Về Đồng Điệu Địa Phương Suy Rộng Cho Môđun Artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS TS Trần Tuấn Nam, người hết lịng giúp đỡ tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Tốn Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN- SĐH trường tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn tất thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Đại số lý thuyết số khóa 22 Thành phố Hồ Chí Mịnh, ngày 17 tháng 09 năm 2013 Học viên Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG CÁC KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun noether môđun artin .7 1.2 Hàm tử Tor 1.3 Hàm tử xoắn 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 1.5 Đối ngẫu Matlis 1.6 Giới hạn ngược đầy đủ 10 1.7 Môđun đầy đủ I- adic 12 1.8 Độ dài môđun .13 1.9 Iđêan nguyên tố đối liên kết 14 1.10 Giá môđun 14 CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MƠĐUN ARTIN16 2.1 Mơđun đồng điều địa phương suy rộng 16 2.2 Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin .17 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 BẢNG CÁC KÍ HIỆU R vành giao hốn có đơn vị Rˆ vành đầy đủ R Tori R ( A, B ) tích xoắn i chiều R môđun A B Hi ( X ) môđun đồng điều thứ i phức X Hi (X ) môđun đối đồng điều thứ i phức X lim M t giới hạn ngược {M t , f rt } lim M t giới hạn thuận {M t , f rt } Hom ( A, B ) tập hợp đồng cấu từ môđun A đến môđun B Ext Ri ( A, B ) tích mở rộng i chiều R môđun A B ΓI ( M ) hàm tử I - xoắn H Ii ( M , N ) môđun đối đồng điều địa phương suy rộng M , N I AssR ( M ) tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M depthI ( M ) độ sâu môđun M iđêan I widthI ( M ) chiều rộng môđun M iđêan I R (M ) độ dài môđun M D(M ) đối ngẫu Matlis môđun M E ( R / m) bao nội xạ R / m ΛI ( M ) đầy đủ I - adic môđun M N dim ( M ) chiều noether môđun M ←  t  → t Coass ( M ) tập iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M Supp ( M ) giá môđun M CosR ( M ) đối giá môđun M V (I ) {P ∈ SpecR P ⊇ I } H iI ( M , N ) môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i M , N GrJ ( R ) vành phân bậc liên kết R J pd ( M ) chiều xạ ảnh môđun M AnnR ( M ) 0} { x ∈ R xM = :K x 0} {a ∈ K ax = I LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta biết lý thuyết đồng điều địa phương đối ngẫu lý thuyết đối đồng điều địa phương A Grothendieck Lý thuyết đồng điều địa phương suy rộng nghiên cứu phát triển ngày mạnh J P C Greenless, J P May, L Alonso Tarrio, A Jeremias Lopez, J Lipman, J Herzog, N T Cuong, T T Nam… Cho R vành noether giao hoán với phần tử đơn vị khác không Lấy I iđêan R, M, N R-mơđun, mơđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i H iI ( M , N ) M, N I định nghĩa: H iI ( M , N ) = lim Tori R (M/ I t M , N ) ←  t Định nghĩa mang ý nghĩa đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều suy rộng mở rộng đồng điều địa phương thông thường Nhiều kết