LUẬN VĂN THẠC SĨ MÔĐUN VÀ VÀNH C2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN PHƯƠNG THẢO MÔĐUN VÀ VÀNH C2 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN PHƯƠNG THẢO MƠĐUN VÀ VÀNH C2 Chun ngành: Phương Pháp Tốn Sơ Cấp Mã số: 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, ngày 27 tháng 05 năm 2014 Người thực Nguyễn Phương Thảo CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Tên gọi N Tập hợp số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên Q Tập hợp số hữu tỉ R Tập hợp số thực A≤M A môđun môđun M A ≤e M A môđun cốt yếu môđun M A ≤⊕ M A hạng tử trực tiếp môđun M A⊂M A tập hợp M End(M ) Vành tự đồng cấu môđun M Hom(N, M ) Tập tất đồng cấu môđun từ N đến M Kerf Hạt nhân đồng cấu f ⊕I Mi Tổng trực tiếp môđun {Mi }I M/N Môđun thương M N ϕ|A N∼ =M Thu hẹp ϕ A AR A R-môđun phải Môđun N đẳng cấu tới M MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT CHƯƠNG MÔĐUN VÀ VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN C2 12 2.1 MÔĐUN VÀ VÀNH C2 12 2.2 MÔĐUN GC2 VÀ CÁC VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NÓ 20 CHƯƠNG MÔĐUN C2 MẠNH 27 3.1 MÔĐUN C2 MẠNH 27 3.2 VÀNH C2 MẠNH 31 KẾT LUẬN 37 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) LỜI MỞ ĐẦU Ta biết giả thuyết vành F GF vành CF ; vành F GF có phải vành QF hay khơng vành CF phải có phải vành Artin phải hay không Liên quan đến giả thuyết CF , năm 1989, Faith Menal đưa phản ví dụ chứng tỏ vành CF phải không Artin phải Tuy nhiên giả thuyết F GF đến chưa trả lời Năm 1999, Li Chen trả lời giả thuyết F GF trường hợp vành cho vành C2 mạnh Có thể nói lớp vành, mơđun C2 trả lời giả thuyết F GF đề tài thu hút nhiều tác giả nước quan tâm Hơn trường hợp tổng quát đối ngẫu cần nghiên cứu Ngoài ra, số áp dụng chúng vào lớp vành cổ điển vành Artin, Nơte, vành nửa đơn xét đến Chính với định hướng TS Trương Cơng Quỳnh tơi chọn đề tài: “MƠĐUN VÀ VÀNH C2” làm đề tài luận văn thạc sĩ Thơng qua luận văn chúng tơi nêu khái niệm, tính chất, định lý môđun vành C2 vành liên quan Qua làm rõ nghiên cứu có, tìm hiểu sâu môđun vành C2, n-C2, vành C2 mạnh Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương đưa số khái niệm lý thuyết môđun, vành đưa số kết biết phục vụ cho chương chương luận văn • Chương Môđun vành với điều kiện C2 Trong chương chúng tơi đưa định nghĩa, ví dụ tiêu biểu, tính chất đặc trưng mơđun vành C2 Đồng thời đưa định nghĩa, tính chất mơđun GC2 vành tự đồng cấu • Chương Mơđun C2 mạnh Trong chương chúng tơi đưa định nghĩa tính chất đặc trưng môđun vành C2 mạnh Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức hạn chế nên có nhiều cố gắng khơng thể tránh khỏi sai sót q trình hồn thiện đề tài Rất mong nhận xét, đánh giá q thầy bạn để đề tài hoàn thiện CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Trong toàn luận văn này, ta quy ước R vành có đơn vị khác ký hiệu Trước hết ta nhắc lại khái niệm môđun: Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Một R-mơđun phải M là: (1) Nhóm cộng aben M với (2) Ánh xạ M × R −→ M (m, r) −→ mr gọi phép nhân môđun, thỏa mãn điều kiện sau: (i) Qui tắc kết hợp: (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) (ii) Qui tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 (iii) Qui tắc unita: m1 = m m, m1 , m2 phần tử tùy ý M, r1 , r2 ∈ R Lúc R gọi vành sở Nếu M R-mơđun phải ta thường kí hiệu M = MR Tương tự ta định nghĩa khái niệm R-môđun trái Ví dụ 1.1.2 (1) Khơng gian vectơ trường R mơđun trường R (2) Mọi nhóm aben cộng xem Z-môđun Ngược lại, Z-môđun thu từ nhóm aben cộng (3) Vành R xem mơđun phải (trái) Nhờ trường hợp người ta nghiên cứu nhiều tính chất vành thơng qua mơđun vành (4) Xét R vành giao hốn có đơn vị Lúc vành R[x] đa thức ẩn x hệ tử R Xét R[x] với phép cộng thông thường với phép nhân môđun xác định sau: r(ao + a1 x + · · · + an xn ) = rao + ra1 x + · · · + ran xn Với r ∈ R, ao , · · · , an ∈ R Lúc dễ dàng kiểm chứng R[x] R-môđun Định nghĩa 1.1.3 Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M (kí hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR ), A R-môđun phải với phép tốn cộng nhân mơđun hạn chế A Định nghĩa 1.1.4 (1) Môđun MR gọi đơn M = với A ≤ M [A = hay A = M ], nghĩa M = M có hai mơđun M (2) Vành R gọi đơn R = với A ≤R RR [A = hay A = R], nghĩa R = R có hai iđêan hai phía R (3) Môđun A = M gọi môđun cực tiểu môđun M A = với B ≤ M [B < A ⇒ B = 0] (4) Tương tự, môđun A = M gọi môđun cực đại môđun M A = M với B ≤ M [A < B ⇒ B = M ] Định nghĩa 1.1.5 Cho MR N ≤ M N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun P M cho M = N ⊕ P Lúc ta nói P mơđun phụ N M Từ ta suy ra: N hạng tử trực tiếp M ⇐⇒ ∃P ≤ M [M = N + P N ∩ P = 0] Định nghĩa 1.1.6 Cho A B hai R-môđun phải Đồng cấu α từ A vào B ánh xạ α : A −→ B thỏa mãn: Với a1 , a2 ∈ A, r1 , r2 ∈ R[α(a1 r1 + a2 r2 )] = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 lúc ta viết α : AR −→ BR Định nghĩa 1.1.7 Đồng cấu α : AR −→ BR gọi đơn cấu đơn ánh, gọi tồn cấu nến tồn ánh, gọi đẳng cấu α song ánh, nghĩa tồn cấu đơn cấu Ví dụ 1.1.8 (1) Đồng cấu khơng từ AR vào BR : a −→ ∈ B (2) Phép nhúng mơđun A vào BR là: i : A −→ B a −→ a Định nghĩa 1.1.9 Cho môđun MR (1) Môđun M gọi hữu hạn sinh M tồn hệ sinh gồm hữu hạn phần tử (2) Môđun M gọi cyclic sinh phần tử Ví dụ 1.1.10 (1) Mỗi mơđun M có hệ sinh tầm thường M (2) Cho R vành Khi sở RR hay R R Định nghĩa 1.1.11 Một môđun MR gọi phẳng cho đơn cấu f : R A −→ R B , 1M ⊗ f : M ⊗ R A −→ M ⊗ R B đơn cấu (của nhóm aben) Mệnh đề 1.1.12 Nếu M ∼ = M M phẳng, M phẳng 26 Định lý 2.2.15 Nếu MR C1 mơđun phát biểu sau tương đương: (1) M GC2 (2) Với môđun N M , toàn cấu f : N −→ M với ker(f ) đóng M mở rộng tới đồng cấu M (3) Nếu A⊕B ≤ M f : A⊕B −→ M toàn cấu với ker(f ) = B tồn g ∈ End(MR ) mở rộng tới f Chứng minh (1) =⇒ (2) Cho f thỏa mãn giả thiết M (2) Theo C1, ker(f )⊕A = M với A mơđun ker(f )⊕(A∩N ) = N Vì N ∩A ∼ = im(f ) = M nên hạng tử trực tiếp M (theo GC2) Do đó, N hạng tử trực tiếp M (theo Bổ đề 2.2.14) Và f mở rộng tới đẳng cấu M (2) =⇒ (3) Cho f thỏa mãn giả thiết (3) Chọn mở rộng cốt yếu lớn B B M , f mở rộng tới toàn cấu f : A ⊕ B −→ M với ker(f ) = B Khi f mở rộng tới M (3) =⇒ (1) Cho A ≤ M ϕ : A −→ M đẳng cấu Theo C1, tồn D ≤⊕ M cho A ≤e D tồn phân tích M = D ⊕ B B ≤ M Và ta định nghĩa f : A ⊕ B −→ M với f = ϕ⊕0 ker(f ) = B im(f ) = M Suy tồn g ∈ End(MR ) mở rộng f Vì g|A = ϕ đơn cấu A ≤e D, g|D đơn cấu Nhưng M = ϕ(A) = g(A) ≤ g(D) ≤ M , g(A) = g(D) nên A = D ≤⊕ M 27 CHƯƠNG MÔĐUN C2 MẠNH 3.1 MÔĐUN C2 MẠNH Định nghĩa 3.1.1 Với R vành MR R-môđun phải, S = End(MR ) vành tự đồng cấu MR n số nguyên dương MR gọi môđun n − C2 rM (s1 , s2 , · · · , sn ) = với s1 , s2 , · · · , sn ∈ S thỏa mãn Ss1 + Ss2 + · · · + Ssn = Một vành R gọi vành n − C2 phải RR môđun n − C2 Định lý 3.1.2 Cho R vành, M R-môđun phải, S = End(MR ) n số nguyên dương Khi điều sau tương đương: (1) M n − C2 (2) Với số nguyên dương k A ∈ Mn×k (S) rM k (A) = tồn ma trận B ∈ Mn×k (S) cho BA = I với I ma trận đơn vị Mk (S) (3) Với số nguyên dương k, đơn cấu α : M k −→ M n chẻ (4) Tồn đơn cấu α : M −→ M n chẻ Chứng minh   a a · · · a1k   11 12 a   21 a22 · · · a2k  (1) =⇒ (2) Giả sử A =   ∈ Mn×k (S) rM k (A) =   ··· ···   an1 an2 · · · ank Nếu m ∈ rM (a11 , a21 , · · · , an1 ) ta có m = để (m, 0, · · · , 0)T ∈ rM k (A) = Điều có nghĩa rM (a11 , a21 , · · · , an1 ) = 0, tồn s1j ∈ S với j = 28 1, 2, · · · , n cho s11 a11 +s12 a12 +· · ·+s1n a1n = a12 +  Ta có s11 a11 +s12 −u12 · · · −u1k   0  · · ·   · · · + s1n a1n = u1j với j = 2, 3, · · · , k U1 =     · · · · · ·   0 ··· (s11 , s12 , · · · , s1n )AU 1 = (1, 0, · · · , 0)  b b · · · b1k  11 12  b  b · · · b 2k   21 22 Ký hiệu AU1 =   rM k (AU1 ) = cho U1 khả   · · · · · ·   bn1 bn2 · · · bnk nghịch Mk (S) Tương tự ta rM (b12 , b22 , · · · , bn2 ) = tồn s2j ∈ (S) với j = 1, 2, · · · , n viết s21 b12 +s22 b22 +· · ·+s2n bn2 = Ta có s21 b1j + s22 b2j + · · · +s2n bnj = u2j với j = 3, 4, · · · , k 0 ···    −u · · · −u  s11 s12 · · · s1n 23 2k   U2 =  AU1 U2 =  · · · · · · · · · · · · · · ·  s s · · · s 21 22 2n   0 ··· 1 0 ··· , với s21 b11 + s22 b21 + · · · + s2n bn1 l21 · · · Tiếp có ma trận khả Uk ma trận  tục ta  nghịch U3 , · · · ,  ··· s s · · · s1n    11 12  l  s  · · · s · · · s 2n   21   21 22 L=  ∈ Mk (S), C =   ∈ Mk×n (S) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·      lk1 lk2 · · · sk1 sk2 skn CAU1 · · · Uk = L Chúng ta kiểm tra lại ma trận tam giác với số nằm đường chéo khả nghịch, L khả nghịch Mk (S) Vì CAU1 · · · Uk = L ta có U1 · · · Uk L− 1CAU1 · · · Uk = U1 · · · Uk Khử U1 · · · Uk hai vế ta có U1 · · · Uk L− 1CA = I Với B = U1 · · · Uk L− 1C , BA = I 29 (2) =⇒ (3) Với đồng cấu α : M k −→ M n coi ma trận n × k S , ký hiệu A Vì α đơn cấu, rM k (A) = Tồn ma trận B ∈ Mk×n (S), cho BA = I (2) Khi tồn đồng cấu β : M k −→ M n , cho βα = 1M k Suy α : M k −→ M n chẻ (3) =⇒ (4) Hiển nhiên (4) =⇒ (1) Giả sử rM (s1 , s2 , · · · , sn ) = với s1 , s2 , · · · , sn ∈ S Do ta chứng minh Ss1 + Ss2 + · · · + Ssn = S Ta xét ánh xạ α : M −→ M n cho tương ứng m −→ (s1 (m), s2 (m), · · · , sn (m))T Chúng ta dễ dàng kiểm tra ánh xạ đơn cấu Vì theo (4) α chẻ ra, tồn đồng cấu β : M n −→ M cho βα = 1M Ký hiệu τi phép nhúng tắc theo thành phần thứ i M −→ M n cho tương ứng m −→ (0, 0, · · · , m, · · · , 0)T Thì βτi ∈ S βτ1 s1 + βτ2 s2 + · · · + βτn sn = 1M Từ ta có Ss1 + Ss2 + · · · + Ssn = S Mệnh đề 3.1.3 Cho M R-môđun phải n số nguyên dương Nếu M n − C2 hạng tử trực tiếp M môđun n − C2 Chứng minh Theo giả thiết M môđun n − C2 N = eM , với e2 = e ∈ End(M ) Mọi đơn cấu α : N −→ N m có đơn cấu α ¯ : M −→ M n cho tương ứng m −→ α(em) + ((1 − e)m, 0, · · · , 0) Theo Định lý 3.1.2 ta có đồng cấu β : M n −→ M cho β α ¯ = 1M Ký hiệu i : N n → M n nhúng đơn cấu Với x ∈ N, eβiα(x) = eβ α ¯ (x) = x Vì eβiα = 1N , α chẻ ra, N môđun n − C2 Mệnh đề 3.1.4 Cho R vành, MR R-môđun phải S = End(M ) MR môđun C2 với s, e2 = e ∈ S, rM (s) = rM (e) suy Ss = Se Chứng minh (=⇒) Cho M môđun C2 s, e2 = e ∈ S thỏa mãn rM (S) = 30 rM (e) kers = kere = (1−e)M Từ đẳng thức cuối ta s(1−e)M = 0, s = se ∈ Se Nếu s = s|N : N −→ M , với N = eM , kers ≤ N ∩ kers = N ∩ (1 − e)M = Vậy s đơn cấu chẻ M mơđun C2 Khi tồn đồng cấu β : M −→ N cho βs = 1N Nếu x = e(x) + (1 − e)(x) ∈ M , eβs(x) = eβse(x) + eβs(1 − e)(x) = eβse(x) = eβs e(x) = e(x) Do eβs = e e ∈ Ss Suy Ss = Se (⇐=) Cho N ≤ M hạng tử trực tiếp M e2 = e ∈ S cho N = eM Đặt t : N −→ M đồng cấu π : M −→ N cho π(x) = e(x) Thì s = tπ ∈ S kers = kere = (1 − e)M , Ss = Se tồn h ∈ S cho hs = e Cuối ta πht = 1N , t chẻ Mệnh đề 3.1.5 Cho MR R-môđun phải S = End(MR ), n số nguyên dương Khi đó: (1) Nếu S vành n − C2 phải M mơđun n − C2 (2) Nếu M n−C2 M sinh rM (s1 , · · · , sn ) với rS (s1 , · · · , sn ) = 0, S n − C2 phải Chứng minh (1) Giả sử S vành n − C2 phải rM (s1 , · · · , sn ) = với s1 , · · · , sn ∈ S Nếu s ∈ rS (s1 , · · · , sn ), s = để sM ≤ rM (s1 , · · · , sn ) = Vì Ss1 + · · · + Ssn = S M môđun n − C2 (2) rS (s1 , · · · , sn ) = s1 , · · · , sn ∈ S Với m ∈ rM (s1 , · · · , sn ), M sinh rM (s1 , · · · , sn ), tồn t1 , · · · , tk ∈ S với t1 M + · · · + tk M ≤ rM (s1 , · · · , sn ) cho m = t1 (a1 ) + · · · + tk (ak )) với a1 , · · · , ak ∈ M Nó xem ti ∈ rS (s1 , · · · , sn ) = với i = 1, · · · , k rM (s1 , · · · , sn ) = Ss1 + · · · + Ssn = S M môđun n − C2 Nên S n − C2 phải 31 Ta biết môđun MR gọi GC2 với môđun M đẳng cấu tới M hạng tử trực tiếp M Vậy môđun GC2 − C2 hệ sau đúng: Hệ 3.1.6 Nếu MR GC2 hạng tử trực tiếp M GC2 Hệ 3.1.7 Cho MR R-môđun phải với S = End(MR ) Khi đó: (1) Nếu S vành GC2 phải M mơđun GC2 (2) Nếu M GC2 M sinh rM (s) với rS (s) = S GC2 Mệnh đề 3.1.8 Cho R vành M R-mơđun phải Khi M − C2 M mơđun C2 Chứng minh Cho M = A ⊕ B f : A −→ M đồng cấu Thì ánh xạ f ⊕ 1B : M −→ M đồng cấu (được suy từ Định lý 3.1.2) Do f (A) ⊕ B hạng tử trực tiếp M , suy f (A) M Vậy M môđun C2 Mệnh đề 3.1.9 Cho R vành, MR R-môđun phải, n, p, q số nguyên dương thỏa mãn n = pq Nếu M n − C2, M p q − C2 Chứng minh Từ giả thiết theo Định lý 3.1.2(3) (4) đồng cấu M p −→ M pq chẻ nên M p q − C2 Hệ 3.1.10 Cho MR R-môđun phải n số nguyên dương Nếu M 2n − C2 M môđun n − C2 M n môđun − C2 3.2 VÀNH C2 MẠNH Trong mục này, ta đưa vài đặc trưng vành n − C2 vành C2 mạnh phải 32 Định nghĩa 3.2.1 MR gọi môđun C2 mạnh MRm C2, với m ∈ Z∗ Định lý 3.2.2 Cho MR R-mơđun phải S = End(MR ) điều kiện sau tương đương: (1) M C2 mạnh (2) Với n, k ∈ Z∗ , đồng cấu α : M k −→ M n chẻ (3) Với n ∈ Z∗ , đồng cấu α : M −→ M n chẻ (4) Với n ∈ Z∗ , M n − C2 (5) Với iđêan trái hữu hạn sinh K khác S ta có rM (K) = Chứng minh (1) =⇒ (2) Theo điều kiện C2 M n ≤ M n+k (2) =⇒ (3) Hiển nhiên (3) =⇒ (4) ⇐⇒ (5) Ta có điều từ Định lý 3.1.2 Định nghĩa 3.1.1 (4) =⇒ (1) với n ∈ Z∗ , từ (4) ta có M 2n − C2, theo Hệ 3.1.10 Mệnh đề 3.1.8 M n C2 Do M C2 mạnh Định lý 3.2.3 Với R vành n ∈ Z∗ Khi điều kiện sau tương đương: (1) Nếu I ⊂ R R R I mơđun với hệ sinh có n phần tử, r(I) = (R vành n − C2 phải) (2) Với m ∈ Z∗ A ∈ Mn×m (R), rRm (A) = 0, tồn ma trận B ∈ Mm×n (R), cho BA = I , với I ma trận đơn vị Mm (R) (3) Nếu K ⊂ R F với R F hữu hạn sinh tự R K mơđun với sở có n phần tử (F/K)∗ = 33 (4) Nếu Q ≤ PR với PR môđun tự với hệ sinh có n phần tử QR mơđun tự hữu hạn sinh, Q hạng tử trực tiếp P (5) Nếu Q ≤ PR với PR mơđun tự với hệ sinh có n phần tử QR hữu hạn sinh tự do, Q hạng tử trực tiếp P k n (6) Với k ∈ Z∗ , đồng cấu RR −→ RR chẻ (7) Q ≤ PR với PR xạ ảnh với hệ sinh có n phần tử QR hữu hạn sinh tự do, Q hạng tử trực tiếp P (8) Q ≤ PR với PR môđun tự với hệ sinh có n phần tử QR tự P/Q phẳng (9) Q ≤ PR với PR xạ ảnh với hệ sinh có n phần tử QR tự do, P/Q phẳng Chứng minh Từ Định lý 3.2.3 ta có (1) ⇐⇒ (2) ⇐⇒ (4) ⇐⇒ (5) ⇐⇒ (6) từ ta có (5) =⇒ (7) (9) =⇒ (8) (2) =⇒ (3) Từ giả thiết (F/K ∗ ) = Hom(F/K, R) = Vì RK mơđun với sở có n phần tử, giả sử F = Rm với m ∈ Z∗ K sinh αi = (ai1 , ai2 , · · · , aim ), i = 1, 2, · · · , n Ký hiệu A = (aij )n×m ∈ Mn×m (R), Rn A = K Nếu X ∈ rRm (A), phép nhân phải X gọi ϕ đồng cấu F −→ R với K ≤ kerϕ, KA = Rn AX = Từ tồn đồng cấu ϕ¯ : F/K −→ R theo giả thiết đồng cấu Suy = ϕ(F/K) ¯ = ϕ(F ) = F X ta có X = Theo (2) rRm (A) = 0, tồn ma trận B ∈ Mm×n (R) cho BA = I , điều có nghĩa K = F (3) =⇒ (2) Giả sử A = (aij )n×m ∈ Mn×m (R) với m ∈ Z∗ rRm (A) = Ta viết F = Rm αi = (ai1 , ai2 , · · · , aim ), i = 1, 2, · · · , n Ký hiệu R K 34 môđun F sinh αi , i = 1, 2, · · · , n Nếu ϕ ∈ (F/K)∗ i viết X = (ϕ(¯ e1 ), ϕ(¯ e2 ), · · · , ϕ(¯ em ))T ∈ Rm , với ei = (0, 0, · · · , 1, · · · , 0) ∈ F mà i = 1, 2, · · · , m Thì = ϕ(¯ αi ) = αi X với i = 1, 2, · · · , m Vì X = rRm (A) = nên ϕ = Theo điều (3) nên (F/K)∗ = K = F Vì tồn ma trận B ∈ Mm×n (R) mà BA = I (7) =⇒ (9) Ta có QR = lim −→Fi (giới hạn trực tiếp) với Fi môđun hữu hạn sinh tự Q Với i ta có dãy khớp ngắn: ji pi → Fi − →P − → P/Fi → 0, Với ji pi đơn cấu tắc tồn cấu tắc Bởi qua giới hạn trực tiếp dãy sau khớp: → Q → P → lim −→P/Fi → Vì P/Q ∼ = lim −→P/Fi Nhưng P/Fi xạ ảnh (giả thiết), phẳng Nhưng giới hạn môđun phẳng phẳng [20], P/Q mơđun phẳng (8) =⇒ (5) Giả sử Q ≤ P với PR môđun tự với hệ sinh có n phần tử Q hữu hạn sinh, P/Q phẳng Nhưng P/Q hữu hạn biểu diễn được, xạ ảnh Hệ 3.2.4 Cho R vành Khi điều kiện sau tương đương: (1) FR C2 với hữu hạn sinh tự F (2) Nếu I ⊂ R R với R I hữu hạn sinh tự do, r(I) = (3) Với mơđun trái hữu hạn biểu diễn M , M ∗ = (4) Nếu K ⊂ R P với R P hữu hạn sinh xạ ảnh R K hữu hạn sinh, (P/K)∗ = 35 (5) Nếu Q ≤ FR với FR hữu hạn sinh tự QR hữu hạn sinh tự do, Q hạng tử trực tiếp P k n (6) Với n, k ∈ Z∗ , đồng cấu RR −→ RR chẻ (7) Nếu Q ≤ FR với FR QR hữu hạn sinh tự do, Q hạng tử trực tiếp P (8) Nếu Q ≤ FR với FR hữu hạn sinh tự QR hữu hạn sinh xạ ảnh, Q hạng tử trực tiếp P (9) Q ≤ PR với PR QR hữu hạn sinh xạ ảnh, Q hạng tử trực tiếp P (10) Q ≤ FR với FR QR tự do, F/Q phẳng (11) Q ≤ PR với PR QR xạ ảnh, P/Q phẳng (12) Q ≤ PR với PR môđun phẳng QR xạ ảnh, P/Q phẳng Chứng minh Theo Định lý 3.2.2 ta có (1) ⇐⇒ (2), theo Định lý 3.2.3 ta có (2) ⇐⇒ (3) ⇐⇒ (4) ⇐⇒ (5) ⇐⇒ (6) ⇐⇒ (7) (9) =⇒ (8) =⇒ (7) (12) =⇒ (11) =⇒ (10) hiển nhiên Vì hữu hạn biểu diễn mơđun phẳng xạ ảnh, ta có (12) =⇒ (9) (10) =⇒ (7) (7) =⇒ (12) Cho Q ≤ PR với PR môđun phẳng Q xạ ảnh Giả sử Q tự Vì Q = lim −→Fi với Fi hữu hạn sinh tự mơđun Q Do P/Q = lim −→P/Fi Từ ta giả sử Q hữu hạn sinh tự PR mơđun phẳng giới hạn trực tiếp mơđun hữu hạn sinh tự Pj Với j đủ lớn, tồn đơn ánh từ Q vào P/Pj Vậy P/Q = limj≥j Pi /Q Pi /Q xạ ảnh phẳng Suy P/Q phẳng Nếu Q xạ ảnh tồn mơđun QR xạ ảnh môđun tự 36 FR cho Q ⊕ Q = F Vì P ⊕ Q phẳng, nên P/Q (P ⊕ Q )/(Q ⊕ Q ) phẳng Nhận xét 3.2.5 Với R vành Những điều sau tương đương: (1) Q ≤ PR với PR tự QR tự P/Q xạ ảnh (2) Q ≤ PR với PR QR xạ ảnh P/Q xạ ảnh (3) Q ≤ PR với PR QR mơđun phẳng P/Q xạ ảnh (4) R hoàn chỉnh phải C2 mạnh phải Hơn điều kiện sau tương đương:[12] (1) Q ≤ PR với PR QR tự P/Q tự (2) Q ≤ PR với PR QR xạ ảnh P/Q tự (3) Q ≤ PR với PR QR mơđun phẳng P/Q tự (4) R hoàn chỉnh địa phương Tồn vành giao hốn Nơte C2 mạnh R mơđun phẳng R, Q P P/Q môđun phẳng ([11], Example 4.2) 37 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi tổng quan trình bày rõ ràng số kết lớp môđun vành C2 trường hợp tổng quát chúng: Các đặc trưng môđun vành C2 Chúng tơi nghiên cứu tính chất chúng Trong mối liên hệ vành C2 vào lớp vành khác trình bày cách chi tiết Các đặc trưng mơđun GC2 vành tự đồng cấu Lớp môđun GC2 mở rộng thực lớp môđun C2 Trong phần tổng quan này, trình bày số đặc trưng lớp môđun GC2 (xem Định lý 2.2.5) Chúng làm rõ trình bày lại tường minh kết môđun n − C2 môđun C2 mạnh Một số tính chất mơđun n − C2 môđun C2 mạnh xét đến (xem Định lý 3.1.2 Định lý 3.2.2) Mối liên hệ vành n − C2 tính phẳng môđun thương môđun tự nghiên cứu (xem Định lý 3.2.3) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anderson F.W and Fuller K R., 1974, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag [2] Azumaya G., M-projective and M-injective modules (unpublished) [3] Azumaya G., Mbuntum F and Varadarajan K.,1975, On M-projective and M-injective modules, Pac J Math 59, 9-16 [4] Baer R.,1943, Rings with duals, Am J Math 65, 569-584 [5] Bass H., 1960, Finitistic dimension and a homological generalization of semiprimary rings, Trans Amer Math Soc 95, 466-488 [6] Bass H., 1962, The Morita Theorems, Math Dept Univ Oregon, Eugene [7] Beachy J A., 1971, On quasi-artinian rings, J London Math Soc 2(3), 449-452 [8] Chen J L and Li W X., 2004, On artiness of right CF rings, Comm Algebra 32(11), 4485 - 4494 [9] Kasch F., 1982, Modules and Rings, London, New York [10] Kourki F., 2008, When maximal linearly independent subsets of a free module have the same cardinality?, Modules and Comodules, Trends in Mathmatics, Birkhauser Verlag Basel/Switzerland, 281-293 [11] Lazar D., 1969, Autour de la platitude, Bull Soc Math France 97, 81-128 [12] Lezing H., 1971, A homological characterization of Steinitz rings, Pro Amer Math Soc 29, 269-271 39 [13] Mohamed S H and Bouhy T., 1977, Continuous modules, Arabian J Sci Eng.107112 [14] Mohamed S H and Mu ăller B J., 1990, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc LNS 147 Cambridge University Press, Cambridge [15] Nicholson, W.K., 1976, Semiregular modules and rings, Canad J Math, 28, 1105-1120 [16] Nicholson, W.K., Park, J.K and Yousif, M.F., 1999, "Principally quasi-injective modules", Communications in Algebra, 29(4), 1683 1693 [17] Nicholson W K and Yousif M F., 2001, Weakly continuous and C2rings, Comm Algebra 29(6), 2429-2446 [18] Nicholson, W.K and Yousif, M.F., 2003, Quasi-Frobeniusn Rings Cambridge University Press [19] Sanh, N.V., Shum, K.P., Dhompongsa, S and Wongwai, S., 1999, "On quasi-principally injective modules", Algebra Colloquium, 6(3), 269- 276 [20] Stenstroăm B., 1975, Rings of Quotients, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 217 Springer-Verlag, BerlinHeidelberg-New York [21] Wisbauer, R., 1991, Foundations of Module and Ring Theory, Gorodon and Breach [22] Yousif, M.F and Zhou, Y., 2003, "Rings for which certain elements have the principal extension property", Algebra Colloquium, 10(4), 501 - 502 40 [23] Zhu Z Z and Yu J X., 2008, On GC2 modules and their endomorphism rings, Linear and Multilinear Algebra 56(5), 511-515 ... liên hệ mật thiết tới vành C2, phần nghiên cứu vành C2 Ví dụ 2.1.6 Mọi vành qui vành C2 phải trái, vành liên tục phải vành C2 phải Ví dụ 2.1.7 Cho R vành I -hữu hạn Nếu R vành C2 phải đơn cấu RR... chúng vào lớp vành cổ điển vành Artin, Nơte, vành nửa đơn xét đến Chính với định hướng TS Trương Công Quỳnh chọn đề tài: “MÔĐUN VÀ VÀNH C2 làm đề tài luận văn thạc sĩ Thơng qua luận văn chúng... (R) vành C2 phải với R vành C2 phải Do Định lý 2.1.18 Định lý 2.1.19 Các điều kiện sau tương đương: (1) "Vành C2 phải" bất biến Morita (2) Nếu R vành C2 phải (R ⊕ R)R môđun C2 Ta gọi vành R vành