BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ

Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Văn Tuấn Khanh BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Văn Tuấn Khanh BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn PGS.TS Bùi Tường Trí Nhân dịp xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình chu đáo động viên nhiều suốt trình học tập trình hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn tất Thầy Cô, cán khoa Toán – Tin trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt Thầy tổ Đại số nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Xin cảm ơn bạn học viên nghành toán động viên giúp đỡ có nhiều ý kiến đóng góp trình hoàn thành luận văn Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận bảo góp ý Thầy Cô Bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 Tác giả Footer Page of 114 Header Page of 114 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn làm hướng dẫn PGS.TS Bùi Tường Trí Tôi không chép luận văn người khác Nếu lời cam đoan không thật bị xử lý theo pháp luật Người viết cam đoan Đoàn Văn Tuấn Khanh Footer Page of 114 Header Page of 114 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun – Môđun – Môđun thương 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp 11 1.4 Tích Tenxơ 15 1.5 Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu 17 1.6 Môđun nội xạ 18 1.7 Môđun Noether – vành Noether 24 1.8 Giới hạn trực tiếp 25 Chương BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ 27 2.1 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ 27 2.2 Những ví dụ cụ thể bao nội xạ Môđun 30 2.3 Tính nội xạ vành Noether 37 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Footer Page of 114 Header Page of 114 BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT Q: Nhóm cộng số hữu tỉ Z : Vành số nguyên ⊕ Ai : Tổng trực tiếp môđun Ai , i ∈ I I ⊕ f i : Tổng trực tiếp họ đồng cấu ( fi , i ∈ I ) I ∏f i : Tích trực tiếp họ đồng cấu ( fi , i ∈ I ) I x ⊗ y : Tích tenxơ hai phần tử x y M ⊗N : Tích tenxơ hai môđun M N E(M): Bao nội xạ môđun M N⊂M : N môđun M N ⊆ e M : N môđun cốt yếu M hay M mở rộng cốt yếu N N ⊆ s M : N môđun đối cốt yếu M hay N môđun bé M MR : Phạm trù R môđun phải Footer Page of 114 Header Page of 114 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết vành môđun khái niệm nội xạ xạ ảnh xem hai khái niệm Khái niệm môđun nội xạ đưa R.Bayer năm 1940 sau loạt khái niệm liên quan đưa khái niệm bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ,…Chúng có nhiều ứng dụng nghành Đại số nói chung nghành Đại số giao hoán nói riêng Trên vành giao hoán Noether, môđun nội xạ phân tích cách thành tổng trực tiếp môđun không phân tích được, biết rõ cúc trúc chúng Bao nội xạ mở rộng cốt yếu cực đại mở rộng nội xạ tối tiểu Lớp môđun nội xạ lớp môđun quan trọng Đại số đại Hiện người ta mở rộng lớp môđun thu nhiều kết quan trọng Trong phạm vi luận văn sâu nghiên cứu lớp môđun nội xạ với đề tài “Bao nội xạ môđun - hình ảnh cụ thể nó” Bố cục luận văn chia làm hai