MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH

Header Page of 185 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vũ Kim Hồng MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm tử dẫn xuất trái 1.2 Hàm tử dẫn xuất phải .4 1.3 Giới hạn ngược 1.4 Phức Koszul 1.5 Môđun đồng điều địa phương 1.6 Môđun compắc tuyến tính 1.7 Chiều Noether 11 1.8 Bao nội xạ .12 1.9 Đối ngẫu 13 Chương ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH 15 2.1 Môđun đồng điều địa phương môđun compắc tuyến tính .15 2.2 Tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương .22 2.3 Môđun đồng điều địa phương Noether 29 2.4 Đối ngẫu 32 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Footer Page of 185 Header Page of 185 MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương A Grothendieck công cụ quan trọng hình học đại số đại số giao hoán Do đó, nhiều nhà toán học giới cố gắng tìm cách xây dựng lý thuyết khác xem đối ngẫu với lý thuyết mà kể đến E Matlis, A.-M Simon, J.P.C Greenless, J.P May Cho R vành Noether, giao hoán có đơn vị khác 0, I iđêan R M R-môđun Vào năm 2001, [4], thầy N.T Cường thầy T.T I Nam định nghĩa môđun đồng điều địa phương thứ i H i ( M ) R-môđun M ứng với iđêan I R t H iI ( M ) = lim  Tori ( R I , M ) t theo nghĩa đối ngẫu với định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương A Grothendieck, đồng thời chứng minh vài tính chất môđun đồng điều địa phương M Artin Theo [8] , môđun Artin compắc tuyến tính với tôpô rời rạc Một câu hỏi tự nhiên đặt là: làm để xây dựng lý thuyết đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính? Vào năm 2008, [3], thầy N.T Cường thầy T.T Nam chứng minh vài tính chất môđun đồng điều địa phương môđun compắc tuyến tính nhằm hướng tới xây dựng lý thuyết đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính Trong luận văn này, giới thiệu số tính chất môđun đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chúng trình bày số khái niệm mệnh đề sử dụng chương Chương 2: Đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính Footer Page of 185 Header Page of 185 Phần đầu, trình bày số tính chất tính triệt tiêu, không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương Tiếp theo phần nói môđun đồng điều địa phương Noether Cuối cùng, đưa đối ngẫu môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều địa phương Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Trần Tuấn Nam, người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ mặt nghiên cứu niềm tin để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô tổ môn Đại số nói riêng toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2014 Vũ Kim Hồng Footer Page of 185 Header Page of 185 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm tử dẫn xuất trái Định nghĩa 1.1.1 ([12, 6.2.1]) Cho T :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính phạm trù aben  đủ xạ ảnh Ta xây dựng hàm tử dẫn xuất trái T LnT :  →  với n ∈  sau: Với vật A∈  , gọi P• phép giải xạ ảnh A : P• :  → P2  → P1  → P0  → A  → Tác động hàm tử T vào phức thu gọn P• ta phức T P• , sau lấy đồng điều định nghĩa: ( LnT ) A = H n (T P• ) Với cấu xạ f : A → A′ phạm trù  , gọi P• , P•′ phép giải xạ ảnh A, A′ ϕ• : P• → P•′ biến đổi dây chuyền treo f T ϕ• : T P• → T P•′ biến đổi chuyền Định nghĩa ( LnT ) f : ( LnT ) A → ( LnT ) A′ bởi: ( LnT ) f = H n (T ϕ• ) Định nghĩa tốt, nghĩa ( LnT ) A không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh A theo [12, 6.20] LnT :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính với n ∈  theo [12, 6.17] Mệnh đề 1.1.2 ([12, 6.19]) Nếu T :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính phạm trù aben  đủ xạ ảnh ( LnT ) A = với n ∈  − A∈  Mệnh đề 1.1.3 ([12, 6.27]) Cho T :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính phạm trù aben  đủ xạ ảnh Nếu f g  → A  → B  → C  →0 dãy khớp ngắn phạm trù  Footer Page of 185 Header Page of 185 ( n ) ( n −1 ) ( n ) ∂n  → ( LnT ) A  → ( LnT ) B  → ( LnT ) C  → ( Ln−1T ) A  → LT f LT g L T f  → ( L1T ) C  → ( L0T ) A  → ( L0T ) B  → ( L0T ) C  →0 dãy khớp dài phạm trù  Mệnh đề 1.1.4 ([12, 6.29]) Cho T :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính phạm trù aben  đủ xạ ảnh Nếu T :  →  hàm tử khớp phải T đẳng cấu tự nhiên với L0T 1.2 Hàm tử dẫn xuất phải Định nghĩa 1.2.1 ([12, 6.2.3]) Cho T :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính phạm trù aben  đủ nội xạ Ta xây dựng hàm tử dẫn xuất phải T R nT :  →  với n ∈  sau: Với vật A∈  , gọi E• phép giải nội xạ A : E• :  → A  → E  → E1  → E  → Tác động hàm tử T vào phức thu gọn E• ta phức T E• , sau lấy đồng điều định nghĩa: ( R T ) A = H (T E ) n n • Với cấu xạ f : A → A′ phạm trù  , gọi E• , E′• phép giải xạ ảnh A, A′ ϕ • : E• → E′• biến đổi dây chuyền treo f T ϕ • : T E• → T E′• biến đổi chuyền Định nghĩa ( R T ) f : ( R T ) A → ( R T ) A′ bởi: n n n ( R T ) f = H (T ϕ ) n n ( • ) Định nghĩa tốt, nghĩa R nT A không phụ thuộc vào phép giải nội xạ A theo [12, 6.40] R nT :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính với n ∈  theo [12, 6.37] Footer Page of 185 Header Page of 185 Mệnh đề 1.2.2 ([12, 6.39]) Nếu T :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính ( ) phạm trù aben  đủ nội xạ R nT A = với n ∈  − A∈  Mệnh đề 1.2.3 ([12, 6.43]) Cho T :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính phạm trù aben  đủ nội xạ Nếu f g  → A  → B  → C  →0 dãy khớp ngắn phạm trù   → ( R 0T ) A  → ( R 0T ) B  → ( R 0T ) C  → ( R1T ) A  → (R T ) f ( R T )g (R ) ∂  → ( R nT ) A → ( R nT ) B → ( R nT ) C  → ( R n+1T ) A  → n n n n +1 T f dãy khớp dài phạm trù  Mệnh đề 1.2.4 ([12, 6.45]) Cho T :  →  hàm tử hiệp biến cộng tính phạm trù aben  đủ nội xạ Nếu T :  →  hàm tử khớp trái T đẳng cấu tự nhiên với R 0T 1.3 Giới hạn ngược Định nghĩa 1.3.1 ([22, §1]) Cho I tập thứ tự phận, { Aα }α∈I họ R-môđun Với cặp số α ≤ β , cho fαβ : Aβ → Aα R-đồng cấu thỏa điều kiện sau: (i) fαα ánh xạ đồng Aα với α ∈ I , (ii) fαγ = fαβ f βγ với α ≤ β ≤ γ Footer Page of 185 Header Page of 185 Khi đó, { Aα , fαβ } gọi hệ ngược R-môđun R-đồng cấu với tập số I hay nói gọn I-hệ ngược Nếu fαβ toàn cấu với α ≤ β { Aα , fαβ } gọi hệ ngược toàn cấu { A , f } {B , g } I-hệ ngược, ta định nghĩa cấu xạ } đến {B , g } họ R-đồng cấu {u : A → B } thỏa biểu đồ Nếu {A , f α αβ α α αβ α αβ αβ α α từ α giao hoán với α ≤ β Dễ thấy I-hệ ngược cấu xạ lập thành phạm trù aben đủ nội xạ Mệnh đề 1.3.2 ([22, §1]) Dãy { } { } →{ B , g }  →{C { A , f }  α uα αβ α vα αβ α , hαβ } khớp phạm trù I-hệ ngược dãy uα vα → Bα  → Cα Aα  khớp phạm trù R-môđun với α ∈ I Định nghĩa 1.3.3 ([22, §1]) Ta xây dựng hàm tử từ phạm trù I-hệ ngược đến phạm trù R-môđun sau: Với I-hệ ngược { Aα , fαβ } T { Aα , fαβ } R-môđun Aα ∏ α gồm ∈I = f ( aβ ) với α ≤ β phần tử có dạng {aa }a∈I thỏa aaaβ Với cấu xạ { } →{B , g } { A , f }  α αβ uα α αβ T {uα } R-đồng cấu định nghĩa bởi: T {uaaaa } ({a }) = {u ( a )} Footer Page of 185 Header Page of 185 T gọi giới hạn ngược, nhầm lẫn, ta viết gọn là: T { Aα , fαβ } = lim  uα  Aα T {uα } = lim I I Giới hạn ngược hàm tử hiệp biến cộng tính, khớp trái nói chung không khớp phải Do đó, tồn hàm tử dẫn xuất phải giới hạn ngược, nhầm lẫn, ta viết gọn là: n n n R nT { Aα , fαβ } = lim  uα  Aα R T {uα } = lim I I Mệnh đề 1.3.4 ([22, §1]) Nếu { α} { α}  →{ Aα , fαβ }  → { Bα , gαβ }  → {Cα , hαβ }  →0 u v dãy khớp ngắn phạm trù I-hệ ngược  → lim → lim → lim → lim →  Aα  Bα  Cα   Aα  lim lim ∂  uα  vα  → lim → lim → lim  Aα   Bα   Cα → lim  n n n n n n n +1 n +1 lim  uα Aα  → dãy khớp dài phạm trù R-môđun Mệnh đề 1.3.5 ([22, 1.6]) Nếu { α} { α} →{ Aα , fαβ }  → { Bα , gαβ }  → {Cα , hαβ }  →0  u v dãy khớp ngắn phạm trù I-hệ ngược { Aα , fαβ } hệ ngược toàn cấu  → lim → lim → lim →0  Aα  Bα  Cα  dãy khớp ngắn phạm trù R-môđun 1.4 Phức Koszul Định nghĩa 1.4.1 ([15, 4.2]) Cho x = x1 , , xn dãy phần tử = tử α R Với ≤ p ≤ n , cho A tập gồm phần ( i , , i ) ,1 ≤ i < < i p p ≤n dãy tăng số nguyên Ta định nghĩa K p ( x ) R-môđun tự có sở {eα }α∈A , tức Footer Page of 185 K p ( x ) = ⊕ Reα Ký hiệu eα = ei1 i p α ∈A Header Page 10 of 185 Ta d p ( e= α) định p ∑ ( −1) j =1 nghĩa j +1 R-đồng cấu d p : K p ( x ) → K p −1 ( x ) xi j ei iˆ i Dễ thấy d p −1d p = nên ta có phức hữu hạn j p môđun tự hữu hạn sinh dn d1 K • ( x ) :  → K n ( x )  → K n −1 ( x )  →  → K1 ( x )  → K ( x )  → Phức gọi phức Koszul R theo x Định nghĩa 1.4.2 ([15, 4.2.1]) Với R-môđun M bất kỳ, ta định nghĩa K • ( x, M ) phức K • ( x ) ⊗ R M , gọi phức Koszul M theo x H • ( x, M ) môđun đồng điều Mệnh đề 1.4.3 ([15, 4.2]) Nếu I iđêan sinh phần tử x1 , , xn H ( x, M ) ≅ M IM H n ( x, M ) ≅ ( :M I ) 1.5 Môđun đồng điều địa phương Cho R vành Noether Định nghĩa 1.5.1 ([4, 3.1]) Cho I iđêan R M R-môđun Khi đó, môđun đồng điều địa phương thứ i H iI ( M ) M theo I định nghĩa R t H iI ( M ) = lim  Tori ( R I , M ) t Ghi 1.5.2 (i) t Rõ ràng H 0I ( M ) ≅ Λ I ( M ) , Λ I ( M ) = lim  M I M làm đầy It adic M Nếu M R-môđun hữu hạn sinh H iI ( M ) = với i > ([4, 3.2(ii)]) ( ( ) (ii) Vì I t ToriR R I t , M = nên ToriR R I t , M Footer Page 10 of 185 môđun vành R It với ) có cấu trúc tự nhiên t > Khi đó, Header Page 28 of 185 26 I H iI ( M ) ≅ lim  H i ( M U ) U ∈ Chú ý M U R-môđun compắc tuyến tính rời rạc với Ndim M U ≤ Ndim M Do đó, ta cần chứng minh định lý trường hợp M R-môđun compắc tuyến tính rời rạc Theo 1.6.9 L ( M ) môđun Artin Từ chứng minh 2.2.4 ta có đẳng cấu H iI ( M ) ≅ H iI ( L ( M ) ) d nên theo [4, 4.8] H iI ( L ( M ) ) = với i > Vì Ndim L ( M ) ≤ Ndim M = với i > d Ta điều phải chứng minh. Ghi 2.2.8 Trong [4, 4.8, 4.10] ta chứng minh M môđun Artin vành Noether, địa phương ( R, m ) = Ndim M max {i H im ( M ) ≠ 0} , ta sử dụng thuận tiện max ( ∅ ) =−1 Do đó, phát sinh câu hỏi tự nhiên liệu đẳng thức có M môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc? Câu trả lời nói chung, đẳng thức không Phản ví dụ dựa theo H Zöschinger Cho ( R, m ) miền Noether, địa phương, đầy đủ có chiều K trường thương R Xét K R-môđun Khi đó, Soc ( K ) = Coass ( K ) = {0} , đó, theo [20, 1.6(a)] Ndim K = Vì K R Artin nên theo [20, Theorem] K R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc Vì xK = K với phần tử khác x ∈ m nên theo 2.2.1 H 0m ( K ) = Hơn nữa, từ 2.2.2 ta có H im ( K ) = với i > Do đó, Ndim K = ≠ −1 = max {i H im ( K ) ≠ 0} Định lý 2.2.9 Cho ( R, m ) vành Noether, địa phương M khác R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc Khi đó, (i) Footer Page 28 of 185 Ndim= Γ m ( M ) max {i H im ( M ) ≠ 0} Γ m ( M ) ≠ Header Page 29 of 185 27 = (ii) Ndim M max {i H im ( M ) ≠ 0} Ndim M ≠ Chứng minh (i) Vì Γ m ( M ) R-môđun Artin nên từ [4, 4.8, 4.10] ta { } Ndim Γ m (= M ) max i H im ( Γ m ( M ) ) ≠ Theo 2.2.5 suy điều cần chứng minh (ii) Đầu tiên, theo [20, 1.6(a)] 1.7.3(ii), Soc ( M ) = Ndim M ≤ Soc ( M ) = theo 2.2.3 Do đó, ta có Ndim M = Suy M Nếu Γ m ( M ) = R-môđun hữu hạn sinh H 0m ( M ) ≅ Mˆ ≠ Mˆ làm đầy m -adic M Tiếp theo, xét Γ m ( M ) ≠ Theo (i) Do đó, (ii) trường hợp Γ m ( M ) = = M Ndim Γ m ( M ) Thật vậy, với trường hợp ta cần chứng minh Ndim Ndim M = tầm thường Với Ndim M > từ dãy khớp ngắn →Γ m ( M )  → M  → M Γ m ( M )  → ta có  Ndim M = max {Ndim Γ m ( M ) , Ndim M Γ m ( M )} Vì Soc ( M Γ m ( M ) ) = nên Ndim M Γ m ( M ) ≤ Do đó, Ndim = M Ndim Γ m ( M )  Một dãy phần tử x1 , , xr R gọi dãy M-đối quy ([10, 3.1]) ( :M ( x1 , , xr ) ) ≠ ( :M ( x1 , , xi −1 ) ) → ( :M ( x1 , , xi −1 ) ) toàn cấu với xi i = 1, , r Ta ký hiệu width I ( M ) cận chiều dài dãy M-đối quy iđêan I Theo 1.7.3(i) 2.2.6 width I ( M ) ≤ Ndim M < ∞ M R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc Footer Page 29 of 185 Header Page 30 of 185 28 Định lý 2.2.10 Cho M R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc I iđêan R thỏa ( :M I ) ≠ Khi đó, tất dãy M-đối quy tối đại I có chiều dài Hơn nữa, = width I ( M ) inf {i H iI ( M ) ≠ 0} Chứng minh Ta cần chứng minh x1 , , xn dãy M-đối quy I H iI ( M ) = với i < n H nI ( M ) ≠ đủ Ta chứng minh quy nạp theo n Khi n = , không tồn phần tử x I thỏa xM = M Khi đó, theo 2.2.1 H 0I ( M ) ≠ Khi n > , từ dãy khớp ngắn x1 → ( :M x1 )  → M  → M  →0  cho ta dãy khớp dài x1  → H iI ( M )  → H iI ( M )  → H iI−1 ( :M x1 )  → Theo giả thiết quy nạp, H iI ( :M x1 ) = với i < n − H nI−1 ( :M x1 ) ≠ Do I H iI ( M ) x= đó, theo 1.5.3(ii) = 1H i ( M ) H (M )  x= t I i với i < n Từ dãy t >0 khớp x1  → H nI ( M )  → H nI ( M )  → H nI−1 ( :M x1 )  →0 H nI−1 ( :M x1 ) ≠ suy H nI ( M ) ≠  Ghi 2.2.11 Ta đưa ví dụ cho thấy điều kiện Γ m ( M ) ≠ Định lý 2.2.9(i) cần thiết Cho R vành K R-môđun 2.2.8 Đặt M= N ⊕ K N R-môđun hữu hạn sinh thỏa depth m N ≥ Khi đó, dễ H im ( M ) ≅ H im ( K ) = dàng kiểm tra Γ m ( M ) = với i ≥ H 0m ( M ) ≅ H 0m ( N ) ≅ Nˆ ≠ Do đó, Ndim Γ m ( M ) =−1 ≠ =max {i H im ( M ) ≠ 0} Footer Page 30 of 185 Header Page 31 of 185 29 Trong Ghi 2.2.8, ta thấy tồn môđun K compắc tuyến tính nửa rời rạc khác thỏa H im ( K ) = với i ≥ Dưới đây, ta đưa đặc trưng cho lớp môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc Hệ ta tách điều kiện ( :M I ) ≠ khỏi giả thiết Định lý 2.2.10 Hệ 2.2.12 Cho ( R, m ) vành Noether, địa phương M môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc Khi đó, H im ( M ) = với i ≥ tồn phần tử x ∈ m cho xM = M ( :M x ) = Chứng minh ( ⇒ ) Từ 2.2.1 suy tồn x ∈ m cho xM = M Từ dãy khớp ngắn x → ( :M x )  → M  → M  → suy H im ( :M x ) = với i ≥  Theo [20, Corollary 1], ( :M x ) Artin nên theo [4, 4.10], suy ( :M x ) = ( ⇐ ) Theo 1.5.3(ii), với i ≥ ta có m H im ( M ) xH = = i (M ) H (M ) x= t m i  t >0 2.3 Môđun đồng điều địa phương Noether Đầu tiên, tiêu chuẩn sau môđun Noether hữu dụng việc nghiên cứu tính chất Noether môđun đồng điều địa phương Bổ đề 2.3.1 Cho J iđêan hữu hạn sinh vành R đầy đủ theo tôpô Jadic M R-môđun Nếu M JM R-môđun Noether M J-tách (nghĩa  J M = ) M R-môđun Noether t t >0 Chứng minh Đặt K = ⊕ J t M J t +1M t ≥0 môđun phân bậc liên kết vành phân bậc Footer Page 31 of 185 Header Page 32 of 185 30 GrJ ( R ) = ⊕ J t J t +1 t ≥0 Gọi x1 , x1 , , xs hệ phần tử sinh J ( R J ) [T1 , , Ts ] vành đa thức biến T1 , , Ts Toàn cấu tự nhiên g : ( R J ) [T1 , , Ts ] → GrJ ( R ) K ( R J ) [T1 , , Ts ] -môđun Ta viết K t = J t M J t +1M với t ≥ , K = M JM R J -môđun Noether Mặt khác, dễ dàng kiểm tra s K t +1 = ∑ Ti K t i =1 với t ≥ Do đó, K thỏa mãn điều kiện [6, 1(i)] Khi đó, K ( R J ) [T1 , , Ts ] -môđun Noether K GrJ ( R ) -môđun Noether Vì M J- tách nên M R-môđun Noether theo [1, 10.25]. Định lý 2.3.2 Cho ( R, m ) vành Noether, địa phương M Rm môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc Khi đó, H i ( M ) Rˆ -môđun Noether với i ≥ Chứng minh m Ta chứng minh quy nạp theo i Nếu i = , ta có H ( M ) ≅ Λ m ( M ) Vì M R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc nên M mM R m -môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc Theo [8, 5.2] , M mM R m -không gian véctơ hữu hạn chiều Khi đó, Λ m ( M ) Rˆ -môđun Noether theo [21, 7.2.9] Trường hợp i > , kết hợp 2.1.11 2.2.1, thay M  m M , ta giả sử tồn t t >0 cho xM = M Khi đó, từ dãy khớp ngắn môđun compắc tuyến tính x  → ( :M x )  → M  → M  →0 cho ta dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương Footer Page 32 of 185 x∈m Header Page 33 of 185 31 x δ  → H im ( M )  → H im ( M )  → H im−1 ( :M x )  → Nếu ( :M x ) = m = H im ( M ) xH = i (M ) H (M ) x= t m i với i ≥ theo t >0 1.5.3(ii) Bây giờ, ta giả sử ( :M x ) ≠ Theo giả thiết quy nạp, H im−1 ( :M x ) Rˆ -môđun Noether Đặt H = H im ( M ) , ta có H xH ≅ Im δ ⊆ H im−1 ( :M x ) Suy ˆ H Rˆ -môđun Noether Hơn nữa, H xH Rˆ -môđun Noether Do đó, H m =  mˆ t H t >0 m H (M ) = t m i Vậy, H Rˆ -môđun Noether theo 2.3.1. t >0 Định lý 2.3.3 Cho ( R, m ) vành Noether, địa phương M RI môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc với Ndim M = d Khi đó, H d ( M ) môđun Noether Λ I ( R ) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d Nếu d = M R-môđun hữu hạn sinh nên M I-tách Theo 2.1.9, H 0I ( M ) ≅ Λ I ( M ) ≅ M , H 0I ( M ) Λ I ( R )   -môđun Noether Trường hợp d > , từ 2.1.11 ta có H dI ( M ) ≅ H dI   I t M  Nếu  t >0    Ndim  < I t M  < d theo 2.2.7, H dI ( M ) = đó, không để chứng  t >0    minh Nếu Ndim   I t M  = d theo 2.2.1 thay M  t >0   I M , ta giả sử t t >0 tồn x ∈ I cho xM = M Khi đó, từ dãy khớp ngắn môđun compắc tuyến tính x → ( :M x )  → M  → M  →0  ta có dãy khớp môđun đồng điều địa phương d x H dI ( M )  → H dI ( M )  → H dI −1 ( :M x ) Footer Page 33 of 185 Header Page 34 of 185 32 Theo 2.2.6, Ndim ( :M x ) ≤ d − Nếu Ndim ( :M x ) < d − theo 2.2.7, H dI −1 ( :M x ) = đó, theo 1.5.3(ii) I = = H dI ( M ) xH d (M ) H (M ) x= t I d t >0 I Nếu Ndim ( :M x )= d − theo giả thiết quy nạp, H d −1 ( :M x ) Λ I ( R ) I I I môđun Noether Mặt khác, ta có H d ( M ) xH d ( M ) ≅ Im d ⊆ H d −1 ( :M x ) Do đó, H dI ( M ) xH dI ( M ) Λ I ( R ) -môđun Noether Do đó, H dI ( M ) JH dI ( M ) Λ I ( R ) -môđun Noether J H (M )  = I H (M ) = t I d t t >0 I d J = I ΛI ( R) Hơn nữa, Λ I ( R ) đầy đủ tôpô J-adic nên H dI ( M ) t >0 Λ I ( R ) -môđun Noether theo 2.3.1. 2.4 Đối ngẫu Trong mục này, ( R, m ) vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m Giả sử tôpô R tôpô m -adic Định lý đối ngẫu sau môđun đồng điều địa phương môđun đối đồng điều địa phương kết mục Định lý 2.4.1 (i) Cho M R-môđun Khi đó, với i ≥ , LIi ( D ( M ) ) ≅ H iI ( D ( M ) ) ≅ D ( H Ii ( M ) ) (ii) Nếu M R-môđun compắc tuyến tính với i ≥ , H iI ( M ∗ ) ≅ ( H Ii ( M ) ) ∗ Hơn nữa, ( R, m ) vành Noether, địa phương, đầy đủ H Ii ( M ∗ ) ≅ ( H iI ( M ) ) ∗ Footer Page 34 of 185 Header Page 35 of 185 33 (iii) Nếu ( R, m ) vành Noether, địa phương, đầy đủ M Rmôđun compắc tuyến tính nửa rời rạc ta có đẳng cấu tôpô Rmôđun với i ≥ , H Ii ( M ∗ ) ≅ ( H iI ( M ) ) , ∗ H iI ( M ∗ ) ≅ ( H Ii ( M ) ) ∗ Để chứng minh Định lý 2.4.1 ta cần vài bổ đề Đầu tiên, ta chứng minh ( −) ∗ hàm tử đối ngẫu Macdonald khớp phạm trù R-môđun compắc tuyến tính đồng cấu liên tục Bổ đề 2.4.2 Cho f g → M  → N  → P  →0  dãy khớp ngắn R-môđun compắc tuyến tính, đồng cấu f, g liên tục Khi đó, dãy ∗ ∗ g f  → P∗  → N ∗  → M ∗  →0 khớp Chứng minh Theo [8, 5.5] f ánh xạ mở, nên thay M f ( M ) ta giả sử M môđun đóng N Do đó, theo [8, 5.9], với đồng cấu liên tục h : M → E ( R m ) , tồn đồng cấu liên tục ϕ : N → E ( R ϕ ) mở rộng h Do đó, f ∗ toàn cấu Dễ dàng thấy g ∗ đơn cấu Im g ∗ ⊆ Ker f ∗ Do đó, ta cần chứng minh Ker f ∗ ⊆ Im g ∗ Lấy ψ ∈ Ker f ∗ , ta = có ψ ( Ker g ) ψ= ( f ( M ) ) Khi đó, ψ cảm sinh đồng cấu φ : P → E ( R m ) thỏa φ  g = ψ Suy Ker φ = g ( Kerψ ) Vì ψ liên tục nên theo 1.9.3 Kerψ mở Hơn nữa, g mở nên Ker φ mở Do đó, φ liên tục theo 1.9.3 Vậy ψ ∈ Im g ∗  Footer Page 35 of 185 Header Page 36 of 185 34 Chú ý môđun ảnh đồng cấu môđun nửa rời rạc nửa rời rạc Hệ sau chiều ngược lại phạm trù Rmôđun compắc tuyến tính Hệ 2.4.3 Cho f g  → M  → N  → P  →0 dãy khớp ngắn R-môđun compắc tuyến tính đồng cấu f , g liên tục Nếu M P nửa rời rạc N nửa rời rạc Chứng minh Từ 1.9.2 giả thiết suy P∗ = D ( P ) M ∗ = D ( M ) Ta có biểu đồ giao hoán j bao hàm thức dòng khớp Suy N ∗ = D ( N ) nên N nửa rời rạc theo 1.9.2. Bổ đề 2.4.4 Cho N R-môđun hữu hạn sinh M R-môđun compắc tuyến tính Khi đó, ( Tor ( N , M ) ) R i ∗ ≅ Ext iR ( N , M ∗ ) , ToriR ( N , M ∗ ) ≅ ( Ext iR ( N , M ) ) ∗ với i ≥ Chứng minh Gọi F• :  → Fi  → Fi −1  →  → F1  → F0  → N  →0 Footer Page 36 of 185 Header Page 37 of 185 35 phép giải tự N, R-môđun tự Fi hữu hạn sinh Xem F• ⊗ R M phức R-môđun compắc tuyến tính với vi phân liên ( −) ∗ tục Vì hàm tử đối ngẫu Macdonald khớp phạm trù R-môđun compắc tuyến tính đồng cấu liên tục theo 2.4.2 nên từ [9, 6.1, Theorem 1] suy ( H (F ⊗ • i ( ) M ) ) ≅ H i ( F• ⊗ R M ) ∗ R ∗ Mặt khác, từ [8, 2.5] ta có ( F• ⊗R M ) ∗ ≅ Hom R ( F• , M ∗ ) Do đó, ( Tor ( N , M ) ) ≅ ( H ( F ⊗ R i ∗ i • M )) ∗ R ( ≅ H i Hom R ( F• , M ∗ ) ≅ Ext iR ( N , M ∗ ) ) Đẳng cấu thứ hai chứng minh tương tự. ( ) Nếu M R-môđun tôpô tuyến tính Ext iR R I t , M R-môđun tôpô tuyến tính tôpô định nghĩa 2.1.1 Vì môđun đối đồng điều địa i t phương H Ii ( M ) = lim  Ext R ( R I , M ) môđun thương t ⊕ Ext ( R i R It ,M ) t nên trở thành R-môđun tôpô tuyến tính với tôpô thương [8, 2.6] Bổ đề 2.4.5 Cho ( R, m ) vành Noether, địa phương, đầy đủ Nếu M R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc M rời rạc tuyến tính đó, môđun đối đồng điều địa phương H Ii ( M ) R-môđun rời rạc tuyến tính với i ≥0 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh M R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc M rời rạc tuyến tính Thật vậy, M nửa rời rạc nên M ∗ compắc tuyến tính đó, M ∗∗ rời rạc tuyến tính theo 1.9.6(i) Mặt khác, M R-môđun compắc Footer Page 37 of 185 Header Page 38 of 185 36 tuyến tính nên theo 1.9.6(ii) ta có đẳng cấu tôpô M ≅ M ∗∗ Do đó, M rời rạc tuyến tính Bây giờ, tương tự cách chứng minh 2.1.1, ta chứng minh {Ext ( R I , M )} i R t t hệ thuận R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc với đồng cấu liên tục đó, hệ thuận môđun rời rạc tuyến tính Theo [8, i t 6.7], H Ii ( M ) = lim  Ext R ( R I , M ) rời rạc tuyến tính với i ≥  t Chứng minh Định lý 2.4.1 (i) Đã chứng minh [14, 5.6] [4, 3.3(ii)] (ii) Theo [8, 2.6], với hệ thuận {M t } R-môđun tôpô tuyến tính ∗   Hausdorff với đồng cấu liên tục ta có đẳng cấu lim  M ≅  lim  M t  Hơn nữa, t  t  ∗ t { ( Ext iR R I t , M )} t lập thành hệ thuận R-môđun compắc tuyến tính với đồng cấu liên tục theo 2.1.1 nên theo 2.4.4, ta có R t ∗ H iI ( M ∗ ) = lim  Tori ( R I , M ) t ( i t ≅ lim  Ext R ( R I , M ) t ) ∗ ∗ ∗ i t  ≅  lim H Ii ( M ) ) (  Ext R ( R I , M )  =  t  Tiếp theo, ta chứng minh đẳng cấu thứ hai Theo [8, 9.14], với hệ ngược {M t } môđun compắc tuyến tính vành Noether, địa phương, đầy đủ với đồng ∗ { } ∗  R t cấu liên tục ta có đẳng cấu  lim  M t  ≅ lim  M t Hơn nữa, Tori ( R I , M ) t lập t  t  thành hệ ngược R-môđun compắc tuyến tính với đồng cấu liên tục theo 2.1.2 nên theo 2.4.4, ta có Footer Page 38 of 185 Header Page 39 of 185 37 ∗ i t H Ii ( M ∗ ) = lim  Ext R ( R I , M ) t ( R t ≅ lim  Tori ( R I , M ) t ) ∗ ∗ ∗ R t  ≅  lim H iI ( M ) ) (  Tori ( R I , M )  =  t  (iii) Đầu tiên ta chứng minh đẳng cấu thứ Từ (ii), đẳng cấu đại ( ) số Do đó, theo [8, 6.8], ta cần chứng minh H Ii M ∗ ( H iI ( M ) ) rời rạc ∗ tuyến tính Thật vậy, theo 2.1.4 1.9.6(i), ( H iI ( M ) ) rời rạc tuyến tính Mặt khác, ∗ M compắc tuyến tính nửa rời rạc nên M ∗ compắc tuyến tính rời rạc tuyến ( ) tính Do đó, theo 2.4.5, môđun đối đồng điều địa phương H Ii M ∗ rời rạc tuyến tính Tiếp theo, đẳng cấu thứ hai suy từ đẳng cấu thứ 1.9.6(ii). Hệ 2.4.6 Cho ( R, m ) vành Noether, địa phương, đầy đủ (i) Nếu M R-môđun compắc tuyến tính với i ≥ , ( ) ( ) H Ii ( M ) ≅ H iI ( M ∗ ) , ∗ H iI ( M ) ≅ H Ii ( M ∗ ) ∗ (ii) Nếu M R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc ta có đẳng cấu tôpô R-môđun với i ≥ , ( ) ( ) H Ii ( M ) ≅ H iI ( M ∗ ) , ∗ H Ii ( M ) ≅ H iI ( M ∗ ) Chứng minh (i) Suy từ 2.4.1(ii) 1.9.6(ii) (ii) Suy từ 2.4.1(iii) 1.9.6(ii). Footer Page 39 of 185 ∗ Header Page 40 of 185 38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày kết chủ yếu sau: - Một số tính chất môđun đồng điều địa phương môđun compắc tuyến tính như: hàm tử đồng điều địa phương H iI ( − ) đóng phạm trù môđun compắc tuyến tính (Mệnh đề 2.1.4), định nghĩa môđun đồng điều địa phương luận văn đồng với định nghĩa J.P.C Greenlees J.P May ([5, 2.4]) phạm trù môđun compắc tuyến tính (Mệnh đề 2.1.6), đặc trưng môđun I-tách (Định lý 2.1.9) - Tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương (Định lý 2.2.7, Định lý 2.2.9, Hệ 2.2.12) - Môđun đồng điều địa phương Noether (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3) - Sự đối ngẫu môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều địa phương (Định lý 2.4.1) Vì thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Kính mong quý thầy cô bạn góp ý dẫn thêm Footer Page 40 of 185 Header Page 41 of 185 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Atiyah M.F., Macdonald I.G (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Chambless L (1981), “Coprimary decomposition, N-dimension and divisibility: Application to artinian modules”, Comm Algebra (11), 1131-1146 Cuong N.T., Nam T.T (2008), “A local homology theory for linearly compact modules”, Journal of Algebra 319, 4712-4737 Cuong N.T., Nam T.T (2001), “The I-adic completion and local homology for artinian modules”, Math Proc Cambridge Philos Soc 131, 61-72 Greenlees J.P.C., May J.P (1992), “Derived functors of I-adic completion and local homology”, J Algebra 149, 438-453 Kirby D (1973), “Artinian modules and Hilbert polynomials”, Q J Math Oxford (2) 24, 47-57 Kirby D (1990), “Dimension and length of artinian modules”, Q J Math Oxford (2) 41, 419-429 Macdonald I.G (1962), “Duality over complete local rings”, Topology 1, 213235 Northcott D.G (1960), An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press 10 Ooishi A (1976), “Matlis duality and the width of a module”, Hiroshima Math J 6, 573-587 11 Roberts R.N (1975), “Krull dimension for artinian modules over quasi-local commutative rings”, Q.J Math Oxford (3) 26, 269-273 12 Rotman J.J (2008), An Introduction to Homological Algebra, Springer 13 Sharp R.Y (1989), “A method for the study of artinian modules with an application to asymptotic behavior”, in: Commutative Algebra, Math Sci Res Inst Publ vol 15 (Springer-Verlag), 443-465 Footer Page 41 of 185 Header Page 42 of 185 40 14 Simon A.-M (1990), “Some homological properties of complete modules”, Math Proc Cambridge Philos Soc 108, 231-246 15 Strooker J (1990), Homological Questions in Local Algebra, Cambridge University Press 16 Tang Z (1994), “Local homology theory for artinian modules”, Comm Algebra 22 (5), 1675-1684 17 Warner S (1993), Topological rings, North-Holland Mathematics Studies 178, North-Holland 18 Yassemi S (1995), “Coassociated primes”, Comm Algebra 23 (4), 1473-1498 19 Yassemi S (1995), “Magnitude of modules”, Comm Algebra 23 (11), 39934008 Tiếng Đức 20 Zöschinger H (1983), “Linear-kompakte Moduln über noetherschen Ringen”, Arch Math 41, 121-130 Tiếng Pháp 21 Dieudonné J., Grothendieck A (1960), “Eléments de Géométrie Algébrique-I”, Publ Math Inst Hautes Études Sci 22 Jensen C.U (1972), Les Foncteurs Dérivés de lim  et leurs Applications en Théorie des Modules, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York Footer Page 42 of 185 ... CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH 15 2.1 Môđun đồng điều địa phương môđun compắc tuyến tính .15 2.2 Tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương .22 2.3 Môđun đồng điều địa. .. hướng tới xây dựng lý thuyết đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính Trong luận văn này, giới thiệu số tính chất môđun đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính Luận văn chia làm hai... dựng lý thuyết đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính? Vào năm 2008, [3], thầy N.T Cường thầy T.T Nam chứng minh vài tính chất môđun đồng điều địa phương môđun compắc tuyến tính nhằm hướng