Về Môđun và vành S-CS

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG OANH VỀ MƠĐUN VÀ VÀNH S-CS Chun ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TS Lê Văn Thuyết Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày .tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Khái niệm môđun nội xạ R Baer nghiên cứu vào năm 1940 Những năm sau đó, khái niệm khái niệm mở rộng nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học giới Theo đó, R-mơđun phải M gọi nội xạ với đơn cấu f : PR → QR , với PR , QR , đồng cấu γ : PR → MR tồn R-đồng cấu γ : QR → MR cho γf = γ / f P γ  M ~ / Q γ Đơn cấu µ : M → N gọi bao nội xạ môđun M (ký hiệu E(M )) N nội xạ µ đơn cấu cốt yếu Nếu MR nội xạ với mơđun A M ta có A≤e E(A)≤⊕ E(M ) = M Từ tính chất người ta đưa khái niệm mơđun CS hay gọi mơđun mở rộng Môđun M gọi CS môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Rõ ràng, môđun nội xạ CS Các kết môđun CS nghiên cứu viết đầy đủ sách “Extending modules” (N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer) Trong định nghĩa môđun CS, ta lấy môđun suy biến M thay mơđun M mơđun gọi s-CS Được gợi ý thầy giáo, GS TS Lê Văn Thuyết, tơi chọn đề tài: VỀ MƠĐUN VÀ VÀNH S-CS làm đề tài luận văn Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn tổng quan kiến thức liên quan đến môđun vành s-CS Trong q trình tổng quan, chúng tơi chứng minh cụ thể tính chất lớp mơđun vành này, làm rõ thơng qua số ví dụ Là tổng quan nên dùng làm tài liệu tham khảo cho số học viên cao học, cho sinh viên toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu môđun vành s-CS Phạm vi nghiên cứu luận văn sâu tìm hiểu khái niệm, tính chất lớp mơđun vành s-CS Phương pháp nghiên cứu - Đọc hiểu vấn đề liên quan đến môđun nội xạ, môđun CS - Thu thập nghiên cứu tài liệu, báo liên quan đến mơđun vành s-CS - Tổng hợp, phân tích, giải vấn đề nảy sinh - Trao đổi, thuyết trình xêmina nhóm Bố cục đề tài Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức mơđun, môđun cốt yếu đối cốt yếu, môđun suy biến khơng suy biến, mơđun đóng UC-môđun, môđun nội xạ, môđun CS số vành liên quan Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ, tính chất mơđun vành s-CS CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi chủ yếu trình bày số kiến thức môđun, môđun cốt yếu đối cốt yếu, môđun suy biến không suy biến, môđun đóng UC-mơđun, mơđun nội xạ, mơđun CS số vành liên quan Trong suốt luận văn này, vành nhắc đến ln vành kết hợp có đơn vị = 0, R-môđun unita nói đến mơđun ta hiểu mơđun phải 1.1 Một số khái niệm môđun Môđun MR gọi đơn M = M có hai mơđun M Vành R gọi đơn R = R có hai iđêan (hai phía) R Môđun M gọi nửa đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Vành R gọi nửa đơn phải (t.ư., trái) RR (t.ư., R R) nửa đơn Môđun A ≤ M gọi môđun cực tiểu môđun M A = với môđun B M mà B < A B = Môđun A ≤ M gọi môđun cực đại môđun M A = M với môđun B M mà A < B B = M Mệnh đề 1.1.1 Mơđun MR đơn M = với = m ∈ M, M = mR Cho A B hai R-môđun phải Đồng cấu α từ A vào B ánh xạ α : A → B thỏa mãn: ∀a1, a2 ∈ A, ∀r1, r2 ∈ R, α(a1r1 + a2r2) = α(a1)r1 + α(a2)r2 Ký hiệu: α : AR → BR Đồng cấu α : AR → BR gọi đơn cấu (t.ư., tồn cấu, đẳng cấu) đơn ánh (t.ư., tốn ánh, song ánh) Tính chất sau nêu lên bảo tồn mơđun qua đồng cấu Định lý 1.1.2 Cho α : AR → BR , lúc đó: (1) Nếu U ≤ A α(U ) ≤ B (2) Nếu V ≤ B α−1 (V ) ≤ A Sau định lý đồng cấu môđun Định lý 1.1.3 Mỗi đồng cấu môđun phải α : A → B phân tích α = α ν , đồng cấu ν : A → A/Ker(α) tồn cấu tắc, α : A/Ker(α) → B đơn cấu xác định α (a + Ker(α)) = α(a) Đơn cấu α đẳng cấu α toàn cấu Ta thu hệ sau từ định lý đồng cấu môđun Hệ 1.1.4 Cho α : AR → BR đồng cấu R-mơđun Lúc đó: A/Ker(α) ∼ = Im(α) Định lý 1.1.5 Nếu B ≤ AR C ≤ AR thì: (B + C)/C ∼ = B/(B ∩ C) Sau đặc trưng hạng tử trực tiếp RR , R R phân tích vành Phần tử e ∈ R gọi lũy đẳng vành R e2 = e Mệnh đề 1.1.6 Iđêan phải I vành R hạng tử trực tiếp RR tồn lũy đẳng e ∈ R cho I = eR Hơn nữa, e ∈ R lũy đẳng − e lũy đẳng RR = eR ⊕ (1 − e)R Cho N môđun M Nếu N ≤ M cực đại với tính chất N ∩ N = 0, ta nói N M -phần bù N Cho A A mơđun MR Khi A gọi M -phần phụ A A mơđun cực tiểu với tính chất A + A = M 1.2 Môđun cốt yếu môđun đối cốt yếu Một môđun K M cốt yếu lớn M với môđun L ≤ M , K ∩ L = suy L = Khi gọi M mở rộng cốt yếu K ký hiệu K ≤e M Một môđun K M đối cốt yếu bé M với môđun L ≤ M , K + L = M suy L = M ký hiệu K M Đơn cấu f : K → M gọi cốt yếu Im(f ) ≤e M Toàn cấu g : M → N gọi đối cốt yếu Ker(g) M Dưới vài tính chất đặc trưng môđun cốt yếu môđun đối cốt yếu Mệnh đề 1.2.1 Cho MR , K ≤ N ≤ M H ≤ M Khi đó: (1) K ≤e M ⇔ K ≤e N N ≤e M (2) H ∩ K ≤e M ⇔ H ≤e M K ≤e M Mệnh đề 1.2.2 Cho MR , K ≤ N ≤ M H ≤ M Khi đó: (1) N M ⇔K (2) H + K M N/K M ⇔H M K M/K M Mệnh đề 1.2.3 Môđun K ≤ M cốt yếu M với = x ∈ M tồn r ∈ R cho = xr ∈ K Mệnh đề 1.2.4 Cho MR , K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M M = M1 ⊕ M2, đó: (1) K1 ⊕ K2 M1 ⊕ M2 ⇔ K1 M1 K2 M2 (2) K1 ⊕ K2 ≤e M1 ⊕ M2 ⇔ K1 ≤e M1 K2 ≤e M2 Mệnh đề 1.2.5 Cho I iđêan phải cốt yếu R, r ∈ R đó: r−1I = {s ∈ R|rs ∈ I} ≤e R Mệnh đề 1.2.6 Cho f : M → N R-đẳng cấu Khi đó: A ≤e M ⇔ f (A) ≤e N Bổ đề 1.2.7 Nếu A ≤e M K ≤ M A ∩ K ≤e K Trong phần cuối mục này, giới thiệu đế môđun Đế phải môđun MR ký hiệu soc (MR ), tổng tất môđun đơn MR , giao tất môđun cốt yếu MR , môđun nửa đơn lớn M Căn môđun MR ký hiệu rad (MR ) giao tất môđun cực đại MR , tổng tất môđun đối cốt yếu MR Nếu M nửa đơn rad(M ) = Đặc biệt, rad (RR ) = rad (R R) = J(R) J(R) = {a ∈ R|1 − ar khả nghịch ∀r ∈ R} Mệnh đề 1.2.8 Mọi môđun N ≤ M có M -phần bù Hơn nữa, N M -phần bù N, thì: (1) N ⊕ N ≤e M (2) (N ⊕ N )/N ≤e M/N 1.3 Môđun suy biến môđun không suy biến Cho MR X ⊆ M Linh hóa tử phải X R định nghĩa là: r(X) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X} Cho A ⊆ R Linh hóa tử trái A M là: l(A) = {m ∈ M |ma = 0, a ∈ A} Cho MR Phần tử m ∈ M gọi phần tử suy biến M iđêan phải r(m) cốt yếu RR Tập hợp tất phần tử suy biến M ký hiệu Z(M ) Tập hợp Z(M ) có số tính chất sau: Mệnh đề 1.3.1 (1) Z(M ) ≤ M gọi môđun suy biến M (2) Z(M ).soc(RR ) = (3) Nếu f : M → N R-đồng cấu f (Z(M )) ≤ Z(N ) (4) Nếu M ≤ N Z(M ) = M ∩ Z(N ) Một mơđun MR gọi suy biến (t.ư., không suy biến) Z(M ) = M (t.ư., Z(M ) = 0) Vành R gọi suy biến phải (t.ư., suy biến trái, suy biến) Z(RR ) = R (t.ư., Z(R R) = R, suy biến phải suy biến trái) Định nghĩa tương tự vành R không suy biến phải Một môđun N gọi môđun suy biến M N ≤ M r(N ) ≤e RR Mệnh đề 1.3.2 Cho vành R, S = soc(RR ) Khi đó: Z(RR ) ≤ l(S) Mệnh đề 1.3.3 Cho A B R-mơđun phải Khi đó: Z(A ⊕ B) = Z(A) ⊕ Z(B) Mệnh đề 1.3.4 Cho A, B, C R-mơđun phải Khi đó: (1) Z(C) = C ⇔ C ∼ = B/A với A ≤e B (2) Nếu A ≤ B Z(B) = Z(B/A) = B/A ⇔ A ≤e B Môđun suy biến thứ hai Z2 (M ) M môđun M chứa Z(M ) cho Z2 (M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )) Mệnh đề 1.3.5 Cho R-môđun phải M, đó: (1) Z(M ) ≤e Z2 (M ) (2) Nếu U ≤ M M/U môđun không suy biến Z2 (M ) ≤ U 1.4 Mơđun đóng UC-mơđun Mơđun C gọi đóng M C khơng có mở rộng cốt yếu thực M ký hiệu C ≤c M Môđun K M gọi bao đóng mơđun N M K đóng M N ≤e K Định lý sau khẳng định tồn bao đóng mơđun Định lý 1.4.1 Bao đóng mơđun ln tồn Dưới vài tính chất đặc trưng mơđun đóng Mệnh đề 1.4.2 Nếu C ≤ D ≤ M , C ≤c D D ≤c M C ≤c M 10 biểu đồ sau giao hoán / f / M K ν  } ν U Cho QR môđun Q gọi nội xạ với đơn cấu f : KR → MR , với KR , MR đồng cấu ν : KR → QR tồn R-đồng cấu ν : M → Q cho biểu đồ sau giao hoán / f / M K ν  ~ ν Q Cho M R-mơđun phải Đơn cấu µ : M → Q gọi bao nội xạ M Q mơđun nội xạ µ đơn cấu cốt yếu Ví dụ 1.5.1 Đơn cấu ι : ZZ → QZ bao nội xạ ZZ Mệnh đề 1.5.2 Mọi mơđun có bao nội xạ Nó sai khác phép đẳng cấu Môđun M gọi tựa nội xạ M -nội xạ, tức đồng cấu β : X → M với X ≤ M, mở rộng đến tự đồng cấu β M / ι / M X β  M } β Môđun M s-N -nội xạ đồng cấu f : K → M, với K môđun suy biến N mở rộng đến N 1.6 Mơđun CS Mơđun M mơđun CS hay gọi thỏa mãn điều kiện C1 môđun mở rộng môđun M cốt yếu hạng 11 tử trực tiếp M Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện C2 môđun A M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện C3 A B hai hạng tử trực tiếp M thỏa mãn A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi liên tục M thỏa mãn điều kiện C1 C2 Môđun M gọi tựa liên tục M thỏa mãn điều kiện C1 C3 Mệnh đề 1.6.1 Nếu M môđun tựa nội xạ M CS Một mơđun khác khơng M gọi với hai mơđun khác khơng A, B M ta ln có A ∩ B = Hay nói cách khác M M = môđun khác khơng M cốt yếu M Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6.2 Nếu M môđun M CS Mệnh đề 1.6.3 Mọi hạng tử trực tiếp môđun CS CS Tuy nhiên lúc tổng trực tiếp hai môđun CS CS Với số nguyên tố p, Z-môđun Zp ⊕ Z2p môđun CS Z-môđun Zp ⊕ Z3p khơng phải mơđun CS, mơđun K = Z(1+ Zp , p+ Z3p ) môđun đóng mà khơng phải hạng tử trực tiếp Mệnh đề 1.6.4 Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 R-mơđun phải Khi đó, M1 M2 -nội xạ với môđun N M mà N ∩ M1 = 0, tồn môđun M M cho N ⊆ M M = M1 ⊕ M 12 Mệnh đề đưa điều kiện để tổng trực tiếp hai môđun CS môđun CS Mệnh đề 1.6.5 Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 môđun CS Môđun M CS với mơđun đóng K M thỏa mãn K ∩ M1 = K ∩ M2 = K hạng tử trực tiếp M Họ R-môđun {Mi |i ∈ I} gọi nội xạ tương hỗ Mi Mj -nội xạ với i, j ∈ I, i = j Mệnh đề 1.6.6 Cho M = M1 ⊕ ⊕ Mn tổng trực tiếp hữu hạn môđun nội xạ tương hỗ Mi Khi M mơđun CS Mi CS với i Mệnh đề cho thấy mối liên hệ môđun CS mơđun suy biến thứ hai Mệnh đề 1.6.7 Môđun MR CS M = Z2 (M ) ⊕ M , với M mơđun M cho M Z2(M ) môđun CS Z2 (M ) M -nội xạ Mệnh đề 1.6.8 Cho M R-môđun CS giả sử rằng: (1) R thỏa mãn điều kiện ACC iđêan trái có dạng l(m), m ∈ M, (2) M có dãy ACC mơđun linh hóa tử Khi M tổng trực tiếp môđun Từ Mệnh đề 1.6.8 ta có hệ sau: Hệ 1.6.9 Cho M R-mơđun khơng suy biến CS Khi M tổng trực tiếp môđun R thỏa mãn điều kiện ACC iđêan trái có dạng l(m) với m ∈ M 13 Cho dãy hữu hạn môđun mơđun A Giả sử là: = B0 ≤ B1 ≤ B2 ≤ ≤ Bk−1 ≤ Bk = A Dãy gọi dãy hợp thành A với i = 1, 2, , k, Bi−1 cực đại Bi ta nói k độ dài dãy hợp thành Độ dài mơđun A định nghĩa độ dài dãy hợp thành A Mệnh đề 1.6.10 Giả sử M = M1 ⊕ M2 với M1 môđun nửa đơn M2 tổng trực tiếp môđun nội xạ tương hỗ có độ dài Khi M mơđun CS 1.7 Một số vành liên quan Vành R gọi nửa hoàn chỉnh R/J nửa đơn phần tử lũy đẳng nâng modulo J Mệnh đề 1.7.1 Cho vành R, điều kiện sau tương đương: (1) R vành nửa hoàn chỉnh (2) Mọi R-mơđun phải (trái) hữu hạn sinh có phủ xạ ảnh (3) Mọi R-môđun phải (trái) cyclic có phủ xạ ảnh (4) Mọi R-mơđun phải (trái) đơn có phủ xạ ảnh Mơđun MR gọi Artin (t.ư., Nơte) tập khác rỗng môđun M có phần tử cực tiểu (t.ư., cực đại) Vành R gọi Artin (t.ư., Nơte) phải môđun RR Artin (t.ư., Nơte) Tập κ mơđun mơđun M gọi thỏa mãn điều kiện dãy giảm hay DCC với dãy K1 ≥ K2 ≥ ≥ Kn ≥ κ, tồn n ∈ N Kn+i = Kn với i = 1, 2, Dưới đặc trưng môđun Artin 14 Định lý 1.7.2 Cho MR A ≤ M Các điều kiện sau tương đương: (1) M Artin (2) A M/A Artin (3) M thỏa mãn DCC tập môđun (4) Mỗi môđun thương môđun M hữu hạn đối sinh (5) Trong tập {Ai , i ∈ I} = môđun môđun M tồn tập hữu hạn {Ai , i ∈ I0 } (nghĩa I0 ⊂ I hữu hạn) cho Ai = i∈I Ai i∈I0 Tập κ mơđun mơđun M gọi thỏa mãn điều kiện dãy tăng hay ACC với dãy K1 ≤ K2 ≤ ≤ Kn ≤ κ, tồn n ∈ N Kn+i = Kn với i = 1, 2, Dưới đặc trưng môđun Nơte Định lý 1.7.3 Cho MR A ≤ M Các điều kiện sau tương đương: (1) M Nơte (2) A M/A Nơte (3) M thỏa mãn ACC tập môđun (4) Mỗi môđun môđun M hữu hạn sinh (5) Trong tập {Ai , i ∈ I} = môđun môđun M tồn tập hữu hạn {Ai , i ∈ I0 } (nghĩa I0 ⊂ I hữu hạn) cho i∈I Ai = i∈I0 Ai Vành R gọi CS phải (t.ư., trái) RR (t.ư., R R) CS 15 Ví dụ 1.7.4 Xét vành: R= F F F với F trường Ta có vành R CS phải Vành R gọi vành Kasch phải môđun phải đơn K nhúng RR hay RR đối sinh K Vành R thỏa mãn điều kiện đương tương sau gọi vành tựa Frobenius, viết tắt QF (1) Vành R QF (2) R vành Artin phải trái, tự nội xạ phải trái (3) R vành Nơte phải trái, tự nội xạ phải trái (4) R vành Artin phải trái, tự nội xạ phải trái (5) R vành Nơte phải trái, tự nội xạ phải trái (6) R thỏa mãn ACC linh hóa tử phải trái, tự nội xạ phải trái Mệnh đề 1.7.5 Mọi vành nửa đơn không suy biến Đặc biệt, vành R nửa đơn R-môđun phải M không suy biến Vành R gọi vành CF phải R-môđun phải cyclic nhúng mơđun tự Vành R gọi vành F GF phải R-mơđun phải hữu hạn sinh nhúng môđun tự Ta dễ thấy vành CF phải FGF phải Mệnh đề 1.7.6 Mọi vành CS phải, CF phải Artin phải Hơn nữa, vành CS phải, F GF phải QF 16 CHƯƠNG MƠĐUN S-CS Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ minh họa tính chất liên quan đến môđun vành s-CS 2.1 Định nghĩa ví dụ mơđun s-CS Định nghĩa 2.1.1 Môđun M gọi s-CS môđun suy biến M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Vành R gọi s-CS phải (t.ư trái) RR (t.ư R R) môđun s-CS Ta dễ thấy môđun không suy biến s-CS Ví dụ 2.1.2 Vành Z ví dụ vành giao hốn khơng suy biến từ s-CS Ví dụ 2.1.3 Lấy R Z-đại số sinh x y , yx = y = Ta có vành R khơng suy biến trái nên R R s-CS Ví dụ 2.1.4 Sau vành khơng giao hốn khơng suy biến phải khơng phải khơng suy biến trái s-CS hai phía Xét vành R= Z Z2 Z2 Ta có: Z(R R) = Z2 0 mà Z2 0 ≤e Z2 Z2 ≤⊕ R R = Vậy R R s-CS Lại có Z(RR ) = nên RR s-CS Z2 Z2 ⊕ Z 0 17 Ví dụ 2.1.5 Sau ví dụ vành s-CS hai phía mà không suy biến Xét vành R= Z4 2Z4 Z4 Ta có: Z(RR ) = Z(R R) = 2Z4 2Z4 2Z4 Ta thấy môđun suy biến A R cốt yếu hạng tử trực tiếp R Vậy RR R R s-CS Ví dụ 2.1.6 Từ Mệnh đề 1.7.5 ta thấy vành R nửa đơn vành s-CS Hơn nữa, vành R mà R-môđun phải (trái) không suy biến vành s-CS Do môđun tựa nội xạ CS (theo Mệnh đề 1.6.1) nên s-CS Ví dụ 2.1.7 Vành Zn tự nội xạ với n ∈ Z Suy Zn s-CS với n ∈ Z Ví dụ 2.1.8 Vành giao hoán R = Z2 [x1 , x2 , ] với x3i = ∀i, xixj = ∀i = j x2i = x2j = m = ∀i, j ví dụ vành s-CS khơng phải s-nội xạ 2.2 Các tính chất mơđun s-CS Ảnh đồng cấu môđun s-CS môđun s-CS Thật vậy, ta xét Z-đồng cấu sau: → Z2 ⊕ Z8 a+bi → (a + 2Z, b + 8Z) f : Z[i] 18 với f tồn cấu, Z[i] mơđun s-CS Z2 ⊕ Z8 khơng phải mơđun s-CS (theo Ví dụ 2.2.6) Mệnh đề 2.2.1 Cho AR môđun s-CS, AR ∼ = BR Khi đó, BR môđun s-CS Bổ đề 2.2.2 Cho M R-môđun phải, điều kiện sau tương đương: (1) Z2 (M ) CS Z2 (M )≤⊕ M (2) M s-CS Chứng minh (1)⇒(2) Giả sử Z2 (M ) CS Z2 (M )≤⊕ M , N mơđun suy biến M Ta có: N ≤ Z(M ) ≤ Z2(M )≤⊕M Do Z2 (M ) CS suy N ≤eN ≤⊕Z2(M ) hay N ≤e N ≤⊕ M Vậy M s-CS (2)⇒(1) Giả sử M s-CS K ≤ Z2 (M ) ≤ M Vì M s-CS nên ta có = Z(K)≤eL≤⊕M Ta có L≤e K + L Thật vậy, với k + l ∈ K + L, k + l = 0, cho k = 0, k ∈ K ≤ Z2 (M ) nên (k + Z(M )).I = với I ≤e RR Suy tồn r ∈ R cho: kr = kr ∈ Z(M ) 19 Từ kr + lr = (k + l)r = kr ∈ K ∩ Z(M ) = Z(K) ≤ L Vậy nên (k + l)r ∈ L Vì L≤⊕ M nên L≤c M suy K + L = L hay K ≤ L Do K ≤e L (vì Z(K) ≤e L) Ta có Z2 (M )≤e L + Z2 (M ) Thật vậy, với l ∈ L, tồn r ∈ R cho: lr ∈ Z(K) ≤ Z2(M ) Với l + Z ∈ L + Z2 (M ) (l ∈ L, z ∈ Z2 (M )) ta có: (l + z)r = lr + zr ∈ Z2(M ) Ta có Z2 (M ) ≤c M Suy L + Z2(M ) = Z2(M ) hay L ≤ Z2(M ) Từ L ≤⊕ Z2 (M ) Vì Z2 (M ) CS Do Z2 (M ) bao đóng Z(M ) M nên ta có Z2(M ) ≤⊕ M Ví dụ 2.2.3 Xét vành Z/4Z 2Z/4Z Z/4Z s-CS phải Ví dụ 2.1.5 Ta có: 2Z/4Z 2Z/4Z Z(RR ) = 2Z/4Z suy R/Z(R) suy biến Vì vậy: R= ≤e R Z2(R)/Z(R) = R/Z(R) hay Z2(R) = R ≤⊕ R 20 Các tác giả Dinh Van Huynh, S K Jain S R López-Permouth chứng minh vành R đơn cho R-mơđun phải cyclic suy biến CS R Nơte phải Vậy R đơn cho R-mơđun phải cyclic s-CS R có Nơte phải hay khơng? Ta có hệ sau: Hệ 2.2.4 Nếu R đơn cho R-môđun phải cyclic s-CS R Nơte phải Bổ đề sau mở rộng tính chất Mệnh đề 1.6.4 cho môđun s-CS Bổ đề 2.2.5 Cho M1 , M2 R-môđun phải, M = M1 ⊕ M2 Khi đó, M1 s-M2 -nội xạ với môđun suy biến N M mà N ∩ M1 = 0, tồn môđun M M cho M = M1 ⊕ M , N ⊆ M M ∼ = M2 Ví dụ 2.2.6 Dưới ví dụ cho thấy tổng trực tiếp hai môđun s-CS không s-CS Ta có Z2 , Z8 Z-mơđun s-CS Z2 ⊕ Z8 không môđun s-CS Đặt: N = Z2 ⊕ Z8, S = Z2 ⊕ 0, K = Z(1 + 2Z, + 8Z) Xét đồng cấu: f : Z2 ⊕ Z8 (a, b) →S⊕K → (a, 0) + b(1, 2) Ta có Kerf = 0, Iimf = S ⊕K suy f đẳng cấu suy S ⊕K ≤⊕ N K chứa hạng tử trực tiếp N N S ⊕ K Ta có K mơđun suy biến N K.4Z = 4Z ≤e Z Vì K ∩ S = nên K không cốt yếu K ⊕ S Mặt khác ta có K khơng cốt yếu N = K = Z(0 + 2Z, + 8Z) ≤ N K ∩ K = Vì Z2 ⊕ Z8 khơng mơđun s-CS 21 Bổ đề 2.2.7 Cho M1 , M2 R-môđun phải, M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 s-CS môđun M1 s-M2 -nội xạ Khi đó, M s-CS Bổ đề 2.2.8 Cho M U C -môđun Nếu M s-CS hạng tử trực tiếp M s-CS Bổ đề 2.2.9 Cho M = M1 ⊕M2 UC-môđun cho Z(M1 )≤e M1 Z(M2 ) = Khi đó, Hom(K, Mi ) = với K ≤ Mj , i = j(i, j = 1, 2) Từ Bổ đề 2.2.7, 2.2.8 2.2.9 ta có kết sau: Hệ 2.2.10 Cho M = M1 ⊕ M2 UC-môđun, Z(M1 )≤e M1 , Z(M2) = Khi đó, M s-CS M1 CS Từ định nghĩa môđun CS s-CS ta thấy môđun CS s-CS, mơđun s-CS CS nào? Ta có Bổ đề sau: Bổ đề 2.2.11 Cho M môđun cho M/Z(M ) đơn Khi đó, M s-CS M CS Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện (P ) với môđun N M, tồn hạng tử trực tiếp K M cho Z(K) ≤ N ≤ K Mơđun M có chiều n (n số nguyên không âm) M chứa tổng trực tiếp n môđun khác không không chứa tổng trực tiếp n + môđun khác không Bổ đề 2.2.12 Cho M môđun không CS có chiều cho = Z(M )≤⊕ M Khi đó, M khơng thỏa mãn điều kiện (P ) Mệnh đề 2.2.13 Cho M UC-môđun, M thỏa mãn điều kiện (P ) M s-CS môđun Mệnh đề 2.2.14 Cho M mơđun s-CS Nếu M/soc(M ) có chiều hữu hạn M = K ⊕ S ⊕ T với K có chiều hữu hạn, S nửa 22 đơn Z(T ) = Môđun M gọi thỏa mãn điều kiện C2 K L môđun M, K ∼ = L, K ≤⊕ M L ≤⊕ M Ta có mơđun M gọi thỏa mãn điều kiện C3 K L môđun M, K ∩ L = 0, K ≤⊕ M L ≤⊕ M K ⊕ L ≤⊕ M Ta có M thỏa mãn điều kiện C2 kéo theo M thỏa mãn điều kiện C3 Mệnh đề 2.2.15 Giả sử MR s-M -nội xạ Khi đó: (1) Nếu K, L môđun suy biến M , K ∼ = L, K≤⊕M L≤⊕ M (Tức M thỏa mãn điều kiện s-C2) (2) Nếu K, L môđun suy biến M , K ∩ L = 0, K≤⊕M, L≤⊕M K ⊕ L≤⊕M (Tức M thỏa mãn điều kiện sC3) Mệnh đề 2.2.16 Nếu mơđun M thỏa mãn điều kiện s-C2 M thỏa mãn điều kiện s-C3 Một môđun gọi s-liên tục thỏa mãn điều kiện s-C1 s-C2, tựa s-liên tục thỏa mãn điều kiện s-C1 s-C3 Vành R gọi s-liên tục phải (tương ứng, tựa s-liên tục phải) RR s-liên tục (tương ứng, tựa s-liên tục) Cho R-mơđun phải M, Ω(M ) tập đại diện lớp tương đương môđun thương đơn M C(M ) tập đại diện lớp tương đương mơđun đơn M Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.2.17 Cho vành R môđun PR CS, hữu hạn sinh tựa xạ ảnh cho |Ω(P )| ≤ |C(P )| Khi |Ω(P )| = |C(P )| PR có đế cốt yếu hữu hạn sinh Mệnh đề 2.2.18 Nếu R-môđun phải đơn suy biến nhúng 23 M M s-CS Z2 (M ) hữu hạn đối sinh 2.3 Các tính chất liên quan đến vành s-CS vành liên quan Vành R gọi vành P F phải RR nội xạ vật đối sinh phạm trù R-môđun phải Mệnh đề 2.3.1 Cho vành R R vành PF phải RR vật đối sinh (Zr2)R CS Hệ 2.3.2 Vành R PF phải RR vật đối sinh s-CS phải Bổ đề 2.3.3 Cho mR R-môđun phải đơn khơng suy biến Khi mR nhúng R Bổ đề 2.3.4 Vành R nửa hoàn chỉnh Rmơđun phải suy biến đơn có phủ xạ ảnh Mệnh đề 2.3.5 Nếu vành R s-CS cho R-môđun phải đơn suy biến nhúng (Z2r )R R vành nửa hồn chỉnh Định lý 2.3.6 Cho R vành s-CS phải CF phải Khi đó, R vành Artin phải Các tác giả Gómez Pardo Guil Asensio chứng minh vành CS phải FGF phải vành QF phải, sử dụng định lý mở rộng kết cho trường hợp vành s-CS Hệ 2.3.7 Cho R vành s-CS phải, F GF phải Khi vành R QF 24 KẾT LUẬN Nội dung luận văn chia thành hai chương Trong chương số kiến thức vành môđun Chương tơi trình bày số kết liên quan đến môđun, môđun suy biến không suy biến, mơđun đóng, mơđun nội xạ, mơđun mở rộng số vành liên quan vành Artin, vành Nơte, vành Kasch, vành QF, Chương trình bày nội dung luận văn Chương bao gồm ba phần Phần thứ đưa định nghĩa ví dụ mơđun vành s-CS Trong có Ví dụ 2.1.8 khác biệt vành s-CS vành s-nội xạ Phần thứ hai trình bày tính chất đặc trưng của mơđun s-CS Không phải lúc tổng trực tiếp hai môđun s-CS môđun s-CS, điều chứng tỏ qua Ví dụ 2.2.6 Bổ đề 2.2.7 chứng minh M1 , M2 môđun s-CS M1 ⊕ M2 mơđun s-CS M1 s-M2 -nội xạ Trong phần thứ ba trình bày tính chất liên quan đến vành s-CS Trong phần có đưa điều kiện để vành s-CS trở thành vành nửa hoàn chỉnh, nội dung trình bày Mệnh đề 2.3.5 Ta có vành CS phải FGF phải vành QF Kết mở rộng cho vành s-CS Hệ 2.3.7 Mọi vành s-CS phải FGF phải vành QF Luận văn tổng hợp đồng thời chi tiết hóa chứng minh định lý, mệnh đề, hệ số ví dụ mơđun vành s-CS Để tiếp tục cho đề tài này, hướng đến việc mở rộng môđun s-CS cách thay môđun suy biến định nghĩa môđun s-CS môđun suy biến hữu hạn sinh Tức môđun mà môđun suy biến hữu hạn sinh cốt yếu hạng tử trực tiếp Chúng tơi hy vọng thu vài kết vấn đề ... thức vành môđun Chương trình bày số kết liên quan đến môđun, môđun suy biến không suy biến, môđun đóng, mơđun nội xạ, mơđun mở rộng số vành liên quan vành Artin, vành Nơte, vành Kasch, vành QF,... M M s-CS Z2 (M ) hữu hạn đối sinh 2.3 Các tính chất liên quan đến vành s-CS vành liên quan Vành R gọi vành P F phải RR nội xạ vật đối sinh phạm trù R -môđun phải Mệnh đề 2.3.1 Cho vành R R vành. .. có vành CS phải FGF phải vành QF Kết mở rộng cho vành s-CS Hệ 2.3.7 Mọi vành s-CS phải FGF phải vành QF Luận văn tổng hợp đồng thời chi tiết hóa chứng minh định lý, mệnh đề, hệ số ví dụ môđun vành