Luận văn sư phạm Môđun Noether và môđun Artin

Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i l ic m n Trong trình nghiên c u th c hi n khóa lu n: “Môđun Noether môđun Artin” v i s c g ng, n l c c a b n thân, em nh n đ cs h ng d n giúp đ t n tình c a Th c S Nguy n Th Ki u Nga, đ ng th i em c ng nh n đ c s giúp đ , đ ng viên c a th y cô giáo c a b n sinh viên khoa Toán Em xin g i l i c m n sâu s c t i cô giáo h Ki u Nga giúp đ h ng d n-Th c S Nguy n Th ng d n t n tình đ em hồn thành t t khóa lu n c a Em xin chân thành c m n ban ch nhi m khoa Toán, th y cô giáo b n sinh viên khoa t o u ki n, giúp đ em hồn thành khóa lu n Do th i gian n ng l c b n thân h n ch H n n a l n đ u tiên làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c nên không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ lu n c a em đ c nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a th y b n đ khóa c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Th Huê Th Huê L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i L i Cam oan Khóa lu n c a em đ c hồn thành sau m t th i gian mi t mài nghiên c u v i s giúp đ t n tình c a giáo- Th c S Nguy n Th Ki u Nga Trong q trình làm khóa lu n em có tham kh o m t s tài li u nh nêu m c tài li u tham kh o Em xin cam đoan khóa lu n k t qu nghiên c u khoa h c c a riêng em khơng trùng v i k t qu c a b t k tác gi khác Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Th Huê Th Huê L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i M cL c L i m đ u Ch ng 1: Môđun 1.1 Môđun, môđun con, u ki n t 1.2 Môđun th ng đ ng v i môđun ng 1.3 T ng tr c ti p, tích tr c ti p, h ng t tr c ti p c a môđun 1.4 T p sinh, t p đ c l p ph thu c n tính, c s c a môđun, môđun h u h n sinh 10 1.5 nh ngh a đ ng c u môđun, u ki n t Ch 2.1 ng đ ng 11 ng 2: Dãy kh p 16 nh ngh a dãy kh p, dãy kh p ng n, u ki n t ng đ ng 16 2.2 M t s tính ch t dãy kh p 17 2.3 Dãy kh p ng n ch 18 Ch ng 3: Môđun Noether Và Môđun Artin 20 3.1 Iđêan vành giao hoán 20 3.2 Môđun Noether 25 3.3 Môđun Artin 34 3.4 S phân tích nguyên s c a môđun Noether 41 3.5 M i quan h gi a môđun Noether môđun Artin 47 3.6 M t s t p 52 K t lu n 58 Tài li u tham kh o 59 Th Huê L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr L i Nói ng HSP Hà N i u i s m t ngành chi m v trí quan tr ng tốn h c Nó góp ph n thúc đ y s phát tri n c a toán h c hi n đ i Ngày nhu c u h c h i toán h c nói chung mơn i s nói riêng c a sinh viên khoa Toán ngày t ng Tuy nhiên đ sâu nghiên c u môn i s c n có s hi u bi t m t cách sâu s c v c u trúc đ is Ngày ng i ta coi đ i t nh : nhóm, vành, tr ng ch y u c a i s c u trúc đ i s ng, mơđun, … Trong mơđun m t nh ng khái ni m quan tr ng nh t c a i s hi n đ i Chính th em m nh d n ch n đ tài nghiên c u: “Môđun Noether môđun Artin” v i mong mu n đ s b c nghiên c u tìm hi u sâu h