Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số frobenius

Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Thắng MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 16 Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Thắng MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:a PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍaa Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 16 Header Page of 16 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN 1.1 Định nghĩa môđun, môđun 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Điều kiện dây chuyền tăng điều kiện dây chuyền giảm 1.4 Môđun Noether môđun Artin 1.5 Vành Noether vành Artin 1.6 Dãy khớp 1.7 Môđun xạ ảnh 1.8 Môđun đơn, môđun nửa đơn 1.9 Vành đơn, vành nửa đơn 1.10 Vành nguyên 1.11 Vành chia 1.12 Vành nguyên thủy 1.13 Tập nil , tập lũy linh 1.14 Radical Jacobson vành 1.15 Vành nửa nguyên sơ 11 1.16 Định nghĩa phần tử lũy đẳng 11 1.17 Vành địa phương 11 1.18 Môđun không phân tích 12 1.19 Vành nửa địa phương 13 1.20 Lý thuyết phần tử lũy đẳng 13 1.21 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ 14 1.22 Socle môđun, vành socular 15 Footer Page of 16 Header Page of 16 1.23 Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện 15 Chương MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS 17 2.1 MÔĐUN NỘI XẠ 17 2.1.1 Định nghĩa môđun nội xạ 17 2.1.2 Định nghĩa môđun nội xạ 17 2.1.3 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) 18 2.1.4 Tích trực tiếp họ môđun nội xạ 20 2.1.5 Bổ đề đơn cấu chẻ 21 2.1.6 Mệnh đề môđun nội xạ 22 2.1.7 Hạng tử trực tiếp môđun nội xạ 22 2.1.8 Môđun chia 23 2.1.9 Môđun chia vành 23 2.1.10 Môđun nội xạ miền nguyên 23 2.1.11  − môđun chia 24 2.1.12 Hom ( R,D ) – môđun nội xạ 25 2.1.13 Nhúng môđun vào môđun nội xạ 26 2.1.14 Các điều kiện tương đương môđun nội xạ 26 2.1.15 Tổng trực tiếp họ môđun nội xạ 27 2.2 VÀNH TỰ NỘI XẠ 28 2.2.1 Định nghĩa vành tự nội xạ 28 2.2.2 Iđêan vành tự nội xạ 30 2.2.3 Vành tự đồng cấu môđun nội xạ 31 2.2.4 Vành FDI tự nội xạ 32 2.2.5 Vành Noether tự nội xạ 32 2.2.6 Iđêan hữu hạn sinh vành tự nội xạ 33 2.2.7 Liên hệ vành Noether vành tự nội xạ 34 Footer Page of 16 Header Page of 16 2.2.8 Vành Artin vành tự nội xạ 34 2.2.9 Liên hệ vành Artin vành tự nội xạ 35 2.2.10 Môđun không phân tích vào vành tự nội xạ 35 2.2.11 Các điều kiện tương đương vành tự nội xạ 36 2.2.12 Liên hệ vành Noether vành Artin 37 2.3 ĐẠI SỐ FROBENIUS 38 2.3.1 Dạng song tuyến tính không suy biến 38 2.3.2 Dạng song tuyến tính đối xứng 39 2.3.3 Đại số Frobenius 40 2.3.4 Đại số đối xứng 40 2.3.5 Bổ đề đẳng cấu từ A → A * 41 2.3.6 Các điều kiện tương đương đại số Frobenius 42 2.3.7 Tích trực tiếp họ đại số Frobenius 42 2.3.8 M n ( A ) – đại số Frobenius 43 2.3.9 Tính chất đại số