Về môđun và vành s nội xạ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ DIỄM CHI VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S- NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ DIỄM CHI VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S- NỘI XẠ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS LÊ VĂN THUYẾT Đà Nẵng - Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Diễm Chi LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp cao học khóa 31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Nguyễn Thị Diễm Chi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên Im(f ), Ker(f ) Ảnh, hạt nhân đồng cấu f (tương ứng) MR (R M ) M R-môđun phải, trái (tương ứng) soc(M ) Đế M rad(M ) Căn M J, J(R) Sr , Sl Căn vành R soc(RR ), soc(R R) Z(M ) Môđun suy biến M Z2 (M ) Môđun suy biến thứ hai M rR (X) , lR (X) Linh hóa tử phải, linh hóa tử trái X R K≤M K môđun môđun M K≤e M K môđun cốt yếu môđun M K≤⊕ M K hạng tử trực tiếp môđun M E(M ) Bao nội xạ môđun M N N đẳng cấu với môđun M M N ⊕M Tổng trực tiếp môđun N môđun M MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kiến thức vành môđun 1.2 Môđun xạ ảnh nội xạ 1.3 Môđun vành Nơte 1.4 Môđun suy biến vành suy biến 13 1.5 Vành nửa hoàn chỉnh 14 1.6 Bất biến Morita 14 1.7 Các lớp môđun, vành khác 16 CHƯƠNG MÔĐUN VÀ VÀNH S-NỘI XẠ 19 2.1 Định nghĩa ví dụ 19 2.2 Tính chất 22 2.3 Tính chất s-nội xạ môđun số vành 35 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết vành môđun lý thuyết toán học phát triển mạnh mẽ, với quan tâm nhiều nhà toán học Vào năm 1960, 1970 kỷ trước, tầm quan trọng môđun nội xạ lý thuyết môđun nói riêng đại số nói chung nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển Một nghiên cứu lý thuyết việc nghiên cứu “môđun s-nội xạ” Lý thuyết môđun s-nội xạ đời có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu lý thuyết vành s-nội xạ Trước tiên, xin đề cập đến môđun nội xạ Khái niệm môđun nội xạ Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, môđun M gọi N -nội xạ với mơđun A N đồng cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M Môđun M gọi nội xạ M N -nội xạ với môđun N Không đưa khái niệm mơđun nội xạ, Baer cịn đưa tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra R-mơđun M nội xạ Tiêu chuẩn mang tên "Tiêu chuẩn Baer" phát biểu sau: Môđun MR nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu f : IR → MR mở rộng đến đồng cấu g : RR → MR Từ tiêu chuẩn Baer đời, môđun nội xạ mở rộng theo hai hướng Một mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc Hai mở rộng theo tiêu chuẩn Baer Trong mở rộng thứ đó, nhiều người nghĩ đến việc mở rộng đồng cấu R-môđun từ môđun đặc biệt môđun môđun suy biến Z(N ) NR vào MR thành đồng cấu R-môđun từ NR vào MR Vấn đề nhiều nhà tốn học tập trung nghiên cứu tìm hiểu Vào