quan trọng môđun đồng điều địa phương suy rộng tìm ra, bên cạnh nhà tốn học nghiên cứu tìm kết mơđun đồng điều địa phương suy rộng Từ định nghĩa môđun đồng điều địa phương suy rộng, luận văn nghiên cứu số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin tính artin, tính noether Phần luận văn tìm hiểu số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương từ tính chất môđun đồng điều địa phương thông qua đối ngẫu Matlis Bên cạnh đó, luận văn cịn mơ tả chiều rộng WidthI ( M ) , độ sâu depthI ( M ) môđun M dựa vào đồng điều địa phương suy rộng Nội dung luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương cung cấp trình bày lại khái niệm, số mệnh đề tính chất nhằm mục đích sử dụng chứng minh chương Vì lý nên chương tính chất, mệnh đề thừa nhận mà không chứng minh Chương 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin Mục đích chương nghiên cứu vài tính chất môđun đồng điều địa suy rộng cho môđun artin: tính artin, tính noether dựa vào đồng điều địa phương suy phương để mô tả chiều rộng môđun M Bên cạnh chúng tơi dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Vì mục đích nên chương chia làm phần: Phần một: Trình bày định nghĩa mơđun đồng điều địa phương suy rộng Phần hai: Trình bày số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin, dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Dù cố gắng nhiều hạn chế nhận thức nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình, bổ sung quý thầy cô, bạn để luận văn hoàn chỉnh thêm Sau nội dung luận văn CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun noether môđun artin Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị dãy khớp ngắn R- mơđun 0→ N →M →P→0 Khi M môđun noether (artin) N P môđun noether (artin) Mệnh đề 1.1.2 Mỗi R- môđun hữu hạn sinh vành noether R- môđun noether Mệnh đề 1.1.3 Cho M mơđun vành giao hốn R i) Nếu M mơđun noether mơđun mơđun thương M môđun noether ii) Nếu M môđun artin mơđun mơđun thương M môđun artin 1.2 Hàm tử Tor Mệnh đề 1.2.1 Cho M, N R- mơđun Khi Tor0R ( M , N ) ≅ M ⊗ R N Định lí 1.2.2 i) Cho dãy khớp R-môđun → M → N → L → G R-mơđun ta có dãy khớp dài sau: E* → Tori +1 (G, N ) → Tori +1 (G, L)  → Tori (G, M ) → Tori (G , N ) → E* → Tor1 (G, L)  →G ⊗ M → G ⊗ N → G ⊗ L → ii) Cho dãy khớp R-môđun → M → N → L → A R-môđun ta có dãy khớp dài sau: E* → Tori ( M , A) → Tori ( N , A) → → Tori +1 ( N , A) → Tori +1 ( L, A)  E* →M ⊗ A → N ⊗ A → L⊗ A → → Tor1 ( L, A)  1.3 Hàm tử xoắn Định nghĩa 1.3.1 Cho R vành giao hốn, M R- mơđun, I iđêan R, tập Γ I (M ) =  (0 :M I n ) , tập tất phần tử M bị linh hóa lũy thừa n∈ I Rõ ràng, Γ I ( M ) môđun M → N , ta có f (Γ I ( M )) ⊆ Γ I ( N ) Như vậy, f Với R- đồng cấu môđun f : M  cảm sinh đồng cấu thu hẹp Γ I ( M ) , định bởi: Γ I ( f ) : Γ I ( M )  →Γ I ( N )  m f ( m) Nếu g : M  → L R- đồng cấu mơđun, ta có: → N h : N  ΓI ( h  g ) = ΓI ( h)  ΓI ( g ) ΓI ( h + g ) = ΓI ( h) + ΓI ( g ) Γ I ( rh ) = r Γ I ( h ) ∀r ∈ R Γ I ( Id M ) = Id Γ I ( M ) Từ nhận xét trên, ta thấy Γ I trở thành hàm tử hiệp biến cộng tính, R- tuyến tính cộng tính từ phạm trù R- mơđun vào Γ I cịn gọi hàm tử I - xoắn Nếu Γ I ( M ) = ta nói M I - không xoắn, Γ I ( M ) = M ta nói M I xoắn Từ đó, với R- mơđun M , mơđun Γ I ( M ) I - xoắn M Γ I ( M ) I không xoắn Mệnh đề 1.3.2 Cho M R- môđun I- xoắn Khi tồn phép giải nội xạ M cho thành viên R- môđun I- xoắn ( ) ≅ D ( H ( M , D ( N ))) ≅ H Tori R ( M , DD( N )) ≅ D Ext Ri ( M , D ( N ) ) i I I i ( M , DD( N )) Ta lại có DD( N ) ≅ N N R- môđun artin nên Tori R ( M , N ) ≅ H iI ( M , N ) với i ≥  Bổ đề 2.2.8 Cho J iđêan hữu hạn sinh vành giao hoán R cho R đầy đủ tôpô J0 adic, M R-môđun Nếu M / JM R- môđun noether M J-tách (nghĩa ∩ J t M = t >0 ), M R-mơđun noether Chứng minh Đặt K = ⊕ J t M / J t +1M t ≥0 môđun phân bậc liên kết vành phân bậc GrJ ( R ) = ⊕ J t / J t +1 t ≥0 Đặt x1 , x2 , , xs hệ phần tử sinh J R / J [T1 , T2 , , Ts ] vành đa thức biến T1 , T2 , , Ts Do g : ( R / J ) [T1 , T2 , , Ts ] → GrJ ( R ) toàn cấu tự nhiên nên K R / J [T1 , T2 , , Ts ] môđun Ta có K t = J t M / J t +1M với t ≥ Khi K = M / JM R / J - môđun noether theo giả thiết s Mặt khác, K t +1 = ∑ Ti K t với t ≥ i =1 Khi K R / J [T1 , T2 , , Ts ] - môđun noether K GrJ ( R ) - môđun noether Do M J- tách theo giả thiết nên M R- môđun noether theo [1, 10.25]. Tiếp theo, ta tính noether mơđun đồng điều địa phương suy rộng Định lí 2.2.9 23 Cho (R, m) vành địa phương noether M R-mơđun hữu hạn sinh Nếu N Rmơđun artin H im ( M , N ) Rˆ -môđun noether với i ≥ Chứng minh Ta chứng minh định lí quy nạp theo i Khi i=0, N mơđun artin nên có số ngun dương n cho mt N = m n N với t≥n Khi đó, Tor0R ( M / mt M , N ) ≅ M / mt M ⊗ N M / mt M ≅ M ⊗ R / mt nên H 0m ( M , N ) ≅ lim( M ⊗ N ⊗ R / mt ) ≅ lim( M ⊗ N / mt N ) ≅ lim Tor0R ( M , N / mt N ) ←  t Với N / mt N ←  t ←  t R- môđun artin M R- môđun hữu hạn sinh   lim Tori R ( M , N / mt N ) ≅ Tori R  M , lim N / mt N  theo bổ đề 2.2.4 ←  ←  t t   Vì H 0m ( M , N ) ≅ Tor0R  M , lim N / mt N  ≅ M ⊗ R N / m n N  ←  t  Do N / m n N có độ dài hữu hạn với M hữu hạn sinh, nên ta có M ⊗ R N / m n N vừa artin vừa noether Vì M ⊗ R N / m n N có độ dài hữu hạn, từ H 0m ( M , N ) có độ dài hữu hạn vành địa phương noether ( R, m ) Do đó, H 0m ( M , N ) Rˆ - môđun noether Cho i > Vì N artin nên có số nguyên dương n cho mt N = m n N với t ≥ n Đặt K = m n N Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn → K → N → N / K → R-môđun artin cảm sinh dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng → H im ( M , K ) → H im ( M , N ) → H im ( M , N / K ) → = Ta có Λ m ( N / K ) lim( N / K ) / mt ( N / K ) ≅ lim N / (mt N + K ) ≅ N / K , N/K đầy đủ ←  t ←  t tơpơ m-adic Vì theo bổ đề 2.2.7 ta có đẳng cấu Tori R ( M , N / K ) ≅ H im ( M , N / K ) với i ≥ 24 Do N/K có độ dài hữu hạn M hữu hạn sinh nên Tori R ( M , N / K ) có độ dài hữu hạn Dẫn đến H im ( M , N / K ) có độ dài hữu hạn vành địa phương noether ( R, m ) Do H im ( M , N / K ) Rˆ -mơđun noether Chứng minh hồn tất ta H im ( M , K ) Rˆ -mơđun noether Vì mK = K nên tồn phần tử x ∈ m cho xK = K theo [6,2.8] ta có x →K → dãy khớp ngắn → :K x → K  Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn cảm sinh dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng α x → H im ( M , K )  → H im−1 ( M , :K x) → → H im ( M , K )  ∩ x t H im ( M , K) = xH im ( M , K ) = theo mệnh đề 2.2.1 Nếu :K x = H im ( M , K ) = t >0 Trong trường hợp :K x ≠ , từ giả thiết qui nạp ta có H im−1 ( M , :K x) Rˆ - môđun noether Đặt L = H im ( M , K ) Từ dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng ta có L / xL ≅ Im α ⊆ H im−1 ( M , :K x) ˆ Rˆ - môđun noether (mˆ = mRˆ ) Do L / xL Rˆ -mơđun noether L / mL ∩ mt L = Vì vậy, L Rˆ -môđun Hơn nữa, theo mệnh đề 2.2.1(i), ta có ∩ mˆ t L = t >0 t >0 noether theo bổ đề 2.2.8 Từ chứng minh trên, ta có H im ( M , K ) H im ( M , N / K ) Rˆ mơđun noether nên theo tính chất dãy khớp, H im ( M , N ) Rˆ - mơđun noether. Từ tính chất noether mơđun đồng điều địa phương suy rộng H im ( M , N ) ta trở lại tính chất artin mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng H mi ( M , N ) Hệ 2.2.10 Cho ( R, m) vành noether địa phương, M, N R-mơđun hữu hạn sinh Khi H mi ( M , N ) R-môđun artin với i ≥ Chứng minh 25 Trước tiên, ta xét trường hợp ( R, m) vành đầy đủ Từ mệnh đề 2.2.1, ta có đẳng cấu H im ( M , D( N )) ≅ D( H mi ( M , N )) với i ≥ Vì N R- mơđun hữu hạn sinh vành địa phương noether ( R, m ) nên D(N) artin theo 1.5.5 Do đó, theo định lí 2.2.9, H im ( M , D( N )) Rˆ - môđun noether với i ≥ Mà H im ( M , D ( N ) ) ≅ D ( H mi ( M , N ) ) nên D( H mi ( M , N )) R -mơđun noether Và H mi ( M , N ) R-môđun artin Cho ( R, m) vành địa phương tùy ý Từ [11, 1.3, 1.5 1.6], ta có đồng cấu DRˆ ( H mi ( M , N )) ≅ DRˆ ( H miˆ ( Mˆ , Nˆ )) ( ( Vì H miˆ ( Mˆ , Nˆ ) Rˆ -môđun artin, DRˆ H miˆ Mˆ , Nˆ )) Rˆ - mơđun noether theo 1.5.5 Vì DRˆ ( H mi ( M , N )) Rˆ -môđun noether nên H mi ( M , N ) Rˆ -môđun artin theo1.5.5 Mà H mi ( M , N ) m- nguyên sơ (do H mi ( M , N ) = ∪ (0 :H t >0 i m (M ,N ) mt ) Do đó, tập H mi ( M , N ) R- mơđun Rˆ -mơđun Nên ta có H mi ( M , N ) R- môđun artin. Chú ý Cho M R- môđun Khi M = , ta đặt N dim M = −1 Khi theo quy nạp, với số thứ tự α , ta đặt N dim M = α i) N dim M < α sai ii) Với dãy tăng M ⊆ M ⊆ môđun M, tồn số nguyên dương m0 cho N dim ( M m +1 / M m ) < α với m ≥ m0 Từ định nghĩa trên, ta có tính chất: i) M R- môđun hữu hạn sinh khác không N dim M = 26 ii) Nếu → M ' → M → M '' → dãy khớp ngắn R- mơđun N dim M = max { N dim M ', N dim M ''} Định lí 2.2.11 Cho ( R, m) vành noether địa phương M R- môđun hữu hạn sinh Nếu N Rmôđun artin với N dimN = d pd ( M ) = p Khi H pI + d ( M , N ) Λ I ( R) - môđun noether Chứng minh Ta chứng minh định lí cách quy nạp theo d Nếu d = Theo ý trên, ta có N mơđun hữu hạn sinh vành noether R nên N noether Khi N vừa mơđun noether, vừa mơđun artin nên N có độ dài hữu hạn, lim N / I t N ≅ N I t N = 0∀t  , đó, ta có Λ= I (N ) ←  t Từ bổ đề 2.2.4 có đẳng cấu H 0I ( M , N ) ≅ lim ( M ⊗ R / I t ⊗ N ) ≅ lim ( M ⊗ N / I t N ) ←  t ←  t   ≅ lim Tor0R ( M , N / I t N ) ≅ Tor0R  M , lim N / I t N  ←  t  ←t  t ≅ M ⊗ lim N / I N= M ⊗ Λ I ( N ) ←  t Do M mơđun hữu hạn sinh N mơđun có độ dài hữu hạn vành địa phương noether ( R, m ) , nên theo bổ đề 2.2.3, H 0I ( M , N ) Λ I ( R) - mơđun noether Đặt d > Vì N artin nên có số nguyên dương n cho I t N = I n N với t ≥ n , đặt K = I nN Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn R- môđun artin → K → N → N / K → cảm sinh dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng : → H pI + d ( M , K ) → H pI + d ( M , N ) → H pI + d ( M , N / K ) → Dễ thấy với K = I n N Λ I ( N / K ) ≅ N / K , N / K đầy đủ tơpơ Iadic Theo bổ đề 2.2.7, ta có đẳng cấu TorpR+ d ( M , N / K ) ≅ H pI + d ( M , N / K ) 27 Vì Λ I ( N / K ) ≅ N / K mà Λ I ( N / K ) Λ I ( R ) - môđun noether nên N / K Λ I ( R) - mơđun noether Do TorpR+ d ( M , N / K ) Λ I ( R) - môđun noether Dẫn đến H pI + d ( M , N / K ) Λ I ( R) - môđun noether Chứng minh hoàn tất ta H pI + d ( M , K ) Λ I ( R) - môđun noether Khi IK = K K mơđun artin, theo [6, 2.8] có phần tử x ∈ I cho xK = K x → K → cảm sinh dãy khớp môđun đồng Dãy khớp ngắn → :K x → K  điều địa phương suy rộng α x → H pI + d ( M , K )  → H pI + d −1 ( M , :K x) → → H pI + d ( M , K )  Theo giả thiết qui nạp, ta có H pI + d −1 ( M , :K x) Λ I ( R) - môđun noether Hơn nữa, từ dãy khớp ta có H pI + d ( M , K ) / xH pI + d ( M , K ) ≅ Im α ⊆ H pI + d −1 (0 :K x) Vì vậy, H pI + d ( M , K ) / xH pI + d ( M , K ) Λ I ( R) - mơđun noether, từ ta có H pI + d ( M , K ) / JH pI + d ( M , K ) Λ I ( R ) - môđun noether, với J = I Λ I ( R) ∩ I t H pI + d ( M , K ) = theo mệnh đề 2.2.1 Λ I ( R) đầy đủ Mặt khác, ∩ J t H pI + d ( M , K ) = t >0 t >0 tôpô J- adic, nên H pI + d ( M , K ) Λ I ( R) - môđun noether theo bổ đề 2.2.8 Từ chứng minh trên, ta có H pI + d ( M , N / K ) H pI + d ( M , K ) Λ I ( R) - mơđun noether nên theo tính chất dãy khớp, H pI + d ( M , N ) Λ I ( R) - môđun noether. Định lý 2.2.12 Cho M môđun hữu hạn sinh N môđun artin vành noether địa phương ( R, m) Cho s số nguyên dương Khi phát biểu sau tương đương: i) H iI ( M , N ) artin với i < s ii) I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , N ))) với i < s Chứng minh i ⇒ ii 28 Xét dãy giảm môđun H iI ( M , N ) I H iI ( M , N ) ⊇ IH iI ( M , N ) ⊇ ⊇ I t H iI ( M , N ) ⊇ với H iI ( M , N ) artin, có số nguyên n cho I t H iI ( M , N ) = I n H iI ( M , N ) với t ≥ n i < s Khi theo mệnh đề 2.2.1(i), ta có I n H iI ( M , N ) = ∩ I t H iI ( M , N ) = Mà t >0 ) {x ∈ R ∃n > : x ∈ Ann ( H ( M , N ) )} = { x ∈ R ∃n > : x H ( M , N ) = 0} ( Rad AnnR ( H iI ( M , N ) ) = n R n I i I i Từ ta dễ dàng thấy I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , N )))  ii ⇒ i Ta chứng minh quy nạp theo s Khi s = i = , N mơđun artin nên có số nguyên dương m cho I t N = I m N với t ≥ m Khi H 0I ( M , N ) ≅ lim ( M ⊗ N ⊗ R / I t ) ≅ lim ( M ⊗ N / I t N ) ←  t ←  t   ≅ lim Tor0R ( M , N / I t N ) ≅ Tor0R  M , lim N / I t N  ≅ M ⊗ R N / I m N ←  ←  t t   Ta có M hữu hạn sinh N / I m N artin nên M ⊗ R N / I m N R- môđun artin theo bổ đề 2.2.3, H 0I ( M , N ) R- môđun artin Cho s > Do N artin nên có số nguyên dương m cho I t N = I m N với t ≥ m Đặt K = I m N Dãy khớp ngắn R- môđun artin → K → N → N / K → cho ta dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng: → H iI+1 (M, N/ K) → H iI ( M , K ) → H iI ( M , N ) → H iI ( M , N / K ) → Dễ thấy với K = I m N Λ I ( N / K ) ≅ lim N / ( I t N + K ) ≅ N / K , N/K đầy đủ ←  t tôpô I- adic Theo bổ đề 2.2.7, ta có đẳng cấu 29 Tori R ( M , N / K ) ≅ H iI ( M , N / K ) với i ≥ Rõ ràng Tori R ( M , N / K ) artin N/K artin M hữu hạn sinh nên H iI ( M , N / K ) artin với i ≥ Chứng minh hoàn tất ta H iI ( M , K) artin với i < s Ta biết I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI+1 ( M , N / K ))) H iI+1 ( M , N / K) artin theo chứng minh Theo giả thiết ta có I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , N ))) với i < s Khi I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , K ))) với i < s Vì IK = K , nên có phần tử x ∈ I cho xK = K theo [6, 2.8] Do có số nguyên dương r cho x r H iI ( M , K ) = với i < s x Dãy khớp ngắn → :K x r → K  → K → cảm sinh cho ta dãy khớp ngắn môđun r đồng điều địa phương suy rộng: → H iI ( M , K ) → H iI−1 ( M , :K x r ) → H iI−1 ( M , K ) → với i < s Dẫn đến I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI−1 ( M , :K x r ))) với i < s Do đó, H iI−1 ( M , :K x r ) artin, H iI ( M , K ) artin với i < s Từ chứng minh trên, ta có H iI ( M , N / K ) H iI ( M , K ) R- mơđun artin nên theo tính chất dãy khớp H iI ( M , N ) R- môđun artin. Chú ý Một dãy x1 , x2 , , xr R gọi dãy N- đối quy i) :N ( x1 , x2 , , xr ) ≠ ii) xi :N ( x1 , x2 , , xi −1 )  → :N ( x1 , x , , xi −1 ) toàn cấu với i = 1, , r Ta định nghĩa WidthI ( N ) chiều dài dãy N- đối quy dài I Nếu N R- môđun artin WidthI ( N ) < ∞ Bổ đề 2.2.13 30 Cho M R- môđun hữu hạn sinh cho Ann( M ) ⊆ I N R- mơđun artin Khi H 0I ( M , N ) = xN = N với x ∈ I Chứng minh Nếu có x ∈ I cho xN = N , IN = N Λ I ( N ) = Hơn nữa, H 0I ( M , N ) ≅ lim ( M ⊗ N / I t N ) ≅ lim Tor0R ( M , N / I t N ) ←  t ←  t   ≅ Tor0R  M , lim N / I t N  ≅ M ⊗ lim N / I t N ≅ M ⊗ Λ I ( N ) ←  ←  t t   Vì H 0I ( M , N ) = Bây giờ, ta giả sử khơng có x ∈ I cho xN = N , IN ≠ N Λ I ( N ) ≠ Từ 1.9.4 ta có: Coass ( M ⊗= Λ I ( N )) Supp ( M ) ∩ Coass ( Λ I ( N ) ) Mà SuppR ( M ) = V ( AnnR M ) Thật ∀P ∈ SuppR M , ta có M P ≠ ⇒ ∃0 ≠ P ∈ L= a ∈ M P nên Ann ( a ) ⊆ P Do s {P ∈ SpecR ∃0 ≠ x ∈ M : Ann ( x ) ⊆ P} hay Supp R (M ) ⊆ L Ngược lại, với P ∈ L có phần tử ≠ x ∈ M cho Ann ( x ) ⊆ P Khi x x ∈ M P ≠ nên M P ≠ hay L ⊆ SuppR ( M ) 1 Vậy SuppM= L=  x∈M ,x ≠ V ( Ann ( x ) ) Với M R- mơđun noether, ta có= thể giả sử M x1 , x2 , , xn , x i ≠ với i = 1, n Khi đó, ta có SuppR M= L=  n  = V Ann x V ( ( i ) )   Ann ( xi ) = V ( Ann ( M ) )   x∈M ,x ≠= i = i  V ( Ann ( x ) )= n Do đó, Coass(= M ⊗ Λ I ( N )) V ( AnnR ( M ) ) ∩ Coass ( Λ I ( N ) ) 31 Theo 1.9.4 ta 1.9.5, có Coass (Λ I ( N )) ⊆ V ( I ) ⊆ V ( Ann( M )) nên Coass ( M ⊗ Λ = Coass ( Λ I ( N ) ) Do đó, I ( N )) Coass ( H 0I ( M= , N )) Coass ( M ⊗ Λ I= ( N )) Coass (Λ I ( N )) Do Λ I ( N ) ≠ vành noether Λ I ( R ) nên Coass( H 0I ( M , N )) ≠ ∅ , H 0I ( M , N ) ≠  Định lý 2.2.14 Cho ( R, m) vành địa phương M R- môđun hữu hạn sinh cho Ann( M ) ⊆ I Nếu N R- môđun artin, dãy N- đối quy cực đại I có độ dài { } Hơn = WidthI ( N ) inf i H iI ( M , N ) ≠ Chứng minh Giả sử ( x1 , x2 , , xn ) ⊆ I dãy N- đối quy cực đại, ta chứng minh định lí quy nạp theo n Khi n = , không tồn x ∈ I cho xN = N Vì vậy, H 0I ( M , N ) ≠ theo bổ đề 2.2.13, nên { } WidthI ( N )= 0= inf i H iI ( M , N ) ≠ x Đặt n > Dãy khớp ngắn R- môđun artin → :N x1 → N  → N → cho ta dãy khớp R- môđun đồng điều địa phương suy rộng: x1 → H iI ( M , :N x1 ) → H iI ( M ,N )  → H iI ( M , N ) → H iI−1 ( M , :N x1 ) → Theo giả thiết quy nạp, ta có H iI ( M , :N x1 ) = với i < n − H nI−1 ( M , :N x1 ) ≠ Do H iI ( M , N ) = x1 H iI ( M , N ) với i < n , ta có H iI ( M , N ) = ∩ x1t H iI ( M , N ) = với t >0 i < n theo mệnh đề 2.2.1 Xét dãy khớp: x1 → H nI ( M , N)  → H nI ( M ,N ) → H nI −1 ( M , :N x1 ) → 32 Do H nI−1 ( M , :N x1 ) ≠ nên theo tính chất dãy khớp, ta có H nI ( M , N ) ≠ { } Do WidthI ( N )= n= inf i H iI ( M , N ) ≠  Hệ 2.2.15 Cho ( R, m) vành địa phương Nếu M N R- môđun hữu hạn sinh cho { } depthI ( N ) inf i H Ii ( M , N ) ≠ Ann( M ) ⊆ I Khi= Chứng minh Ta có D( N ) R- mơđun artin nên theo định lý 2.2.14 { } = WidthI ( D( N )) inf i H iI ( M , D( N )) ≠ { } Kết hợp với 2.2.1(i) ta= có WidthI ( D( N )) inf i D( H Ii ( M , N )) ≠ Ta lại có depthI ( N ) = WidthI ( D ( N ) ) (mệnh đề 1.5.8) Mặt khác, D( H Ii ( M , N )) ≠ H Ii ( M , N ) ≠ { } Do= đó, depthI ( N ) inf i H Ii ( M , N ) ≠  Hệ 2.2.16 Cho ( R, m) vành địa phương N R- môđun hữu hạn sinh cho N / IN ≠ Khi { } đó= depthI ( N ) inf i H Ii ( N ) ≠ Chứng minh Thay mơđun M định lí 2.2.15 vành R , ta có { } = depthI ( N ) inf i H Ii (R, N ) ≠ { } Mà H Ii ( R, N ) = H Ii ( N ) Do đó,= depthI ( N ) inf i H Ii ( N ) ≠  33 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết chủ yếu sau: Định nghĩa đưa vài tính chất mơđun đồng điều địa phương suy rộng tính I-tách, tính artin, trình bày cảm sinh dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương suy rộng từ dãy khớp ngắn mơđun artin Trình bày số tính chất mơđun đồng điều địa phương suy rộng H iI ( M , N ) trường hợp M môđun hữu hạn sinh tính noether mơđun đồng điều địa phương suy rộng Tìm hiểu tính artin mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng từ tính noether môđun đồng điều địa phương suy rộng Mô tả chiều rộng môđun artin dựa vào môđun đồng điều địa phương suy rộng Vì thời gian khả thân có hạn q trình thực luận văn nên khơng tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy bạn góp ý dẫn thêm để luận văn hoàn chỉnh thêm 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Atiyah M F., Macdonald I G ( 1969), Introduction to Commutative Algabra, Addion Wesley Plublising Company, Inc Brodmann M P., Sharp R Y (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambrigde University Press N T Cuong, T T Nam (2001), “The I-adic completion and local homology for Artinian modules”, Math Proc Cambridge Phil Soc 131, pp 61–72 N T Cuong, T T Nam (2001), “On the co-localization, co-support and coassociated primes of local homology modules”, Vietnam J Math 29(4), pp 359– 368 N T Cuong, T T Nam (2008), “A local homology theory for linearly compact modules”, J Algebra 319, pp 4712–4737 Hartshorne R (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag, Berlin-HeidelbergNew York Macdonald I G (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11, pp 23–43 Ooishi A (1976), “Matlis duality and the width of a module”, Hiroshima Math J 6, pp 573–587 Roberts R N (1975), Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings, Quart J Math Oxford (Ser.2) 26, pp 269–273 10 Rotman J J (1979), An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York 11 Strooker J (1990), Homological Questions in Local Algebra, Cambridge University Press, Cambridge 12 Suzuki N (1978), “On the generalized local cohomology and its duality”, J Math Kyoto Univ 18(1), pp 71–85 36 13 Tang Z (1994), “Local homology theory for artinian modules”, Comm Algebra 22(5), pp 1675–1684 14 Yassemi S (1995), “Coassociated primes”, Comm Algebra 23, pp 1473–1498 15 Yassemi S (2002), “Associated primes of generalized local cohomology modules”, Comm Algebra 30(1), pp 327–330 37 ... 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin Mục đích chương nghiên cứu vài tính chất mơđun đồng điều địa suy rộng cho mơđun artin: tính artin, tính noether dựa vào đồng điều địa phương suy. .. mơđun đồng điều địa phương suy rộng Phần hai: Trình bày số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin, dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng. .. đối đồng điều suy rộng mở rộng đồng điều địa phương thông thường Nhiều kết quan trọng môđun đồng điều địa phương suy rộng tìm ra, bên cạnh nhà tốn học nghiên cứu tìm kết môđun đồng điều địa phương