Về tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH _ inh Quang c V TNH COFINITE CA Mễ UN I NG IU A PHNG SUY RNG LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2011 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH _ inh Quang c V TNH COFINITE CA Mễ UN I NG IU A PHNG SUY RNG Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Mó s: 60.46.05 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS TRN TUN NAM Thnh ph H Chớ Minh 2011 LI NểI U Mụ un i ng iu a phng suy rng c nh toỏn hc Herzog a u tiờn nm 1974 Cho R l mt vnh Noether, giao hoỏn cú n v l 0, I l mt ideal ca R; M v N l cỏc Rmụ un, ú: H i I ( M , N ) = lim Ext R ( M / I n M , N ) i n c gi l mụ un i ng iu a phng th i ca N ng vi M õy l s tng quỏt húa mụ un i ng iu a phng ca Grothendieck Bờn cnh ú khỏi nim mụ un cofinite c Hartshone a cng nhm gii quyt cng chớnh Grothendieck t trc ú nm 1962: Khi no thỡ mụ un Hom A (A/I, Hi I (M)) hu hn sinh vi mi ideal I ca A v vi mi mụ un hu hn sinh R R P R P R M? Sau ú, cỏc v mụ un i ng iu a phng suy rng v mụ un cofinite ó c cỏc nh toỏn hc nghiờn cu v phỏt trin: Suzuki, Yassemi, Zamani, Gu, Hartshone, K-I Kawasaki, K-I Yoshida, Nguyn T Cng, Trn Tun Nam, Hin nay, nú ang tr thnh mt ti hp dn i vi cỏc nh toỏn hc Nhiu tớnh cht ca mụ un i ng iu a phng suy rng ó c tỡm nhng cũn nhiu tớnh cht m cỏc nh toỏn hc cha khỏm phỏ ht Trong ú, tớnh cofinite ca mụ un i ng iu a phng suy rng l cũn khỏ mi v hp dn Lun gii thiu mt s tớnh cht ca mụun i ng iu a phng suy rng, phn sau ú l gii thiu v tớnh cofinite ca nú Cui cựng, Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc i vi TS Trn Tun Nam, ngi ó trc tip tn tỡnh giỳp v hng dn lun Tỏc gi xin chõn thnh cm n Thy Nguyn Vn Tn, TS Phan Dõn, T Toỏn, Trng i hc Giao thụng Vn ti Tp H Chớ Minh ó ng viờn, to iu kin thun li v mi mt sut quỏ trỡnh hc v lm lun Tỏc gi xin chõn thnh cm n Quý Thy, Cụ Trng i hc S phm Tp H Chớ Minh ó tn tỡnh ging dy v truyn t nhiu kin thc mi, b ớch giỳp tụi lm quen dn vi vic nghiờn cu khoa hc Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc bn cựng lp, cỏc bn ng nghip v Lónh o Trng i hc Giao thụng Vn ti Tp H Chớ Minh ó giỳp v to iu kin v mi mt tỏc gi hon thnh tt chng trỡnh hc Vỡ kin thc bn thõn cũn nhiu hn ch, nờn lun ny khụng trỏnh nhiu thiu sút, rt mong c s ch bo ca Quý Thy, Cụ v s gúp ý chõn thnh ca cỏc bn Thnh ph H Chớ Minh thỏng 08 nm 2011 inh Quang c Mc Lc Mc Lc Chng 1: KIN THC C S Gii hn thun, gii hn ngc, Ideal nguyờn t liờn kt v giỏ S chiu chiu cao dóy cỏc phn t chớnh quy sõu Chiu ni x - chiu x nh bao ni x 10 Mụ un i ng iu a phng bin i ideal 11 Phc Koszul dóy ph 14 Chng 19 Tớnh cofinite ca mụ un i ng iu a phng suy rng 20 Đ Mụ un i ng iu a phng suy rng 20 Đ Tớnh cofinite ca mụ un i ng iu a phng suy rng 38 Kt lun 49 Ti liu tham kho 50 5T T 5T 5T 5T T 5T T 5T T 5T T 5T 5T 5T T 5T T 5T T 5T 5T 5T T T 5T Chng 1: KIN THC C S Gii hn thun, gii hn ngc, Ideal nguyờn t liờn kt v giỏ Gii hn thun Tp th t b phn v th vi mi i, j I thỡ tn ti k I cho i k v j k c gi l nh hng Cho nh hng I , l phm trự cỏc mụun trờn vnh R, ( M i )iI l h cỏc R mụun Vi mi cp i, j I cho i j , gi s cú mt ng cu R mụun ij : M i M j tha: ii = id ki = kj ij vi mi i j k H cỏc R mụun M i v cỏc ng cu ij c gi l hờ thun trờn nh hng I R R Cho h thun cỏc ng cu ( ij ) Xột phm trự mi m vt l cp ( M , i ) vi i : M i M cho s sau giao hoỏn ij M i M j i ] [ j M Vt u phm trự trờn c gi l gii hn thun ca h ụng cu ( ij ) Kớ hiu: C = lim uuur M i iI Tớnh ph dng ca gii hn thun chớnh l tớnh ph dng ca vt u Gii hn ngc Trong phm trự cỏc R mụun, cho h cỏc R mụun ( M i )iI trờn nh hng I Vi mi cp i, j I cho j i , gi s cú mt ng cu R mụun i j : M j M i tha: ii = id kj = ki i j vi mi j i, k i Trong phm trự mi m vt l cp ( M , i ) vi i : M M i cho s sau giao hoỏn M j [ ] i ij M i M j Vt tn cựng phm trự trờn c gi l gii hn ngc ca h trờn Kớ hiu: C = lim suuu M i iI Tớnh ph dng ca gii hn ngc chớnh l tớnh ph dng ca vt tn cựng nh ngha 1.1.1 Cho R l mt vnh, M l R mụun, idean nguyờn t P c gi l idean nguyờn t liờn kt ca M nu tn ti x M , x : P = ann ( x ) Tp cỏc idean nguyờn t liờn kt ca M c ký hiu l Ass ( M ) { } P Spec ( R ) M P Giỏ ca mụun M, ký hiu l Supp ( M ) = { } t V ( I ) = P Spec ( R ) I P Nu M l R mụun hu hn sinh thỡ Supp ( M ) = V ( ann ( M ) ) Nu R l vnh Noether v I l mt idean ca R thỡ Supp ( A / I ) = V ( I ) Mnh 1.1.2 Cho R l vnh Noether, M l R mụun hu hn sinh, I l mt idean ca R Khi ú Supp ( M ) V ( I ) v ch tn ti s nguyờn k cho I k M = Mnh 1.1.3 Cho M,N l cỏc R mụun hu hn sinh Khi ú, Supp ( M R N ) = Supp ( M ) I Supp ( N ) H qu 1.1 Cho M l R mụun hu hn sinh, I l mt idean ca R., ú Supp ( M / IM = = ) V ( I ) I V ( annM ) V ( I + annM ) Mnh 1.1.5 Cho R l vnh Noether, M l R mụun khỏc Phn t ti i ca F = {ann ( x ) x M } l idean nguyờn t liờn kt ca M hay Ass ( M ) Tp cỏc c ca khụng ca M l hp cỏc idean nguyờn t liờn kt ca M Mnh 1.1.6 Cho R l vnh Noether, M l R mụun hu hn sinh, N l R mụun bt k Khi ú, Ass ( HomR ( M , N ) ) = Ass ( N ) I Supp ( M ) Mnh 1.1.7 Cho M , N , P l cỏc R mụun Nu dóy 0M N P0 khp thỡ Ass ( N ) Ass ( M ) I Ass ( P ) Supp ( N ) = Supp ( M ) I Supp ( P ) Mnh 1.1.8 Cho R l vnh Noether, M l R mụun hu hn sinh Khi ú, ta cú: Ass ( M ) l hu hn Ass ( M ) Supp ( M ) Phn t ti tiu ca Ass ( M ) v Supp ( M ) l ging S chiu chiu cao dóy cỏc phn t chớnh quy sõu Mt dóy cỏc mụun ca M l dóy ( M i )0i n cỏc mụun ca M tha M = M M M n = Chiu di ca dóy l n Mt chui hp thnh ca M l dóy ti i cỏc mụun ca M tc l khụng th thờm vo mt mụun no na iu ú tng ng vi vic núi rng mụun M i / M i +1 l n di ca cỏc chui hp thnh ca M l mt i lng khụng i v c ký hiu l l ( M ) v c gi l di ca mụun M Mnh 1.2.1 Cho R l vnh Noether, M l R mụun hu hn sinh Khi ú cỏc iu sau l tng ng: i l ( M ) < + ii Mi idean nguyờn t thuc Ass ( M ) u l idean ti i ca R iii Mi idean nguyờn t thuc Supp ( M ) u l idean ti i ca R H qu 1.2.2 Cho R l vnh Noether, M l R mụun hu hn sinh, N l R mụun bt k Nu l ( M ) < + thỡ l ( HomR ( M , N ) ) < + Do ú, nu N l R mụun Artin thỡ HomR ( M , N ) cng l R mụun Artin Mnh 1.2.3 Gi s mụun M cú chui hp thnh di n Khi ú mi dóy mụun ca M u cú th m rng thnh chui hp thnh Mnh 1.2.4 M l chui hp thnh v ch M va l dóy iu kin tng va l dóy iu kin gim Mnh 1.2.5 Cho dóy khp ngn M ' M M '' , ú ta cú l ( M ') l ( M ) + l ( M '') = nh ngha 1.2.6 S chiu ca mt vnh R, ký hiu dim R , l chiu di ln nht n ca dóy P0 P1 Pn cỏc idean nguyờn t ca R Nu cú mt dóy vụ hn cỏc idean nguyờn t nh trờn thỡ ta ký hiu dim R = + nh ngha 1.2.7 Cho R l mt vnh khỏc 0, P l mt idean nguyờn t ca R Chiu cao ca mt idean nguyờn t P l di ln nht ca dóy cỏc idean nguyờn t P0 P1 Pn , ký hiu T nh ngha ta thy nu htP = thỡ P l idean nguyờn t ti tiu ca vnh R Nu I l mt idean ca R, ta nh ngha chiu cao ca I l chiu cao nh nht ca cỏc idean nguyờn t cha I, = htI inf {htP P V ( I )} S chiu ca R cú th c nh ngha l = dim R sup {htP P Spec ( R )} v nú c gi l s chiu krull ca R S chiu ca R mụun M, ký hiu dim M = dim ( P / annM ) nu M v ta ký hiu dim M = nu M = Mnh 1.2.8 Cho R l vnh Noether, M l R mụun hu hn sinh Khi ú cỏc iu sau l tng ng: i M cú di hu hn ii Vnh R / annM l Artin iii dim M = Mnh 1.2.9 Cho R l vnh Noether Khi ú cỏc iu sau l tng ng: i M l vnh Artin ii Mi idean thuc Spec ( R ) u l idean ti i ca R iii Mi idean thuc Supp ( M ) u l idean ti i ca R nh ngha 1.2.10 Cho M l R mụun Mt phn t r R c gi l M chớnh quy nu rx 0, x M , x Mt dóy cỏc phn t a1 , a2 , , an ca R l mt M dóy (hay l mt M dóy chớnh quy) nu nú tha hai iu kin sau: i a1 l M chớnh quy, a2 l M / a1M chớnh quy, a3 l M / ( a1a2 ) M chớnh quy,, an l M / ( a1a2 an ) M chớnh quy ii M / ( a1a2 an 1an ) M Chỳ ý rng hoỏn v csac v trớ ca cỏc ca mt M dóy thỡ cú th nú cha chc l M dóy nh ngha 2.2.11 Cho M l mt mụun hu hn sinh khỏc trờn vnh Noether a phng ( R, m ) , chiu sõu ca M trờn R l di ln nht ca M dóy m, kớ hiu depthR M hay depthM Chiu ni x - chiu x nh bao ni x Chiu ni x - chiu x nh Nu M l mt R mụun m cú mt phộp gii x nh P vi Pn = n > d nhng Pd vi mi cỏch chn phộp gii x nh ca M Khi ú ta núi M cú chiu x nh l d, kớ hiu PdM = d Nu khụng cú s d tho iu kin trờn ta vit PdM = Nu M l mt R mụun m cú mt phộp gii ni x I vi I n = n > d nhng I d mi cỏch chn phộp gii ni x ca M Khi ú ta núi M cú chiu ni x l d, kớ hiu IdM = d Nu khụng cú s d tho iu kin trờn ta vit IdM = Rừ rng nu M l mụun x nh thỡ PdM = , nu N l mụun ni x thỡ IdM = Bao ni x Cho M l mt mụun ca R mụun L i Ta núi L l mt m rng ct yu ca M nu B I M vi mi B l mụun ca L Hay ta cú th núi cỏch khỏc: L l m rng ct yu ca M nu vi mi m M tn ti r R cho rm L ii Ta núi L l bao ni x ca M nu L l ni x v cng l m rng ct yu ca M iii M l ni x v ch m rng ct yu ca M l chớnh nú iv Nu L l bao ni x ca M, g : M K l mt n cu R mụun t M vo mt R mụun ni x thỡ cú mt ng cu g ' : L K cho biu giao hoỏn M L g [ K g' Vỡ Kerg 'I= M Kerg = v vỡ L l bao ni x ca M nờn Kerg ' = Do ú l n cu v Mi R mụun u cú mt bao ni x v sai khỏc mt ng cu Kớ hiu E ( M ) l bao ni x ca M R mụun M l khụng phõn tớch c nu M khụng l tng trc tip ca hai mụun Mnh 1.3.1 Cho R l vnh Noether v P, Q Spec ( R ) i E ( R / P ) l khụng phõn tớch c ii Mi mụun ni x khụng phõn tớch c u ng cu vi mt E ( R / Q ) iii Nu x R \ P thỡ phộp nhõn vi x cm sinh mt t ng cu ca E ( R / P ) iv Nu P Q thỡ E ( R / P ) khụng ng cu vi E ( R / Q ) v Mi phn t x E ( R / P ) u b linh hoỏ b mt lu tha ca P vi Nu Q P thỡ E ( R / Q ) l mt R p mụun v ER ( R p / Q p ) ER ( R / Q ) p Mnh 1.3.2 Cho R l vnh Noether i Tng trc tip ca cỏc mụun ni x l mụun ni x ii Mi mụun ni x l tng trc tip ca cỏc mụun ni x khụng phõn tớch c (M , P) E ( R / P) I= PSpecR ú ( M , P ) = dim k ( P ) HomR ( k ( P ) , M P ) vi k ( P ) = RP / PRP P Phộp gii ni x J ca mụun N c gi l phộp gii ni x nh nht nu J = E ( N ) v Ji ( ) E= d i ( J i ) E ( cokerd i ) Phộp gii ni x nh nht ca mt mụun luụn tn ti Mụ un i ng iu a phng bin i ideal Mụ un i ng iu a phng Trong phn ny, vnh R c xem l vnh Noether, cú n v l v I l mt idean ca R Tỏc gi ch nờu mt s tớnh cht v kt qu ca mụun i ng iu a phng nh ngha 1.4.1 Vi mi R mụun M, I ( M ) = U ( :M I n ) , l cỏc phn t ca M b nƠ linh hoỏ bi mt lu tha no ú ca idean I ca R Chỳ ý rng I ( M ) l mụun ca M Vi mi R ng cu mụun f : M N ta cú f ( I ( M ) ) f ( I ( N ) ) ú cú ng cu I ( f ) : I ( M ) I ( N ) l thu hp ca f trờn I ( M ) Nu g:M N f : N L l cỏc ng cu R mụun v r R , ú v r I ( f ) , v I ( Id M ) = I ( h og ) = I ( h ) o I ( g ) , I ( f + g ) = I ( f ) + I ( g ) , I ( rf ) = Id ( M ) Do I ú I tr thnh hm t hip bin v cng tớnh t phm trự cỏc R mụun vo chớnh nú I cũn c gi l hm t I xon Mnh 1.4.2 Cho I, J l hai idean ca vnh R, nu I = J thỡ I = J Mnh 1.4.3 Hm t I xon I : ( R ) ( R ) l hm t khp trỏi Ta cú I ( M ) lim Ext Ri ( R / I n , M ) n nh ngha 1.4.4 vi mi i Ơ * , hm t dn xut phi th i ca I c kớ hiu l H Ii v c gi l hm t i ng u a phng th i tng ng vi I Ta núi M l I khụng xon nu I ( M ) = v nu M t I xon l I ( M ) = M Ta kim tra c H Ii ( M ) lim Ext Ri ( R / I n , M ) v c gi l mụun i ng u a phng n th i ca mụun M theo idean I Mnh 1.4.5 Cho M l R mụun i Nu I cha mt phn t khụng l c ca i vi M, ú M l I khụng xon tc l I ( M ) = ii Gi s M l hu hn sinh Khi ú M l I khụng xon v ch I cha khụng l c ca i vi M Mnh 1.4.6 Vi mi R mụun M, mụun M / I ( M ) l I khụng xon Mnh 1.4.7 Nu M l R mụun ni x thỡ I ( M ) l ni x H qu 1.4.8 Cho M l R mụun ni x thỡ dóy khp I ( M ) M M / I ( M ) ch H qu 1.4.9 Cho M l R mụun I xon Khi ú cú mt phộp gii ni x ca M ú cỏc thnh phn ca dóy l cỏc R mụun I xon H qu 1.4.10 i Cho M l R mụun I xon Khi ú H Ii ( M ) = ii Vi mi R mụun N, ng cu chiu t nhiờn : N N / I ( N ) cm sinh ng cu H Ii ( ) : H Ii ( N ) H Ii ( N / I ( N ) ) vi i > B 1.4.11 Gi s M l mt R mụun I xon v ( :M I ) l Artin Khi ú M cng l Artin nh lý 1.4.12 Gi s ( R, m ) l vnh a phng, M l mt R mụun hu hn sinh Khi ú R mụun H mi ( M ) l Artin vi mi i Ơ nh lý 1.4.13 Gi s ( R, m ) l vnh a phng, M l mt R mụun hu hn sinh cú s chiu n Khi ú R mụun H Ii ( M ) l Artin vi mi i Ơ Bin i ideal nh ngha 1.4.15 Cho hm t hip bin, R tuyn tớnh = DI lim HomR ( I n , ) n t phm trự cỏc R mụun vo chớnh nú DI c gi l hm t I bin i hay bin i theo idean I Vi mi R mụun M, ta gi DI = lim HomR ( I n , M ) l bin i idờan ca M tng ng vi I hay n gi l I bin i ca M Vi mi i Ơ * , kớ hiu R i DI l hm t dn xut phi th i ca hm t DI , ú ta cú s tng ng t nhiờn ca cỏc hm t Ii : R i DI ( ) lim Ext Ri ( I n , ) n Mnh 1.4.16 Dóy I ( M ) M DI ( M ) H I1 ( M ) M M M l khp Mnh 1.4.17 Vi i Ơ v M l R mụun Vi mi n Ơ , ng cu ni ni ,M : Ext Ri ( I n , M ) Ext Ri +1 ( R / I n , M ) l ng cu v chuyn qua gii hn thun ta cú ng cu ni ,M : lim Ext Ri ( I n , M ) lim Ext Ri +1 ( R / I n , M ) n n Do ú, ta cú s tng ng t nhiờn ca cỏc hm t i : R i DI H Ii +1 Vi mi R mụun M cú mt n cu M : M / I ( M ) DI ( M ) , cm sinh bi M lm cho dóy M / I ( M ) DI ( M ) H I1 ( M ) M l khp M T dóy khp I ( M ) M DI ( M ) H I1 ( M ) ta cú kt qu sau: H qu 1.4.18 Cho M l R mụun, cho : M M / I ( M ) l ton cu chớnh tc Khi ú ta cú cỏc iu sau: i DI ( I ( M ) ) = ii DI ( ) : DI ( M ) DI ( M / I ( M ) ) l ng cu iii DI ( M ) D ( M ) : DI ( M ) DI ( DI ( M ) ) l ng cu = I iv I ( DI ( M ) ) = 0= H I1 ( DI ( M ) ) v H Ii ( M ) : H Ii ( M ) H Ii ( DI ( M ) ) l ng cu vi i > Phc Koszul dóy ph Dóy ph = M Mt mụun phõn bc l mt h cỏc mụun {M p p  } Cho cỏc mụun phõn bc M = {M p } v N = { N p } v mt s nguyờn r c nh ú cú mt dóy cỏc ng cu = f {f p : M p N p + r } l ng cu ca cp r Ta vit f : M N Mt mụun song phõn bc l mt h cỏc mụun hai ch s M = {M p ,q ( p, q )  ì  } Nu M = {M p ,q } v N = { N p ,q } l cỏc mụun song phõn bc v nu ( a, b ) l mt cp sp th t cỏc s f = nguyờn, ú cú mt h cỏc ng cu {M p ,q N p + a ,q +b } l ng cu ca song cp ( a, b ) Ta vit f :M N Cho F : B C l mt hm t Vt B B l F khụng tun hon phi nu ( R p F ) B = vi mi p , vi R p F l hm t dn xut phi th p ca F Vt B B l F khụng tun hon trỏi nu ( Lp F ) B = vi mi p , vi Lp F l hm t dn xut trỏi th p ca F Mt cp khp l mt cp cỏc mụun song phõn bc D v E v cỏc ng cu , , (mi ng cu u song cp) cho ti mi nh ca tam giỏc sau l khp D D ] [ E Xột cp khp v cỏc ng cu song cp , , cú cỏc song cp tng ng l (1, 1) , ( 0,0 ) , ( 1,0 ) Xõy dng d : E E xỏc nh nh sau d = , ú ta cú d 1d = v E cú nhúm ng iu H ( E , d ) = kerd / imd m ta thng kớ hiu H ( E , d ) l E v xem nú nh mt mụun song phõn bc Chi tit hn ta cú d 1p ,q : E p ,q D p 1,q E p 1,q Vỡ th d cú song cp l ( 1,0 ) Theo nh ngha ca mụun thng song song bc ta cú E p2,q = kerd 1p ,q / imd 1p +1,q Ta xõy dng mt mụun song phõn bc th hai D = im Vỡ cú song cp (1, 1) , theo nh ngha nh song phõn bc cho ta D p2,q p 1,q +1 (= D p 1,q +1 ) im p 1,q +1 D p ,q = Tip theo,ta xõy dng cỏc ng cu , , theo hỡnh v bờn di D2 D 2 ] [ E2 Thit lp nh l s thu hp ca (vỡ= D im D ) Vỡ ỏnh x bao hm i : im D cú song cp ( 0,0 ) , ng cu = oi cú cựng song cp nh l Xõy dng : D E nh sau: y = y vi kớ hiu ngoc vuụng l lp ng iu v tip theo ta xõy dng : E D nh sau: z p ,q y p ,q z p ,q D p 1,q p2 ,q = Ta kim tra c rng c nh ngha tt v ú cú cựng song cp vi l ( 1,0 ) Ta quay li , nu y D p2,q thỡ y = p 1,q +1 ( x p 1,q +1 ) ; ta xõy dng p2,q = p 1,q +1 p11,q +1 : y p 1,q +1 ( x p 1,q +1 ) E p21,q +1 cú song cp ( 1,1) nh lớ 1.5.1 Vi cỏc nh ngha nh trờn thỡ D2 D 2 ] [ E2 l mt cp khp; cú song cp (1, 1) , cú song cp ( 1,1) v cú song cp ( 1,0 ) nh ngha 1.5.2 Cp khp ( D , E , , , ) c gi l cp dn xut ca ( D, E , , , ) Chỳng ta lp li quỏ trỡnh ny v c mt dóy cỏc cp khp Dr D r r r ] [ r Er vi cp khp th r + l dn xut ca cp khp th r nh lớ 1.5.3 Cho ( D, E , , , ) l mt cp khp vi , , cú cỏc song cp tng ng l (1, 1) , ( 0,0 ) v ( 1,0 ) Nu cp dn xut th r l ( D r , E r , r , r , r ) thỡ i r cú song cp (1, 1) , r cú song cp (1 r , r 1) v r cú song cp ( 1,0 ) ii d r = r r cú song cp ( r , r 1) v c cm sinh bi r +1 iii E r +1 = kerd pr ,q / imd pr + r ,q r +1 nh ngha 1.5.4 Mt dóy ph l mt dóy { E r , d r r 1} ca cỏc mụun song phõn bc v cỏc ng cu tho d r d r = cho E r +1 = H ( E r , d r ) nh l cỏc mụun song phõn bc Ta cú th kớ hiu E l E1 Do ú mi cp khp xỏc nh mt dóy ph Ta xem mi E r nh l mụun thng ca E1 hay E (thc s l mụun thng ca cỏc thnh r phn trc ú) Ta vit E = Z / B (chớnh xỏc hn l E p2,q = Z p2,q / B p2,q ) Vi Z r kerd = = , B r imd r Vỡ E = Z / B l mụun thng ca E nờn ta cú th gi s B B Z Z E1 Lp li quỏ trỡnh trờn ta cú B B r B r +1 Z r +1 Z r Z E1 nh ngha 1.5.5 = Z p,q Z ;B B ;E U= U= r p ,q p ,q p ,q r p ,q r Z p,q / B p,q r Mụun song phõn bc E gii hn ca dóy ph { E r } Chỳ ý rng ta cú th kh cỏc ch s õm nh sau: M p , q = M p ,q Ta cng quy c nh vy v ỏp dng cho mụun song phõn bc, chỳ ý rng r khụng i du: ú E p , q = Erp ,q ng cu d r : Er Er bõy gi cú song cp ( r ,1 r ) nh ngha 1.5.6 Cho Q l mt phm trự v cho A l mt vt Q Mt lc ca A l mt h cỏc vt ca A, { F p A p  } cho F p A F p A F p +1 A Cú hai trng hp c bit Nu Q l cỏc phc v cỏc mụun phõn bc Mt lc ca mt phc C l mt h cỏc phc {F p C p  } vi F p 1C F p C vi mi p  Mt lc ca cỏc mụun phõn bc = H {H n n  } l mt h cỏc mụun phõn bc { F p H p  } vi F p H F p H vi mi p  nh lớ 1.5.7 Mi lc { F p C} ca phc C xỏc nh mt dóy ph nh ngha 1.5.8 Mt lc { F p H } ca mt mụun phõn bc H b chn nu v vi mi n tn ti s = s ( n ) v t = t ( n ) cho F s H n = v F t H n = H n nh ngha 1.5.9 Cho H l mt mụun phõn bc Mt dóy ph { E r } hi t n H, kớ hiu E p2,q H n , nu cú mt lc b chn { p H } ca H cho p E p,q = p H / p H vi mi p, q v n= p + q nh lớ 1.5.10 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t ú F khp trỏi cho E l ni x Q suy GE l F khụng tun hon phi Vi A l mụun Q , cú mt dóy ph gúc phn t th ba cho = E2p ,q ( R F ) ( R G ( A) ) R ( FG )( A) p q n p nh lớ 1.5.11 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t ú F khp phi cho P l x nh Q suy GP l F khụng tun hon trỏi Vi A l mụun Q , cú mt dóy ph gúc phn t th nht cho = E p2,q ( L F ) ( L G ( A) ) L ( FG )( A) p q p n nh lớ 1.5.12 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t ú F phn bin, khp trỏi cho P l x nh Q suy GP l F khụng tun hon phi Vi A l mụun Q , cú mt dóy ph gúc phn t th ba cho = E2p ,q ( R F ) ( L G ( A) ) R ( FG )( A) p n q p nh lớ 1.5.13 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t ú F phn bin, khp trỏi cho P l ni x Q suy GP l F khụng tun hon phi Vi A l mụun Q , cú mt dóy ph gúc phn t th nht cho = E p2,q ( R F ) ( R G ( A) ) L ( FG )( A) p q p n Phc Koszul Cho l A vnh Noether, I l Iờan ca A, a1 , a2 , , an l cỏc phn t sinh ca A Kớ hiu F l A mụun t An vi mi i = 1, 2, , n , kớ hiu ei l phn t cú thnh phn th i bng 1, cỏc thnh phn khỏc u bng 0, u l s nguyờn dng, phc koszul ca A tng ng vúi dóy a1u , a2u , , anu , kớ hiu K ( a u ) cú dng: d (a ) K ( a u )n K ( a u )k K ( a u )k K ( a u )0 u k u ú K ( a= )k = F ( A = ), k k k n u 0, , n, K ( a= )0 Vi mi k Ơ *,1 k n , kớ hiu: = (k, n) {( i (1) , , i ( k ) ) Ơ k } i (1) < i ( ) < < i ( k ) n Khi ú, vi i ( k , n ) : d (a ) ( e ( ) e ( ) ) = ( 1) k u k i1 i k h =1 h a u ei( h ) ei(1) eả ei( k ) i( h ) õy kớ hiu eả ch thnh phn ei( h ) b trit tiờu D nhiờn K ( a u )k = vi k  \ {0,1, , n} i( h ) Mnh 1.5.14 Ly u , v Ơ , u v Khi ú cú ỏnh x dõy chuyn: = (uv ) ( ( ) ) v u k k : K ( au ) K ( av ) ca phc cỏc A mụun v cỏc A ụng cu cho (uv )n l ỏnh x ng nht ca ng cu ca A xỏc nh bng cỏch ly tớch vi ( a1 , a2 , , an ) v u i1 i k j1 v u j nk j n v u l t , v vi k= 1, , n 1, i ( k , n ) (= ) ( e ( ) e ( ) ) ( a ( ) a ( ) a ( ) ) v u k F , ( ) ei(1) ei( k ) {i (1) , , i ( k ) , j (1) , , j ( n k )} Vi j ( n= k , n ) cho {1, , n} ( ) u v t phm trự cỏc A mụun vo Mnh 1.5.15 Hai hm t : lim uuuuur H n K ( a , _ ) , _ uƠ chớnh nú l tng ng t nhiờn Tng quỏc hn, cú mt ng cu nht: ( ) i iƠ ( ( u : lim uuuuur H n i K ( a , _ ) , _ uƠ )) iƠ ( H Ii )iƠ H qu, v mi u Ơ v mi A mụun thỡ: ( u H Ii ( M ) lim uuuuur H n i K ( a , M ) uƠ Chng ) Tớnh cofinite ca mụ un i ng iu a phng suy rng Đ Mụ un i ng iu a phng suy rng Phn u chng núi v mụun i ng iu a phng suy rng Mụun i ng iu a phng suy rng c Herzog a nm 1974 ú l s m rng ca mụun i ng iu a phng suy rng ca Grothendieck Nú cú mt s thớnh cht nh tớnh trit tiờu, tớnh hu hn sinh, xỏc nh tớnh hu hn, Cho R l vnh Noether cú n v l , I l mt iờan ca R, M v N l cỏc R mụun Khi ú, vi mi s t nhiờn i, H Ii ( M , N ) lim Ext Ri ( M / I n M , N ) n gi l mụun i ng iu a phng suy rng ca mụun N tng ng vi M Ta cú H Ii ( N ) = H Ii ( R, N ) vi N l R mụun Tỏc gi gii thiu mt s tớnh cht ca mụun i ng iu a phng suy rng [...]... )iƠ H qu, v mi u Ơ v mi A mụun thỡ: ( u H Ii ( M ) lim uuuuur H n i K ( a , M ) uƠ Chng 2 ) Tớnh cofinite ca mụ un i ng iu a phng suy rng Đ 1 Mụ un i ng iu a phng suy rng Phn u chng 2 núi v mụun i ng iu a phng suy rng Mụun i ng iu a phng suy rng c Herzog a ra nm 1974 ú l s m rng ca mụun i ng iu a phng suy rng ca Grothendieck Nú cú mt s thớnh cht nh tớnh trit tiờu, tớnh hu hn sinh, xỏc nh tớnh hu hn,... B v F : B C l cỏc hm t trong ú F phn bin, khp trỏi sao cho P l x nh trong Q suy ra GP l F khụng tun hon phi Vi A l mụun trong Q , cú mt dóy ph gúc phn t th ba sao cho = E2p ,q ( R F ) ( L G ( A) ) R ( FG )( A) p n q p nh lớ 1.5.13 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t trong ú F phn bin, khp trỏi sao cho P l ni x trong Q suy ra GP l F khụng tun hon phi Vi A l mụun trong Q , cú mt dóy ph gúc phn t... 1.5.10 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t trong ú F khp trỏi sao cho E l ni x trong Q suy ra GE l F khụng tun hon phi Vi A l mụun trong Q , cú mt dóy ph gúc phn t th ba sao cho = E2p ,q ( R F ) ( R G ( A) ) R ( FG )( A) p q n p nh lớ 1.5.11 Cho G : Q B v F : B C l cỏc hm t trong ú F khp phi sao cho P l x nh trong Q suy ra GP l F khụng tun hon trỏi Vi A l mụun trong Q , cú mt dóy ph gúc phn t th nht... l mt iờan ca R, M v N l cỏc R mụun Khi ú, vi mi s t nhiờn i, H Ii ( M , N ) lim Ext Ri ( M / I n M , N ) n gi l mụun i ng iu a phng suy rng ca mụun N tng ng vi M Ta cú H Ii ( N ) = H Ii ( R, N ) vi N l R mụun Tỏc gi gii thiu mt s tớnh cht ca mụun i ng iu a phng suy rng