năm 2013, Nasr A.Zeyada đưa khái niệm mơđun s-N -nội xạ Trong khái niệm s-N -nội xạ định nghĩa: "Một R-môđun phải M gọi s-N -nội xạ đồng cấu R-môđun f : K → M , với đơn cấu ι : K → N tồn đồng cấu h : N → M cho f = hι, K mơđun mơđun suy biến R-môđun N Song song với ơng đưa khái niệm s-nội xạ s-nội xạ mạnh Đặc biệt ông đưa số tính chất s-nội xạ môđun vành SI, vành GV, vành PF, Với mong muốn tìm hiểu kết môđun s-nội xạ, vành s-nội xạ định hướng thầy giáo hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết, mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun vành S- nội xạ" để nghiên cứu với hi vọng tìm hiểu sâu tính chất chúng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu kỹ tài liệu có nguồn gốc khác để lĩnh hội kiến thức liên quan môđun vành s-nội xạ, chứng minh cụ thể tính chất mơđun s-nội xạ, làm rõ thơng qua số ví dụ Hi vọng luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho số học viên cao học, cho sinh viên toán năm cuối Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu môđun vành s-nội xạ Luận văn sâu tìm hiểu khái niệm, tính chất quan trọng mơđun vành s-nội xạ đưa ví dụ minh họa Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu thu thập báo khoa học, sách tác giả có liên quan đến mơđun vành s-nội xạ, đồng thời tham gia trao đổi kết nghiên cứu với bạn học viên nhóm, với thầy hướng dẫn với bạn khác Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức môđun, môđun cốt yếu, môđun nội xạ, số vành liên quan: vành Nơte, vành nửa hoàn chỉnh, bất biến Morita, vành giả Frobenius, Chương 2: Là nội dung luận văn Chương chia làm ba phần Phần thứ trình bày định nghĩa, ví dụ mơđun s-nội xạ Phần thứ hai trình bày tính chất mơđun s-nội xạ Phần thứ ba trình bày tính chất s-nội xạ mơđun vành đặc biệt CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức vành môđun, môđun nội xạ, môđun vành Nơte, môđun suy biến không suy biến số vành liên quan Các chi tiết liên quan xem tài liệu [1], [2], [5], [7], [8], [9] Trong luận văn này, ta quy ước vành cho kết hợp có đơn vị, khác R-môđun phải hay trái unita Ta quy ước R-môđun viết luận văn R-môđun phải Khi M R-mơđun trái đề cập thêm 1.1 Các kiến thức vành môđun Sau số định quan trọng đồng cấu môđun Định lý 1.1.1 ([1, Định lý 3.2.1]) Mỗi đồng cấu mơđun phải α : AR → BR phân tích α = α ν đồng cấu ν : A → A/K er (α) tồn cấu tắc, cịn α đơn cấu xác định bởi: α : A/K er(α) a + K er (α) → α (a) ∈ B Đơn cấu α đẳng cấu α toàn cấu Hệ 1.1.2 ([1, Hệ 3.2.1]) Cho α : AR → BR đồng cấu R-mơđun Lúc đó: A/K er (α) Im (α) Định lý 1.1.3 ([1, Định lý 3.2.3]) Nếu B ≤ AR C ≤ AR , thì: (B + C) /C B/B ∩ C Định lý 1.1.4 ([1, Định lý 3.2.4]) Nếu C ≤ B ≤ AR thì: A/B (A/C) / (B/C) Cho MR N ≤ M N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun P M cho M = N ⊕ P Lúc ta nói P 42 Định lý 2.3.7 ([10, Theorem 1]) Các phát biểu sau tương đương: (1) R vành SI phải (2) Mọi R-môđun phải s-nội xạ mạnh (3) Mọi R-môđun phải suy biến s-nội xạ mạnh Chứng minh (1) ⇒ (2) Vì R vành SI phải nên R-mơđun phải suy biến nội xạ M suy biến nên Z(M ) = M suy Z2 (M ) = M nên Z2 (M ) nội xạ Do M s-nội xạ mạnh (2) ⇒ (3) hiển nhiên (3) ⇒ (1) M R-môđun phải suy biến s-nội xạ mạnh, Z2 (M ) nội xạ nên M nội xạ Với R-môđun M phải tựa nội xạ, môđun L đẳng cấu với môđun hạng tử trực tiếp L hạng tử trực tiếp M (gọi điều kiện C2), môđun suy biến K L hạng tử trực tiếp M thỏa K ∩ L = K ⊕ L hạng tử trực tiếp M (gọi điều kiện C3) Với M s-tựa nội xạ ta có tính chất tương tự Mệnh đề 2.3.8 ([10, Proposition 8]) Giả sử M R-môđun phải s-tựa nội xạ (1) (s-C2) Nếu K L môđun suy biến M , K ⊕ L ⊕ K≤ M L≤ M (2) (s-C3) Cho K L môđun suy biến M , K ∩L = Nếu K≤⊕ M L≤⊕ M K ⊕ L hạng tử M Chứng minh 43 (1) Vì M s-tựa nội xạ K≤⊕ M nên K s-M -nội xạ, K nên L s-M -nội xạ Xét giản đồ sau: G L idL  ~ i G L M η L Ta có ηι = idL nên L≤⊕ M (2) K≤⊕ M L≤⊕ M , M s-tựa nội xạ nên K, L s-M -nội xạ suy K ⊕ L s-M -nội xạ Vậy K ⊕ L hạng tử trực tiếp M Một môđun M thỏa điều kiện C2 thỏa điều kiện C3, tương tự, M thỏa s-C2 thỏa điều kiện s-C3 Mệnh đề 2.3.9 ([10, Proposition 9]) Nếu môđun M thỏa điều kiện s-C2 M thỏa điều kiện s-C3 Chứng minh K ∩ L = 0, K≤⊕ M L≤⊕ M , ta chứng minh K ⊕ L≤⊕ M Ta có K≤⊕ M nên M = K ⊕ K với K mơđun M , suy L ≤ K Xét phép chiếu π :M =K ⊕K →K với Ker(π ) = K Khi K ⊕ L = K ⊕ π (L) Xét π|L ∀l ∈ Ker(π|L ), l ∈ L nên l = k + k với k ∈ K, k ∈ K π|L (l) = π|L (k + k ) = k = suy l = k ∈ K hay l ∈ K ∩ L nên l = 0, π|L đơn cấu Suy π|L đẳng cấu π (L) hạng tử trực tiếp M Vì π (L) ≤ K nên K = π (L) ⊕ V với V ≤ K , M = K ⊕ π (L) ⊕ V hay K ⊕ L≤e M 44 Mệnh đề 2.3.10 ([10, Proposition 10]) Cho R S vành bất biến Morita với tương đương phạm trù F : modR → modS Cho M, N K R-môđun phải Khi (1) KR suy biến F (K)S suy biến (2) MR s-NR -nội xạ F (M )S s-F (N )S -nội xạ Chứng minh (1) Xét dãy khớp: f g 0→A→ − B→ − K → Ta có Imf = Kerg g toàn cấu nên Img = K , Img B /Kerg nên K B /Kerg K suy biến nên Kerg ≤e B suy Imf ≤e B nên → A → B đơn cấu cốt yếu Theo Mệnh đề 1.6.2 Mệnh đề 1.6.3, dãy khớp 0→A→B→K→0 với đơn cấu cốt yếu → A → B → F (A) → F (B) → F (K) → modS phải khớp với đơn cấu cốt yếu → F (A) → F (B) Vì KR suy biến F (K)S suy biến (2) Giả sử M s-N -nội xạ K môđun suy biến F (N ) đồng cấu f : K → F (M ) G(K) ≤ Z(N ), G (i) đơn cấu đẳng cấu tự nhiên ηN , ηM Vì M s-N -nội xạ nên giản đồ sau giao hoán: ηN G(i) G(K) G(f )  GF (M ) ηM  Ô M (với i : K → F (N )) α GN 45 Ta có: αηN G (i) = ηM G (f ) , F (αηN G (i)) = F (ηM G (f )) hay F (α)F (ηN G (i)) = F (ηM G (f )) −1 −1 F (α)F (ηN G (i))ζK = F (ηM G (f ))ζK = f Vậy, với đồng cấu f : K → F (M ) ta có mở rộng F (α) nên F (M ) s-F (N )S nội xạ, theo giản đồ sau: ϕ G GK f z  F (N ) F (α) F (M ) −1 (với ϕ := F (ηN G(i))ζK ) Ngược lại, giả sử F (M )S s-F (N )S -nội xạ, L ≤ Z(N ), đồng cấu f : L → M Vì LR ≤ Z(N ) suy biến nên F (L)S suy biến F (M )S s-F (N )S -nội xạ nên ta có giản đồ sau giao hốn: G F (L) F (f )  z F (ι) G F (N ) γ F (M ) Từ giản đồ ta có: F (f ) = γF (ι) suy GF (f ) = G (γ) GF (ι) nên ηM GF (f ) ηL−1 = ηM G (γ) GF (ι) ηL−1 −1 f = ηM G (γ) ηN hay f = αι với α := ηM G(γ)ηN −1 ηN GF (ι) ηL−1 46 Vậy, đồng cấu f : L → M có mở rộng α := ηM G(γ)ηN −1 : N → M nên MR s-NR -nội xạ Từ mệnh đề ta thấy tính tự nội xạ phải s-nội xạ mạnh phải bất biến vành Morita Định lý 2.3.11 ([10, Theorem 2]) s-nội xạ mạnh phải thuộc tính bất biến bất biến Morita vành Chứng minh Giả sử R S vành bất biến Morita với tương đương phạm trù F : modR → modS G : modS → modR Giả sử M, N R-môđun phải Theo Mệnh đề 2.3.10 ta có: MR s-NR -nội xạ F (M )S s-F (N )S -nội xạ Từ ta có MR s-nội xạ mạnh F (M )S s-nội xạ mạnh Vì vậy, R-mơđun s-nội xạ mạnh S -môđun s-nội xạ mạnh Vậy, s-nội xạ mạnh thuộc tính bất biến Morita vành Mệnh đề 2.3.12 ([10, Proposition 11]) Cho M R-môđun xạ ảnh, điều kiện sau tương đương: (1) Mọi ảnh đồng cấu R-môđun phải s-M -nội xạ s-M -nội xạ (2) Mọi ảnh đồng cấu R-môđun phải nội xạ s-M -nội xạ (3) Mọi môđun suy biến M xạ ảnh Chứng minh (1) ⇒ (2) hiển nhiên 47 (2) ⇒ (3) Xét giản đồ sau: η G E G Ny f GK GM với K môđun suy biến M , E, N R-mơđun phải, E nội xạ, η tồn cấu R-môđun, f đồng cấu R-môđun Ta chứng minh K xạ ảnh Vì N ảnh E nội xạ qua đồng cấu η nên N s-M -nội xạ Do f có mở rộng g : M → N , theo giản đồ: G ι G K f M g  } N Vì M R-môđun xạ ảnh nên tồn đồng cấu g : M → E cho η g = g , theo giản đồ: M g E g  ~ G G N η Xét f˜ = g˜ |K : K → E Khi đó, f = η f˜ K xạ ảnh theo giản đồ: K f E ~ η G  f G N (3) ⇒ (1) Giả sử L, N R-môđun phải, η : N → L tồn cấu R-mơđun, K môđun suy biến M N s-M -nội xạ, ta chứng minh L s-M -nội xạ Xét giản đồ sau: GK N η  ι G M f GL G Vì K môđun suy biến M nên K xạ ảnh, tồn 48 g : K → N cho ηg(x) = f (x), ∀x ∈ K , theo giản đồ: K g N ~ G η  f G L Vì N s-M -nội xạ nên tồn g˜ : M → N cho g˜ι = g Khi đó: f = ηg = η(˜ g ι) = (η˜ g ) ι Vậy L s-M -nội xạ, theo giản đồ: G K g  } ι G M g N Hệ 2.3.13 ([10, Corollary 5]).Các điều kiện sau tương đương: (1) Mọi môđun thương R-môđun phải s-nội xạ s-nội xạ (2) Mọi môđun thương R-môđun phải nội xạ s-nội xạ (3) Mọi iđêan phải suy biến xạ ảnh Trên vành Z2 (RR )-nửa hoàn chỉnh, mơđun phân tích thành tổng trực tiếp môđun nội xạ nửa đơn môđun suy biến thứ hai Mệnh đề 2.3.14 ([10, Proposition 12]) Các điều kiện sau tương đương: (1) Mọi R-môđun phải s-nội xạ mạnh nội xạ (2) Mọi R-môđun phải không suy biến nội xạ nửa đơn (3) Với R-môđun phải M , M = E ⊕ Z2 (M ) với E nội xạ nửa đơn (4) R Z2 (RR )-nửa hoàn chỉnh Chứng minh (1) ⇒ (2) M R-môđun phải không suy biến nên M s-nội xạ mạnh nên M nội xạ nửa đơn 49 (2) ⇒ (3) Giả sử M R-môđun phải + Nếu M xoắn Goldie M = Z2 (M ) hay M = E ⊕ Z2 (M ) với E = nửa đơn + Z(M )≤e M M/Z(M ) suy biến nên Z (M/Z(M )) = M/Z(M ) suy Z2 (M ) /Z (M ) = M/Z(M ) M = Z2 (M ) hay M xoắn Goldie + Z(M )≤e M , K môđun cực đại M thỏa K ∩ Z(M ) = Khi đó, K nội xạ nửa đơn (do Z(K) = K ∩ Z(M ) = nên K không suy biến) ∃L ≤ M : M = L ⊕ K , ta có: M/Z(M ) = (L ⊕ K)/Z(M ) = L/Z(M ) ⊕ (K + Z(M ))/Z(M ) L/Z(M ) ⊕ K/K ∩ Z(M ) = L/Z(M ) ⊕ K nên Z(M/Z(M )) = Z(L/Z(M )) ⊕ Z(K) = Z(L/Z(M )) = L/Z(M ) hay Z2 (M )/Z(M ) = L/Z(M ), suy Z2 (M ) = L (3) ⇒ (4) Giả sử K iđêan phải vành R, K = E ⊕ Z2 (M ) với E nội xạ nửa đơn Ta có Z2 (K) ≤Z2 (RR ) E hạng tử R sinh lũy đẳng Do R Z2 (RR )-nửa hồn chỉnh (4) ⇒ (1) Giả sử M R-môđun s-nội xạ mạnh R-đồng cấu môđun f : T → M , với T là iđêan phải vành R Vì R Z2 (RR )-nửa hồn chỉnh nên T = eR ⊕ U với U = T ∩ (1 − e)R ≤ Z2 (RR ) e2 = e Vì M s-nội xạ mạnh nên Z2 (RR ) nội xạ (theo Mệnh đề 2.2.6), U nội xạ, f |U có mở rộng g : RR → M Xét h : RR → M 50 xác định h(x) = h(ex + (1 − e)x) = f (ex) + g((1 − e)x) với ∀x ∈ R, h mở rộng f M nội xạ (theo tiêu chuẩn Baer) Ở Mệnh đề 1.7.6 nêu điều kiện tương đương với vành PF liên quan đến vành nửa hoàn chỉnh nội xạ Sau định lý trình bày điều kiện tương đương với vành PF liên quan đến vành Z(RR )-nửa hoàn chỉnh s-nội xạ mạnh Định lý 2.3.15 ([10, Theorem 3]) Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R vành PF phải (2) R Z(RR )-nửa hoàn chỉnh, s-nội xạ mạnh phải với đế phải cốt yếu (3) R nửa hoàn chỉnh, min-C2 phải, s-nội xạ mạnh phải với đế phải cốt yếu (4) R nửa hoàn chỉnh với soc(J) = soc(Z(RR )), s-nội xạ mạnh phải với đế phải cốt yếu (5) R hữu hạn đối sinh phải, min-C2 phải, s-nội xạ mạnh phải (6) R vành Kasch phải, s-nội xạ mạnh phải (7) R vành s-nội xạ mạnh phải đối ngẫu R-môđun phải đơn đơn Chứng minh (1) ⇒ (2) R vành PF phải nên R nửa hồn chỉnh có đế phải cốt yếu, tự nội xạ phải Vì R nửa hồn chỉnh nên R J -nửa hoàn chỉnh, đồng thời R tự nội xạ nên Z(RR ) = J (theo Mệnh đề 1.7.3), R Z(RR )-nửa hồn chỉnh Mặt khác, R tự nội xạ nên Z2 (RR ) nội xạ R s-nội xạ mạnh 51 (2) ⇒ (1) Vì R Z(RR )-nửa hoàn chỉnh nên theo Bổ đề 2.3.4, MR s-nội xạ nội xạ mà R s-nội xạ mạnh nên R tự nội xạ Z(RR ) = J , R nửa hoàn chỉnh (1) ⇒ (3) R vành PF phải nên theo R nửa hồn chỉnh có đế phải cốt yếu, tự nội xạ phải, R vành Kasch phải trái (theo Mệnh đề 1.7.4) R Kasch trái nên R C2 phải R (theo [8, Proposition 1.46]) min-C2 (3) ⇒ (4) Vì R nửa hồn chỉnh nên Z(RR ) ≤ J nên ta có soc(Z(RR )) ≤ soc(J ) Giả sử = aR iđêan phải đơn không suy biến J , r(a) ∩ eR = với iđêan phải đơn eR, e2 = e Do eR aR aR hạng tử trực tiếp R, điều mâu thuẫn, nên aR suy biến, hay soc(J ) ≤ soc(Z(RR )) Vậy soc(J ) = soc(Z(RR )) (4) ⇒ (1) R nửa hoàn chỉnh s-nội xạ mạnh phải với đế cốt yếu soc(Z(RR )) = soc(J ) Khi R = Z2 (RR ) ⊕ T , Z2 (RR ) nội xạ Z(RR ) ≤ J Với ∀x ∈ Z2 (RR ), x = (x + Z(RR )) I = với iđêan I I≤e RR , ∃r ∈ I ≤ RR cho = xr ∈ Z(RR ) ≤ J hay J≤e Z2 (RR ) Theo R = Z2 (RR ) ⊕ T Z2 (RR ) iđêan hai phía nên T Ta có JT ≤ J ∩ T ≤ Z2 (RR ) ∩ T = nên T xét R/J -mơđun Xét f : L → T ánh xạ (với L iđêan phải R), f cảm sinh ánh xạ h : (L + J)/T → T 52 cho h(l + J) = f (l) Vì T nội xạ R/J -mơđun nên h có mở rộng g : R/T → T Ánh xạ gπ : R → T (π : R → R/J toàn cấu tự nhiên) ánh xạ mở rộng f nên T nội xạ nên R tự nội xạ phải Vậy R PF (1) ⇒ (5) Theo [8, Proposition 1.56], R PF nên hữu hạn, R vật đối sinh vật sinh, R hữu hạn đối sinh (1) ⇐⇒ (6) Áp dụng Định lý 1.7.5 Mệnh đề 2.2.6, R vành PF R Kasch phải cho Z2 (RR ) nội xạ Z2 (RR ) nội xạ tương đương R s-nội xạ mạnh Như vậy, R vành PF R Kasch phải s-nội xạ mạnh (1) ⇒ (7) R PF nên tự nội xạ phải Kasch phải R tự nội xạ phải nên R min-nội xạ phải R vành min-nội xạ phải Kasch phải nên đối ngẫu môđun phải đơn môđun đơn (theo [8, Theorem 2.31]) (7) ⇒ (1) Giả sử R vành s-nội xạ mạnh phải đối ngẫu môđun phải đơn đơn Nếu aR iđêan phải đơn khơng suy biến r(a) ∩ eR = với iđêan phải đơn eR, e2 = e Nhưng R C2, eR aR nên aR hạng tử R Vì vậy, R min-CS R nửa hồn chỉnh với đế phải cốt yếu (theo [8, Theorem 4.8] ) Do R PF Chú ý: Vành số nguyên Z vành Nơte giao hốn s-nội xạ mạnh khơng giả Frobenius Mệnh đề 2.3.16 ([10, Proposition 13]) Mỗi vành CF phải s-nội xạ mạnh phải giả Frobenius Chứng minh 53 R CF, R-mơđun phải cyclic nhúng vào mơđun tự nên R Kasch phải, R s-nội xạ mạnh nên Z2 (RR ) nội xạ, R PF (theo Mệnh đề 1.7.5) 54 KẾT LUẬN Luận văn gồm ba phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung trình bày thành hai chương Trong đó, chương nêu lên số kiến thức vành môđun làm tảng, sở cho chứng minh chương sau Trong chương này, tơi trình bày số kết liên quan đến đồng cấu môđun, môđun cốt yếu, môđun nội xạ, môđun suy biến, đế số kiến thức liên quan đến vành Nơte, vành nửa hồn chỉnh, vành Morita, Chương trình bày nội dung luận văn Trong chương này, nội dung gồm ba phần Phần thứ trình bày định nghĩa môđun vành s-nội xạ, số ví dụ mơđun vành s-nội xạ mạnh, s-nội xạ khơng s-nội xạ Phần thứ hai trình bày tính chất mơđun vành s-nội xạ Tính chất đặc trưng mơđun s-nội xạ Mệnh đề 2.2.4 Đó mệnh đề cho thấy tính vượt trội so với mơđun nội xạ, công cụ áp dụng để chứng minh số tính chất khác liên quan đến môđun s-nội xạ Một ứng dụng liên quan với N R-mơđun hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun nội xạ s-nội xạ môđun suy biến N Nơte (Mệnh đề 2.2.4) Ngồi ra, phần có đưa điều kiện để môđun (vành) s-nội xạ mạnh liên quan đến môđun suy biến thứ hai phân tích thành tổng trực tiếp môđun nội xạ môđun không suy biến nội dung Mệnh đề 2.2.6 Mệnh đề 2.2.8 Đặc biệt hơn, có trình bày thêm ví dụ khảo sát tính s-nội xạ môđun thông qua môđun suy biến thứ hai hai ví dụ phân biệt khác mơđun soc-nội xạ s-nội xạ Phần thứ ba trình bày tính s-nội xạ mơđun số vành Trên vành GV, tính nội xạ s-nội xạ mạnh môđun đơn suy biến (Mệnh đề 2.3.1) với vành Z(RR )-nửa hồn chỉnh, điều với môđun (Bổ đề 2.3.4) Với vành thỏa điều kiện ACC môđun cốt yếu (chưa phải vành Nơte) R/Sr Nơte s-nội xạ mạnh bảo tồn qua 55 tổng trực tiếp (Mệnh đề 2.3.3) Trên vành SI, cần môđun suy biến s-nội xạ mạnh tất mơđun s-nội xạ mạnh (Định lý 2.3.7) Với vành Morita, tính s-nội xạ mạnh bất biến (Định lý 2.3.11) Đặc biệt phần có trình bày số điều kiện tương đương với vành PF (Định lý 2.3.15) điều kiện để vành CF trở thành PF (Mệnh đề 2.3.16) Luận văn tổng hợp đồng thời chi tiết hóa chứng minh định lý, mệnh đề, hệ số ví dụ mơđun vành s-nội xạ Trong viết lời kết cho luận văn, xin nêu vấn đề cho việc tiếp tục đề tài này, cụ thể thay mở rộng qua mơđun suy biến môđun N Định nghĩa 2.1.1 ta mở rộng qua môđun hữu hạn sinh Khi kiểm tra xem mệnh đề, định lý trình bày chương II luận văn liệu cịn hay khơng tìm số tính chất khác khơng? 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] T C Quỳnh L V Thuyết (2013), Lý thuyết vành môđun, NXB Đại học Huế Tiếng Anh: [2] F W Anderson and K R Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag [3] N V Dung, D V Huynh, P F Smith, R Wisbauer (1996), Extending modules, Pitman Research Notes in Math 313, Longman [4] K R Goodearl (1972), Singular Torsion and the Spliting Properties, Memoirs of the American Mathematical Society, Vol 124 [5] K R Goodearl and R B Warlied Jr (2004), An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts 61, New York [6] F Kasch (1982), Modules and Rings, London Mathematical Society monograph; no 17 Academic Press, New York [7] T Y Lam, (1998), Lectures on Modules and Rings, Grad texts in Math 189, Springer [8] W K Nicholson and M.F Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge Univ Press [9] M F Yousif, Y Zhou and N Zeyada, On Pseudo-Frobenius rings, Canadian Mathematical, Vol 48 (2), 2005, 317-320 [10] Nasr A Zeyada, S-Injective Modules and Rings, Pure Mathematics, 4, 2014, 25-33 ... môđun s- N -nội xạ s- N -nội xạ Đặc biệt, tổng trực tiếp hữu hạn môđun s- nội xạ (s- nội xạ mạnh) s- nội xạ (s- nội xạ mạnh) (2) Hạng tử môđun s- N -nội xạ (s- nội xạ, s- nội xạ mạnh) môđun s- N -nội xạ. .. Tính chất s- nội xạ mơđun s? ?? vành Đối với vành GV, tính nội xạ s- nội xạ môđun đơn suy biến Mệnh đề 2.3.1 ([10, Proposition 5]) Một vành R vành GV phải R -môđun phải đơn suy biến s- nội xạ mạnh Chứng... môđun tự nên suy M s- P -nội xạ, với P xạ ảnh Ngược lại, M s- P -nội xạ, với P xạ ảnh Do P xạ ảnh nên M s- R -nội xạ, suy M s- nội xạ (6) M, N K R -môđun phải với N ≤⊕ M Nếu M s- K -nội xạ N s- K -nội