Về môđun và vành S- nội xạ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ DIỄM CHI VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S- NỘI XẠ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TS Lê Văn Thuyết Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp trường Đại học Sư phạm- Đại học Đà Nẵng vào ngày .tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết vành môđun lý thuyết toán học phát triển mạnh mẽ, với quan tâm nhiều nhà toán học Vào năm 1960, 1970 kỷ trước, tầm quan trọng mơđun nội xạ lý thuyết mơđun nói riêng đại số nói chung nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển Một nghiên cứu lý thuyết việc nghiên cứu “môđun s-nội xạ” Lý thuyết môđun s-nội xạ đời có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu lý thuyết vành s-nội xạ Trước tiên, xin đề cập đến môđun nội xạ Khái niệm môđun nội xạ Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, môđun M gọi N -nội xạ với mơđun A N đồng cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M Môđun M gọi nội xạ M N -nội xạ với môđun N Không đưa khái niệm mơđun nội xạ, Baer đưa tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra R-mơđun M nội xạ Tiêu chuẩn mang tên "Tiêu chuẩn Baer" phát biểu sau: Môđun MR nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu f : IR → MR mở rộng đến đồng cấu g : RR → MR Từ tiêu chuẩn Baer đời, môđun nội xạ mở rộng theo hai hướng Một mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc Hai mở rộng theo tiêu chuẩn Baer Trong mở rộng thứ đó, nhiều người nghĩ đến việc mở rộng đồng cấu R-môđun từ môđun đặc biệt môđun môđun suy biến Z(N ) NR vào MR thành đồng cấu R-môđun từ NR vào MR Vấn đề nhiều nhà tốn học tập trung nghiên cứu tìm hiểu Vào năm 2013, Nasr A.Zeyada đưa khái niệm mơđun s-N -nội xạ Trong khái niệm s-N -nội xạ định nghĩa: "Một R-môđun phải M gọi s-N -nội xạ đồng cấu R-môđun f : K → M , với đơn cấu ι : K → N tồn đồng cấu h : N → M cho f = hι, K mơđun mơđun suy biến R-mơđun N Song song với ơng đưa khái niệm s-nội xạ s-nội xạ mạnh Đặc biệt ông đưa số tính chất s-nội xạ môđun vành SI, vành GV, vành PF, Với mong muốn tìm hiểu kết môđun s-nội xạ, vành s-nội xạ định hướng thầy giáo hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết, mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun vành S- nội xạ" để nghiên cứu với hi vọng tìm hiểu sâu tính chất chúng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu kỹ tài liệu có nguồn gốc khác để lĩnh hội kiến thức liên quan môđun vành s-nội xạ, chứng minh cụ thể tính chất mơđun s-nội xạ, làm rõ thơng qua số ví dụ Hi vọng luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho số học viên cao học, cho sinh viên toán năm cuối Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu môđun vành s-nội xạ Luận văn sâu tìm hiểu khái niệm, tính chất quan trọng mơđun vành s-nội xạ đưa ví dụ minh họa Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu thu thập báo khoa học, sách tác giả có liên quan đến mơđun vành s-nội xạ, đồng thời tham gia trao đổi kết nghiên cứu với bạn học viên nhóm, với thầy hướng dẫn với bạn khác Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức môđun, môđun cốt yếu, môđun nội xạ, số vành liên quan: vành Nơte, vành nửa hoàn chỉnh, bất biến Morita, vành giả Frobenius, Chương 2: Là nội dung luận văn Chương chia làm ba phần Phần thứ trình bày định nghĩa, ví dụ mơđun s-nội xạ Phần thứ hai trình bày tính chất mơđun s-nội xạ Phần thứ ba trình bày tính chất s-nội xạ môđun vành đặc biệt CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức vành môđun, môđun nội xạ, môđun vành Nơte, môđun suy biến không suy biến số vành liên quan Ta quy ước vành cho kết hợp có đơn vị, khác R-mơđun phải hay trái unita Ta quy ước R-môđun R-môđun phải Khi M R-mơđun trái đề cập thêm 1.1 Các kiến thức vành môđun Sau số định quan trọng đồng cấu môđun Định lý 1.1.1 Mỗi đồng cấu môđun phải α : AR → BR phân tích α = α ν đồng cấu ν : A → A/K er (α) tồn cấu tắc, α đơn cấu xác định bởi: α : A/K er(α) a + K er (α) → α (a) ∈ B Đơn cấu α đẳng cấu α toàn cấu Hệ 1.1.2 Cho α : AR → BR đồng cấu R-mơđun Lúc đó: A/K er (α) Im (α) Định lý 1.1.3 Nếu B ≤ AR C ≤ AR , thì: (B + C) /C B/B ∩ C Định lý 1.1.4 Nếu C ≤ B ≤ AR thì: A/B (A/C) / (B/C) Cho MR N ≤ M N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun P M cho M = N ⊕ P Lúc ta nói P môđun phụ N M Từ định nghĩa ta suy ra: N hạng tử trực tiếp M ⇔ ∃P ≤ M M = N + P v N ∩ P = Phần tử e vành R gọi phần tử lũy đẳng e2 = e Hai phần tử lũy đẳng e f vành R gọi trực giao ef = f e = Tập {e1 , e2 , en } ⊂ R gọi tập đầy đủ lũy đẳng trực giao đôi eiej = (i, j = 1, 2, , n, i = j) = e1 + e2 + + en Một môđun K M cốt yếu (lớn) M , ký hiệu K≤e M , trường hợp với L ≤ M , K ∩ L = suy L = Đơn cấu: f : K → M gọi cốt yếu Im (f ) ≤e M Môđun A B cốt yếu phép nhúng A → B đơn cấu cốt yếu Bổ đề 1.1.7 Môđun K ≤ M cốt yếu M với = x ∈ M tồn r ∈ R cho = xr ∈ K Cho N môđun M Nếu N ≤ M cực đại với tính chất N ∩ N = ta nói N M -phần bù N Theo bổ đề Zorn ta thấy N ≤ M , tập {K ≤ M | K ∩ N = 0} chứa phần tử cực đại N Một mơđun K gọi đóng M với môđun H M cho K≤eH suy H = K Cho A A môđun MR Khi A gọi M -phần bù cộng tính (hay gọi tắt M -phần phụ) A, (*) A + A = M (*) A môđun cực tiểu thỏa mãn A + A = M , nghĩa là, với B ≤ M [A + B = M B ≤ A ⇒ B = A ] Môđun MR gọi đơn M = M có hai mơđun M Vành R gọi đơn R = R có hai iđêan R Nếu M tổng trực tiếp môđun đơn, nghĩa là: M = ⊕ Tα (∗) A với (Tα )α∈A tập môđun M (*) gọi phân tích nửa đơn M , mơđun M gọi nửa đơn Vành R gọi vành nửa đơn phải (trái) môđun RR (R R) nửa đơn Cho MR X ⊆ M Linh hóa tử phải X R ký hiệu rR (X) xác định sau: rR (X) = {r ∈ R/xr = 0, x ∈ X} Cho A ⊆ R Linh hóa tử trái A M là: lM (A) = {r ∈ M/xa = 0, a ∈ A} Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết rR (x) hay lM (a) Với linh hóa tử R, khơng có nhầm lẫn, người ta bỏ ký hiệu R lR , rR mà viết l, r Đế phải môđun MR ký hiệu soc (MR ), tổng mơđun đơn MR , giao tất môđun cốt yếu MR , môđun nửa đơn lớn M Căn mơđun MR ký hiệu rad (MR ), giao tất môđun cực đại MR , tổng môđun đối cốt yếu MR Nếu M nửa đơn rad(M ) = Đặc biệt, rad (RR ) = rad (R R) = J(R) Khi J(R) = {a ∈ R/1 − ar khả nghịch, ∀r ∈ R} 1.2 Môđun xạ ảnh nội xạ Cho MR mơđun Nếu NR mơđun, M gọi nội xạ theo N (hay M N -nội xạ) trường hợp với đơn cấu f : KR → NR đồng cấu g : KR → MR tồn R-đồng cấu g : N → M cho gf = g , nghĩa biểu đồ sau giao hoán: MO a g / K g f / N MR gọi nội xạ N -nội xạ với R-mơđun N MR gọi tựa nội xạ M M -nội xạ Để kiểm tra M có R-nội xạ hay không ta hay dùng tiêu chuẩn Baer Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M nội xạ với mội iđêan phải I R, đồng cấu f : IR → MR mở rộng đến đồng cấu f : RR → MR Ta có kết phần là: Định lý 1.2.1 Mỗi môđun mơđun mơđun nội xạ Hệ 1.2.2 Một môđun A nội xạ A hạng tử mơđun thực chứa Đối ngẫu với mơđun nội xạ, ta có mơđun P gọi xạ ảnh theo N (hay P N -xạ ảnh) trường hợp với toàn cấu g : N → M đồng cấu f : P → M tồn đồng cấu h : P → N cho f = gh, nghĩa biểu đồ sau giao hoán: P h N } g /  f M / P gọi xạ ảnh P N -xạ ảnh với R-môđun N Đơn cấu µ : M → Q gọi bao nội xạ M Q môđun nội xạ µ đơn cấu cốt yếu Ký hiệu E(M ) để bao nội xạ môđun M Toàn cấu ψ : P → M gọi phủ xạ ảnh(hoặc bao xạ ảnh) M P mơđun xạ ảnh ψ tồn cấu đối cốt yếu 1.3 Môđun vành Nơte *) Tập L mơđun M gọi thỏa điều kiện dãy tăng (thường viết tắt ACC ) trường hợp với dãy L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤ L, tồn n ∈ N Ln+i = Ln (i = 1, 2, ) *) Tập L môđun M gọi thỏa điều kiện dãy giảm (thường viết tắt DCC ) trường hợp với dãy L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥ L, tồn n ∈ N Ln+i = Ln (i = 1, 2, ) 10 Môđun suy biến thứ hai M Z2 (M ) xác định bởi: Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )) Z2(M ) môđun đóng M M/Z2(M ) khơng suy biến Một R-môđun G gọi xoắn Goldie Z2(G)= G Một số tính chất mơđun suy biến + Z (M ) soc (RR ) = + Nếu f : M → N R-đồng cấu f (Z (M )) ≤ Z (N ) + Nếu M ≤ N Z (M ) = M ∩ Z (N ) + Z (M ⊕ N ) = Z (M ) ⊕ Z (N ) Bổ đề sau cho thấy mối quan hệ môđun cốt yếu môđun suy biến Bổ đề 1.4.1 Nếu K≤e M M/K suy biến, tức Z(M/K) = M/K 1.5 Vành nửa hoàn chỉnh Cho vành R I iđêan Nếu với lũy đẳng f vành thương R/I tồn lũy đẳng e vành R cho e − f ∈ I ta gọi lũy đẳng nâng modulo I Một vành R gọi nửa địa phương vành thương R/J(R) (artin) nửa đơn Một vành R gọi semipotent iđêan phải (trái) không chứa J(R) chứa lũy đẳng khác không Một vành R gọi nửa hoàn chỉnh R nửa địa phương lũy đẳng nâng modulo J(R) 11 Cho I iđêan phải R, R gọi I -nửa hoàn chỉnh với iđêan phải K phân tích thành K = eR⊕ U cho e2 = e U = K ∩ (1 − e)R ≤ I 1.6 bất biến Morita Định nghĩa 1.6.1 Giả sử C D hai phạm trù tùy ý Khi hàm tử hiệp biến F : C → D tương đương phạm trù trường hợp có hàm tử G : D → C đẳng cấu tự nhiên GF F G 1C 1D Hàm tử G gọi tương đương khả nghịch F Khi C D gọi hai phạm trù tương đương, ký hiệu C ≈ D Hai vành R S bất biến Morita, viết tắt R ≈ S có tương đương cộng tính phạm trù mơđun Nghĩa là: có đẳng cấu tự nhiên η : GF → 1modR ζ : F G → 1modS , hay với MR có đẳng cấu ηM : GF (M ) → M modR cho với M , M modR f : M → M modR, biểu đồ sau giao hoán: f MO / MO ηM ηM GF (f ) GF (M ) / GF (M ) 1.7 Các lớp môđun, vành khác Định nghĩa 1.7.1 (1) Một môđun M gọi CS với môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp B M thỏa A≤e B (2) Một môđun M gọi C2 K L môđun M, K L K≤⊕M L≤⊕M 12 (3) Một mơđun M gọi thỏa điều kiện C3 K L môđun M thỏa mãn K ∩ L = 0, K≤⊕ M L≤⊕ M K ⊕ L hạng tử trực tiếp M Định nghĩa 1.7.2 *) Vành R gọi vành nửa nguyên sơ R/J(R) nửa đơn J(R) lũy linh *) Vành R gọi địa phương R có iđêan phải (hoặc trái) cực đại *) Vành R gọi Kasch phải với R-môđun phải đơn S tồn đơn cấu ι : S → RR *) Vành R gọi vành quy (von Neumann) cho phần tử r ∈ R, tồn r ∈ R cho r = rr r *) Vành R gọi vành giả Frobenius (pseudo-Frobenius) R nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ với đế phải cốt yếu, viết tắt PF *) Vành R gọi vành SI phải R-môđun phải suy biến nội xạ *) Vành R gọi vành CF (vành FGF) R-môđun phải cyclic (hữu hạn sinh) nhúng vào môđun tự *) Vành R gọi min-C2 (C2) iđêan phải đơn (iđêan phải) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp RR hạng tử trực tiếp RR *) Vành R gọi vành GV phải R-môđun phải đơn suy biến nội xạ 13 CHƯƠNG MÔĐUN VÀ VÀNH S-NỘI XẠ Chương nội dung luận văn, trình bày định nghĩa ví dụ mơđun vành s-nội xạ, trình bày chứng minh tính chất mơđun vành s-nội xạ tính chất s-nội nội xạ mơđun số vành 2.1 Định nghĩa ví dụ Một R-mơđun M gọi N -nội xạ (hay nội xạ theo N ) với đơn cấu R-môđun ι : AR → NR với R-đồng cấu f : AR → MR tồn đồng cấu h : NR → MR cho hι = f Bằng cách thay đổi môđun A môđun môđun suy biến N ta khái niệm môđun s-N -nội xạ Định nghĩa 2.1.1 Một R-môđun phải M gọi s-N -nội xạ với đơn cấu ι : K → N , đồng cấu R-môđun f : K → M tồn đồng cấu h : N → M cho f = hι, K mơđun mơđun suy biến Z(N ) N , tức biểu đồ sau giao hoán: / ι / N K f  M } h M gọi s-nội xạ M s-R-nội xạ M gọi s-nội xạ mạnh M s-N -nội xạ với R-môđun phải N Nhận xét: R-môđun không suy biến s-nội xạ mạnh Sau số ví dụ vành s-nội xạ s-nội xạ mạnh khơng 14 s-nội xạ Ví dụ 2.1.2 Vành số nguyên Z s-nội xạ mạnh Z(Z) = 0, vành số nguyên Z không nội xạ Ví dụ 2.1.3 Cho R Z-đại số sinh x, y với quan hệ sau: yx = y = 0, Z(R R) = nên R R s-nội xạ mạnh Ví dụ 2.1.4 Cho vành R= Z Z2 Z2 , Khi Z(RR ) = nên RR không suy biến nên RR s-nội xạ mạnh Z(R R) = 0, với đồng cấu α : Z (R R) → R R, đồng cấu f : R R → R R xác định bởi: f (r) = a với r = RR a b c ∈ 0 Z Z2 Z2 +c 0 + α( b ) 0 mở rộng α nên theo định nghĩa s-nội xạ Ví dụ 2.1.5 Cho vành R = Z/4Z vành tự nội xạ; NR = 2Z/4Z, Z(R) = N Lấy M = RR ⊕ NR , đồng cấu f :N → M n → (n; n) mở rộng nên M R-môđun s-nội xạ 2.2 Tính chất Một mơđun đẳng cấu với mơđun nội xạ nội xạ, tích trực tiếp họ môđun nội xạ môđun nội xạ ngược lại Những 15 tính chất đảm bảo môđun s-nội xạ, với môđun s-nội xạ có số tính chất khác, mệnh đề sau thể rõ điều Mệnh đề 2.2.1 (1) Giả sử N R-môđun phải {Mi , i ∈ I} họ R-môđun Mi s-N -nội xạ Mi phải Khi tích trực tiếp i∈I s-N -nội xạ, với i ∈ I (2) Giả sử M, N K R-môđun phải, K ≤ N Nếu M s-N -nội xạ M s-K -nội xạ (3) Giả sử M, N K R-môđun phải với K N Nếu K s-M -nội xạ N s-M -nội xạ (4) Giả sử N R-môđun phải {Ai , i ∈ I} họ R-mơđun phải Khi N s- ⊕ Ai -nội xạ N s-Ai -nội xạ, với i∈I ∀i ∈ I (5) R-môđun phải M s-nội xạ M s-P -nội xạ với R-môđun phải P xạ ảnh (6) Giả sử M, N K R-môđun phải với N ≤⊕ M Nếu M s-K -nội xạ N s-K -nội xạ (7) Nếu A, B M R-môđun phải, AR BR , M s-A-nội xạ M s-B -nội xạ Hệ 2.2.2 Cho N R-mơđun phải Khi đó: (1) Tổng trực tiếp hữu hạn môđun s-N -nội xạ s-N -nội xạ Đặc biệt, tổng trực tiếp hữu hạn môđun s-nội xạ (s-nội xạ mạnh) s-nội xạ (s-nội xạ mạnh) (2) Hạng tử môđun s-N -nội xạ (s-nội xạ, s-nội xạ mạnh) môđun s-N -nội xạ (s-nội xạ, s-nội xạ mạnh) 16 Hệ 2.2.3 (1) Cho M R-môđun phải = e1 + e2 + + en R, với ei lũy đẳng trực giao Khi M s-nội xạ M s-ei R-nội xạ (2) Giả sử e, f lũy đẳng R, eR f R M s-eR-nội xạ Khi M s-f R-nội xạ Một R-mơđun N thỏa môđun hữu hạn sinh Nơte N Nơte địa phương, điều tương đương tổng trực tiếp môđun M -nội xạ M -nội xạ Với s-nội xạ mơđun N hữu hạn sinh cần môđun suy biến Z(N ) Nơte đủ Tính chất thể rõ mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.4 Nếu N R-mơđun hữu hạn sinh điều kiện sau tương đương: (1) Tổng trực tiếp môđun s-N -nội xạ s-N -nội xạ (2) Tổng trực tiếp môđun nội xạ s-N -nội xạ (3) Z(N ) Nơte Bổ đề 2.2.5 Giả sử M, N R-môđun phải cho Z2 (M ) nội xạ Khi đồng cấu f : K → M mở rộng đến N , K ≤ Z2 (N ) Hai mệnh đề cho ta thấy mối quan hệ tính s-nội xạ mơđun với tính nội xạ mơđun suy biến thứ hai mơđun xoắn Goldie, đồng thời cho ta phân tích mơđun s-nội xạ mạnh thành tổng trực tiếp hai môđun Mệnh đề 2.2.6 Các phát biểu sau tương đương: (1) M s-nội xạ mạnh 17 (2) M s-I(M )-nội xạ, với I(M ) bao nội xạ M (3) M = E⊕K , với K không suy biến E nội xạ thỏa Z(M )≤e E (4) Z2 (M ) nội xạ (5) M G-nội xạ với G môđun xoắn Goldie (6) M I -nội xạ, với I = I(Z2 (M ))là bao nội xạ Z2 (M ) Hệ 2.2.7 Cho M R-môđun phải xoắn Goldie Khi đó, M nội xạ M s-nội xạ mạnh Mệnh đề 2.2.8 Đối với vành R, điều kiện sau tương đương: (1) RR s-nội xạ mạnh (2) RR s-I(RR ) nội xạ, với I(RR ) bao nội xạ RR (3) R = E ⊕ T , với ER nội xạ T không suy biến Hơn nữa, Z(RR ) = Z(RR )≤e E trường hợp E T nội xạ tương hỗ (4) Z2 (RR ) nội xạ (5) RR G-nội xạ với R-môđun G xoắn Goldie (6) RR I -nội xạ, với I = I(Z2 (RR )) bao nội xạ Z2 (RR ) (7) Mọi R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh s-nội xạ mạnh Ví dụ 2.2.9 Cho vành R = Z/4Z vành tự nội xạ; NR = 2Z/4Z Lấy M = RR ⊕ NR Khi nên Z(M ) = N ⊕ N = nên M không suy biến, Z2 (M ) = M không nội xạ, áp dụng Mệnh đề 2.2.6 suy M khơng R-mơđun s-nội xạ mạnh Các ví dụ sau cho thấy hai lớp vành s-nội xạ soc-nội xạ khác 18 Ví dụ 2.2.10 Giả sử F = Z2 trường có hai phần tử, Fn = F với ∞ ∞ Fi, S = ⊕ Fi Nếu R vành Q sinh n = 1, 2, , Q = i=1 i=1 S R vành quy von Neumann với soc(R)=S , R s-nội xạ mạnh không vành soc-nội xạ Ví dụ 2.2.11 Giả sử R = Z [x1 , x2 , ], x3i = với i, xi xj = với i = j x2i = x2j = m = với i, j Khi ta có R vành giao hoán nửa nguyên thủy, địa phương với J = span {m, x1 , x2 , } = Zr , soc(R) = m = J = Z2 m đơn cốt yếu R Khi R soc(R)-nội xạ R không s-nội xạ 2.3 Tính chất s-nội xạ mơđun số vành Đối với vành GV, tính nội xạ s-nội xạ môđun đơn suy biến Mệnh đề 2.3.1 Một vành R vành GV phải R-môđun phải đơn suy biến s-nội xạ mạnh Bổ đề 2.3.2 Cho M R-môđun phải, điều kiện sau tương đương: (1) M thỏa mãn điều kiện ACC môđun cốt yếu (2) M/soc(M ) Nơte Với RR thỏa điều kiện ACC môđun (RR Nơte) tương đương với tổng trực tiếp môđun nội xạ nội xạ, nhiên M thỏa điều kiện ACC môđun cốt yếu tổng trực tiếp mơđun nội xạ s-nội xạ mạnh có tính chất gì? Mệnh đề trả lời câu hỏi 19 Mệnh đề 2.3.3 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) Mọi tổng trực tiếp R-môđun phải s-nội xạ mạnh s-nội xạ mạnh (2) Mọi tổng trực tiếp R-môđun phải nội xạ s-nội xạ mạnh (3) Mọi R-môđun hữu hạn sinh thỏa điều kiện ACC môđun cốt yếu (4) R/Sr nơte Nếu môđun M vành R nội xạ s-nội xạ, điều ngược lại khơng đúng, chẳng hạn vành số nguyên Z s-nội xạ mạnh không nội xạ Tuy nhiên, R Z(RR )-nửa hoàn chỉnh, hai khái niệm s-nội xạ nội xạ Bổ đề 2.3.4 R Z(RR )-nửa hoàn chỉnh ta có: 1)Một mơđun M s-nội xạ M nội xạ 2) K = rl(K) với K iđêan phải suy biến R K = rl(K) với iđêan phải K R Mệnh đề 2.3.5 Cho M R-môđun phải Z(M ) hạng tử nửa đơn M R-môđun phải s-M -nội xạ Hệ 2.3.6 Một vành R không suy biến phải R-môđun phải s-nội xạ Đối với vành SI, R-mơđun phải suy biến s-nội xạ mạnh tất R-môđun s-nội xạ mạnh ngược lại Định lý khơng 20 khẳng định điều mà cho thấy với vành R, R-mơđun suy biến s-nội xạ mạnh mà R-môđun s-nội xạ vành SI Định lý 2.3.7 Các phát biểu sau tương đương: (1) R vành SI phải (2) Mọi R-môđun phải s-nội xạ mạnh (3) Mọi R-môđun phải suy biến s-nội xạ mạnh Với môđun M phải tựa nội xạ, môđun L đẳng cấu với môđun hạng tử trực tiếp L hạng tử trực tiếp M (gọi điều kiện C2), môđun suy biến K L hạng tử trực tiếp M thỏa K ∩ L = K ⊕ L hạng tử trực tiếp M (gọi điều kiện C3) Với M s-tựa nội xạ ta có tính chất tương tự Mệnh đề 2.3.8 Giả sử M R-môđun phải s-tựa nội xạ (1) (s-C2) Nếu K L môđun suy biến M , K L K≤⊕ M L≤⊕ M (2) (s-C3) Nếu K L môđun suy biến M với K ∩ L = Nếu K≤⊕M L≤⊕M K ⊕ L hạng tử M Một mơđun M thỏa điều kiện C2 thỏa điều kiện C3, tương tự, M thỏa s-C2 thỏa điều kiện s-C3 Mệnh đề 2.3.9 Nếu mơđun M thỏa điều kiện s-C2 M thỏa điều kiện s-C3 Mệnh đề 2.3.10 Cho R S vành bất biến Morita với tương đương phạm trù F : modR → modS Cho M, N K R-mơđun phải Khi 21 (1) KR suy biến F (K)S suy biến (2) MR s-NR -nội xạ F (M )S s-F (N )S -nội xạ Như ta thấy tính tự nội xạ s-nội xạ mạnh bất biến vành Morita điều khẳng định định lý sau: Định lý 2.3.11 s-nội xạ mạnh phải thuộc tính bất biến tương đương Morita vành Mệnh đề 2.3.12 Cho M R-mơđun xạ ảnh, điều kiện sau tương đương: (1) Mọi ảnh đồng cấu R-môđun phải s-M -nội xạ s-M -nội xạ (2) Mọi ảnh đồng cấu R-môđun phải nội xạ s-M -nội xạ (3) Mọi môđun suy biến M xạ ảnh Hệ 2.3.13 Các điều kiện sau tương đương: (1) Mọi môđun thương R-môđun phải s-nội xạ s-nội xạ (2) Mọi môđun thương R-môđun phải nội xạ s-nội xạ (3) Mọi iđêan phải suy biến xạ ảnh Trên vành Z2 (RR )-nửa hồn chỉnh, mơđun phân tích thành tổng trực tiếp môđun nội xạ nửa đơn môđun suy biến thứ hai Mệnh đề 2.3.14 Các điều kiện sau tương đương: (1) Mọi R-môđun phải s-nội xạ mạnh nội xạ (2) Mọi R-môđun phải không suy biến nội xạ nửa đơn 22 (3) Với R-môđun phải M , M = E ⊕ Z2 (M ) với E nội xạ nửa đơn (4) R Z2 (RR )-nửa hoàn chỉnh Sau định lý nêu điều kiện tương đương với vành PF liên quan đến vành Z(RR )-nửa hoàn chỉnh s-nội xạ mạnh Định lý 2.3.15 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R vành PF phải (2) R Z(RR )-nửa hoàn chỉnh, s-nội xạ mạnh phải với đế phải cốt yếu (3) R nửa hoàn chỉnh, min-C2 phải, s-nội xạ mạnh phải với đế phải cốt yếu (4) R nửa hoàn chỉnh với soc(J) = soc(Z(RR )), s-nội xạ mạnh phải với đế phải cốt yếu (5) R hữu hạn đối sinh phải, min-C2 phải, s-nội xạ mạnh phải (6) R vành Kasch phải, s-nội xạ mạnh phải (7) R vành s-nội xạ mạnh phải đối ngẫu R-môđun phải đơn đơn Chú ý: Vành số nguyên Z vành Nơte giao hoán s-nội xạ mạnh không giả Frobenius Mệnh đề 2.3.16 Mỗi vành CF phải s-nội xạ mạnh phải giả Frobenius 23 KẾT LUẬN Luận văn gồm ba phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung trình bày thành hai chương Trong đó, chương nêu lên số