Biến đổi iđêan và đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan (tóm tắt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BIẾN ĐỔI IĐÊAN VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số chuyên ngành: 62 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ TP HỒ CHÍ MINH - 2017 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Tuấn Nam TS Nguyễn Viết Đông Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Tự Cường Phản biện 2: GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Phản biện 3: PGS.TS Mỵ Vinh Quang Phản biện độc lập 1: GS.TS Lê Văn Thuyết Phản biện độc lập 2: TS Hà Minh Lam Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh vào lúc ngày tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp HCM - Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TÓM TẮT LUẬN ÁN Lý thuyết “Đối đồng điều địa phương” Grothendieck đóng vai trò quan trọng Đại số giao hoán Hình học đại số Đối đồng điều địa phương liên quan đến iđêan a vành Noether giao hoán R R-môđun M , môđun đối đồng điều địa phương thứ i M theo a cho sau Hai (M ) ∼ ExtiR (R/an , M ) = lim −→ n Trong năm gần đây, lý thuyết “Đối đồng điều địa phương” mở rộng theo nhiều hướng khác Đầu tiên đời môđun đối đồng điều địa phương suy rộng vào năm 1970 Các môđun nhà toán học Herzog giới thiệu [57] nhiều nhà toán học nước nghiên cứu Cho M, N R-môđun, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i M, N theo iđêan a xác định sau Hai (M, N ) ∼ ExtiR (M/an M, N ) = lim −→ n Một mở rộng khác đưa vào năm 2009 [50] Takahashi, Yoshino Yoshizawa Họ giới thiệu khái niệm môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan nghiên cứu tính chất chúng Đầu tiên, tác giả định nghĩa môđun (I, J)-xoắn R-môđun M, kí hiệu ΓI,J (M ), sau ΓI,J (M ) = {m ∈ M | I n m ⊆ Jm với n 1} Khi hàm tử ΓI,J (−) hàm tử hiệp biến, cộng tính khớp trái từ phạm trù R-môđun vào Hàm tử dẫn xuất phải thứ i i (−) gọi hàm tử đối đồng điều ΓI,J (−) kí hiệu HI,J địa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J) Môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan nhanh chóng thu hút ý nhiều nhà toán học giới Một số tính chất chúng trình bày [50, 1.13, 2.4, 2.6, 3.2]; tính chất triệt tiêu không triệt tiêu trình bày phần [50], phần [15] [41, Định lí 2, Mệnh đề 1]; tính chất Artin nêu Phần [15] [40]; tính chất liên quan đến tính hữu hạn sinh trình bày [42, 2.4 - 2.7] Năm 2011, [55], Zamani đưa khái niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan sau: Cho M, N R-môđun I, J iđêan vành Noether giao hoán R Khi môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i M, N theo cặp iđêan (I, J) kí hiệu xác định sau i HI,J (M, N ) = H i (HomR (M, ΓI,J (E • ))) với E • phép giải nội xạ N Trong [55, 2.2], M R-môđun hữu hạn sinh kí hiệu IM = :R M/IM, tác giả nêu đẳng cấu i HI,J (M, −) ∼ = Hai (M, −) ∼ = lim −→ ˜ (IM ,J) a∈W lim −→ Hai (M, −) ˜ (I,J) a∈W ˜ (I, J) = {a ✁R | I n ⊆ a +J với n đủ lớn} Tiếp theo, tác giả với W trình bày tính triệt tiêu chúng sau: Khi M, N môđun hữu i (M, N ) = với hạn sinh vành địa phương (R, m) J = R HI,J i (M, N ) = với i > pd(M ) + dim(N/JN ) (xem [55, 2.4]) HI,J i > dim(R) (xem [55, 2.7]) Các tính Artin, tính hữu hạn sinh, tính (I, J)-cofinite, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan chưa nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đối đồng điều địa phương có hàm tử mà hàm tử dẫn xuất phải có tính chất gần với hàm tử đối đồng điều địa phương hàm tử biến đổi iđêan (xem [12]) Da (−) = lim HomR (an , −) −→ n Đây hàm tử hiệp biến, cộng tính khớp trái từ phạm trù R-môđun vào Đối với R-môđun M, ta gọi Da (M ) = lim HomR (an , M ) biến đổi iđêan M theo iđêan a a-biến −→ n đổi M Các hàm tử dẫn xuất phải thứ i Da (−) kí hiệu Ri Da (−) Một số tính chất chúng trình bày [6], [10] [12] Trong [20], tác giả đưa định nghĩa biến đổi iđêan suy rộng sau: Cho M R-môđun, hàm tử biến đổi iđêan suy rộng theo iđêan a xác định sau Da (M, −) = lim HomR (an M, −) −→ n Khi đó, ta kí hiệu Ri Da (M, −) hàm tử dẫn xuất phải thứ i Da (M, −) Ri Da (M, −) ∼ ExtiR (an M, −) = lim −→ n Các tác giả sử dụng khái niệm để nghiên cứu tính a-cofinite môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo iđêan i (M ) Luận án tiếp tục nghiên cứu tính chất môđun HI,J i (M, N ) cách có hệ thống Bên cạnh đó, kết liên quan HI,J đến biến đổi iđêan suy rộng theo iđêan phần nội dung luận án Để có kết nối hoàn chỉnh chương, đưa khái niệm biến đổi iđêan theo cặp iđêan nghiên cứu tính chất chúng để thấy mối liên hệ với môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan Nội dung luận án tóm tắt sau: Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy phổ Trình bày khái niệm tính chất liên quan đến dãy phổ 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương Nhắc lại định nghĩa số kết quan trọng liên quan đến tính triệt tiêu, tính Artin 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo iđêan Nhắc lại định nghĩa số kết quan trọng liên quan đến tính triệt tiêu, tính Artin Chương Đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan 2.1 Môđun Lasker yếu môđun cofinite Hartshorne định nghĩa môđun I -cofinite sau: Một R-môđun L gọi I -cofinite SuppR (L) ⊆ V (I) ExtiR (R/I, L) hữu hạn sinh với i Ông đặt câu hỏi: Khi HIi (M ) I -cofinite với i ? Trong thực tế, có nhiều lớp môđun rộng lớp môđun hữu hạn sinh ví dụ lớp môđun Lasker yếu, môđun minimax, Chúng sử dụng môđun Lasker yếu để mở rộng khái niệm môđun I -cofinite Hartshorne đưa định nghĩa môđun (I, J)-weakly cofinite sau: Định nghĩa 2.1.11 Một R-môđun M gọi (I, J)-weakly cofinite SuppR (M ) ⊆ W (I, J) ExtiR (R/I, M ) Lasker yếu với i ≥ Vì tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Lasker yếu hữu hạn nên ta dùng môđun (I, J)-weakly cofinite để nghiên cứu kết liên quan đến tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết i (M ) môđun HI,J Định lí 2.1.14 Cho M R-môđun Lasker yếu t số i (M ) (I, J)-weakly cofinite với i < t nguyên không âm thỏa HI,J t (M )) Lasker yếu Đặc biệt, tập Khi HomR (R/I, HI,J t (M ))) hữu hạn AssR (HomR (R/I, HI,J Một câu hỏi đặt tương tự Hartshorne môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan là: Khi i (M ) (I, J)-weakly cofinite với i ? HI,J Định lí 2.1.18 Cho M R-môđun cho ExtiR (R/I, M ) i (M ) Lasker yếu với i t số nguyên không âm Nếu HI,J t (M ) (I, J)-weakly (I, J)-weakly cofinite với i = t HI,J cofinite Từ đây, có hệ Hệ 2.1.20 Cho I iđêan R M R-module i (M ) (I, J)-weakly cofinite với i ≥ Lasker yếu Khi HI,J 2.2 