Frobenius 44 2.3.10 Đại số tựa Frobenius 46 2.3.11 Liên hệ đại số Frobenius tựa Frobenius 46 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Footer Page of 16 Header Page of 16 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Giải nghĩa ACC Điều kiện dây chuyến tăng DCC Điều kiện dây chuyến giảm MR ; RM Thứ tự môđun phải, trái radR Radical Jacobson vành R l(M), r (M) Thứ tự linh hóa tử trái, phải môđun M E(M) Bao nội xạ môđun M Footer Page of 16 Header Page of 16 MỞ ĐẦU Trong phát triển chung toán học, lý thuyết môđun có phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lĩnh vực khác toán học, đặc biệt việc nghiên cứu lý thuyết vành Ta biết vành R R – môđun nên hiển nhiên số kết môđun chuyển sang vành Môđun xạ ảnh môđun nội xạ xem hai trụ cột lý thuyết môđun Việc nghiên cứu môđun nội xạ mở rộng hướng nhiều người quan tâm Luận văn tập trung nghiên cứu môđun nội xạ, vành tự nội xạ với ví dụ cho ta hình ảnh cụ thể chúng đại số Frobenius lớp lớp vành tự nội xạ Luận văn gồm hai chương : + Chương : Những vấn đề lý thuyết vành lý thuyết môđun + Chương : Môđun nội xạ, vành tự nội xạ đại số Frobenius Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Bùi Tường Trí, người trực tiếp tận tình giúp đỡ hướng dẫn luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học Vì kiến thức thân nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong bảo quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014 Nguyễn Quốc Thắng Footer Page of 16 Header Page of 16 Chương NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN 1.1 Định nghĩa môđun, môđun 1.1.1 Định nghĩa môđun Cho R vành có đơn vị Nhóm cộng Aben ( M,+ ) gọi môđun phải vành R M ta xác định tác động phải từ R, tức có ánh xạ µ : M × R → M mà kết µ ( x,r ) ta ký hiệu xr gọi tích phần tử x với hệ tử r, tiên đề sau cần thỏa mãn: M1 : x.1 = x M : x ( rs ) = ( xr ) s M : ( x + y ) r =xr + yr M : x ( r + s ) = xr + xs với r, s ∈ R x, y ∈ M Ký hiệu: M R , ta gọi M R – môđun phải, R vành hệ tử Môđun trái vành R định nghĩa hoàn toàn tương tự M ta xác định tác động trái từ R 1.1.2 Định nghĩa môđun Cho A, B tập môđun M K ⊂ R (với A, B, K ≠ ∅ ), ta định nghĩa: A + B = {a + b | a ∈ A,b ∈ B} AK= {ar | a ∈ A,r ∈ K} Tập A ≠ ∅ M gọi phận ổn định M A + A ⊂ A AR ⊂ A Mỗi phận ổn định A môđun M, với phép toán cảm sinh lập thành R – môđun ta gọi A môđun môđun M Footer Page of 16 Header Page of 16 Nhận xét Mỗi môđun có hai môđun tầm thường (0) Mỗi vành R R – môđun trái (phải) với môđun iđêan trái (phải) R 1.1.3 Ann(M) Cho M R – môđun, ta định nghĩa ann(M) tập tất phần tử vành hệ tử R, linh hóa M Cụ thể: + Nếu M R – môđun phải ann ( M ) = ( )} {r ∈ R | Mr = + Nếu M R – môđun trái ann ( M ) = ( )} {r ∈ R | rM = 1.2 Đồng cấu môđun 1.2.1 Định nghĩa Cho M, M’ R – môđun phải Ánh xạ f : M → M′ gọi R – đồng cấu f ( x1r1 + x r2 )= f ( x1 ) r1 + f ( x ) r2 với x1, x ∈ M với r1, r2 ∈ R Để giản tiện mặt ngôn ngữ, R – đồng cấu gọi cách đơn giản đồng cấu Khi f đồng cấu, ta định nghĩa: + Ảnh f là= f (M) {f ( x ) | x ∈ M} + Hạt nhân f Kerf = f −1 ( ) = 0} {x ∈ M | f ( x ) = Đồng cấu f gọi đơn cấu f đồng thời đơn ánh Đồng cấu f gọi toàn cấu f đồng thời toàn ánh Nếu f vừa đơn cấu vừa toàn cấu f gọi đẳng cấu 1.2.2 Tính chất Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Cho f : M → M′ đồng cấu Khi N môđun M f ( N ) môđun M’, N’ môđun M’ f −1 ( N′ ) môđun M Tích hai đồng cấu đồng cấu Tích hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Đồng cấu f đơn cấu Kerf = (0) Nếu f : M → M′ đẳng cấu f −1 : M′ → M đẳng cấu Nếu f : M → M′ toàn cấu M Kerf ≅ M′ 1.2.3 Mệnh đề Cho vành R Y, Xi (i ∈ I) R – môđun Khi ta có ( ) đẳng cấu Hom R ⊕ Xi ,Y  ∏ Hom R ( Xi ,Y ) i∈I i∈I 1.3 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) điều kiện dây chuyền giảm (DCC) 1.3.1 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) Một họ tập {Ci }i∈I tập hợp C gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt ACC) họ không tồn dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt: Ci1 ⊂ Ci2 ⊂ ≠ ≠ Điều tương đương với khẳng định sau: (i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆ Ci2 ⊆  họ dừng, nghĩa tồn Cin C= C= n ∈  cho = i n +1 in +  (ii) Mọi họ khác rỗng họ có phần tử tối đại 1.3.2 Điều kiện dây chuyền giảm (DCC) Một họ tập {Ci }i∈I tập hợp C gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt DCC) họ không tồn dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt: Footer Page 10 of 16 Header Page 40 of 16 34 Do có phần tử n  y ∈ l  ∑ xiA   i=1  z ∈ l ( x n +1A ) cho b1 − b =y − z Đặt b = b1 − y = b − z Khi :  n +1  n  ϕ  ∑ x ia i  = ϕ  ∑ x ia i  + ϕ ( x n +1a n +1 ) = =  i 1=  i  n n +1 = ( b1 − y ) ∑ x ia i + ( b − z ) x n +1a n +1 = b ∑ x ia i =i =i 2.2.7 Định lí Cho A vành Noether phải Khi A vành tự nội xạ thỏa tính chất (1) (2) mệnh đề phần 2.2.2 Chứng minh: Nếu A vành tự nội xạ A thỏa mãn tính chất (1) (2) mệnh đề phần 2.2.2 Ngược lại A thỏa mãn tính chất (1) (2) mệnh đề phần 2.2.2; A vành Noether phải nên iđêan phải iđêan hữu hạn sinh Xét I iđêan A f ∈ Hom A ( I,A ) Khi theo mệnh đề phần 2.2.6 có phần tử a ∈ A cho f ( x ) = ax với x ∈ I Theo tiêu chuẩn Baer, A A – môđun nội xạ A vành tự nội xạ 2.2.8 Bổ đề Nếu A vành Noether phải tự nội xạ phải A vành Artin hai phía Chứng minh: Vì A vành tự nội xạ phải, l ( r ( L ) ) = L với iđêan trái hữu hạn sinh L A theo mệnh đề phần 2.2.2 Điều ngụ ý ta có dãy giảm vô hạn iđêan trái hữu hạn sinh: L1 ⊃ L ⊃  ⊃ L n ⊃  ta có dãy tăng vô hạn iđêan phải: r ( L1 ) ⊂ r ( L ) ⊂  ⊂ r ( L n ) ⊂  Footer Page 40 of 16 Header Page 41 of 16 35 Vì A vành Noether phải nên dãy sau ổn định A thoả điều kiện dây chuyền giảm với iđêan trái hữu hạn sinh, đặc biệt với iđêan bên trái Theo định lí phần 1.23.6 A vành hoàn thiện phải Do A R vành nửa đơn R = radA T – lũy linh phải Theo hệ phần 1.23.8 định lí phần 1.13.2, A vành Artin phải R lũy linh Bây ta chứng minh A vành Noether trái Ở ta A thoả điều kiện dây chuyền giảm với iđêan trái hữu hạn sinh Giả sử L iđêan trái không hữu hạn sinh A Khi với iđêan trái hữu hạn sinh H ⊂ L có iđêan hữu hạn sinh H1 cho H ⊂ H1 ⊂ L Khi quy nạp xây dựng dây chuyền tăng nghiêm ngặt iđêan hữu hạn sinh A (mâu thuẫn) Điều mâu thuẫn A vành Noether trái Vì A R vành nửa đơn R lũy linh nên A vành Artin trái theo hệ phần 1.14.9 Vậy A vành Artin hai phía 2.2.9 Bổ đề Nếu A vành Noether phải thỏa điều kiện (1) (2) mệnh đề phần 2.2.2 A vành Artin hai phía tự nội xạ phải Chứng minh: Vì A vành Noether phải nên iđêan phải iđêan hữu hạn sinh Khi theo định lí phần 2.2.7 A vành tự nội xạ phải Và theo bổ đề phần 2.2.8 A vành Artin hai phía 2.2.10 Bổ đề Cho A vành Noether phải tự nội xạ phải Khi A – môđun phải không phân tích nhúng vào môđun phải quy A A Chứng minh: Theo bổ đề 2.2.8 A vành Artin hai phía Do A – môđun M chứa A – môđun đơn Giả sử M chứa A – môđun đơn U Theo định lí 1.23.7 A vành socular Cụ thể soc ( A A ) ≠ soc ( A A ) ≠ Theo bổ đề 1.23.3 Footer Page 41 of 16 Header Page 42 of 16 36 U* ≠ , theo bổ đề 1.8.4 A có iđêan phải đẳng cấu với U nghĩa ta có đơn cấu ϕ : U → A A Điều có nghĩa có sơ đồ sau: ψ → U  →M  ϕ AA Trong dòng khớp Vì A tự nội xạ nên tồn h : M → A A cho biểu đồ sau giao hoán: ψ → U  →M  ϕ h AA Vì M không phân tích nên h đơn cấu 2.2.11 Định lí Với vành A điều kiện sau tương đương: (i) A vành Noether phải tự nội xạ phải (ii) A vành Artin hai phía thỏa điều kiện sau: (a) r ( l ( H ) ) = H với H iđêan phải (b) l ( r ( L ) ) = L với L iđêan trái Chứng minh: (ii) ⇒ (i) Vì A vành Artin hai phía nên A vành Noether hai phía theo định lí 1.5.3 Lấy H1, H iđêan phải A Theo điều kiện (a) ta có: r ( l ( H1 ) + l ( H ) ) = r ( l ( H1 ) ) ∩ r ( l ( H ) ) = H1 ∩ H Khi theo điều kiện (2b) ta có: ( ) l r ( l ( H1 ) + l ( H ) ) = l ( H1 ∩ H ) ⇔ l ( H1 ) + l ( H ) =l ( H1 ∩ H ) Theo định lí 2.2.7 A vành tự nội xạ (i) ⇒ (ii) Giả sử A vành Noether phải tự nội xạ phải Khi iđêan phải hữu hạn sinh, theo mệnh đề 2.2.2 l ( r ( L ) ) = L với L iđêan trái Footer Page 42 of 16 Header Page 43 of 16 37 A Ta cần r ( l ( H ) ) = H với H iđêan phải A Rõ ràng r ( l ( H ) ) ⊆ H Giả sử r ( l ( H ) ) ≠ H , đặt M = r ( l ( H ) ) H A – môđun phải lấy f ∈ Hom A ( M,A A ) Ta xem f giống đồng cấu r ( l ( H ) ) → A A triệt tiêu H Vì A A nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer có y ∈ A cho với x ∈ r ( l ( H ) ) f ( x ) = yx Nhưng yH = dẫn đến yx = với x ∈ r ( l ( H ) ) , f = Do Hom A ( M,A A ) = Ta trường hợp M = Theo bổ đề 2.2.8 A vành Artin hai phía Giả sử M A – môđun phân n n i i tích M = ⊕ M i , Hom A ( M,A A ) = ⊕ Hom A ( M i ,A A ) theo mệnh đề 1.2.3 Do ta giả sử M môđun không phân tích Nhưng trường hợp này, theo bổ đề 2.2.10 từ Hom A ( M,A A ) = ta có M = Vì r ( l ( H ) ) = H với iđêan phải H Vì điều kiện (ii) định lí 2.2.11 đối xứng trái – phải nên điều kiện (i) Do ta viết lại định lí dạng đối xứng sau 2.2.12 Định lí Với vành A điều kiện sau tương đương: (i) A vành Noether phải tự nội xạ phải (ii) A vành Noether trái tự nội xạ trái (iii) A vành Artin thỏa điều kiện sau: (a) r ( l ( H ) ) = H với H iđêan phải (b) l ( r ( L ) ) = L với L iđêan trái Footer Page 43 of 16 Header Page 44 of 16 38 2.3 ĐẠI SỐ FROBENIUS Đại số Frobenius tựa Frobenius nghiên cứu nhiều có nhiều kết sâu sắc mục đích luận văn xây dựng khái niệm đại số Frobenius qua cho ta hình ảnh cụ thể lớp vành tự nội xạ Trong suốt phần này, ta đặt A* = Hom F ( A,F ) A đại số hữu hạn chiều trường F 2.3.1 Bổ đề Cho V không gian hữu hạn chiều trường F f : V × V → F dạng song tuyến tính Khi điều kiện sau tương đương: i) f ( x,V ) = kéo theo x = ii) f ( V, x ) = kéo theo x = Chứng minh: ( ) Cho e1, e ,,e n sở V bij = f ei ,e j Từ tính song tuyến tính ta có f ( x,V ) = f ( x,ei = ) 0, ≤ i ≤ n Ta viết x dạng x= ∑ λ je j với λ j ∈ F Khi đó: ( ) f ( x,ei ) = ∑ λ jf e j ,ei =λ ∑ b ji i Vì f ( x,V ) = ( λ1, λ ,, λ n ) nghiệm hệ phương trình tuyến tính b1iλ1 + b 2iλ +  + b niλ= 0, ≤ i ≤ n n (1) Tương tự f ( V, x ) = ( λ1, λ ,, λ n ) nghiệm hệ phương trình tuyến tính bi1λ1 + bi2λ +  + bin λ= 0, ≤ i ≤ n n Footer Page 44 of 16 ( 2) Header Page 45 of 16 39 Hệ phương trình (1) (2) có nghiệm tầm thường ( ) det bij ≠ , bổ đề chứng minh Dạng song tuyến tính f : V × V → F gọi không suy biến thỏa điều kiện tương đương bổ đề 2.3.1 Cho f : A × A → F dạng song tuyến tính Khi f gọi kết hợp f ( xy,z ) = f ( x, yz ) với x, y, z ∈ A f gọi đối xứng nếu: f ( x, y ) = f ( y, x ) với x, y ∈ A 2.3.2 Hệ Cho ψ ∈ A * f : A × A → F cho công thức f ( x, y ) = y ( xy ) Khi f dạng song tuyến tính kết hợp A, f đối xứng y ( xy ) = y ( yx ) với x, y ∈ A Hơn nữa, điều kiện sau tương đương : (i) Kerψ không chứa iđêan phải khác A (ii) Kerψ không chứa iđêan trái khác A (iii) f không suy biến Chứng minh: Rõ ràng f dạng song tuyến tính A Lấy x, y, z ∈ A ta có : f ( xy,z ) = y ( ( xy ) z ) = y ( x ( yz ) ) = f ( x, yz ) f đối xứng Theo định nghĩa f ( x, y ) = f ( y, x ) y ( xy ) = y ( yx ) Vì f đối xứng y ( xy ) = y ( yx ) với x, y ∈ A Lưu ý f ( x,A ) = ψ ( xA ) = f ( A, x ) = ψ ( Ax ) = Các điều kiện tương đương bên điều kiện tương đương bổ đề 2.3.1 Footer Page 45 of 16 Header Page 46 of 16 40 2.3.3 Bổ đề Các điều kiện sau tương đương: (i) Tồn ψ ∈ A * cho Kerψ không chứa iđêan phải khác A (ii) Tồn ψ ∈ A * cho Kerψ không chứa iđêan trái khác A (iii) Tồn dạng song tuyến tính f : A × A → F có tính kết hợp không suy biến Chứng minh: (i) ⇒ (ii) : Áp dụng hệ 2.3.2 (ii) ⇒ (iii) : Áp dụng hệ 2.3.2 (iii) ⇒ (i) : Lấy ψ : A → F cho công thức ψ ( x ) = f ( x,1) Rõ ràng ψ ∈ A * Khi f ( ab,1) = với b ∈ A Nhưng Lấy a ∈ A cho ψ ( aA ) = f ( ab,1) = f ( a,b ) , từ tính không suy biến f ta có a = ( A,ψ ) (hay viết tắt A) gọi đại số Frobenius ψ thỏa điều kiện tương đương bổ đề 2.3.3 2.3.4 Bổ đề Các điều kiện sau tương đương: (i) Tồn ψ ∈ A * cho Kerψ không chứa iđêan phải khác A y ( xy ) = y ( yx ) với x, y ∈ A (i) Tồn ψ ∈ A * cho Kerψ không chứa iđêan trái khác A y ( xy ) = y ( yx ) với x, y ∈ A (iii) Tồn dạng song tuyến tính f : A × A → F có tính kết hợp, đối xứng không suy biến Chứng minh: (i) ⇒ (ii) : Áp dụng hệ 2.3.2 (ii) ⇒ (iii) : Áp dụng hệ 2.3.2 Footer Page 46 of 16 Header Page 47 of 16 41 (iii) ⇒ (i) : Lấy ψ : A → F cho công thức ψ ( x ) = f ( x,1) Khi theo bổ đề 2.3.3, ψ ∈ A * Kerψ không chứa iđêan phải khác A Hơn nữa, f đối xứng nên ta có: y ( xy )= f ( xy,1)= f ( x, y )= f ( y, x )= f ( yx,1)= y ( yx ) ( A,ψ ) (hay viết tắt A) gọi đại số đối xứng ψ thỏa điều kiện tương đương bổ đề 2.3.4 Trong phần ta xem A* ( A,A ) – song môđun qua phép toán : ( af )( x ) = f ( xa ) ( fa )( x ) = f ( ax ) với x, a ∈ A f ∈ A * 2.3.5 Bổ đề (i) Giả sử ( A,ψ ) đại số Frobenius Khi ánh xạ f : A → A * cho công thức f ( a )( x ) = ψ ( xa ) với x, a ∈ A đẳng cấu A – môđun trái Hơn ( A,ψ ) đại số đối xứng f đẳng cấu ( A,A ) – song môđun (ii) Giả sử f : A → A * đẳng cấu A – môđun trái đặt ψ (a ) = f (1)( a ) với a ∈ A Khi ( A,ψ ) đại số Frobenius Hơn f đẳng cấu ( A,A ) – song môđun ( A,ψ ) đại số đối xứng Chứng minh: (i) Rõ ràng với a ∈ A , f ( a ) ∈ A * f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) với x, y ∈ A Lấy r, x ∈ A ta có : f ( )( x ) = ψ ( xra ) = f ( a )( xr ) = ( rf ( a ) ) ( x ) Footer Page 47 of 16 Header Page 48 of 16 42 f đồng cấu A – môđun trái Theo định nghĩa ψ, f đơn ánh, dim F A = dim F A* nên f song ánh Nếu ( A,ψ ) đại số đối xứng với r, x ∈ A ta có: f ( ar )( x ) = f ( a )( rx ) = ψ ( xar ) = ψ ( rxa ) = (f (a ) r )( x ) f đẳng cấu ( A,A ) – song môđun (ii) Rõ ràng ψ ∈ A * Giả sử ψ ( aA ) = Khi với x ∈ A : = f= (1)( ax ) f ( x )( a ) Vì a = Do ( A,ψ ) đại số Frobenius Giả sử f đẳng cấu ( A,A ) – song môđun Khi với x, y ∈ A ta có: y ( xy ) = f (1)( xy ) = f ( x )( y ) = f (1)( yx ) = y ( yx ) Do ( A,ψ ) đại số đối xứng 2.3.6 Hệ Các điều kiện sau tương đương: (i) A đại số Frobenius ( tương ứng, đại số đối xứng) (ii) A ≅ A * A – môđun trái (tương ứng, A ≅ A * ( A,A ) – song môđun) 2.3.7 Bổ đề n Cho A1,A ,,A n F – đại số Khi ∏ Ai đại số Frobenius i =1 (tương ứng, đại số đối xứng) Ai đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng) Chứng minh: Giả sử ψ i ∈ A * cho ( Ai ,ψi ) đại số Frobenius, ≤ i ≤ n Đặt n A = ∏ Ai xác định ψ : A → F cho bởi: i =1 ψ ( a1,a ,,a n ) = ψ1 ( a1 ) + ψ ( a ) +  + ψ n ( a n ) Footer Page 48 of 16 Header Page 49 of 16 43 Khi rõ ràng ψ ∈ A * Đặt a = ( a1,a ,,a n ) giả sử ψ ( Aa ) = Lấy x = ( x1, x ,, x n ) ∈ A cho xj = với j ≠ i Khi ψ ( xa ) = ψi ( x ia i ) = với x i ∈ Ai Vì a i = a = nên ( A,ψ ) đại số Frobenius Ngược lại ( A,ψ ) đại số Frobenius, đặt ψ i =ψ  λi λi : Ai → A phép nhúng tắc Khi rõ ràng ( Ai ,ψ i ) đại số Frobenius ( Ai ,ψi ) Nếu đại số đối xứng, với a = ( a1,a ,,a n ) , b = ( b1,b ,,b n ) ta có: ψ ( ab ) = ψ1 ( a1b1 ) +  + ψ n ( a n b n ) = ψ1 ( b1a1 ) +  + ψ n ( b n a n ) = ψ ( ba ) Chứng tỏ ( A,ψ ) đại số đối xứng Ngược lại ( A,ψ ) đại số đối xứng, với a i , bi ∈ A ta có: ψ i ( a i bi ) =ψ ( λi ( a i bi ) ) =ψ ( λi ( a i ) λi ( bi ) ) =ψ ( λi ( bi ) λi ( a i ) ) =ψ ( λi ( bi a i ) ) = ψ i ( bi a i ) Do ( Ai ,ψ i ) đại số đối xứng 2.3.8 Bổ đề Nếu A đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng), với số nguyên dương n, M n ( A ) đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng) Chứng minh: Lấy ψ ∈ A * cho ( A,ψ ) đại số Frobenius Định nghĩa ánh xạ ( ) n λ : M n ( A ) → F cho công thức λ  a ij  = ψ ( a ii ), a ij ∈ A   ∑ i =1 Khi rõ ràng λ ∈ M n ( A ) * Giả sử (( ) ) λ a ij M n ( A ) = Footer Page 49 of 16 ( a ij ) ∈ M n ( A ) cho Header Page 50 of 16 44 ( ) Ta cần chứng tỏ a ij = Lấy cố định i, j ∈ {1,,n} kí hiệu eij ma trận mà vị trí ( i, j) vị trí khác Khi với a ∈ A : ( ) ( ) λ  a ij aeij  = ψ a jia =   ( ) Vì ( A,ψ ) đại số Frobenius, ta suy a ji = Vì a ij = M n ( A ) đại số Frobenius Nếu ( A,ψ ) đại số đối xứng, đó: n n n  n  n n a b a b λ  a ij bij  = ψ = ψ =  ∑ ik ki  ∑ ∑ ( ik ki ) ∑ ∑ ψ ( b ik ) =   =∑ i = k k =i =  =i =k ( )( ) n n ( )( ) = λ  bij a ij  ∑ ∑ ψ ( bik a ki ) =   =i = k chứng tỏ M n ( A ) đại số đối xứng Giả sử ( A,ψ ) đại số Frobenius X tập A Ta định nghĩa tập ⊥ X X ⊥ A xác định bởi: ⊥ X ={a ∈ A | ψ ( aX ) =0} X ⊥ ={a ∈ A | ψ ( Xa ) =0} Rõ ràng ⊥ X X ⊥ không gian A 2.3.9 Định lí Cho ( A,ψ ) đại số Frobenius X không gian A: ( ) ⊥ ⊥ (i) = X ⊥ ( ) ⊥ ⊥ = X ⊥ X dim = = dim FX F X dim F A − dim F X (ii) Nếu X iđêan trái (tương ứng, iđêan phải) A r ( X ) = X ⊥ (tương ứng l ( X ) = ⊥ X ) Đặc biệt, với e phần tử lũy đẳng A thì: ( Ae )⊥= (1 − e ) A Footer Page 50 of 16 Header Page 51 of 16 45 ⊥ A ( Ae ) ≅ eA A – môđun phải dim F eA = dim F Ae (iii) Nếu X iđêan trái A thì: dim F X + dim F r ( X ) = dim F A l ( r ( X ) ) = X Nếu X iđêan phải A thì: dim F X + dim F l ( X ) = dim F A r ( l ( X ) ) = X iv) Nếu ( A,ψ ) đại số đối xứng r ( X ) = l ( X ) với X iđêan hai phía A Chứng minh: (i) Lấy {a1,,a n } sở A cho {a1,,a m } sở X ( m ≤ n ) Ánh xạ: A → F × F ×  × F (n lần) a  ( ψ ( a1a ) , ψ ( a 2a ) ,, ψ ( a n a ) ) song ánh ảnh X ⊥ gồm tất ( λ1,, λ n ) ⊥ = dim F A − dim F X , chứng minh tương tự ta λ1 = =λ m =0 Vì dim FX ⊥ có dim = F X dim F A − dim F X Ta kết luận: dim F Vì X ⊆ ( ) ⊥ X ( X) ⊥ ⊥ ⊥ = dim F X nên ta có X = ( X) ⊥ ⊥ Tương tự ta có ⊥ (X ) = X ⊥ (ii) Giả sử X iđêan phải A Khi a ∈ ⊥ X ψ ( aX ) = hay ψ ( aXA ) = Vì điều kiện thứ hai tương đương với aX = , ta có l ( X ) = ⊥ X Chứng minh tương tự ta có r ( X ) = X ⊥ với X iđêan trái A ⊥ Cho x ∈ A , ta có x ∈ ( Ae ) ⇔ ψ ( Aex ) = ⇔ ex = ⇔ x ∈ (1 − e ) A , Footer Page 51 of 16 Header Page 52 of 16 46 ( Ae )⊥= (1 − e ) A A ( Ae )⊥ ≅ eA Cuối dim F eA = dim F Ae cách áp dụng (i) (iii) kết từ (i) đến (ii) iv) Giả sử ( A,ψ ) đại số đối xứng Khi ⊥ X = X ⊥ với tập X A Từ ta có kết thu áp dụng (ii) 2.3.10 Đại số tựa Frobenius Một đại số hữu hạn chiều A trường k gọi tựa Frobenius môđun phải quy A A môđun nội xạ Vì A A môđun nội xạ AA môđun nội xạ định nghĩa đại số tựa Frobenius có tính đối xứng trái phải 2.3.11 Định lí Mọi đại số Frobenius tựa Frobenius A A  ( A A ) môđun nội xạ * Vì đại số Frobenius xem vành vành tự nội xạ, ta coi đại số Frobenius lớp lớp vành tự nội xạ Footer Page 52 of 16 Header Page 53 of 16 47 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả trình bày vấn đề chủ yếu sau: • Môđun nội xạ, tính chất môđun nội xạ; mối liên hệ môđun nội xạ môđun chia được; vành Noether môđun nội xạ • Vành tự nội xạ, tính chất vành tự nội xạ; mối liên hệ vành Artin, vành Noether, vành địa phương, vành nửa hoàn thiện vành tự nội xạ • Khái niệm tính chất đại số Frobenius xem lớp lớp vành tự nội xạ Vì thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót Kính mong thầy cô bạn đồng nghiệp góp ý dẫn thêm Footer Page 53 of 16 Header Page 54 of 16 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số Đồng Điều, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh Karpilovsky G (1990), Induced modules over group algebras, Elsevier Science Publishers Hazewinkel M., Gubareni N., Kirichenko (2004), Algebras, Rings and Modules, Springer Tsit Yuen Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer Footer Page 54 of 16 ... Định nghĩa vành tự nội xạ 28 2.2.2 Iđêan vành tự nội xạ 30 2.2.3 Vành tự đồng cấu môđun nội xạ 31 2.2.4 Vành FDI tự nội xạ 32 2.2.5 Vành Noether tự nội xạ ... sinh vành tự nội xạ 33 2.2.7 Liên hệ vành Noether vành tự nội xạ 34 Footer Page of 16 Header Page of 16 2.2.8 Vành Artin vành tự nội xạ 34 2.2.9 Liên hệ vành Artin vành tự nội xạ. .. 1.22 Socle môđun, vành socular 15 Footer Page of 16 Header Page of 16 1.23 Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện 15 Chương MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS