì R vành hữu hạn đối sinh phải nên RR có chiều Goldie hữu hạn R tổng trực tiếp hữu hạn mơđun khơng phân tích Giả sử R = e1 R ⊕ ⊕ en R, e2i = ei ∈ R với i ∈ {1, 2, · · · , n} Do hạng tử trực tiếp môđun đế - nội xạ mạnh đế - nội xạ mạnh, nên ei R đế - nội xạ mạnh Vì Soc(ei R) = 0, ≤ i ≤ n, nên theo Hệ 2.2.6 ei R nội xạ R tự - nội xạ phải Vậy ta có R vành hữu hạn đối sinh phải, tự - nội xạ phải Vậy R vành tựa - Frobenius phải theo Định lý 1.2.17 (1) ⇒ (4) Suy từ Định lý 1.2.17 (4) ⇒ (1) Vì R vành đế - nội xạ mạnh phải nên theo Định lý 2.2.4, ta có RR = E ⊕ T , E nội xạ Soc(T ) = Do R vành Kasch phải nên E = Rõ ràng, R - môđun phải đơn đẳng cấu với mơđun đơn E Vì E môđun xạ ảnh, hữu hạn sinh vật đối sinh nội xạ Theo [17, Lemma 18], E có đế cốt yếu hữu hạn sinh, Sr hữu hạn sinh Vì R Kasch phải nên R có hữu hạn lớp đẳng cấu R - môđun phải đơn Tiếp theo, ta chứng minh R vành nửa hoàn chỉnh Gọi {K1 , K2 , · · · , Kn } lớp đầy đủ đại diện lớp môđun phải đơn Với i ∈ {1, 2, · · · , n}, đặt Ei = E(Ki ) bao nội xạ Ki Vì với i ∈ {1, 2, · · · , n}, Ei môđun nội xạ nên Ei hạng tử trực tiếp E , hay Ei hạng tử trực tiếp R, nên Ei xạ ảnh Rõ ràng, Ei có vành tự đồng cấu địa phương, theo [27, Lemma 1.54], J(Ei ) cực đại đối cốt yếu Ei Do môđun thương Ei /J(Ei ) đơn Nếu Ki ∼ = Kj , Ei ∼ = Ej , i = j Như {K1 , K2 , · · · , Kn } tập hợp 59 đại diện riêng biệt lớp đẳng cấu R - môđun phải đơn, R - mơđun phải đơn có phủ xạ ảnh Như vậy, theo Định lý 1.2.13, R vành nửa hoàn chỉnh Cuối ta chứng minh R tự - nội xạ phải Thật vậy, R vành nửa hồn chỉnh nên theo Định lý 1.2.12, tồn {e1 , e2 , · · · , en } tập sở lũy đẳng địa phương R Khi RR = e1 R ⊕ e2 R ⊕ ⊕ en R với i ∈ {1, 2, · · · , n} tồn j ∈ {1, 2, · · · , n} cho Ei ∼ = ej R Do Ei đôi khơng đẳng cấu với nhau, j hốn vị {1, 2, · · · , n} nên ei R nội xạ R vành tự - nội xạ phải Như R vành PF phải theo Định lý 1.2.17 (1) ⇒ (5) Theo [26, Theorem 3.15], vành PF phải Kasch trái nội xạ đơn trái Vì đối ngẫu R - môđun trái đơn đơn theo [24, Proposition 2.2] (5) ⇒ (1) Vì R vành đế - nội xạ mạnh phải nên theo Mệnh đề 2.2.8, iđêan phải cực tiểu R cốt yếu hạng tử trực tiếp, theo [18, Theorem 2.1], R vành nửa hồn chỉnh với đế phải cốt yếu Cuối cùng, R vành đế - nội xạ mạnh phải với đế cốt yếu nên theo Hệ 2.2.5, R vành tự - nội xạ phải Như vậy, ta có R vành tự - nội xạ phải nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu Vậy theo Định lý 1.2.17 R vành PF phải Nhận xét Một điều hiển nhiên, R vành đế - nội xạ mạnh R vành đế - nội xạ Nhưng điều ngược lại không Dưới ví dụ vành đế - nội xạ đế - nội xạ mạnh 60 Ví dụ 3.2.7 Cho R = Z2 [x1 , x2 , · · · ] Z2 trường hai phần tử với x3i = cho tất i, xi xj = với i, j thỏa i = j x2i = x2j = Nếu m = x2i , R vành địa phương, nửa nguyên sơ, giao hoán với J = span{m, x1 , x2 , · · · }, R có đế cốt yếu đơn J = Z2 m Khơng khó để nhận R đế - nội xạ phải Tuy nhiên R - đồng cấu γ : J −→ R định nghĩa γ(a) = a2 cho a ∈ J mở rộng thành tự đồng cấu R, R khơng tự - nội xạ Vì R khơng vành đế - nội xạ mạnh theo Định lý 3.2.6 Một kết [28, Proposition 2.2], khẳng định vành R tựa - Frobenius R vành tự - nội xạ phải trái, hoàn chỉnh trái Kết cho vành đế - nội xạ mạnh Mệnh đề 3.2.8 Các điều kiện sau tương đương cho vành R: (1) R vành tựa - Frobenius (2) R vành đế - nội xạ mạnh phải trái, hoàn chỉnh trái Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho R vành tựa - Frobenius Khi R vành tự - nội xạ phải trái, hoàn chỉnh trái Mặt khác, R tự - nội xạ kéo theo R đế - nội xạ mạnh Vậy ta có (2) (2) ⇒ (1) Vì R vành hồn chỉnh trái, đế - nội xạ mạnh phải trái nên R vành đế - nội xạ mạnh phải, nửa hoàn chỉnh thỏa mãn Soc(eR) = (do Sr ≤ess RR ) Do theo Định lý 3.2.6, R vành PF phải, R tự - nội xạ phải theo Định lý 1.2.17 Tiếp tục áp dụng Định lý 3.2.6 ta có R vành PF trái, dĩ nhiên R tự - nội xạ trái theo 61 Định lý 1.2.17 Như ta có R vành tự - nội xạ phải trái, hồn chỉnh trái Vậy thì, theo [28, Proposition 2.2] R tựa - Frobenius Tiếp theo ví dụ vành đế - nội xạ mạnh trái hồn chỉnh trái, khơng vành tự - nội xạ trái, không vành đế - nội xạ mạnh phải Ví dụ 3.2.9 [28, Example 6.49] Cho K trường cho R vành tất ma trận vuông vô hạn đếm được, tam giác trường K với hữu hạn phần tử ma trận khác 0, hầu hết Cho S K - đại số R sinh J(R) Khi S vành đế - nội xạ mạnh trái, hoàn chỉnh trái (do Sl = 0), khơng hồn chỉnh phải khơng đế - nội xạ mạnh phải theo Mệnh đề 3.2.8 Ngồi ra, S khơng tự - nội xạ trái khơng hữu hạn sinh trái Chú ý 3.2.10 Chú ý vành số nguyên Z ví dụ vành đế - nội xạ mạnh Noetherian giao hốn, khơng tựa - Frobenius Nhắc lại vành R gọi vành CF phải (vành FGF) R - môđun phải cyclic (hữu hạn sinh) nhúng môđun tự do, xem ví dụ [17] Mệnh đề 3.2.11 Mọi vành đế - nội xạ mạnh phải, CF phải tựa Frobenius Chứng minh Do R - môđun phải đơn nhúng R nên R vành Kasch phải Như vậy, R vành đế - nội xạ mạnh phải, Kasch phải 62 nên theo Định lý 3.2.6 ta có R vành PF phải Do R vành tự nội xạ phải với đế phải cốt yếu hữu hạn sinh Như vậy, R - môđun phải cyclic có đế cốt yếu hữu hạn sinh, theo [30, Proposition 2.2], R Artinian phải dĩ nhiên tựa - Frobenius 63 KẾT LUẬN Nội dung luận văn tìm hiểu trình bày lại kết cấu trúc môđun đế - nội xạ vành đế - nội xạ môđun vành liên quan, cụ thể: Hệ thống lại số khái niệm sở số kết gồm kiến thức liên quan đến sở lý thuyết vành môđun Các kết đưa đủ để làm sở cho chương sau bao gồm Định lý tiếng Faith - Walker vành QF, đặc trưng vành PF, đặc trưng vành nội xạ đơn, vành Kasch hai phía, Trình bày cấu trúc môđun đế - nội xạ đế - nội xạ mạnh tính chất thể mối liên hệ hai lớp môđun với số lớp môđun khác Đặc biệt làm rõ đặc trưng quan trọng môđun đế - nội xạ mạnh thể Định lý 2.1.3 hệ qủa Đó là, mơđun M đế - nội xạ mạnh M phân tích thành tổng trực tiếp mơđun nội xạ môđun với đế không Trong trường hợp riêng, môđun đế - nội xạ mạnh với đế cốt yếu môđun đế - nội xạ mạnh phân tích với đế khác khơng nội xạ Trình bày cấu trúc vành đế - nội xạ đế - nội xạ mạnh mối liên hệ với vành khác như: vành Noetherian, Artinian, giả - Probenius, tựa - Probenius, nửa hồn chỉnh, Trong ý đến vành đế - nội xạ mạnh phải trái hồn chỉnh trái hay phải vành QF thể Mệnh đề 3.2.8 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trương Công Quỳnh Lê Văn Thuyết (2013) Lý thuyết Vành Môđun Nhà xuất Đại học Huế, 2013 [2] Lê Văn Thuyết Hồng Tròn (1994) Lý thuyết Nhóm Vành Nhà xuất Đại học Huế, 1994 Tiếng Anh [3] Anderson, F W., Fuller, K R (1974) Rings and Categories of Modules Berlin, New York: Springer-verlag [4] Bjăork, J E (1970) Rings satisfying certain chain conditions J Reine Angew Math 245:63-73 [5] Camillo, V (1977) Modules whose quotients have finite Goldie dimension Pasific J Math 69:337-338 [6] Camillo, V., Yousif, M F (1991) CS-modules with acc or dcc on essential submodules Comm Algebra 19:655-662 [7] Camillo, V., Yousif, Nicholson, W K., Yousif, M F (2000) IkedaNakayama rings J Algebra 226:1001-1010 65 [8] Cartan, H., Eilenberg, S (1956) Homological Algebra.Princeton University Press [9] Celik, C., Harmanci, A., Smith, P F (1995) A generalization of CSmodules Comm Algebra 23:5445-5460 [10] Faith, C (1976) Algebra II Ring Theory Berlin, New York: SpringerVerlag [11] Faith, C (1982) Embedding Modules in Projectives A Report on a Problem Lecture Notes in Math., Vol 951 Berlin, New York: Springer-Verlag, pp 21-40 [12] Faith, C (1966) Rings with ascending chain conditions on annihilators Nagoya Math J 27:179-191 [13] Faith, C., Walker, E A (1967) Direct sum representations of injective modules J Algebra 5:203-221 [14] Goodearl, K R (1972) Singular torsion and the splitting properties Mem Amer Math Soc 124 [15] Gómez Prado, J L., Guil Asensio, P A (1997) Essential embedding of cyclic modules in projectives Amer Math Soc 349:4343-4353 [16] Gómez Prado, J L., Guil Asensio, P A (1997) Rings with finite essential socle Proc Amer Math Soc 125:971-977 [17] Gómez Prado, J L., Guil Asensio, P A (1998) Torsionless modules and rings with finite essential socle Abelian Groups, Modules The- 66 ory and Topology (Padua, 1997) Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 201 New York: Dekker, pp 261-278 [18] Gómez Prado, J L., Yousif, M F (1999) Semiperfect min-CS rings Glasgow Math J 41:231-238 [19] Hajarnavis, C R., Norton, N C (1985) On dual rings and their modules J Algebra 93:253-266 [20] Hadarda, M (1982) On modules with extending properties Osaka J Math 19:203-215 [21] Kasch, F (1982) Modules and rings London Mathmatical Society Monograph No 17 New York: Academic Press [22] Mohamad, S H, Mă uller, B J (1990) Continuous and Discrete Modules Cambridge, UK: Cambridge Univ Press [23] Nguyen, V D., Dinh V H., Smith, P F., Wisbauer, R (1994) Extending Modules Harlow: Longman [24] Nicholson, W K., Yousif, M F (1997a) Mininjective rings J Algebra 187:548-578 [25] Nicholson, W K., Yousif, M F (1997b) On perfect simple-injective rings Proc Amer Math Soc 125:979-985 [26] Nicholson, W K., Yousif, M F (2001) On quasi-Frobenius rings International Symposium on Ring Theory Basel: Birkhauser, 245-277 67 [27] Nicholson, W K., Yousif, M F (2003) Quasi-Frobenius Rings Cambridge Tracts in Math 158 Cambridge, UK: Cambridge Univ Press [28] Osofsky, B L (1996) A Generaliation of quasi-Frobenius rings J Algebra 4:373-387 [29] Page, S S., Yousif, M F (1989) Relative injective and chain conditions Comm In Algebra 17:899-924 [30] Vamos, P (1968) The dual of the notion of finite generated J London Math Soc 43:186-209 [31] Wisbauer, R (1991) Foundations of Modules and Rings Theory Philadephia: Gordon and Breach [32] Yousif, M F (1997) On continuous rings J Algebra 191:494-509 [33] Yousif, M F., Zhou, Y (2002) Semi-regular, semi-perfect and perfect rings relative to an ideal Rocky Mtn J Math 32:1651-1671 ... kết biết Chương Môđun đế - nội xạ Môđun đế - nội xạ Môđun đế - nội xạ mạnh Chương Vành đế - nội xạ lớp vành liên quan Vành đế - nội xạ Vành đế - nội xạ mạnh Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN - Đề... lý mơđun vành đế - nội xạ vành liên quan Qua làm rõ nghiên cứu có, tìm hiểu sâu môđun vành đế nội xạ, đế - nội xạ mạnh Thông qua việc nghiên cứu tính chất, đặc trưng mơđun vành đế - nội xạ, làm... hợp riêng, tổng trực tiếp hữu hạn môđun đế - nội xạ đế - nội xạ (2) Một hạng tử trực tiếp môđun đế - tựa - nội xạ (đế - nội xạ) môđun đế - tựa - nội xạ (đế - nội xạ) Chứng minh (1) Như ta biết tập