n v b môn i c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c N i dung khóa lu n g m ba ch Ch ng: ng 1: Trình bày nh ng khái ni m tính ch t c b n c a mơđun nh : môđun con, môđun th ng, t ng tr c ti p, tích tr c ti p, h ng t tr c ti p c a môđun, đ ng c u mơđun,… Ch ng 2: Trình bày nh ng khái ni m tính ch t c b n c a dãy kh p nh : dãy kh p, dãy kh p ng n, dãy kh p ng n ch ra,… Ch ng 3: Trình bày nh ng khái ni m tính ch t c b n c a mơđun Noether mơđun Artin Trong q trình th c hi n đ tài s n l c c a b n thân, em nh n đ c s ch b o, h ng d n t n tình c a Th c S Nguy n Th Ki u Nga s quan tâm, giúp đ c a th y giáo khoa Tốn Em xin g i l i c m n chân thành đ n th y, cô M c dù có c g ng song h n ch v th i gian c ng nh v ki n th c, tài li u… Vì v y em mong nh n đ c s quan tâm, góp ý c a th y cô b n Hà N i, tháng 05, n m 2010 Sinh Viên Th H Th H L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr Ch ng HSP Hà N i ng 1: Môđun 1.1 Môđun, môđun con, u ki n t ng đ ng v i môđun 1.1.1 Môđun a) nh ngh a Cho R vành có đ n v 1, m t nhóm Abel c ng M đ c g i m t R- mơđun trái, hay cịn g i môđun trái R n u t n t i m t ánh x R M  M ( , x)  x (g i phép nhân v í vô h ng) cho u ki n sau th a mãn: i) (   ) x   x   x ii)  ( x  y)   x   y iii ) ( ) x   (  x) iv) 1x  x ( tính ch t Unitar) v i ph n t tu ý  ,   R x,y  M T ng t , ta c ng có m t đ nh ngh a cho R - mơđun ph i m t nhóm Abel c ng M v i ánh x MR M ( x,  )  x Tho mãn u ki n : i) x(   )  x  x ii) ( x  y)  x  y iii) x( )  ( x )  iv) x1  x v i ph n t tu ý  ,   R x, y  M Nh n xét:  Các môđun trái môđun ph i R ch khác “tác đ ng” mơđun Th H “tác đ ng” tr c, hay m t m tích “tác đ ng” tr c L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Vì v y, n u R vành giao hốn khái ni m mơđun trái trùng v i khái ni m môđun ph i Sau đây, ch xét R môđun trái, g i chúng R-môđun  N u R m t tr ng m t R-mơđun cịn g i m t không gian Vect , m i ph n t c a m t vect th ng ký hi u x, y , Nh v y, khái ni m môđun khái ni m t ng quát c a khái ni m không gian vect a) Ví D Ví D 1: M i nhóm Abel c ng M m t Z-mơđun Th t v y, v i m i x thu c M, n thu c Z, ta có:  x   x    n  nx  0 ( x)   ( x)   n  nÕun  nÕun  nÕun  Suy ra, nx  M Do đó, ánh x : ZM  M (n, x)  nx xác đ nh tho mãn b n u ki n c a tích vơ h ng Nh n xét Ví d ch ng t lý thuy t môđun bao g m lý thuy t nhóm Abel Ví d 2: Cho tr ng s th c R, M t p h p véct g c O m t ph ng, M R-mơđun Th t v y, t ng c a hai vect M đ c xác đ nh theo quy t c hình bình hành OA  OB  OC A C V i OA, OB, OC  M + Phép c ng véct có tính ch t k t h p, giao hoán O Th Huê B L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i + Ph n t đ n v + V i m i OA  M t n t i vect đ i - OA  M Suy , ( M, + ) nhóm Abel V i m i OA , Suy ra, OA  R OA vect v t c a OA qua phép v t tâm O , t s M B ng hình h c s c p ta ch ng minh đ c tích vô h ng