Các phạm trù Serre i (M ) nghiên cứu trong phạm trù Môđun HI,J Serre phạm trù R-môđun Từ trường hợp tổng quát này, có hệ phạm trù Serre cụ thể Ta kí hiệu S phạm trù Serre Định lí 2.2.2 Cho M R-môđun d số nguyên không âm i (M ) ∈ S với i < d Exti (R/I, M ) ∈ S với i < d Nếu HI,J R Định lí 2.2.3 Cho (R, m) vành địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh d số nguyên không âm Giả sử S phạm i (M ) ∈ S với trù Serre khác phạm trù môđun không Nếu HI,J d (M )) ∈ S i < d HomR (R/m, HI,J 2.3 Môđun coatomic Trong tiết này, phát triển số kết có trường hợp M môđun coatomic Môđun coatomic giới thiệu nghiên cứu H Z¨oschinger [58] Định nghĩa 2.3.1([58]) Một R-môđun M gọi coatomic môđun thực M chứa môđun tối đại M Trong [15, 2.1], M R-môđun hữu hạn sinh vành địa d (M ) Artin với d = dim M Kết phương (R, m) HI,J lớp môđun coatomic minimax Định lí 2.3.6 Cho (R, m) vành địa phương M Rmôđun coatomic với d = dim M > M R-môđun minimax d (M ) Artin với d = dim M > Khi HI,J d Att(HI,J (M )) = {p ∈ SuppR (M ) ∩ V (J) | cd(I, J, R/p) = d} n (M ) = 0} cd(I, J, M ) = sup{n | HI,J Một tổng quát hóa [1, 3.9], cho thấy mối quan hệ tính i (M ) triệt tiêu, tính hữu hạn tính coatomic HI,J Định lí 2.3.9 Cho (R, m) vành địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh t số nguyên dương Các phát biểu sau tương đương: i (M ) = với i ≥ t; (i) HI,J i (M ) hữu hạn sinh với i ≥ t; (ii) HI,J i (M ) coatomic với i ≥ t (iii) HI,J 2.4 Tính hữu hạn tập giá Trong [1, 3.3] hay [46, 2.3], nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương theo iđêan, tác giả dim HIi (M ) ≤ d − i SuppR (HId−1 (M )) tập hữu hạn Định lí 2.4.1 Cho M R-môđun hữu hạn sinh với d = dim M < ∞ Khi điều sau đúng: i (M ) ≤ d − i (i) dim HI,J d−1 d−1 (ii) Nếu R vành nửa địa phương SuppR (HI,J (M )/JHI,J (M )) hữu hạn Chương 3: Đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan 3.1 Một số tính chất Chúng giới thiệu định nghĩa khác môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan Định nghĩa 3.1.1 Cho R-môđun M N, ta kí hiệu ΓI,J (M, N ) môđun xác định sau ΓI,J (M, N ) = ΓI,J (HomR (M, N )) Khi ΓI,J (M, −) hàm tử hiệp biến, R-tuyến tính khớp trái từ phạm trù R-môđun vào Các hàm tử dẫn xuất phải i (M, −) gọi hàm tử đối thứ i ΓI,J (M, −) kí hiệu HI,J đồng điều địa phương suy rộng thứ i theo cặp iđêan (I, J) Với i (M, N ) gọi môđun đối đồng điều địa R-môđun N, môđun HI,J phương suy rộng thứ i M, N theo cặp iđêan (I, J) Ta thấy rằng, M hữu hạn sinh định nghĩa Zamani định nghĩa tương đương Do đó, toàn chương này, M xét môđun hữu hạn sinh Tiếp theo, N môđun đặc biệt (I, J)-xoắn hay J -xoắn ta có đẳng cấu liên quan đến môđun ExtiR (M, N ) HIi (M, N ) i (M, N ) ∼ Mệnh đề 3.1.7 Nếu N R-môđun (I, J)-xoắn HI,J = ExtiR (M, N ) với i ≥ i (M, N ) ∼ Mệnh đề 3.1.8 Nếu N R-môđun J -xoắn HI,J = HIi (M, N ) với i ≥ i (M, N ) thông phép giải nội xạ Ngoài cách tính môđun HI,J ˇ N, trình bày cách tính khác thông qua phức Cech phức toàn phần (Định lí 3.1.9.) 3.2 Các kết tính Artin Tính Artin vấn đề quan trọng nghiên cứu i (M, N ) môđun HI,J Định lí 3.2.1 Giả sử (R, m) vành địa phương Cho M, N R-môđun hữu hạn sinh với r = pd(M ) d = dim(N ) Khi r+d d (M, N ) ∼ HI,J (N )) = ExtrR (M, HI,J r+d (M, N ) R-môđun Artin Hơn nữa, HI,J Định lí 3.2.7 Cho M R-môđun hữu hạn sinh N i (M, N ) Artin với i ≥ R-môđun Artin Khi HI,J Trong [16, 5.4], dim R = d M, N R-môđun hữu hạn sinh với pdM < ∞ HId (M, N ) Artin SuppR (HId−1 (M, N )) tập hữu hạn Tính chất đặt cho câu hỏi: Các d (M, N ) H d−1 (M, N ) với d = dim R có tính chất giống môđun HI,J I,J không? Câu trả lời cho định lí Định lí 3.2.8 Cho (R, m) vành địa phương M, N Rmôđun hữu hạn sinh với pdM < ∞, d = dim R Khi đó, điều sau đúng: d (M, N )/JH d (M, N ) Artin (i) HI,J I,J d−1 d−1 (ii) SuppR (HI,J (M, N )/JHI,J (M, N )) tập hữu hạn i (N ) H i (M, N ) phạm trù 3.3 Mối liên hệ HI,J I,J Serre Bằng cách sử dụng dãy phổ Grothendieck, chứng minh kết đây: Định lí 3.3.2 Cho M R-môđun hữu hạn sinh, N Ri môđun t số nguyên không âm Nếu Extt−i R (M, HI,J (N )) ∈ t (M, N ) ∈ S S với ≤ i ≤ t HI,J Những hệ Định lí 3.3.2 cho ta kết tính hữu i (M, N ) Trong vành địa hạn giá hay tính minimax môđun HI,J d (M, N )) ∈ S phương (R, m), ta thấy HomR (R/m, HI,J d (N ) ∈ S HI,J Định lí 3.3.6 Cho M, N môđun hữu hạn sinh vành địa phương (R, m) d số nguyên không âm Giả sử S i (N ) ∈ S phạm trù Serre khác phạm trù môđun không Nếu HI,J d (M, N )) ∈ S với i < d HomR (R/m, HI,J 3.4 Môđun (S, I, J)-cofinite Chúng đưa khái niệm môđun (S, I, J)-cofinite Đây tổng quát hóa môđun I -cofinite Hartshorne giới thiệu môđun (I, J)-weakly cofinite Định nghĩa 3.4.1 Một R-môđun M gọi (S, I, J)-cofinite SuppR (M ) ⊆ W (I, J) ExtiR (R/I, M ) ∈ S với i ≥ Cho S phạm trù Serre phạm trù R-môđun Vấn i (M, N ) ∈ S đề đặt môđun HI,J Mệnh đề 3.4.9 Cho M R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh N i (N ) (S, I, J)-cofinite với i ≥ R-môđun Nếu HI,J i (M, N ) (S, I, J)-cofinite với i ≥ HI,J Mệnh đề 3.4.10 Cho M R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh, N R-môđun thỏa ExtiR (M/IM, N ) ∈ S với i ≥ d i (M, N ) (S, I, J)-cofinite với số nguyên không âm Nếu HI,J d (M, N ) (S, I, J)-cofinite i = d HI,J Ngoài ra, có đưa kết liên quan đến tính I cofinite artin môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo iđêan Định lí 3.4.13 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa i (N )) ⊆ {m} với i ≥ H i (M, N ) phương (R, m) Nếu SuppR (HI,J I,J artin I -cofinite với i ≥ 10 Chương 4: Biến đổi iđêan suy rộng 4.1 Biến đổi iđêan suy rộng theo iđêan Năm 2004, Divaani-Aazar Sazeedeh định nghĩa biến đổi iđêan suy rộng theo iđêan DI (M, N ) dùng để nghiên cứu tính I cofinite môđun HIi (M, N ) Trong tiết này, tiếp tục nghiên cứu tính chất hàm tử DI (M, −) hàm tử dẫn xuất phải Ri DI (M, −) Brodmann chứng minh N R-môđun I -xoắn DI (N ) = (xem [12]) Kết tổng quát trường hợp biến đổi iđêan suy rộng Định lí 4.1.2 Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun I -xoắn Khi Ri DI (M, N ) = với i ≥ Trong [12], I = Ra iđêan DI (N ) ∼ = Na với Na địa phương hóa N tương ứng với tập đóng nhân S = {ai | i ∈ N} Định lí cho thấy tính chất đẹp biến đổi iđêan suy rộng trường hợp I iđêan Định lí 4.1.8 Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun Khi (i) DI (HomR (M, N )) ∼ = DI (M, N ) (ii) Nếu I = aR iđêan R DaR (M, N ) ∼ = DaR (M, N )a ∼ = HomRa (Ma , Na ) Một số kết liên quan đến tính hữu hạn sinh, tính Artin tập iđêan nguyên tố liên kết Ri DI (M, N ) trình bày