kiến thức vành môđun làm tảng, sở cho chứng minh chương sau Trong chương này, tơi trình bày số kết liên quan đến đồng cấu môđun, môđun cốt yếu, môđun nội xạ, môđun suy biến, đế số kiến thức liên quan đến vành Nơte, vành nửa hoàn chỉnh, vành Morita, Chương trình bày nội dung luận văn Trong chương này, nội dung gồm ba phần Phần thứ trình bày định nghĩa mơđun vành s-nội xạ, số ví dụ mơđun vành s-nội xạ mạnh, s-nội xạ không s-nội xạ Phần thứ hai trình bày tính chất mơđun vành s-nội xạ Tính chất đặc trưng mơđun s-nội xạ Mệnh đề 2.2.4 Đó mệnh đề cho thấy tính vượt trội so với môđun nội xạ, công cụ áp dụng để chứng minh số tính chất khác liên quan đến môđun s-nội xạ Một ứng dụng liên quan với N R-môđun hữu hạn sinh tổng trực tiếp mơđun nội xạ s-nội xạ môđun suy biến N Nơte (Mệnh đề 2.2.4) Ngoài ra, phần có đưa điều kiện để mơđun (vành) s-nội xạ mạnh liên quan đến môđun suy biến thứ hai phân tích thành tổng trực tiếp mơđun nội xạ môđun không suy biến nội dung Mệnh đề 2.2.6 Mệnh đề 2.2.8 Đặc biệt hơn,ở có trình bày thêm ví dụ khảo sát tính s-nội xạ mơđun thơng qua mơđun suy biến thứ hai hai ví dụ phân biệt khác môđun soc-nội xạ s-nội xạ Phần thứ ba trình bày tính s-nội xạ mơđun số vành Trên vành GV, tính nội xạ s-nội xạ mạnh môđun đơn suy biến 24 (Mệnh đề 2.3.1) với vành Z(RR )-nửa hồn chỉnh, điều với mơđun (Bổ đề 2.3.4) Với vành thỏa điều kiện ACC môđun cốt yếu (chưa phải vành Nơte) R/Sr Nơte s-nội xạ mạnh bảo toàn qua tổng trực tiếp (Mệnh đề 2.3.3) Trên vành SI, cần môđun suy biến s-nội xạ mạnh tất mơđun s-nội xạ mạnh (Định lý 2.3.7) Với vành Morita, tính s-nội xạ mạnh bất biến (Định lý 2.3.11) Đặc biệt phần có trình bày số điều kiện tương đương với vành PF (Định lý 2.3.15)và điều kiện để vành CF trở thành PF (Mệnh đề 2.3.16) Luận văn tổng hợp đồng thời chi tiết hóa chứng minh định lý, mệnh đề, hệ số ví dụ mơđun vành s-nội xạ Trong viết lời kết cho luận văn, xin nêu vấn đề cho việc tiếp tục đề tài này, cụ thể thay mở rộng qua môđun suy biến môđun N Định nghĩa 2.1.1 ta mở rộng qua môđun hữu hạn sinh Khi kiểm tra xem mệnh đề, định lý trình bày chương II luận văn liệu hay khơng tìm số tính chất khác khơng? ... soc(R) -nội xạ R khơng s -nội xạ 2.3 Tính chất s -nội xạ mơđun số vành Đối với vành GV, tính nội xạ s -nội xạ môđun đơn suy biến Mệnh đề 2.3.1 Một vành R vành GV phải R -môđun phải đơn suy biến s -nội xạ. .. R -môđun phải Khi đó: (1) Tổng trực tiếp hữu hạn môđun s-N -nội xạ s-N -nội xạ Đặc biệt, tổng trực tiếp hữu hạn môđun s -nội xạ (s -nội xạ mạnh) s -nội xạ (s -nội xạ mạnh) (2) Hạng tử môđun s-N -nội. .. -nội xạ (s -nội xạ, s -nội xạ mạnh) môđun s-N -nội xạ (s -nội xạ, s -nội xạ mạnh) 16 Hệ 2.2.3 (1) Cho M R -môđun phải = e1 + e2 + + en R, với ei lũy đẳng trực giao Khi M s -nội xạ M s-ei R -nội xạ (2)