xác đ nh tho mãn b n u ki n đ nh ngh a V y M m t R -môđun, hay M m t khơng gian vect R Ví d 3: Cho R vành có đ n v , R n  R   R xác đ nh phép c ng nhân vô h ng nh sau : (a1, , an )  (b1, , bn )  (a1  b1, , an  bn )  (a1 , , a n )  ( a1, , a n ) v i   R, (a1, , an ),(b1, , bn )  Rn Khi Rn R-mơđun Ví d 4: M i vành có đ n v m t mơđun Nh n xét Ví d ch ng t lý thuy t mơđun bao g m lý thuy t vành Ví d 5: Cho R vành, M R-môđun, X t p b t k khác Ký hi u A   f : X  M : f ánh x   Trên A xác đ nh phép tốn:  f, g  A ta có: f  g : X  M cho: x  X : (f  g)(x)  f (x)  g(x) Thì (A, +) nhóm Abel v i ph n t đ n v ánh x :XM x0 Th H L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tích vơ h Tr ng HSP Hà N i ng c a f  A v i   R xác đ nh nh sau: R A A ( , f )   f Trong đó: f : X  M x  (f )( x)   f ( x) Khi A R-mơđun Ví d 6: M i iđêan trái c a vành R m t R-môđun c bi t, m i iđêan c a R m t R-môđun b n thân R c ng m t R-môđun 1.1.2 Môđun a) nh ngh a Cho M R-môđun, N  M , N g i R-môđun c a môđun M n u N R-mơđun v i hai phép tốn c m sinh b) i u ki n t ng đ ng v i môđun Cho M R-môđun, N  M Khi u ki n sau t ng đ ng: i) N R-môđun c a M ii) x, y  N,   R : x  y  N, x  N iii)  ,   R, x, y  N : x  y  N c) Ví d Ví d 1: Cho M R-mơđun M ln có hai mơđun t m th ng môđun không 0 M Ví d 2: M i nhóm Abel c ng M Z-mơđun mơđun c a M nhóm c a M Ví d 3: M i vành có đ n v R R-mơđun iđêan trái c a R môđun c aR Th Huê L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Ví d 4: Cho R-môđun M x m t ph n t c a M Khi t p h p Rx  ax : a  R  m t mơđun c a M Ví d 5: Cho R m t vành giao hốn, vành đa th c R[x,y] m t R-môđun nh n R[x] làm m t R-mơđun c a d) Tính ch t  Giao c a m t h tu ý môđun c a M m t môđun c a M Nh n xét: + H p c a m t h b t k mơđun c a M nói chung khơng m t môđun c a M + N u M R-môđun, ( Ni ) iI môđun c a M tho mãn: i, j  I , k  I : Ni  Nk , N j  Nk  N i R-mơđun iI  Cho M R-mơđun, S  M giao c a t t c môđun c a M ch a S m t môđun c a M ch a S (đó mơđun bé nh t c a M ch a S ) g i môđun c a M sinh b i S Ký hi u : S + Ta g i S t p sinh c a M + N u S =M S t p sinh c a M + N u S h u h n, S  S1, , Sn   n  S    i Si :  i  R, Si  S   i 1  g i môđun h u h n sinh c bi t, S  s 1.2 Mơđun th S = s =  s =  s :   R g i môđun xyclic ng 1.2.1 Xây d ng Môđun th ng Cho M Là R-môđun, N mơđun c a M Khi đó: Th H L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr M N ng HSP Hà N i  x  N : x  M  m t nhóm Abel v i phép c ng: ( x  N)  ( y  N)  x  y  N Trên M N xác đ nh phép nhân vô h ng nh sau :   R, x  N  M Thì phép nhân vơ h N  ( x  N )  x  N ng tho mãn u ki n c a tích vơ h Do đó, M N R-môđun, g i môđun th ng ng c a môđun M theo môđun N nh ngh a: Cho N m t môđun c a m t R-mơđun M Khi R-mơđun M N nh v a xây d ng M N th ng đ đ c g i môđun th c ký hi u x , đ ng c a M theo N Ph n t x+N c a c g i nh c a x M N Nh n xét: a x  b y  ax  by v i a , b  R, x, y  M Và n u P m t môđun c a M ch a N R-mơđun th ng P N m t R-mơđun c a M N 1.2.2 Ví d Ví d 1: M R-mơđun 0 M môđun c a M Suy ra, t n t i môđun th ng M 0  x  0: x  M   x : x  M M M M  x  M : x  M   M  Ví d 2: M i vành có đ n v R R-mơđun, I iđêan c a R I mơđun c a R Th Huê 10 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i không đ n c u, b i ax = mà x  Ni nh ng a khơng l y linh a  Pi ( mâu thu n) Suy ra: P  Pi , đó: Ass(M )  {P1, , Pr } + Ta ch ng minh Ass(M )  {P1, , Pr } Ch ng h n, ta s ch P1  Ass(M ) r r i 1 i 2 Do   Ni m t phân tích thu g n nên x  (  Ni ) \ N1 L i N1 môđun P 1-nguyên s , nên t n t i n: P1n x  N1 P1n1xN1 Gi s y ph n t tùy ý c a P1n1x \ N1 , ta ch ng minh P1  Ann( y) Rõ ràng P1  Ann( y) c l i, v i m i a  Ann( y) ay   N1 Ng Do y  N1 nên a  rM ( N1 )  P1 V y Ann( y)  P1 , P1  Ann( y)  Ass(M ) nh lý v tính nh t th nh t 3.4.6 Cho M m t môđun h u h n sinh m t vành Noether R Khi n u r mơđun N c a M có phân tích ngun s thu g n N   Ni , Ni m t i 1 môđun Pi-nguyên s v i i  1, r P i nh t xác đ nh b i N Và ta có: Ass( M N )  {P1, , Pr } Ch ng minh: r Do N có phân tích ngun s thu g n N   Ni i 1 Ta suy ra, R-môđun M r  ( i 1 Ni N )v i Th Huê Ni N , mơđun có phân tích ngun s thu g n N Pi-nguyên s 49 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Theo đ nh lý ta có: Ass( M Tr N ng HSP Hà N i )  {P1, , Pr } 3.3.7 M nh đ Cho M m t môđun h u h n sinh vành Noether R N m t môđun P-nguyên s c a M Gi s P ' m t iđêan nguyên t b t k c a R, đ t M '  M P ' N '  NP ' Khi ta có: i) N u P P ' N '  M ' ii) N u P  P ' N   1 ( N ') v i  : M  M ' ánh x t nhiên 3.3.8 a) nh lý v tính nh t th hai nh ngh a iđêan nguyên t nhúng, iđêan nguyên t cô l p Cho N m t môđun c a môđun M h u h n sinh vành Noether A Gi s n N   Ni m t phân tích nguyên s thu g n c a N v i Ni Pi-nguyên s , i 1 i  1, n Khi Ass( M N )  P1, , Pr  đ c g i t p iđêan nguyên t liên k t v i N N u iđêan nguyên t Pi c c ti u Ass( M iđêan nguyên t l p c a N, cịn thành ph n Ni t thành ph n cô l p c a N Ng N ) đ c g i ng ng v i P i c c ti u đ c l i, n u Pi khơng c c ti u đ iđêan ngun t nhúng c a N, Ni t ng ng v i P i đ cg i c g i c g i thành ph n nhúng c a N b) nh lý Cho R m t vành Noether M m t môđun h u h n sinh R Gi s , r môđun N c a M có phân tích ngun s thu g n N   Ni , Ni m t i 1 môđun Pi-nguyên s v i i  1, r Khi n u Pi m t iđêan nguyên t cô l p Ni nh t xác đ nh b i N Ch ng minh: Khơng gi m tính t ng quát, gi s ch ng h n P iđêan ngun t l p, Pi P1 v i m i i  2, r áp d ng m nh đ ta có: Th H 50 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i ( Ni ) P1  M P1 , i  2, r Và N1   1 (( N1 ) P1 ) v i  : M  MP1 ánh x t nhiên r r i 1 i 1 M t khác: N p1  ( Ni ) P1  ( Ni ) P1  ( N1 ) P1 Suy N1   1 ( NP1 ) ch ph thu c vào N P áp d ng đ nh lý v tính nh t th nh t, ta suy u