về đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Trần Tuấn Nam, người hết lòng giúp đỡ tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Toán Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN- SĐH trường tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn tất thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Đại số lý thuyết số khóa 22 Thành phố Hồ Chí Mịnh, ngày 17 tháng 09 năm 2013 Học viên Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG CÁC KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun noether môđun artin .7 1.2 Hàm tử Tor 1.3 Hàm tử xoắn 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 1.5 Đối ngẫu Matlis 1.6 Giới hạn ngược đầy đủ 10 1.7 Môđun đầy đủ I- adic 12 1.8 Độ dài môđun .13 1.9 Iđêan nguyên tố đối liên kết 14 1.10 Giá môđun 14 CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN16 2.1 Môđun đồng điều địa phương suy rộng 16 2.2 Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin .17 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 BẢNG CÁC KÍ HIỆU R vành giao hoán có đơn vị Rˆ vành đầy đủ R Tori R ( A, B ) tích xoắn i chiều R môđun A B Hi ( X ) môđun đồng điều thứ i phức X Hi (X ) môđun đối đồng điều thứ i phức X lim M t giới hạn ngược {M t , f rt } lim M t giới hạn thuận {M t , f rt } Hom ( A, B ) tập hợp đồng cấu từ môđun A đến môđun B Ext Ri ( A, B ) tích mở rộng i chiều R môđun A B ΓI ( M ) hàm tử I - xoắn H Ii ( M , N ) môđun đối đồng điều địa phương suy rộng M , N I AssR ( M ) tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M depthI ( M ) độ sâu môđun M iđêan I widthI ( M ) chiều rộng môđun M iđêan I R (M ) độ dài môđun M D(M ) đối ngẫu Matlis môđun M E ( R / m) bao nội xạ R / m ΛI ( M ) đầy đủ I - adic môđun M N dim ( M ) chiều noether môđun M ←  t  → t Coass ( M ) tập iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M Supp ( M ) giá môđun M CosR ( M ) đối giá môđun M V (I ) {P ∈ SpecR P ⊇ I } H iI ( M , N ) môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i M , N GrJ ( R ) vành phân bậc liên kết R J pd ( M ) chiều xạ ảnh môđun M AnnR ( M ) 0} { x ∈ R xM = :K x 0} {a ∈ K ax = I LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta biết lý thuyết đồng điều địa phương đối ngẫu lý thuyết đối đồng điều địa phương A Grothendieck Lý thuyết đồng điều địa phương suy rộng nghiên cứu phát triển ngày mạnh J P C Greenless, J P May, L Alonso Tarrio, A Jeremias Lopez, J Lipman, J Herzog, N T Cuong, T T Nam… Cho R vành noether giao hoán với phần tử đơn vị khác không Lấy I iđêan R, M, N R-môđun, môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i H iI ( M , N ) M, N I định nghĩa: H iI ( M , N ) = lim Tori R (M/ I t M , N ) ←  t Định nghĩa mang ý nghĩa đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều suy rộng mở rộng đồng điều địa phương thông thường Nhiều kết quan trọng môđun đồng điều địa phương suy rộng tìm ra, bên cạnh nhà toán học nghiên cứu tìm kết môđun đồng điều địa phương suy rộng Từ định nghĩa môđun đồng điều địa phương suy rộng, luận văn nghiên cứu số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin tính artin, tính noether Phần luận văn tìm hiểu số tính chất môđun đối đồng điều địa phương từ tính chất môđun đồng điều địa phương thông qua đối ngẫu Matlis Bên cạnh đó, luận văn mô tả chiều rộng WidthI ( M ) , độ sâu depthI ( M ) môđun M dựa vào đồng điều địa phương suy rộng Nội dung luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương cung cấp trình bày lại khái niệm, số mệnh đề tính chất nhằm mục đích sử dụng chứng minh chương Vì lý nên chương tính chất, mệnh đề thừa nhận mà không chứng minh Chương 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin Mục đích chương nghiên cứu vài tính chất môđun đồng điều địa suy rộng cho môđun artin: tính artin, tính noether dựa vào đồng điều địa phương suy phương để mô tả chiều rộng môđun M Bên cạnh dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Vì mục đích nên chương chia làm phần: Phần một: Trình bày định nghĩa môđun đồng điều địa phương suy rộng Phần hai: Trình bày số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin, dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Dù cố gắng nhiều hạn chế nhận thức nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình, bổ sung quý thầy cô, bạn để luận văn hoàn chỉnh thêm Sau nội dung luận văn CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun noether môđun artin Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hoán, có đơn vị dãy khớp ngắn R- môđun 0→ N →M →P→0 Khi M môđun noether (artin) N P môđun noether (artin) Mệnh đề 1.1.2 Mỗi R- môđun hữu hạn sinh vành noether R- môđun noether Mệnh đề 1.1.3 Cho M môđun vành giao hoán R i) Nếu M môđun noether môđun môđun thương M môđun noether ii) Nếu M môđun artin môđun môđun thương M môđun artin 1.2 Hàm tử Tor Mệnh đề 1.2.1 Cho M, N R- môđun Khi Tor0R ( M , N ) ≅ M ⊗ R N Định lí 1.2.2 i) Cho dãy khớp R-môđun → M → N → L → G R-môđun ta có dãy khớp dài sau: E* → Tori +1 (G, N ) → Tori +1 (G, L)  → Tori (G, M ) → Tori (G , N ) → E* → Tor1 (G, L)  →G ⊗ M → G ⊗ N → G ⊗ L → ii) Cho dãy khớp R-môđun → M → N → L → A R-môđun ta có dãy khớp dài sau: E* → Tori ( M , A) → Tori ( N , A) → → Tori +1 ( N , A) → Tori +1 ( L, A)  E* →M ⊗ A → N ⊗ A → L⊗ A → → Tor1 ( L, A)  1.3 Hàm tử xoắn Định nghĩa 1.3.1 Cho R vành giao hoán, M R- môđun, I iđêan R, tập Γ I (M ) =  (0 :M I n ) , tập tất phần tử M bị linh hóa lũy thừa n∈ I Rõ ràng, Γ I ( M ) môđun M → N , ta có f (Γ I ( M )) ⊆ Γ I ( N ) Như vậy, f Với R- đồng cấu môđun f : M  cảm sinh đồng cấu thu hẹp Γ I ( M ) , định bởi: Γ I ( f ) : Γ I ( M )  →Γ I ( N )  m f ( m) Nếu g : M  → L R- đồng cấu môđun, ta có: → N h : N  ΓI ( h  g ) = ΓI ( h)  ΓI ( g ) ΓI ( h + g ) = ΓI ( h) + ΓI ( g ) Γ I ( rh ) = r Γ I ( h ) ∀r ∈ R Γ I ( Id M ) = Id Γ I ( M ) Từ nhận xét trên, ta thấy Γ I trở thành hàm tử hiệp biến cộng tính, R- tuyến tính cộng tính từ phạm trù R- môđun vào Γ I gọi hàm tử I - xoắn Nếu Γ I ( M ) = ta nói M I - không xoắn, Γ I ( M ) = M ta nói M I xoắn Từ đó, với R- môđun M , môđun Γ I ( M ) I - xoắn M Γ I ( M ) I không xoắn Mệnh đề 1.3.2 Cho M R- môđun I- xoắn Khi tồn phép giải nội xạ M cho thành viên R- môđun I- xoắn ( ) ≅ D ( H ( M , D ( N ))) ≅ H Tori R ( M , DD( N )) ≅ D Ext Ri ( M , D ( N ) ) i I I i ( M , DD( N )) Ta lại có DD( N ) ≅ N N R- môđun artin nên Tori R ( M , N ) ≅ H iI ( M , N ) với i ≥  Bổ đề 2.2.8 Cho J iđêan hữu hạn sinh vành giao hoán R cho R đầy đủ tôpô J0 adic, M R-môđun Nếu M / JM R- môđun noether M J-tách (nghĩa ∩ J t M = t >0 ), M R-môđun noether Chứng minh Đặt K = ⊕ J t M / J t +1M t ≥0 môđun phân bậc liên kết vành phân bậc GrJ ( R ) = ⊕ J t / J t +1 t ≥0 Đặt x1 , x2 , , xs hệ phần tử sinh J R / J [T1 , T2 , , Ts ] vành đa thức biến T1 , T2 , , Ts Do g : ( R / J ) [T1 , T2 , , Ts ] → GrJ ( R ) toàn cấu tự nhiên nên K R / J [T1 , T2 , , Ts ] môđun Ta có K t = J t M / J t +1M với t ≥ Khi K = M / JM R / J - môđun noether theo giả thiết s Mặt khác, K t +1 = ∑ Ti K t với t ≥ i =1 Khi K R / J [T1 , T2 , , Ts ] - môđun noether K GrJ ( R ) - môđun noether Do M J- tách theo giả thiết nên M R- môđun noether theo [1, 10.25]. Tiếp theo, ta tính noether môđun đồng điều địa phương suy rộng Định lí 2.2.9 23 Cho (R, m) vành địa phương noether M R-môđun hữu hạn sinh Nếu N Rmôđun artin H im ( M , N ) Rˆ -môđun noether với i ≥ Chứng minh Ta chứng minh định lí quy nạp theo i Khi i=0, N môđun artin nên có số nguyên dương n cho mt N = m n N với t≥n Khi đó, Tor0R ( M / mt M , N ) ≅ M / mt M ⊗ N M / mt M ≅ M ⊗ R / mt nên H 0m ( M , N ) ≅ lim( M ⊗ N ⊗ R / mt ) ≅ lim( M ⊗ N / mt N ) ≅ lim Tor0R ( M , N / mt N ) ←  t Với N / mt N ←  t ←  t R- môđun artin M R- môđun hữu hạn sinh   lim Tori R ( M , N / mt N ) ≅ Tori R  M , lim N / mt N  theo bổ đề 2.2.4 ←  ←  t t   Vì H 0m ( M , N ) ≅ Tor0R  M , lim N / mt N  ≅ M ⊗ R N / m n N  ←  t  Do N / m n N có độ dài hữu hạn với M hữu hạn sinh, nên ta có M ⊗ R N / m n N vừa artin vừa noether Vì M ⊗ R N / m n N có độ dài hữu hạn, từ H 0m ( M , N ) có độ dài hữu hạn vành địa phương noether ( R, m ) Do đó, H 0m ( M , N ) Rˆ - môđun noether Cho i > Vì N artin nên có số nguyên dương n cho mt N = m n N với t ≥ n Đặt K = m n N Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn → K → N → N / K → R-môđun artin cảm sinh dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng → H im ( M , K ) → H im ( M , N ) → H im ( M , N / K ) → = Ta có Λ m ( N / K ) lim( N / K ) / mt ( N / K ) ≅ lim N / (mt N + K ) ≅ N / K , N/K đầy đủ ←  t ←  t tôpô m-adic Vì theo bổ đề 2.2.7 ta có đẳng cấu Tori R ( M , N / K ) ≅ H im ( M , N / K ) với i ≥ 24 Do N/K có độ dài hữu hạn M hữu hạn sinh nên Tori R ( M , N / K ) có độ dài hữu hạn Dẫn đến H im ( M , N / K ) có độ dài hữu hạn vành địa phương noether ( R, m ) Do H im ( M , N / K ) Rˆ -môđun noether Chứng minh hoàn tất ta H im ( M , K ) Rˆ -môđun noether Vì mK = K nên tồn phần tử x ∈ m cho xK = K theo [6,2.8] ta có x →K → dãy khớp ngắn → :K x → K  Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn cảm sinh dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng α x → H im ( M , K )  → H im−1 ( M , :K x) → → H im ( M , K )  ∩ x t H im ( M , K) = xH im ( M , K ) = theo mệnh đề 2.2.1 Nếu :K x = H im ( M , K ) = t >0 Trong trường hợp :K x ≠ , từ giả thiết qui nạp ta có H im−1 ( M , :K x) Rˆ - môđun noether Đặt L = H im ( M , K ) Từ dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng ta có L / xL ≅ Im α ⊆ H im−1 ( M , :K x) ˆ Rˆ - môđun noether (mˆ = mRˆ ) Do L / xL Rˆ -môđun noether L / mL ∩ mt L = Vì vậy, L Rˆ -môđun Hơn nữa, theo mệnh đề 2.2.1(i), ta có ∩ mˆ t L = t >0 t >0 noether theo bổ đề 2.2.8 Từ chứng minh trên, ta có H im ( M , K ) H im ( M , N / K ) Rˆ môđun noether nên theo tính chất dãy khớp, H im ( M , N ) Rˆ - môđun noether. Từ tính chất noether môđun đồng điều địa phương suy rộng H im ( M , N ) ta trở lại tính chất artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng H mi ( M , N ) Hệ 2.2.10 Cho ( R, m) vành noether địa phương, M, N R-môđun hữu hạn sinh Khi H mi ( M , N ) R-môđun artin với i ≥ Chứng minh 25 Trước tiên, ta xét trường hợp ( R, m) vành đầy đủ Từ mệnh đề 2.2.1, ta có đẳng cấu H im ( M , D( N )) ≅ D( H mi ( M , N )) với i ≥ Vì N R- môđun hữu hạn sinh vành địa phương noether ( R, m ) nên D(N) artin theo 1.5.5 Do đó, theo định lí 2.2.9, H im ( M , D( N )) Rˆ - môđun noether với i ≥ Mà H im ( M , D ( N ) ) ≅ D ( H mi ( M , N ) ) nên D( H mi ( M , N )) R -môđun noether Và H mi ( M , N ) R-môđun artin Cho ( R, m) vành địa phương tùy ý Từ [11, 1.3, 1.5 1.6], ta có đồng cấu DRˆ ( H mi ( M , N )) ≅ DRˆ ( H miˆ ( Mˆ , Nˆ )) ( ( Vì H miˆ ( Mˆ , Nˆ ) Rˆ -môđun artin, DRˆ H miˆ Mˆ , Nˆ )) Rˆ - môđun noether theo 1.5.5 Vì DRˆ ( H mi ( M , N )) Rˆ -môđun noether nên H mi ( M , N ) Rˆ -môđun artin theo1.5.5 Mà H mi ( M , N ) m- nguyên sơ (do H mi ( M , N ) = ∪ (0 :H t >0 i m (M ,N ) mt ) Do đó, tập H mi ( M , N ) R- môđun Rˆ -môđun Nên ta có H mi ( M , N ) R- môđun artin. Chú ý Cho M R- môđun Khi M = , ta đặt N dim M = −1 Khi theo quy nạp, với số thứ tự α , ta đặt N dim M = α i) N dim M < α sai ii) Với dãy tăng M ⊆ M ⊆ môđun M, tồn số nguyên dương m0 cho N dim ( M m +1 / M m ) < α với m ≥ m0 Từ định nghĩa trên, ta có tính chất: i) M R- môđun hữu hạn sinh khác không N dim M = 26 ii) Nếu → M ' → M → M '' → dãy khớp ngắn R- môđun N dim M = max { N dim M ', N dim M ''} Định lí 2.2.11 Cho ( R, m) vành noether địa phương M R- môđun hữu hạn sinh Nếu N Rmôđun artin với N dimN = d pd ( M ) = p Khi H pI + d ( M , N ) Λ I ( R) - môđun noether Chứng minh Ta chứng minh định lí cách quy nạp theo d Nếu d = Theo ý trên, ta có N môđun hữu hạn sinh vành noether R nên N noether Khi N vừa môđun noether, vừa môđun artin nên N có độ dài hữu hạn, lim N / I t N ≅ N I t N = 0∀t  , đó, ta có Λ= I (N ) ←  t Từ bổ đề 2.2.4 có đẳng cấu H 0I ( M , N ) ≅ lim ( M ⊗ R / I t ⊗ N ) ≅ lim ( M ⊗ N / I t N ) ←  t ←  t   ≅ lim Tor0R ( M , N / I t N ) ≅ Tor0R  M , lim N / I t N  ←  t  ←t  t ≅ M ⊗ lim N / I N= M ⊗ Λ I ( N ) ←  t Do M môđun hữu hạn sinh N môđun có độ dài hữu hạn vành địa phương noether ( R, m ) , nên theo bổ đề 2.2.3, H 0I ( M , N ) Λ I ( R) - môđun noether Đặt d > Vì N artin nên có số nguyên dương n cho I t N = I n N với t ≥ n , đặt K = I nN Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn R- môđun artin → K → N → N / K → cảm sinh dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng : → H pI + d ( M , K ) → H pI + d ( M , N ) → H pI + d ( M , N / K ) → Dễ thấy với K = I n N Λ I ( N / K ) ≅ N / K , N / K đầy đủ tôpô Iadic Theo bổ đề 2.2.7, ta có đẳng cấu TorpR+ d ( M , N / K ) ≅ H pI + d ( M , N / K ) 27 Vì Λ I ( N / K ) ≅ N / K mà Λ I ( N / K ) Λ I ( R ) - môđun noether nên N / K Λ I ( R) - môđun noether Do TorpR+ d ( M , N / K ) Λ I ( R) - môđun noether Dẫn đến H pI + d ( M , N / K ) Λ I ( R) - môđun noether Chứng minh hoàn tất ta H pI + d ( M , K ) Λ I ( R) - môđun noether Khi IK = K K môđun artin, theo [6, 2.8] có phần tử x ∈ I cho xK = K x → K → cảm sinh dãy khớp môđun đồng Dãy khớp ngắn → :K x → K  điều địa phương suy rộng α x → H pI + d ( M , K )  → H pI + d −1 ( M , :K x) → → H pI + d ( M , K )  Theo giả thiết qui nạp, ta có H pI + d −1 ( M , :K x) Λ I ( R) - môđun noether Hơn nữa, từ dãy khớp ta có H pI + d ( M , K ) / xH pI + d ( M , K ) ≅ Im α ⊆ H pI + d −1 (0 :K x) Vì vậy, H pI + d ( M , K ) / xH pI + d ( M , K ) Λ I ( R) - môđun noether, từ ta có H pI + d ( M , K ) / JH pI + d ( M , K ) Λ I ( R ) - môđun noether, với J = I Λ I ( R) ∩ I t H pI + d ( M , K ) = theo mệnh đề 2.2.1 Λ I ( R) đầy đủ Mặt khác, ∩ J t H pI + d ( M , K ) = t >0 t >0 tôpô J- adic, nên H pI + d ( M , K ) Λ I ( R) - môđun noether theo bổ đề 2.2.8 Từ chứng minh trên, ta có H pI + d ( M , N / K ) H pI + d ( M , K ) Λ I ( R) - môđun noether nên theo tính chất dãy khớp, H pI + d ( M , N ) Λ I ( R) - môđun noether. Định lý 2.2.12 Cho M môđun hữu hạn sinh N môđun artin vành noether địa phương ( R, m) Cho s số nguyên dương Khi phát biểu sau tương đương: i) H iI ( M , N ) artin với i < s ii) I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , N ))) với i < s Chứng minh i ⇒ ii 28 Xét dãy giảm môđun H iI ( M , N ) I H iI ( M , N ) ⊇ IH iI ( M , N ) ⊇ ⊇ I t H iI ( M , N ) ⊇ với H iI ( M , N ) artin, có số nguyên n cho I t H iI ( M , N ) = I n H iI ( M , N ) với t ≥ n i < s Khi theo mệnh đề 2.2.1(i), ta có I n H iI ( M , N ) = ∩ I t H iI ( M , N ) = Mà t >0 ) {x ∈ R ∃n > : x ∈ Ann ( H ( M , N ) )} = { x ∈ R ∃n > : x H ( M , N ) = 0} ( Rad AnnR ( H iI ( M , N ) ) = n R n I i I i Từ ta dễ dàng thấy I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , N )))  ii ⇒ i Ta chứng minh quy nạp theo s Khi s = i = , N môđun artin nên có số nguyên dương m cho I t N = I m N với t ≥ m Khi H 0I ( M , N ) ≅ lim ( M ⊗ N ⊗ R / I t ) ≅ lim ( M ⊗ N / I t N ) ←  t ←  t   ≅ lim Tor0R ( M , N / I t N ) ≅ Tor0R  M , lim N / I t N  ≅ M ⊗ R N / I m N ←  ←  t t   Ta có M hữu hạn sinh N / I m N artin nên M ⊗ R N / I m N R- môđun artin theo bổ đề 2.2.3, H 0I ( M , N ) R- môđun artin Cho s > Do N artin nên có số nguyên dương m cho I t N = I m N với t ≥ m Đặt K = I m N Dãy khớp ngắn R- môđun artin → K → N → N / K → cho ta dãy khớp môđun đồng điều địa phương suy rộng: → H iI+1 (M, N/ K) → H iI ( M , K ) → H iI ( M , N ) → H iI ( M , N / K ) → Dễ thấy với K = I m N Λ I ( N / K ) ≅ lim N / ( I t N + K ) ≅ N / K , N/K đầy đủ ←  t tôpô I- adic Theo bổ đề 2.2.7, ta có đẳng cấu 29 Tori R ( M , N / K ) ≅ H iI ( M , N / K ) với i ≥ Rõ ràng Tori R ( M , N / K ) artin N/K artin M hữu hạn sinh nên H iI ( M , N / K ) artin với i ≥ Chứng minh hoàn tất ta H iI ( M , K) artin với i < s Ta biết I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI+1 ( M , N / K ))) H iI+1 ( M , N / K) artin theo chứng minh Theo giả thiết ta có I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , N ))) với i < s Khi I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI ( M , K ))) với i < s Vì IK = K , nên có phần tử x ∈ I cho xK = K theo [6, 2.8] Do có số nguyên dương r cho x r H iI ( M , K ) = với i < s x Dãy khớp ngắn → :K x r → K  → K → cảm sinh cho ta dãy khớp ngắn môđun r đồng điều địa phương suy rộng: → H iI ( M , K ) → H iI−1 ( M , :K x r ) → H iI−1 ( M , K ) → với i < s Dẫn đến I ⊆ Rad ( AnnR ( H iI−1 ( M , :K x r ))) với i < s Do đó, H iI−1 ( M , :K x r ) artin, H iI ( M , K ) artin với i < s Từ chứng minh trên, ta có H iI ( M , N / K ) H iI ( M , K ) R- môđun artin nên theo tính chất dãy khớp H iI ( M , N ) R- môđun artin. Chú ý Một dãy x1 , x2 , , xr R gọi dãy N- đối quy i) :N ( x1 , x2 , , xr ) ≠ ii) xi :N ( x1 , x2 , , xi −1 )  → :N ( x1 , x , , xi −1 ) toàn cấu với i = 1, , r Ta định nghĩa WidthI ( N ) chiều dài dãy N- đối quy dài I Nếu N R- môđun artin WidthI ( N ) < ∞ Bổ đề 2.2.13 30 Cho M R- môđun hữu hạn sinh cho Ann( M ) ⊆ I N R- môđun artin Khi H 0I ( M , N ) = xN = N với x ∈ I Chứng minh Nếu có x ∈ I cho xN = N , IN = N Λ I ( N ) = Hơn nữa, H 0I ( M , N ) ≅ lim ( M ⊗ N / I t N ) ≅ lim Tor0R ( M , N / I t N ) ←  t ←  t   ≅ Tor0R  M , lim N / I t N  ≅ M ⊗ lim N / I t N ≅ M ⊗ Λ I ( N ) ←  ←  t t   Vì H 0I ( M , N ) = Bây giờ, ta giả sử x ∈ I cho xN = N , IN ≠ N Λ I ( N ) ≠ Từ 1.9.4 ta có: Coass ( M ⊗= Λ I ( N )) Supp ( M ) ∩ Coass ( Λ I ( N ) ) Mà SuppR ( M ) = V ( AnnR M ) Thật ∀P ∈ SuppR M , ta có M P ≠ ⇒ ∃0 ≠ P ∈ L= a ∈ M P nên Ann ( a ) ⊆ P Do s {P ∈ SpecR ∃0 ≠ x ∈ M : Ann ( x ) ⊆ P} hay Supp R (M ) ⊆ L Ngược lại, với P ∈ L có phần tử ≠ x ∈ M cho Ann ( x ) ⊆ P Khi x x ∈ M P ≠ nên M P ≠ hay L ⊆ SuppR ( M ) 1 Vậy SuppM= L=  x∈M ,x ≠ V ( Ann ( x ) ) Với M R- môđun noether, ta có= thể giả sử M x1 , x2 , , xn , x i ≠ với i = 1, n Khi đó, ta có SuppR M= L=  n  = V Ann x V ( ( i ) )   Ann ( xi ) = V ( Ann ( M ) )   x∈M ,x ≠= i = i  V ( Ann ( x ) )= n Do đó, Coass(= M ⊗ Λ I ( N )) V ( AnnR ( M ) ) ∩ Coass ( Λ I ( N ) ) 31 Theo 1.9.4 ta 1.9.5, có Coass (Λ I ( N )) ⊆ V ( I ) ⊆ V ( Ann( M )) nên Coass ( M ⊗ Λ = Coass ( Λ I ( N ) ) Do đó, I ( N )) Coass ( H 0I ( M= , N )) Coass ( M ⊗ Λ I= ( N )) Coass (Λ I ( N )) Do Λ I ( N ) ≠ vành noether Λ I ( R ) nên Coass( H 0I ( M , N )) ≠ ∅ , H 0I ( M , N ) ≠  Định lý 2.2.14 Cho ( R, m) vành địa phương M R- môđun hữu hạn sinh cho Ann( M ) ⊆ I Nếu N R- môđun artin, dãy N- đối quy cực đại I có độ dài { } Hơn = WidthI ( N ) inf i H iI ( M , N ) ≠ Chứng minh Giả sử ( x1 , x2 , , xn ) ⊆ I dãy N- đối quy cực đại, ta chứng minh định lí quy nạp theo n Khi n = , không tồn x ∈ I cho xN = N Vì vậy, H 0I ( M , N ) ≠ theo bổ đề 2.2.13, nên { } WidthI ( N )= 0= inf i H iI ( M , N ) ≠ x Đặt n > Dãy khớp ngắn R- môđun artin → :N x1 → N  → N → cho ta dãy khớp R- môđun đồng điều địa phương suy rộng: x1 → H iI ( M , :N x1 ) → H iI ( M ,N )  → H iI ( M , N ) → H iI−1 ( M , :N x1 ) → Theo giả thiết quy nạp, ta có H iI ( M , :N x1 ) = với i < n − H nI−1 ( M , :N x1 ) ≠ Do H iI ( M , N ) = x1 H iI ( M , N ) với i < n , ta có H iI ( M , N ) = ∩ x1t H iI ( M , N ) = với t >0 i < n theo mệnh đề 2.2.1 Xét dãy khớp: x1 → H nI ( M , N)  → H nI ( M ,N ) → H nI −1 ( M , :N x1 ) → 32 Do H nI−1 ( M , :N x1 ) ≠ nên theo tính chất dãy khớp, ta có H nI ( M , N ) ≠ { } Do WidthI ( N )= n= inf i H iI ( M , N ) ≠  Hệ 2.2.15 Cho ( R, m) vành địa phương Nếu M N R- môđun hữu hạn sinh cho { } depthI ( N ) inf i H Ii ( M , N ) ≠ Ann( M ) ⊆ I Khi= Chứng minh Ta có D( N ) R- môđun artin nên theo định lý 2.2.14 { } = WidthI ( D( N )) inf i H iI ( M , D( N )) ≠ { } Kết hợp với 2.2.1(i) ta= có WidthI ( D( N )) inf i D( H Ii ( M , N )) ≠ Ta lại có depthI ( N ) = WidthI ( D ( N ) ) (mệnh đề 1.5.8) Mặt khác, D( H Ii ( M , N )) ≠ H Ii ( M , N ) ≠ { } Do= đó, depthI ( N ) inf i H Ii ( M , N ) ≠  Hệ 2.2.16 Cho ( R, m) vành địa phương N R- môđun hữu hạn sinh cho N / IN ≠ Khi { } đó= depthI ( N ) inf i H Ii ( N ) ≠ Chứng minh Thay môđun M định lí 2.2.15 vành R , ta có { } = depthI ( N ) inf i H Ii (R, N ) ≠ { } Mà H Ii ( R, N ) = H Ii ( N ) Do đó,= depthI ( N ) inf i H Ii ( N ) ≠  33 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày số kết chủ yếu sau: Định nghĩa đưa vài tính chất môđun đồng điều địa phương suy rộng tính I-tách, tính artin, trình bày cảm sinh dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương suy rộng từ dãy khớp ngắn môđun artin Trình bày số tính chất môđun đồng điều địa phương suy rộng H iI ( M , N ) trường hợp M môđun hữu hạn sinh tính noether môđun đồng điều địa phương suy rộng Tìm hiểu tính artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng từ tính noether môđun đồng điều địa phương suy rộng Mô tả chiều rộng môđun artin dựa vào môđun đồng điều địa phương suy rộng Vì thời gian khả thân có hạn trình thực luận văn nên không tránh khỏi sai sót Kính mong quý thầy cô bạn góp ý dẫn thêm để luận văn hoàn chỉnh thêm 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Atiyah M F., Macdonald I G ( 1969), Introduction to Commutative Algabra, Addion Wesley Plublising Company, Inc Brodmann M P., Sharp R Y (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambrigde University Press N T Cuong, T T Nam (2001), “The I-adic completion and local homology for Artinian modules”, Math Proc Cambridge Phil Soc 131, pp 61–72 N T Cuong, T T Nam (2001), “On the co-localization, co-support and coassociated primes of local homology modules”, Vietnam J Math 29(4), pp 359– 368 N T Cuong, T T Nam (2008), “A local homology theory for linearly compact modules”, J Algebra 319, pp 4712–4737 Hartshorne R (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag, Berlin-HeidelbergNew York Macdonald I G (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11, pp 23–43 Ooishi A (1976), “Matlis duality and the width of a module”, Hiroshima Math J 6, pp 573–587 Roberts R N (1975), Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings, Quart J Math Oxford (Ser.2) 26, pp 269–273 10 Rotman J J (1979), An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York 11 Strooker J (1990), Homological Questions in Local Algebra, Cambridge University Press, Cambridge 12 Suzuki N (1978), “On the generalized local cohomology and its duality”, J Math Kyoto Univ 18(1), pp 71–85 36 13 Tang Z (1994), “Local homology theory for artinian modules”, Comm Algebra 22(5), pp 1675–1684 14 Yassemi S (1995), “Coassociated primes”, Comm Algebra 23, pp 1473–1498 15 Yassemi S (2002), “Associated primes of generalized local cohomology modules”, Comm Algebra 30(1), pp 327–330 37 [...]... , N / K ) là Rˆ môđun noether nên theo tính chất của dãy khớp, H im ( M , N ) là Rˆ - môđun noether. Từ tính chất noether của môđun đồng điều địa phương suy rộng H im ( M , N ) ta trở lại tính chất artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng H mi ( M , N ) Hệ quả 2.2.10 Cho ( R, m) là vành noether địa phương, M, N là các R -môđun hữu hạn sinh Khi đó H mi ( M , N ) là R -môđun artin với mọi i... là vành noether giao hoán, có đơn vị khác không 2.1 Môđun đồng điều địa phương suy rộng Định nghĩa 2.1.1 Cho I là một iđêan của vành R và M, N là các R -môđun Môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i H iI ( M , N ) của M, N đối với I được định nghĩa: H iI ( M , N ) = lim Tori R ( M / I t M , N ) ←  t Chú ý 2.1.2 i) Chú ý rằng môđun đồng điều địa phương của N đối với I có thể được định nghĩa H iI (... 2.2.2 Cho M là R -môđun hữu hạn sinh và 0 → N ' → N → N '' → 0 là một dãy khớp ngắn các môđun artin Khi đó ta có một dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương suy rộng → H iI ( M , N ') → H iI ( M , N ) → H iI ( M , N '') → → H 0I ( M , N ') → H 0I ( M , N ) → H 0I ( M , N '') → 0 Bổ đề 2.2.3 Cho M là R- môđun hữu hạn sinh, N là R- môđun artin Khi đó M ⊗ R N là R- môđun artin Chứng minh Vì M là R- môđun. .. Tor0R ( N / I t N , M ) = H 0I ( N , M ) ←  t 2.2 Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin Mệnh đề 2.2.1 Cho M, N là các R -môđun Khi đó: i) Môđun đồng điều địa phương suy rộng H iI ( M , N ) là I-tách với i ≥ 0 , nghĩa là ∩ I s H iI ( M , N ) = 0 s >0 ii) Cho (R, m) là vành địa phương và M là một R -môđun hữu hạn sinh Khi đó với mọi i ≥ 0 , H iI ( M , D( N )) ≅ D( H Ii ( M , N )) ... từ đó H 0m ( M , N ) có độ dài hữu hạn trên vành địa phương noether ( R, m ) Do đó, H 0m ( M , N ) là Rˆ - môđun noether Cho i > 0 Vì N là artin nên có số nguyên dương n sao cho mt N = m n N với mọi t ≥ n Đặt K = m n N Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn 0 → K → N → N / K → 0 của các R -môđun artin cảm sinh dãy khớp các môđun đồng điều địa phương suy rộng → H im ( M , K ) → H im ( M , N ) → H im (... N là môđun có độ dài hữu hạn trên vành địa phương noether ( R, m ) , nên theo bổ đề 2.2.3, H 0I ( M , N ) là Λ I ( R) - môđun noether Đặt d > 0 Vì N là artin nên có số nguyên dương n sao cho I t N = I n N với mọi t ≥ n , đặt K = I nN Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn các R- môđun artin 0 → K → N → N / K → 0 cảm sinh dãy khớp các môđun đồng điều địa phương suy rộng : → H pI + d ( M , K ) → H pI +... M ⊗ R N / I m N là R- môđun artin theo bổ đề 2.2.3, và do đó H 0I ( M , N ) cũng là R- môđun artin Cho s > 1 Do N là artin nên có số nguyên dương m sao cho I t N = I m N với mọi t ≥ m Đặt K = I m N Dãy khớp ngắn các R- môđun artin 0 → K → N → N / K → 0 cho ta dãy khớp các môđun đồng điều địa phương suy rộng: → H iI+1 (M, N/ K) → H iI ( M , K ) → H iI ( M , N ) → H iI ( M , N / K ) → Dễ thấy rằng... ' ∈ R sao cho r + I = r '+ I và m ∈ M thì r − r ' ∈ I ⊆ Ann ( M ) Do đó 0 hay ( r − r ') m = rm = r ' m Vì thế ta có thể định nghĩa ánh xạ R / I ×M → M ( r + I , m )  rm và có thể kiểm tra M là R / I -môđun Chú ý rằng cấu trúc R -môđun và R / I -môđun trên M được thay đổi theo cách sau: ( r + I ) m = rm với mọi r ∈ R và với mọi m ∈ M 15 CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN Trong... Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Định nghĩa 1.4.1 Cho R là một vành noether giao hoán, có đơn vị 1 ≠ 0 , I là một iđêan của vành R, M và N là các R- môđun Khi đó, với mỗi số tự nhiên i , ta có H Ii ( M , N ) := lim Ext Ri ( M / I n M , N ) gọi là môđun  → n∈ đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của M và N đối với I Ta có H Ii ( N ) = H Ii ( R, N ) với N là R- môđun Nhận xét 1.4.2 Hàm... hạn trên vành địa phương noether ( R, m ) Do đó H im ( M , N / K ) là Rˆ -môđun noether Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra rằng H im ( M , K ) là Rˆ -môđun noether Vì mK = K nên tồn tại một phần tử x ∈ m sao cho xK = K theo [6,2.8] và khi đó ta có x →K → 0 dãy khớp ngắn 0 → 0 :K x → K  Theo mệnh đề 2.2.2, dãy khớp ngắn trên cảm sinh một dãy khớp các môđun đồng điều địa phương suy rộng α x → H ... 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin Mục đích chương nghiên cứu vài tính chất môđun đồng điều địa suy rộng cho môđun artin: tính artin, tính noether dựa vào đồng điều địa phương suy. .. đối đồng điều suy rộng mở rộng đồng điều địa phương thông thường Nhiều kết quan trọng môđun đồng điều địa phương suy rộng tìm ra, bên cạnh nhà toán học nghiên cứu tìm kết môđun đồng điều địa phương. .. môđun đồng điều địa phương suy rộng Phần hai: Trình bày số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin, dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng