Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số frobenius

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Thắng MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Thắng MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:a PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍaa Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN 1.1 Định nghĩa môđun, môđun 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Điều kiện dây chuyền tăng điều kiện dây chuyền giảm 1.4 Môđun Noether môđun Artin 1.5 Vành Noether vành Artin 1.6 Dãy khớp 1.7 Môđun xạ ảnh 1.8 Môđun đơn, môđun nửa đơn 1.9 Vành đơn, vành nửa đơn 1.10 Vành nguyên 1.11 Vành chia 1.12 Vành nguyên thủy 1.13 Tập nil , tập lũy linh 1.14 Radical Jacobson vành 1.15 Vành nửa nguyên sơ 11 1.16 Định nghĩa phần tử lũy đẳng 11 1.17 Vành địa phương 11 1.18 Môđun không phân tích 12 1.19 Vành nửa địa phương 13 1.20 Lý thuyết phần tử lũy đẳng 13 1.21 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ 14 1.22 Socle môđun, vành socular 15 1.23 Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện 15 Chương MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS 17 2.1 MÔĐUN NỘI XẠ 17 2.1.1 Định nghĩa môđun nội xạ 17 2.1.2 Định nghĩa môđun nội xạ 17 2.1.3 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) 18 2.1.4 Tích trực tiếp họ môđun nội xạ 20 2.1.5 Bổ đề đơn cấu chẻ 21 2.1.6 Mệnh đề môđun nội xạ 22 2.1.7 Hạng tử trực tiếp môđun nội xạ 22 2.1.8 Môđun chia 23 2.1.9 Môđun chia vành 23 2.1.10 Môđun nội xạ miền nguyên 23 2.1.11  − môđun chia 24 2.1.12 Hom ( R,D ) – môđun nội xạ 25 2.1.13 Nhúng môđun vào môđun nội xạ 26 2.1.14 Các điều kiện tương đương môđun nội xạ 26 2.1.15 Tổng trực tiếp họ môđun nội xạ 27 2.2 VÀNH TỰ NỘI XẠ 28 2.2.1 Định nghĩa vành tự nội xạ 28 2.2.2 Iđêan vành tự nội xạ 30 2.2.3 Vành tự đồng cấu môđun nội xạ 31 2.2.4 Vành FDI tự nội xạ 32 2.2.5 Vành Noether tự nội xạ 32 2.2.6 Iđêan hữu hạn sinh vành tự nội xạ 33 2.2.7 Liên hệ vành Noether vành tự nội xạ 34 2.2.8 Vành Artin vành tự nội xạ 34 2.2.9 Liên hệ vành Artin vành tự nội xạ 35 2.2.10 Môđun không phân tích vào vành tự nội xạ 35 2.2.11 Các điều kiện tương đương vành tự nội xạ 36 2.2.12 Liên hệ vành Noether vành Artin 37 2.3 ĐẠI SỐ FROBENIUS 38 2.3.1 Dạng song tuyến tính không suy biến 38 2.3.2 Dạng song tuyến tính đối xứng 39 2.3.3 Đại số Frobenius 40 2.3.4 Đại số đối xứng 40 2.3.5 Bổ đề đẳng cấu từ A → A * 41 2.3.6 Các điều kiện tương đương đại số Frobenius 42 2.3.7 Tích trực tiếp họ đại số Frobenius 42 2.3.8 M n ( A ) – đại số Frobenius 43 2.3.9 Tính chất đại số Frobenius 44 2.3.10 Đại số tựa Frobenius 46 2.3.11 Liên hệ đại số Frobenius tựa Frobenius 46 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Giải nghĩa ACC Điều kiện dây chuyến tăng DCC Điều kiện dây chuyến giảm MR ; RM Thứ tự môđun phải, trái radR Radical Jacobson vành R l(M), r (M) Thứ tự linh hóa tử trái, phải môđun M E(M) Bao nội xạ môđun M 1 MỞ ĐẦU Trong phát triển chung toán học, lý thuyết môđun có phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lĩnh vực khác toán học, đặc biệt việc nghiên cứu lý thuyết vành Ta biết vành R R – môđun nên hiển nhiên số kết môđun chuyển sang vành Môđun xạ ảnh môđun nội xạ xem hai trụ cột lý thuyết môđun Việc nghiên cứu môđun nội xạ mở rộng hướng nhiều người quan tâm Luận văn tập trung nghiên cứu môđun nội xạ, vành tự nội xạ với ví dụ cho ta hình ảnh cụ thể chúng đại số Frobenius lớp lớp vành tự nội xạ Luận văn gồm hai chương : + Chương : Những vấn đề lý thuyết vành lý thuyết môđun + Chương : Môđun nội xạ, vành tự nội xạ đại số Frobenius Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Bùi Tường Trí, người trực tiếp tận tình giúp đỡ hướng dẫn luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học Vì kiến thức thân nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong bảo quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014 Nguyễn Quốc Thắng Chương NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN 1.1 Định nghĩa môđun, môđun 1.1.1 Định nghĩa môđun Cho R vành có đơn vị Nhóm cộng Aben ( M,+ ) gọi môđun phải vành R M ta xác định tác động phải từ R, tức có ánh xạ µ : M × R → M mà kết µ ( x,r ) ta ký hiệu xr gọi tích phần tử x với hệ tử r, tiên đề sau cần thỏa mãn: M1 : x.1 = x M : x ( rs ) = ( xr ) s M : ( x + y ) r =xr + yr M : x ( r + s ) = xr + xs với r, s ∈ R x, y ∈ M Ký hiệu: M R , ta gọi M R – môđun phải, R vành hệ tử Môđun trái vành R định nghĩa hoàn toàn tương tự M ta xác định tác động trái từ R 1.1.2 Định nghĩa môđun Cho A, B tập môđun M K ⊂ R (với A, B, K ≠ ∅ ), ta định nghĩa: A + B = {a + b | a ∈ A,b ∈ B} AK= {ar | a ∈ A,r ∈ K} Tập A ≠ ∅ M gọi phận ổn định M A + A ⊂ A AR ⊂ A Mỗi phận ổn định A môđun M, với phép toán cảm sinh lập thành R – môđun ta gọi A môđun môđun M 3 Nhận xét Mỗi môđun có hai môđun tầm thường (0) Mỗi vành R R – môđun trái (phải) với môđun iđêan trái (phải) R 1.1.3 Ann(M) Cho M R – môđun, ta định nghĩa ann(M) tập tất phần tử vành hệ tử R, linh hóa M Cụ thể: + Nếu M R – môđun phải ann ( M ) = ( )} {r ∈ R | Mr = + Nếu M R – môđun trái ann ( M ) = ( )} {r ∈ R | rM = 1.2 Đồng cấu môđun 1.2.1 Định nghĩa Cho M, M’ R – môđun phải Ánh xạ f : M → M′ gọi R – đồng cấu f ( x1r1 + x r2 )= f ( x1 ) r1 + f ( x ) r2 với x1, x ∈ M với r1, r2 ∈ R Để giản tiện mặt ngôn ngữ, R – đồng cấu gọi cách đơn giản đồng cấu Khi f đồng cấu, ta định nghĩa: + Ảnh f là= f (M) {f ( x ) | x ∈ M} + Hạt nhân f Kerf = f −1 ( ) = 0} {x ∈ M | f ( x ) = Đồng cấu f gọi đơn cấu f đồng thời đơn ánh Đồng cấu f gọi toàn cấu f đồng thời toàn ánh Nếu f vừa đơn cấu vừa toàn cấu f gọi đẳng cấu 1.2.2 Tính chất Cho f : M → M′ đồng cấu Khi N môđun M f ( N ) môđun M’, N’ môđun M’ f −1 ( N′ ) môđun M Tích hai đồng cấu đồng cấu Tích hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Đồng cấu f đơn cấu Kerf = (0) Nếu f : M → M′ đẳng cấu f −1 : M′ → M đẳng cấu Nếu f : M → M′ toàn cấu M Kerf ≅ M′ 1.2.3 Mệnh đề Cho vành R Y, Xi (i ∈ I) R – môđun Khi ta có ( ) đẳng cấu Hom R ⊕ Xi ,Y  ∏ Hom R ( Xi ,Y ) i∈I i∈I 1.3 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) điều kiện dây chuyền giảm (DCC) 1.3.1 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) Một họ tập {Ci }i∈I tập hợp C gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt ACC) họ không tồn dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt: Ci1 ⊂ Ci2 ⊂ ≠ ≠ Điều tương đương với khẳng định sau: (i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆ Ci2 ⊆  họ dừng, nghĩa tồn Cin C= C= n ∈  cho = i n +1 in +  (ii) Mọi họ khác rỗng họ có phần tử tối đại 1.3.2 Điều kiện dây chuyền giảm (DCC) Một họ tập {Ci }i∈I tập hợp C gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt DCC) họ không tồn dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt: Ci1 ⊃ Ci2 ⊃ ≠ ≠ Điều tương đương với khẳng định sau: (i) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇ Ci2 ⊇  họ dừng, nghĩa tồn Cin C= C= n ∈  cho = i n +1 in +  (ii) Mọi họ khác rỗng họ có phần tử tối tiểu 1.4 Môđun Noether môđun Artin 1.4.1 Định nghĩa Cho vành R M R – môđun trái (hoặc R – môđun phải) Ta nói M Noether (Artin) họ gồm tất môđun M thỏa mãn ACC (DCC) 1.4.2 Tính chất Môđun M Noether môđun M hữu hạn sinh 1.5 Vành Noether vành Artin 1.5.1 Vành Noether Vành R gọi vành Noether trái (phải) R Noether xem R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R gọi vành Noether trái (phải) điều kiện sau thỏa mãn: + Mọi dây chuyền tăng iđêan trái (phải) R dừng + Mọi tập khác rỗng gồm iđêan trái (phải) R có phần tử tối đại 1.5.2 Vành Artin Vành R gọi vành Artin trái (phải) R Artin xem R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R gọi vành Artin trái (phải) điều kiện sau thỏa mãn: + Mọi dây chuyền giảm iđêan trái (phải) R dừng 6 + Mọi tập khác rỗng gồm iđêan trái (phải) R có phần tử tối tiểu 1.5.3 Định lí Nếu R vành Artin phải R vành Noether phải 1.6 Dãy khớp 1.6.1 Định nghĩa dãy khớp Dãy đồng cấu môđun (hữu hạn hay vô hạn) (1) f g  → A  → B  →C → gọi khớp môđun B Im f = Kerg Dãy đồng cấu (1) gọi dãy khớp khớp môđun trung gian 1.6.2 Định nghĩa dãy khớp ngắn Dãy khớp ngắn dãy khớp có dạng: f g → A  → B  →C → ( 2) Nhận xét : Dãy (2) khớp f đơn cấu, g toàn cấu, Im f = Kerg 1.6.3 Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ Cho dãy khớp dạng (1) Dãy khớp gọi chẻ B Imf hạng tử trực tiếp B, tức tồn môđun B1 cho= B Im f ⊕ B1 Một dãy khớp gọi chẻ chẻ môđun trung gian Dãy khớp ngắn (2) chẻ dãy chẻ B f g 1.6.4 Định lí Đối với dãy khớp ngắn → A  → B  → C → , ba phát biểu sau tương đương: (i) Dãy khớp chẻ (ii) Đồng cấu f có nghịch đảo trái (iii) Đồng cấu g có nghịch đảo phải 7 f g 1.6.5 Hệ Nếu dãy khớp  → A  → B  → C →  chẻ B ta có B ≅ Im f ⊕ Im g 1.7 Môđun xạ ảnh 1.7.1 Định nghĩa môđun xạ ảnh Môđun P gọi môđun xạ ảnh với toàn cấu σ : B → C , đồng cấu f : P → C , tồn đồng cấu ϕ : P → B cho f = σϕ ϕ P f σ B  →C 1.7.2 Định lí Mỗi môđun tự môđun xạ ảnh 1.7.3 Định lí Tổng trực tiếp họ môđun P = ⊕ Pi xạ ảnh môđun i∈I thành phần Pi xạ ảnh 1.7.4 Định lí Đối với môđun P, ba phát biểu sau tương đương: (i) P môđun xạ ảnh (ii) Mỗi dãy khớp → A → B → P → chẻ (iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun tự 1.7.5 Định lí Khi R vành chính, R – môđun P xạ ảnh P tự 1.8 Môđun đơn, môđun nửa đơn 1.8.1 Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui) R – môđun M gọi môđun đơn (hay môđun bất khả qui) M có hai môđun tầm thường (0) M 1.8.2 Định nghĩa môđun nửa đơn R – môđun M gọi môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) M phân tích thành tổng trực tiếp môđun đơn 1.8.3 Định lí Đối với R – môđun M, phát biểu sau tương đương (i) M nửa đơn (ii) Mọi môđun M hạng tử trực tiếp M (iii) M tổng họ môđun đơn 1.8.4 Bổ đề Cho M R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) môđun đơn Khi R có iđêan phải (iđêan trái) đẳng cấu với M M* Hom R ( M,R R ) ≠ = 1.9 Vành đơn, vành nửa đơn 1.9.1 Định nghĩa Vành R ≠ gọi vành đơn (nửa đơn) R môđun đơn (nửa đơn) 1.9.2 Định lí Đối với vành R, phát biểu sau tương đương: (i) R R – môđun phải nửa đơn (ii) R R – môđun trái nửa đơn (iii) Mọi R – môđun phải M môđun nửa đơn (iv) Mọi R – môđun trái M môđun nửa đơn 1.10 Vành nguyên Vành R gọi vành nguyên R ≠ ab = ⇒ a = b = Vành nguyên giao hoán gọi miền nguyên 9 1.11 Vành chia Vành R gọi vành chia R ≠ phần tử khác không R khả nghịch Vành chia giao hoán trường 1.12 Vành nguyên thủy R – môđun M gọi môđun trung thành ann ( M ) = Vành R gọi vành nguyên thủy trái (phải) có R – môđun trái (phải) bất khả qui trung thành 1.13 Tập nil , tập lũy linh 1.13.1 Định nghĩa Cho vành R, tập I ⊆ R Phần tử x ∈ R gọi phần tử lũy linh tồn n ∈  cho xn = I gọi tập nil phần tử I lũy linh, I iđêan R, ta gọi I nil iđêan I gọi tập lũy linh tồn n ∈  cho I n = , I iđêan R, ta gọi I iđêan lũy linh Tính chất Iđêan lũy linh nil iđêan 1.13.2 Định lí (J.Levitzki) Nếu R vành Noether phải nil – iđêan phía lũy linh 1.14 Radical Jacobson vành 1.14.1 Định nghĩa radical Jacobson vành 10 Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson vành R giao tất iđêan phải tối đại R (đồng thời giao tất iđêan trái tối đại R) Ký hiệu: radR Nếu R = ( ) ta định nghĩa radR = ( ) radR iđêan R 1.14.2 Định nghĩa vành nửa nguyên thủy Vành R ≠ gọi nửa nguyên thủy radR = ( ) 1.14.3 Bổ đề Với y ∈ R , phát biểu sau tương đương: (i) y ∈ radR (ii) − xy khả nghịch phải với x ∈ R 1.14.4 Định lí Cho R vành Artin phải Khi đó, radR iđêan lũy linh lớn chứa tất iđêan lũy linh phía R 1.14.5 Hệ Trong vành Artin, nil iđêan lũy linh 1.14.6 Định lí Đối với vành R, phát biểu sau tương đương: (i) R nửa đơn (ii) R Artin phải nửa nguyên thủy 1.14.7 Định lí Hopkins – Levitzki Cho R vành mà radR lũy linh R = R radR nửa đơn Khi đó, với R – môđun M, phát biểu sau tương đương: (i) M Noether (ii) M Artin 1.14.8 Bổ đề Nakayama Với iđêan trái J vành R, phát biểu sau tương đương: (i) J ⊆ radR (ii) Với R – môđun trái hữu hạn sinh M, JM = M ⇒ M = ( ) 11 (iii) Với R – môđun trái N ⊆ M mà M N hữu hạn sinh, N + JM = M ⇒ N = M 1.14.9 Hệ Cho R vành Noether phải Nếu R radR vành nửa đơn radR nil – iđêan R vành Artin phải 1.15 Vành nửa nguyên sơ Vành R gọi vành nửa nguyên sơ R radR vành nửa đơn radR lũy linh 1.16 Định nghĩa phần tử lũy đẳng Phần tử e vành R gọi phần tử lũy đẳng e = e Nhận xét + Mỗi vành có hai phần tử lũy đẳng 1, chúng gọi hai phần tử lũy đẳng tầm thường + Vành nguyên có hai phần tử lũy đẳng 1.17 Vành địa phương 1.17.1 Định nghĩa Vành R gọi vành địa phương có iđêan phải tối đại 1.17.2 Mệnh đề Với vành R, phát biểu sau tương đương: (i) R vành địa phương (ii) Nếu a ∈ R a – a khả nghịch (iii) R có iđêan trái tối đại (iv) radR iđêan phải tối đại R (v) Tất phần tử không khả nghịch R lập thành iđêan (vi) radR tập tất phần tử không khả nghịch R 12 (vii) R radR vành chia 1.17.3 Hệ Cho vành R, tất phần tử không khả nghịch R lũy linh R vành địa phương 1.17.4 Mệnh đề Vành địa phương có phần tử lũy đẳng tầm thường 1.17.5 Định lí Nếu R vành địa phương R – môđun xạ ảnh hữu hạn sinh môđun tự 1.18 Môđun không phân tích được, môđun thật không phân tích 1.18.1 Định nghĩa R – môđun phải M ≠ ( ) gọi không phân tích M viết thành tổng trực tiếp hai R – môđun thật R – môđun phải M ≠ ( ) gọi thật không phân tích End ( M R ) vành địa phương 1.18.2 Định lí Có tương ứng song ánh phân tích R – môđun M thành tổng trực tiếp môđun phân tích phần tử đơn vị vành E = End ( M R ) 1.18.3 Bổ đề Cho R – môđun phải M ≠ ( ) , phát biểu sau tương đương: (i) M không phân tích (ii) End ( M R ) phần tử lũy đẳng không tầm thường 1.18.4 Định lí Krull – Schmidt – Azumaya Cho vành R, giả sử M R có hai phân tích theo môđun con: M = M1 ⊕  ⊕ M r = N1 ⊕  ⊕ Ns 13 Ni môđun không phân tích được, M i môđun thật không phân tích Khi r = s , sau xếp lại ta M i ≅ Ni , i = 1,r 1.19 Vành nửa địa phương Vành R gọi nửa địa phương R radR vành Artin trái R radR vành nửa đơn Nhận xét + Vành địa phương nửa địa phương, vành Artin phía vành nửa địa phương 1.20 Lý thuyết phần tử lũy đẳng Với phần tử lũy đẳng e vành R, ta có hai phân tích sau: ( i ) R= R ( ii ) = Re⊕ Rf e R ⊕ fR f = − e phần tử lũy đẳng bù với e (i) (ii) phân tích theo iđêan trái, phải 1.20.1 Định lí Cho e f phần tử lũy đẳng vành R Khi Hom ( eR,fR ) ≅ fRe Nếu f = e End ( eR ) ≅ eRe , đặc biệt e = ta có End ( R ) ≅ R 1.20.2 Định nghĩa phần tử lũy đẳng nguyên thủy Phần tử lũy đẳng e ≠ gọi phần tử lũy đẳng nguyên thủy e phân tích thành tổng phần tử lũy đẳng trực giao khác 1.20.3 Bổ đề Cho R – môđun phải M ≠ ( ) , phát biểu sau tương đương: (i) M không phân tích (ii) phần tử lũy đẳng nguyên thủy End ( M R ) 14 1.20.4 Mệnh đề Với phần tử lũy đẳng e ≠ R, phát biểu sau tương đương: (i) eR R – môđun phải không phân tích (ii) Re R – môđun trái không phân tích (iii) Vành eRe phần tử lũy đẳng không tầm thường (iv) e phần tử lũy đẳng nguyên thủy R 1.20.5 Định nghĩa phần tử lũy đẳng địa phương Phần tử lũy đẳng e ≠ gọi phần tử lũy đẳng địa phương eRe vành địa phương Nếu e phần tử lũy đẳng địa phương e phần tử lũy đẳng nguyên thủy 1.20.6 Định nghĩa phần tử lũy đẳng nâng lên Cho I iđêan vành R, ta nói phần tử lũy đẳng x ∈ R I nâng lên từ R tồn phần tử lũy đẳng e ∈ R tạo ảnh x phép chiếu R → R I (hay e = x ) 1.21 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ 1.21.1 Định nghĩa Cho N môđun M, ta nói M mở rộng N Môđun N M gọi cốt yếu M N có giao khác với môđun khác M, ta nói M mở rộng cốt yếu N Môđun Q gọi bao nội xạ môđun M vừa mở rộng cốt yếu M vừa môđun nội xạ Kí hiệu Q = E ( M ) 1.21.2 Mệnh đề (i) E ( M1 ⊕ M )  E ( M1 ) ⊕ E ( M ) với R – môđun M1, M (ii) Nếu ϕ : M → Q đơn cấu Q môđun nội xạ Q = Q1 ⊕ Q Q1  E ( Im ϕ ) [...]... nguyên Vành R được gọi là vành nguyên nếu R ≠ 0 và ab = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0 Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên 9 1.11 Vành chia Vành R được gọi là vành chia nếu R ≠ 0 và mọi phần tử khác không trong R đều khả nghịch Vành chia giao hoán là trường 1.12 Vành nguyên thủy R – môđun M được gọi là môđun trung thành nếu ann ( M ) = 0 Vành R được gọi là vành nguyên thủy trái (phải) nếu có R – môđun. .. Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh 1.5 Vành Noether và vành Artin 1.5.1 Vành Noether Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: + Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng + Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan... 1.14.9 Hệ quả Cho R là vành Noether phải Nếu R radR là vành nửa đơn và radR là nil – iđêan thì R là vành Artin phải 1.15 Vành nửa nguyên sơ Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và radR lũy linh 1.16 Định nghĩa phần tử lũy đẳng Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e 2 = e Nhận xét + Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là hai... trong đó các Ni là các môđun không phân tích được, còn các M i là các môđun thật sự không phân tích được Khi đó r = s , và sau khi sắp xếp lại ta được M i ≅ Ni , i = 1,r 1.19 Vành nửa địa phương Vành R được gọi là nửa địa phương nếu là R radR vành Artin trái hoặc R radR là vành nửa đơn Nhận xét + Vành địa phương là nửa địa phương, vành Artin một phía là vành nửa địa phương 1.20 Lý thuyết về các phần... M khi và chỉ khi M* Hom R ( M,R R ) ≠ 0 = 1.9 Vành đơn, vành nửa đơn 1.9.1 Định nghĩa Vành R ≠ 0 được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa đơn) trên chính nó 1.9.2 Định lí Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là R – môđun phải nửa đơn (ii) R là R – môđun trái nửa đơn (iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn (iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn 1.10 Vành. .. (i) P là môđun xạ ảnh (ii) Mỗi dãy khớp 0 → A → B → P → 0 là chẻ ra (iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó 1.7.5 Định lí Khi R là vành chính, R – môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do 1.8 Môđun đơn, môđun nửa đơn 1.8.1 Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui) R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ có hai môđun con tầm thường là (0) và M 1.8.2... phần tử tối đại 1.5.2 Vành Artin Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: + Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng 6 + Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu 1.5.3 Định lí Nếu R là vành Artin phải... đẳng tầm thường + Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1 1.17 Vành địa phương 1.17.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan phải tối đại 1.17.2 Mệnh đề Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là vành địa phương (ii) Nếu a ∈ R thì a hoặc 1 – a khả nghịch (iii) R có duy nhất một iđêan trái tối đại (iv) radR là iđêan phải tối đại duy nhất trong... Im g 1.7 Môđun xạ ảnh 1.7.1 Định nghĩa môđun xạ ảnh Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B → C , mỗi đồng cấu f : P → C , tồn tại đồng cấu ϕ : P → B sao cho f = σϕ ϕ P f σ B  →C 1.7.2 Định lí Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh 1.7.3 Định lí Tổng trực tiếp của họ môđun P = ⊕ Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun i∈I thành phần Pi là xạ ảnh 1.7.4 Định lí Đối với mỗi môđun P,... Tất cả các phần tử không khả nghịch của R lập thành một iđêan (vi) radR là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R 12 (vii) R radR là vành chia 1.17.3 Hệ quả Cho vành R, nếu tất cả các phần tử không khả nghịch của R đều lũy linh thì R là vành địa phương 1.17.4 Mệnh đề Vành địa phương chỉ có phần tử lũy đẳng tầm thường là 0 và 1 1.17.5 Định lí Nếu R là vành địa phương thì mỗi R – môđun xạ ảnh