ph i ch ng minh 3.5 M i quan h gi a môđun Noether môđun Artin 3.5.1 nh lý Cho R vành Artin Khi m i iđêan nguyên t R đ u iđêan c c đ i H n n a vành Artin ch có h u h n iđêan c c đ i Ch ng minh: G i P m t iđêan nguyên t b t k R Khi vành th ng T  R P m t mi n nguyên V i  x  T b t k ta có dãy iđêan c a R gi m xác đ nh nh sau: ( x)  ( x2 )  Theo gi thi t R vành Artin nên dãy ph i d ng, có ngh a t n t i k  N* : ( xn )  ( xk ), n  k T n t i ph n t y R : xk  xk1 y  xk (1  xy)  Do T mi n nguyên, x   xk  T ta có xy = Ch ng t T tr ng V y P iđêan c c đ i R Bây gi xét t p  t t c iđêan R có d ng giao h u h n iđêan c c đ i R N u R khơng có iđêan c c đ i hi n nhiên R có h u h n iđêan c c đ i Bây gi xét R có nh t m t iđêan c c đ i Th Huê 51   L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr Theo tính ch t c a vành Artin  ng HSP Hà N i ph i có ph n t c c ti u R, gi s m1   mn V i m i iđêan c c đ i m b t k c a R ta có: m  m1   mn  m1   mn Theo tính ch t c a ph n t c c ti u R ta có: m  m1   mn  m1   mn  m1   mn  m Khi t n t i mi: mi  m, i  1, n Th t v y, gi s mk  m, k  1, n Khi đó, t n t i yk  m k \ m, k  1, n t y  y1 yn ta có y  mi , i  1, n  y  m Do m iđêan c c đ i nên t n t i ch s k  1, n cho: yk  m (mâu thu n) Ch ng t t n t i mk  m, k  1, n V y R ch có h u h n iđêan c c đ i 3.5.2 nh ngh a c n l y linh, Iđêan l y linh a) C n l y linh Cho A iđêan c a X, t p Rad (A) = {x  X  n  N đ xn  A} đ c g i c n c a A ( Rad (A) m t iđêan c a X) c bi t, c n c a iđêan {0} đ Rad (X) = {x X c g i c n lu linh c a X kí hi u Rad (X)  n  N đ xn = } M t ph n t c a Rad (X) g i ph n t lu linh c a X b) Iđêan l y linh I Iđêan c a R, I l y linh n u t n t i k  N đ I k  3.5.3 nh lý Cho R vành Artin b t k Khi c n l y linh c a R m t iđêan l y linh Ch ng minh: Th H 52 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i t I  Rad( R) c n l y linh c a R, I m t iđêan c a R Xét h iđêan c a R:   I  k  k 1 , R Artin nên t n t i ph n t c c ti u   I  k  k 1 T c t n t i k  N * : J  I n  I k , n  k N u J= {0} hi n nhiên I l y linh ng h p J  0 Bây gi xét tr t   a : aJ  0 v i a iđêan c a R Do có J  nên    , theo tính ch t c a vành Artin ta có:  có ph n t c c ti u, gi s a0 M i ph n t x  a0  xJ  0  xR   a0  xR ( theo tính ch t c a iđêan c c ti u) L i có a0 iđêan c c ti u c a R nên t xR  a0  xR  a0 Ch ng t a0 iđêan T cách đ t ta có xJ  xR nên theo tính ch t c a ph n t c c ti u ph i có xJ  xR Suy ra, t n t i y  J : x  xy  x  xyk , k Do y  J nên t n t i k : yk  , ch ng t x = (mâu thu n) V y J= {0} hay nói cách khác I l y linh 3.5.3 M i liên h gi a vành Noether vành Artin nh lý: Vành R vành Artin ch vành R vành Noether m i iđêan nguyên t iđêan c c đ i Ch ng minh:  Gi s R vành Artin Theo đ nh lý m i iđêan nguyên t R đ u iđêan c c đ i R ch có h u h n iđêan c c đ i kí hi u n m1, ,mn đ t I   mi i 1 Khi I l y linh Th Huê 53 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr   I k   Th t v y, xét h đêan c a R: t n t i ph n t c c ti u k 1 ng HSP Hà N i , theo gi thi t R vành Artin nên  T c t n t i k  N * : J  I n  I k , n  k N u J= {0} hi n nhiên I l y linh Xét J  0 t   a : aJ  0 v i a iđêan c a R Do có J  nên    , theo tính ch t c a vành Artin ta có:  có ph n t c c ti u, gi s a M i ph n t x  a0  xJ   xR   a  xR ( theo tính ch t c a iđêan c c ti u) L i có a0 iđêan c c ti u c a R nên t xR  a0  xR  a0 Ch ng t a0 iđêan T cách đ t ta có xJ  xR nên theo tính ch t c a ph n t c c ti u ph i có xJ  xR (mâu thu n) V y J= {0} t c I l y linh Xét dãy gi m iđêan R n R  m1   m1k  m1k m2    mik  i 1 ây dãy có tính ch t: th ng c a hai iđêan k không nh ng R-môđun mà cịn khơng gian vect R mi v i mi iđêan k Vì R Artin nên R h u h n sinh, không gian th gian vect h u h n chi u Do đó, khơng gian th Vì v y, không gian th ng k đ u không ng K-môđun Artin ng đ u có dãy h p thành, nh v y R c ng có dãy h p thành V y R môđun Noether  Gi s R Noether th a mãn m i iđêan nguyên t đ u iđêan c c đ i Th H 54 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Theo ch ng minh Tr ng HSP Hà N i u ki n c n t n t i h u h n iđêan c c đ i R: n I   mi c n l y linh, ph i t n t i h u h n iđêan nguyên s q1, , qn : i 1 n I   qi c n l y linh i 1 t mi= Rad(qi), i  1, n Vì qi, i  1, n iđêan nguyên s nên mi iđêan nguyên t c a R Theo gi thi t m i mi iđêan c c đ i c a R V i m iđêan c c đ i tùy ý c a R, c n l y linh c a R giao t t c iđêan nguyên t c a R, k t h p v i u ki n m i iđêan nguyên t c a R đ u iđêan c c đ i nên ta có: n  qi  I  m i 1 n Suy ra,  mi  m ( tính ch t c c đ i c a m, m iđêan nguyên t c a R) i 1 Suy ra, t n t i k : mk  m Do mk iđêan c c đ i nên mk= m i u ch ng t R ch có h u h n iđêan c c đ i L i có R vành Noether nên I h u h n sinh Gi s I  (a1, , a n ) Khi t n t i s t nhiên n1 , , nt : a ini  0, i  1, t t k  n1   nt  ta có I k  nh v y có dãy gi m: R  m1  m12   m1k m2   m1k m2k  Bây gi ch ng minh hoàn toàn nh ph n thu n R c ng có dãy h p thành R vành Artin 3.6 M t s t p Bài 1: Cho M R-mơđun vành giao hốn R, N mơđun c a M Ch ng minh r ng N môđun t i đ i c a M ch M N môđun đ n Ch ng minh: Th Huê 55 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p  Tr ng HSP Hà N i N u N môđun c c đ i c a M, xét A môđun c a M N : A t n t i x0  0, x0  N : x0  N  A  M N Lúc môđun Rx0 + N c a M môđun ch a N Theo gi thi t N môđun c c đ i c a M nên Rx0 + N = M Suy 1 Rx0  M L i có: Rx0  N    Rx0  N  M ,1 N  1 Rx0 T c 1 N  A A  M V y M N N m t môđun đ n  Gi s M N m t môđun đ n, A môđun c a M ch a th c s N M A M không th x y ra, v i M N = M A môđun c a M N , l i có A ch a th c s N nên đ ng th c N mơđun đ n nên ta có M A =0 Suy A = M V y N môđun t i đ i c a M Bài 2: Ch ng minh r ng m t R-môđun M vành giao hoán R đ n ch t n t i m t iđêan I c a R cho M  R H I ng d n Xét ánh x f : R  M xác đ nh b i f(a) = ax0,  x0  M Do có 1x0 = x0 suy Im f  0 Theo đ nh lý đ ng c u môđun R ker f  Im f + N u M mơđun đ n Im f  M  R ker f M Ta có ker f iđêan c a R, h n n a ker f iđêan c c đ i c a R, th t v y: Th Huê 56 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Gi s J iđêan c a R ch a ker f th c s ta có R  R J  ker f môđun đ n nên f(J) = M J ch a th c s ker f suy f ( J )  R L i có M ker f Xét h n ch : fJ : J  M  ker fJ  ker f  J ker f R ker f M Do J ch a th c s ker f nên J = R V y ker f iđêan c c đ i c a R + Ng c l i, n u có iđêan c c đ i c a R ch ng h n I : R  M I Suy M mơđun đ n R môđun đ n I Bài 3: Cho M m t R-môđun Ch ng minh r ng n u M1, M2 môđun c a M cho M M1 ,M M M1  M c ng M môđun Noether (Arrtin) mơđun Noether (Artin) H ng d n Xét đ ng c u xác đ nh: f :M M M1 M M2 x  ( x  M1, x  M2 ) Theo đ nh lý đ ng c u f ( M )  M N u M M1 ,M M mơđun Noether Hi n nhiên f toàn ánh nên M V y ta có M N u M M1 M1 ,M Th Huê ker f M M1 M M2 M M M1 M M môđun Noether ker f môđun Noether M môđun Noether M M M1 M mơđun Artin M mơđun Artin 57 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Ta bi t môđun c a môđun Artin môđun Artin nên f ( M )  M ker f môđun Artin Theo vi c xác đ nh f ta có:   x  M1  M1  ker f   x  M :     x  M  M    x  M1   x M :     x  M   M1  M2 Nh v y, f ( M )  M M1  M môđun Artin Bài 4: Cho p s nguyên t a  :  ,   a Z i N  Ch ng minh r ng Z-môđun: i p   t Qp   Qp a    i  Z : a  Z , i  N  môđun Artin nh ng không môđun Z p  Noether Ch ng minh:  Qp Z không môđun Noether Th t v y: Xét dãy t ng môđun c a 0( Qp Z: 1  Z )  (  Z )  (  Z )  p p p (1) Ta ch ng minh dãy (1) khơng d ng Th t v y: Ta có: ( 1  Z )  (  Z ) vì: p p V i m i x ( Th Huê a  Z ) x   Z , a  Z p p 58 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Ta có: x  Do ( Tr ap 1  Z  ap(  Z )  (  Z ) p p p 1 1 p 1  Z )  (  Z ) i  i 1  i 1  Z p p p p p V y dãy (1) không d ng nên Qp Qp Z không môđun Noether môđun Artin Th t vây: Z Tr (do ap  Z ) 1  Z)  (  Z) p p H nn a (  ng HSP Hà N i c h t ta ch ng minh: n u (a, p)= v i m i a  Z ( a  Z)  ( i  Z) i p p (*) Th t v y: (a, p)= nên (a , pi )  v y t n t i m, n  Z đ am  pi n  Khi đó: n  am am  i  i Z pi p p am Z i Z i p p Suy + V i m i x ( a a ka  Z ) suy x  k ( i  Z )  i  Z i p p p Rõ ràng ka 1  Z  ka (  Z )  (  Z) pi pi pi Suy ( a  Z)  ( i  Z) i p p + Ng c l i, v i m i y  ( y  h( Th Huê  Z ) ta có pi am a a  Z )  h (  Z )  hm (  Z )  (  Z) pi pi pi pi 59 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Do ( V y( Tr ng HSP Hà N i a  Z)  ( i  Z) i p p a  Z)  ( i  Z) i p p Ta ch ng minh m i môđun th c s c a Qp Z m t môđun dãy (1) Gi s B môđun th c s c a B  ( Qp Z , t c B  0, B  Qp Z  Z ), i  N pi Th t v y: v i m i ( Q a  Z)  p , a  Z i Z p a  )  (  Z) Z pi pi Tr ng h p 1: n u (a, p)= theo (*) ta có ( Tr ng h p 2: n u (a, p)  (a, p)= p (do p nguyên t ) t c a  p Gi s a= a 1p v i a  Z Ta có: a a1 p a1     Z Z Z pi pi p i 1 Xét a 1: N u (a 1, p)= ( a1    Z) Z ) ( p i 1 p i 1 N u (a 1, p)  a1  p (do p nguyên t ) suy a 1= a 2p v i a 2 Z Xét a 2: N u (a 2, p)= ( a2  Z )  ( i 2  Z ) i 2 p p N u (a 2, p)  a  p (do p nguyên t ) suy a 2= a 3p v i a 3 Z C ti p t c nh v y sau h u h n b Nên B  ( c ta có (a n, p)= a  Z )  ( n  Z ), n  i i p p Th Huê 60 L p K32G Toán Khóa lu n t t nghi p Tr Theo (1), m i dãy gi m môđun c a V y Qp Z Qp Z ng HSP Hà N i đ u d ng môđun Artin Bài 5: Cho M môđun, I = Ann(M) Ch ng minh r ng R I vành Noether Ch ng minh: Vì M mơđun Noether nên M h u h n sinh, t c M có d ng: M   n  Rx , i 1 i Rxi, i  1, n môđun Noether Xét ánh x fi : R  Rxi , x  axi , i  1, n m t toàn ánh Theo đ nh lý đ ng c u R toán b ng quy n p ta có: ker fi R  Rxi , i  1, n môđun Noether S d ng n  ker fi môđun Noether i 1 V y R Ann( M ) môđun Noether K t Lu n Lý thuy t môđun m t nh ng lý thuy t quan tr ng t ng quát nh t c a i s hi n đ i Vi c nghiên c u lý thuy t môđun cho ta m t cách nhìn t ng quát v c u trúc đ i s , m t s k t qu c a lý thuy t mơđun có nhi u ng d ng ngành toán h c khác Th H 61 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Khóa lu n t t nghi p c a em t p trung nghiên c u vào hai l p mơđun gi vai trị quan tr ng i s , mơđun Noether mơđun Artin Do th i gian có h n nên khóa lu n ch đ c p đ n nh ng khái ni m c b n m t s k t qu quan tr ng c a hai l p môđun Noether Artin Nhi u v n đ v mô đun ch a đ c đ c p đ n nh : Mơ đun t do, tích Tenx , hàm t mô đun,… V i th i gian chu n b ch a nhi u b c đ u làm quen v i ph ng pháp nghiên c u khoa h c nên khóa lu n s khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s giúp đ , góp ý c a th y, b n sinh viên Tài Li u Tham Kh o [1] GS Nguy n T C ng (2003), Giáo trình đ i s hi n đ i, Nxb i h c qu c gia Hà N i [2] Ngô Thúc Lanh (1982), Th Huê i s -giáo trình sau đ i h c, Nxb giáo d c 62 L p K32G Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i [3] Nguy n Ti n Quang-Nguy n Duy Thu n (2001), C s lý thuy t môđun vành, Nxb giáo d c [4] D ng Qu c Vi t (2008), C s lý thuy t môđun, Nxb i h c s ph m [5] N.S Gopalakrishnan (1984), Steps in Commutative Algebr Th Huê 63 L p K32G Toán ... I h u h n sinh V y R vành Noether H qu : 1) N u R vành Noether vành đa th c R[x1, ,xn] c ng vành Noether 2) N u K m t tr ng vành đa th c K[x1, ,xn] vành Noether 3.3 Môđun Artin Th Huê 37 L p K32G... vành Artin R Khi vành th ng R I c ng vành Artin Ch ng minh: Xét dãy kh p ng n: O  I  R R O I Theo đ nh lý ta có: R vành Artin nên I, R V y R I I vành Artin vành Artin 3.3.4 Ví d Ví d 1: Vành... Ch ng 3: Môđun Noether Và Môđun Artin 20 3.1 Iđêan vành giao hoán 20 3.2 Môđun Noether 25 3.3 Môđun Artin 34 3.4 S phân tích ngun s c a mơđun Noether