tiết Bên cạnh đó, ta thấy mối liên hệ gần Ri DI (M, N ) HIi (M, N ) Định lí 4.1.11 Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun Nếu t số nguyên không âm cho Ri DI (M, N ) 11 hữu hạn sinh với i < t HomR (R/I, Rt DI (M, N )) Rmôđun hữu hạn sinh Định lí 4.1.13 Cho M R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có điều sau đây: (i) Nếu N R-môđun Artin Ri DI (M, N ) Artin với i ≥ (ii) Nếu N R-môđun hữu hạn sinh p = pd(M ), d = dim(N ) hữu hạn Rp+d DI (M, N ) R-môđun Artin 4.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết Ri DI (M, N ) Nếu N R-môđun hữu hạn sinh biến đổi iđêan suy rộng bậc cao Artin Tuy nhiên, cho N môđun Lasker yếu ta tính Artin mà thấy tính hữu hạn tập giá biến đổi iđêan suy rộng môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo iđêan bậc cao Định lí 4.2.2 Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun Lasker yếu với p = pd(M ) < ∞ d = dim(N ) Khi SuppR (Rp+d DI (M, N )) SuppR (HIp+d (M, N )) tập hữu hạn Bằng cách sử dụng dãy phổ Grothendieck, đưa số kết liên quan đến tập iđêan nguyên tố liên kết Ri DI (M, N ) Định lí 4.2.4 Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun Các điều sau đúng: (i) Ta có dãy phổ Grothendieck E2p,q = ExtpR (M, Rq DI (N )) =⇒ Rp+q DI (M, N ) p (ii) AssR (Rt DI (M, N )) ⊆ ( t i=1 12 i,t−i AssR (Et+2 )) AssR (HomR (M, Rt DI (N ))) t (iii) SuppR (Rt DI (M, N )) ⊆ i=0 SuppR (ExtiR (M, Rt−i DI (N ))) 4.3 Biến đổi iđêan theo cặp iđêan i (M ), Một cách tự nhiên, nghiên cứu môđun HI,J cố gắng đưa định nghĩa biến đổi iđêan theo cặp iđêan (I, J) Định nghĩa 4.3.2 Cho M R-môđun I, J hai iđêan vành R Biến đổi iđêan M theo cặp iđêan (I, J) hay gọi (I, J)-biến đổi M xác định sau DI,J (M ) = lim −→ ˜ (I,J) a∈W Da (M ) Ta thấy mối liên hệ biến đổi iđêan theo cặp iđêan giới hạn thuận hệ môđun biến đổi iđêan theo iđêan Mệnh đề 4.3.4 Cho M R-môđun Khi Ri DI,J (M ) ∼ = lim −→ Ri Da (M ) ˜ (I,J) a∈W với i ≥ Một vấn đề quan trọng nghiên cứu biến đổi iđêan hàm tử DI (−) hàm tử khớp Các điều kiện để hàm tử DI,J (−) hàm tử khớp kết tiết 4.3 Định lí 4.3.5 Cho M R-môđun Khi điều sau tương đương: (i) DI,J (−) hàm tử khớp; n (R) = với n ≥ 2; (ii) HI,J n (M ) = với n ≥ R-môđun hữu hạn sinh M ; (iii) HI,J n (M ) = với R-môđun M n ≥ 2; (iv) HI,J n (D (v) HI,J I,J (M )) = với n ≥ 0; 13 ˜ (I, J); (vi) ExtnR (R/a, DI,J (M )) = với n ≥ a ∈ W ˜ (vii) TorR n (R/a, DI,J (M )) = với n ≥ a ∈ W (I, J) 4.4 Biến đổi iđêan suy rộng theo cặp iđêan Một mở rộng khác biến đổi iđêan biến đổi iđêan suy rộng theo cặp iđêan (I, J) Định nghĩa 4.4.1 Cho M, N R-môđun Biến đổi iđêan suy rộng M, N theo cặp iđêan (I, J) (hay (I, J)-biến đổi iđêan suy rộng M, N ) xác định DI,J (M, N ) = lim −→ ˜ (I,J) a∈W Da (M, N ) Với R-môđun M, ta có hàm tử hiệp biến, R-tuyến tính khớp trái DI,J (M, −) Các hàm tử dẫn xuất phải thứ i DI,J (M, −) kí hiệu Ri DI,J (M, −) Ta có kết quan trọng liên quan đến tính triệt tiêu môđun Ri DI,J (M, N ) Định lí 4.4.5 Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun (I, J)-xoắn Khi Ri DI,J (M, N ) = với i ≥ Lại tiếp tục sử dụng dãy phổ Grothendieck, đưa kết liên quan đến tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết tập giá Ri DI,J (M, N ) Định lí 4.4.10 Cho M R-môđun hữu hạn sinh N R-môđun Giả sử t số nguyên không âm Khi (i) Ta có dãy phổ Grothendieck E2p,q = Rp DI,J (ExtqR (M, N )) ⇒ Rp+q DI,J (M, N ) p (ii) Nếu SuppR (ExtiR (M, N )) hữu hạn với i < t i (M, N )) hữu hạn với SuppR (Ri DI,J (M, N )) SuppR (HI,J i < t 14 (iii) Nếu M, N R-môđun hữu hạn sinh SuppR (ExtiR (M, N )) hữu hạn với i < t tập AssR (Rt DI,J (M, N )) hữu hạn 15 Danh mục công trình tác giả Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri (2014), Generalized ideal transforms, Stud Sci Math Hung., 5(1), 67-82 Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri, Nguyen Viet Dong (2014), Some properties of generalized local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Internat J Algebra Comput., 24(7), 1043-1054 Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri (2016), Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Taiwanese J Math., 20(4), 743-753 Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri (2016), Serre subcategories and the cofiniteness of generalized local cohomology modules, Internat J Algebra Comput 26(6), 1267-1282 Nguyen Minh Tri, Tran Tuan Nam (2017), Ideal transforms with respect to a pair of ideals, Acta Math Vietnam., DOI 10.1007/s40306-0170213-4 Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri, On coatomic modules and local cohomology modules with respect to a pair of ideals, J Korean Math Soc., (Accepted) Tran Tuan Nam, Nguyen Minh Tri, On the finiteness results of generalized local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Taiwanese J Math (Accepted) 16 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Aghapournahr M., Melkersson L (2010), Finiteness properties of minimax and coatomic local cohomology modules, Arch Math 94(6), 519-528 [2] Aghapournahr, Taherizadeh, Vahidi (2011), Extension functors of local cohomology modules, Bull Iran Math Soc., 37(3),117-134 [3] Amjadi J., Naghipour R (2008), Cohomological dimension of generalized local cohomology modules, Algebra Colloq., 15(2), 303-308 [4] Asgharzadeh M., Tousi M (2010), A unified approach to local cohomology modules using Serre classes, Canad Math Bull., 53(4), 577-586 [5] Bahmanpour K (2014), On the category of weakly Laskerian cofinite modules, Math Scand., 115, 62-68 [6] Bahmanpour K (2015), Exactness of ideal transforms and annihilators of top local cohomology modules, J Korean Math Soc., 52(6), 1253-1270 [7] Bahmanpour K., Naghipour R (2008), On the cofiniteness of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., 136(7), 2359-2363 17 [8] Bahmanpour K., Naghipour R (2009), Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension, J Algebra, 321, 1997-2011 [9] Bijan-Zadeh M H (1980), A common generalization of local cohomology theories, Glasgow Math J., 21, 174-181 [10] Brodmann M P (1980), Finiteness of ideal transforms, J Algebra, 63(1), 162-185 [11] Brodmann M P., Faghani A L (2000), A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., 128(10), 2851-2853 [12] Brodmann M P., Sharp R Y (2013), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, 2nd edition, Cambridge University Press [13] Chu L (2011), Top local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Proc Amer Math Soc 139(3), 777-782 [14] Chu L., Tang Z (2007), On the Artinianness of generalized local cohomology, Comm Algebra, 35, 3821-3827 [15] Chu L., Wang Q (2009), Some results on local cohomology modules defined by a pair of ideals, J Math Kyoto Univ., 49(1), 193-200 [16] Nguyen Tu Cuong, Nguyen Van Hoang (2008), On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., 126, 59-72 [17] Divaani-Aazar K (2001), On associated and attached prime ideals of certain modules, Colloq Math., 89(1), 147-157 [18] Divaani-Aazar K., Mafi A (2005), Associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., 133(3), 655-660 18 [19] Divaani-Aazar K., Mafi A (2006), Associated primes of local cohomology modules of weakly Laskerian modules, Comm Algebra, 34, 681-690 [20] Divaani-Aazar K., Sazeedeh R (2004), Cofiniteness of generalized local cohomology modules, Colloq Math., 99(2), 283-290 [21] Divaani-Aazar K., Sazeedeh R., Tousi M (2005), On vanishing of generalized local cohomology modules, Algebra Colloq., 12(2), 213218 [22] Enochs E E., Jenda O M G (2000), Relative Homological Algebra, Walter de Gruyter, Berlin - NewYork [23] Hartshorne R (1970), Affine duality and cofiniteness, Invent Math., 9, 145-164 [24] Hassanzadeh S H., Vahidi A (2009), On vanishing and cofiniteness of generalized local cohomology modules, Comm Algebra, 37, 22902299 [25] Nguyen Van Hoang (2008), On the associated primes and the support of generalized local cohomology modules, Acta Math Vietnam., 33(2), 163-171 [26] Huneke C L (1992), Problems on Local Cohomology Free Resolutions in Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Res Notes Math., Boston, MA: Jones and Bartlett, 93–108 [27] Lorestani K B., Sahandi P., Sharif T (2006), A note on the associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 22, 3409 - 3412 [28] Matsumura H (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press 19 [29] Mafi A (2006), On the associated primes of generalized local cohomology modules, Comm Algebra, 34, 2489-2494 [30] Melkersson L (1990), On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Camb Phil Soc., 107, 267-271 [31] Melkersson L (1995), Some applications of a criterion for Artinianness of a module, J Pure Appl Algebra, 101, 291-303 [32] Melkersson L (2005), Modules cofinite with respect to an ideal, J Algebra, 285, 649-668 [33] T T Nam (2013), On the non-vanishing and the Artinianness of generalized local cohomology modules, J Algebra Appl., 12(4), 1250203 (7 pages) [34] T T Nam, N M Tri (2014), Generalized ideal transforms, Stud Sci Math Hung., 51(1), 67-82 [35] T T Nam, N M Tri, N V Dong (2014), Some properties of generalized local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Internat J Algebra Comput., 24(7), 1043-1054 [36] T T Nam, N M Tri (2016), Some results on local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Taiwanese J Math., 20(4), 743-753 [37] T T Nam, N M Tri (2016), Serre subcategories and the cofiniteness of generalized local cohomology modules, Internat J Algebra Comput 26(6), 1267-1282 [38] T T Nam, N M Tri, On coatomic modules and local cohomology modules with respect to a pair of ideals, J Korean Math Soc., (Accepted) 20 [39] T T Nam, N M Tri, On the finiteness results of generalized local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Taiwanese J Math., (Accepted) [40] Payrovi Sh., Parsa M L (2012), Artinianness of local cohomology modules defined by a pair of ideals, Bull Malays Math Sci Soc., 35(4), 877–883 [41] Payrovi Sh., Parsa M L (2012), On the vanishing properties of local cohomology modules defined by a pair of ideals, Eur J Pure Appl Math., 5(1), 55-58 [42] Payrovi Sh., Parsa M L (2013), Finiteness of local cohomology modules defined by a pair of ideals, Comm Algebra, 41, 627-637 [43] Pham Hung Quy (2010), On the finiteness of associated primes of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc., 138(6), 19651968 [44] Rotman J (2009), An introduction to homological algebra, 2nd edition, Springer [45] Saremi H (2010), Matlis duality and finiteness properties of generalized local cohomology modules, Algebra Colloq 17(4), 637-646 [46] Saremi H., Mafi A (2014), On the finiteness dimension of local cohomology modules, Algebra Colloq 21(3) 517-520 [47] Schenzel P (2009), On connectedness and indecomposibility of local cohomology modules, Manuscripta Math., 128(3), 315-32 [48] Singh A K., Swanson I (2004), Associated primes of local cohomology modules and of Frobenius powers, Int Math Res Not 33, 1703-1733 21 [49] Suzuki N (1978), On the generalized local cohomology and its duality, J Math Kyoto Univ (JAKYAZ), 18(1), 71-85 [50] Takahashi R., Yoshino Y., Yoshizawa T (2009), Local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair of ideals, J Pure Appl Algebra, 213, 582-600 [51] Tang Z (2012), Local-global principle for Artinianness of local cohomology modules, Comm Algebra, 40, 58-63 [52] Tehranian A., Talemi (2010), Cofiniteness of local cohomology based on a non-closed support defined by a pair of ideals, Bull Iran Math Soc., 36(2), 145-155 [53] N M Tri, T T Nam (2017), Ideal transforms with respect to a pair of ideals, Acta Math Vietnam., DOI 10.1007/s40306-017-0213-4 [54] Zamani N (2011), Results on local cohomology of weakly Laskerian modules, J Algebra Appl., 10(2), 303-308 [55] Zamani N (2011), Generalized local cohomology relative to (I, J), Southeast Asian Bull Math., 35, 1045-1050 Tiếng Pháp [56] Grothendieck A (1968), Cohomologie local des faisceaux coherents et theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA2), North-Holland, Amsterdam 22 Tiếng Đức [57] Herzog J (1970), Komplexe, Aufl¨ osungen und dualit¨at in der localen Algebra, Habilitationsschrift, Universit¨at Regensburg [58] Z¨oschinger H (1980), Koatomare moduln, Math Z 170(3), 221232 [59] Z¨oschinger H (1986), Minimax moduln, J Algebra 102(1), 1-32 23 ... 4.4 Biến đổi iđêan suy rộng theo cặp iđêan Một mở rộng khác biến đổi iđêan biến đổi iđêan suy rộng theo cặp iđêan (I, J) Định nghĩa 4.4.1 Cho M, N R-môđun Biến đổi iđêan suy rộng M, N theo cặp iđêan. .. niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo cặp iđêan sau: Cho M, N R-môđun I, J iđêan vành Noether giao hoán R Khi môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i M, N theo cặp iđêan (I,... -cofinite với i ≥ 10 Chương 4: Biến đổi iđêan suy rộng 4.1 Biến đổi iđêan suy rộng theo iđêan Năm 2004, Divaani-Aazar Sazeedeh định nghĩa biến đổi iđêan suy rộng theo iđêan DI (M, N ) dùng để nghiên