chương: ♦ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm, định nghĩa lý thuyết vành có liên quan đến nội dung đề tài Cụ thể trình bày tóm tắt khái niệm, kí hiệu tính chất môđun môđun nội xạ ♦ Chương Bao nội xạ môđun - hình ảnh cụ thể Trong chương đề cập đến ba nội dung Nội dung thứ trình bày chi tiết hệ thống khái niệm, chứng minh tính chất mở rộng cốt yếu bao nội xạ môđun Nội dung thứ hai nêu số ví dụ cụ thể bao nội xạ môđun để qua ta thấy rõ hình ảnh cụ thể bao nội xạ Nội dung thứ ba nghiên cứu tính nội xạ vành Noether thông qua định lý Bass Papp hệ Footer Page of 114 Header Page of 114 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun – Môđun – Môđun thương 1.1.1 Định nghĩa Giả sử R vành Một R môđun phải M nhóm cộng aben với ánh xạ M ×R → M gọi phép nhân vô hướng thỏa hệ thức sau: (m, r )  mr (mr )r ' = m(rr ') (m + m ')r =mr + m ' r với m, m ' ∈ M r , r ' ∈ R m(r + r ') = mr + mr ' m.1 = m Tương tự, R môđun trái nhóm aben M với phép nhân vô hướng rm (r ∈ R, m ∈ M ) thỏa r (r ' m) = (rr ')m r (m + m ') =rm + rm ' với m, m ' ∈ M r , r ' ∈ R (r + r ')m =rm + r ' m 1.m = m Nếu R vành giao hoán khái niệm R môđun phải R môđun trái trùng gọi R môđun 1.1.2 Ví dụ Phép nhân bên phải vành R phép nhân vô hướng R lên nhóm aben R thỏa mãn tiên đề môđun Bởi R R môđun phải Tương tự R R môđun trái Do R R môđun Mỗi ideal phải R R môđun phải, ideal trái R R môđun trái Giả sử R=Z vành số nguyên Mỗi nhóm aben A có cấu trúc Z môđun Có thể nói khái niệm môđun mở rộng khái niệm nhóm aben không gian vectơ Footer Page of 114 Header Page of 114 1.1.3 Định nghĩa Giả sử M R môđun phải Tập A M gọi môđun M A môđun R với phép cộng phép nhân vô hướng M hạn chế A 1.1.4 Bổ đề Giả sử M R môđun phải Nếu A tập khác rỗng M điều sau tương đương (a) A môđun M (b) A nhóm cộng M với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A (c) Với a, b ∈ A r , s ∈ R ta có ar + bs ∈ A 1.1.5 Ví dụ (a) Mỗi môđun M có môđun tầm thường M Môđun A M gọi thực A ≠ A ≠ M (b) Giả sử M R môđun tùy ý m0 ∈ M Khi tập = mo R {m0 r , r ∈ R} môđun M Nó gọi môđun xiclic sinh phần tử m0 (c) Giả sử m0 phần tử R môđun M, I ideal phải vành R Tập hợp phần tử m0α α chạy khắp I môđun M Kí hiệu m0 I (d) Giả sử A B hai môđun M A ∩ B môđun M A + B = {a + b / a ∈ A, b ∈ B} môđun M 1.1.6 Mệnh đề Giao họ môđun R môđun M môđun M Ví dụ : 1) 2Z ∩ 3Z = 6Z 2)  pZ = với P tập tất số nguyên tố p∈P Footer Page of 114 Header Page 10 of 114 1.1.7 Định nghĩa Giả sử X tập R môđun M Môđun bé A chứa X gọi môđun sinh X X tập sinh hay hệ sinh A Trong trường hợp A=M ta nói X hệ sinh M M sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M R môđun hữu hạn sinh Nếu môđun sinh phần tử ta gọi môđun môđun xiclic 1.1.8 Mệnh đề Giả sử X tập R môđun M Các mệnh đề sau tương đương: 1) A môđun sinh tập X A {∑ xrx / x ∈ X , rx ∈ R} rx hầu hết trừ số hữu hạn 2)= Ví dụ : Z môđun Q số hữu tỉ hệ sinh hữu hạn Thật vậy: Giả sử X = {a1a , , an } hệ sinh hữu hạn Q Khi a1 biểu diễn dạng tổng hữu hạn a1 =x1a1 +∑ xi , ∈ Z Suy a1 =2x1a1 +∑ 2ai xi , ∈ Z i ≠1 i ≠1 Từ ma1 = ∑ 2ai xi , ∈ Z với m = − x1 i ≠1 Giả sử a1 =y1a1 +∑ yi , yi ∈ Z m i ≠1 Khi a1 =myi a1 +∑ myi = i ≠1 ∑ x a y + ∑ my a = ∑ r a i ≠1 i i i i ≠1 i i i ≠1 i i Điều chứng tỏ X \{a1} hệ sinh Q Tiếp tục trình sau n bước ta tập rỗng hệ sinh Q Q = {0} ! Footer Page 10 of 114 Header Page 34 of 114 28 E ⊃ M E ≠ M theo 1.6.4 ta có E = M ⊕ N với môđun N ≠ Do N ∩M = nên E ⊇ M không mở rộng cốt yếu Ngược lại, giả sử M mở rộng cốt yếu nhúng M vào môđun nội xạ I R Theo bổ đề Zorn tồn môđun S ⊆ I tối đại với giả thiết S ∩ M = Do đó, xét môđun thương I / S , môđun khác S '/ S trở thành ảnh môđun M không tầm thường, im( M ) ⊆ e I / S Theo giả thiết ta có im( M ) = I / S Điều nghĩa = I M ⊕ S M môđun nội xạ (theo 1.6.2) 2.1.3 Bổ đề Bất kì môđun M R có mở rộng cốt yếu tối đại Chứng minh: Xét môđun nội xạ I ⊇ M xét họ mở rộng cốt yếu M I mà thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm Theo ý (1) định nghĩa 2.1.1 ta dễ dàng thấy hợp họ cốt yếu M Theo bổ đề Zorn, ta tìm môđun E tối đại với M ⊆ e E ⊆ I Chúng ta có E mở rộng cốt yếu tối đại M Thật vậy, điều sai, ta tìm E ⊂ E ' cho M ⊆ e E ' ( Chú ý E’ R môđun không nằm I ) Do tính nội xạ I E ⊆ I mở rộng đến xạ g : E ' → I Dễ dàng thấy (ker g ) ∩ M = M ⊆ e E ' từ kerg=0.Chúng ta biết E’ thông qua g(E’) Nhưng M ⊆ e E ' mâu thuẫn với tính tối đại E Bây đến với kết Eckmann- Sch o pf Bayer 2.1.4 Định lý Với môđun M ⊆ I điều sau tương đương 1) I mở rộng cốt yếu tối đại M 2) I nội xạ cốt yếu M Footer Page 34 of 114 Header Page 35 of 114 29 3) I môđun nội xạ tối tiểu M Chứng minh: (1) ⇒ (2) Theo tính chất bắc cầu ý (2) định nghĩa 2.1.1 , từ (1) cho ta I mở rộng cốt yếu Do đó, I nội xạ theo bổ đề 2.1.2 (2) ⇒ (3) Đặt I’ môđun nội xạ cho M ⊆ I ' ⊆ I Theo 1.6.4 I= I '⊕ N với môđun N ⊆ I Từ N ∩ M = ta có N=0 I’=I (do M ⊆ e I ) (3) ⇒ (1) Giả sử I nội xạ tối tiểu M Theo phần chứng minh bổ đề 2.1.3 cho ta môđun E ⊆ I mà cốt yếu tối đại M Sử dụng (1) ⇒ (2) ta thấy E nội xạ E=I 2.1.5 Định nghĩa Nếu môđun M thỏa ba mệnh đề tương đương định lý 2.1.4 nói I bao nội xạ M Như theo bổ đề 2.1.3 môđun có bao nội xạ 2.1.6 Hệ Bất kì hai bao nội xạ I,I’ M đẳng cấu với M.Điều có nghĩa tồn đẳng cấu g : I → I ' đồng cấu đồng M.Tuy nhiên, đẳng cấu không Chứng minh: Do tính nội xạ I, ta tìm thấy xạ g : I ' → I mở rộng đến xạ bao hàm M → I Theo phần chứng minh bổ đề 2.1.3 ta có ker g = từ M ⊆ e I ' Do g ( I ') môđun nội xạ I chứa M.Bây (2.1.4)(3) cho ta g ( I ') = I g : I ' → I đồng cấu cần tìm Kể từ ta viết E(M) bao nội xạ M 2.1.7 Hệ 1) Nếu I môđun nội xạ mà chứa M I chứa E(M) 2) Nếu M ⊆ e N N mở rộng đến E(M) Ngoài Footer Page 35 of 114 Header Page 36 of 114 30 E(M)=E(N) Bao nội xạ M môđun nội xạ I mà có đồng cấu M → I mà ảnh “lớn” Bao xạ ảnh M môđun xạ ảnh P mà có toàn cấu P → M mà hạt nhân “nhỏ” Chúng ta thấy bao nội xạ môđun tồn Tuy nhiên thấy bao xạ ảnh môđun tồn lớp vành đặc biệt Thông qua khái niệm bao nội xạ môđun, biết bao nội xạ môđun mở rộng cốt yếu cực đại mở rộng nội xạ tối tiểu Bao nội xạ đóng vai trò quan trọng đại số đại Nó có nhiều ứng dụng nghành đại số nói chung đặc biệt đại số giao hoán nói riêng Để thấy rõ bao nội xạ môđun biết cách xác bao nội xạ môđun có hình ảnh cụ thể lớp vành cụ thể, nghiên cứu sâu bao nội xạ thông qua số ví dụ cụ thể Trong trường hợp cụ thể ta tính xem bao nội xạ môđun lớp vành Qua thấy hình ảnh cụ thể bao nội xạ môđun Sau số ví dụ bao nội xạ môđun 2.2 Những ví dụ cụ thể bao nội xạ Môđun 2.2.1 Ví dụ E ( M ) cho N môđun cho N ⊆ e M Cho môđun M ⊆ I = M ⊆ N ⊆ I Khi E ( N ) = E ( M ) (Điều suy từ hệ (2.1.7) (2)) Ví dụ cho ta thấy M ⊆ E ( M ) có môđun N môđun cốt yếu M bao nội xạ bao nội xạ M 2.2.2 Ví dụ Cho R miền nguyên giao hoán với trường thương K.Theo 1.6.9 ta thấy K R nội xạ cách kiểm tra ý (1) (2.1.1), ta thấy R ⊆ e K Từ E(R) = K xem môđun tự Footer Page 36 of 114 Header Page 37 of 114 31 không xoắn M R Từ với tập nhân S = R \{0} , ta có M ⊗ R K= S −1M ⊇ M ,và dễ dàng thấy mở rộng cốt yếu Bây giờ, M ⊗ R K K- không gian vectơ theo 1.6.9 nội xạ R môđun Từ điều có ta suy E ( M ) =M ⊗ R K =S −1M Qua ví dụ ta thấy R miền nguyên giao hoán với trường thương K ta có E(R) = K E ( M ) =M ⊗ R K =S −1M 2.2.3 Ví dụ Mệnh đề (*): Một Z môđun nội xạ chia Bất kì Z môđun nhúng vào Z môđun nội xạ Trong trường hợp R = Z , E(M) biết “bao nội xạ chia được” nhóm aben M Đặt Cn nhóm cyclic cấp n, với số nguyên tố p đặt C p ∞ hợp nhóm dây chuyền tăng C p ⊂ C p2 ⊂ C p3 ⊂ Từ C p p chia chia ( đẳng cấu với p ∞ thành phần nguyên sơ  /  ) Theo mệnh đề (*) C p Z- nội xạ theo ∞ ý (1) (2.1.1) C p cốt yếu C p ( i ≥ ) Do E (C p ) = C p ∞ i i ∞ với i ≥ Qua ví dụ ta thấy E (C p ) = C p với i ≥ Như ta i ∞ tính bao nội xạ tất nhóm cyclic cấp p i với i ≥ bao nội xạ chúng C p Qua ta thấy C p hình ảnh đẹp ∞ bao nội xạ nhóm cyclic Footer Page 37 of 114 ∞ Header Page 38 of 114 32 2.2.4 Ví dụ Cũng nói nhóm cyclic ta tìm tìm hiểu bao nội xạ tổng trực tiếp nhóm cyclic cấp p Trên vành R, M j ⊆ E j với j ∈ J ⊕ M j ⊆ e ⊕ E j M j ⊆ e E j với j Chiều ngược hiển nhiên Chiều thuận ta kiểm tra trường hợp tổng trực tiếp hữu hạn.(theo ý 2.1.1).Đặt J = {1, 2, n} sử dụng tính bắc cầu ta cần kiểm tra : M ⊕ E2 ⊕ ⊕ En ⊆ e E1 ⊕ E2 ⊕ ⊕ En M ⊆ e E1 Trường hợp kiểm tra dễ dàng cách sử dụng lại (theo ý 2.1.1) Bây giả sử tất E j nội xạ Nếu J < ∞ theo ⊕ E ( M j ) ( J < ∞) 1.6.2 ⊕ j∈J E j nội xạ ta có : E ( ⊕ M j ) = j∈J j∈J Đặc biệt R =  tất E j nhóm aben chia ⊕ j∈J E j ⊕ E ( M j ) trở thành Zcũng chia với tập J Do E ( ⊕ M j ) = j∈J j∈J môđun mà không cần giả thiết J Đặc biệt ta lấy J tập tất với p ∈ J điều cho ta số nguyên tố M p = C p E (C2 ⊕ C3 ⊕ C5 ⊕ ) = C2∞ ⊕ C3∞ ⊕ C5∞ ⊕ Qua ví dụ ta có kết E (C2 ⊕ C3 ⊕ C5 ⊕ ) = C2 ⊕ C3 ⊕ C5 ⊕ ∞ ∞ ∞ Như bao nội xạ tổng trực tiếp nhóm cyclic cấp p tổng trực tiếp bao nội xạ chúng 2.2.5 Ví dụ Cho R đại số hữu hạn chiều trường k Chúng ta có ^ R = Homk ( R, k ) xem R môđun phải theo 1.6.10 nôi xạ.Chúng ta ^ chứng minh R bao nội xạ R môđun phải R/radR, rad R radical Jacobson R Để thấy điều ta đặt S tổng trực tiếp ^ tất R môđun đơn R Từ môđun khác không Footer Page 38 of 114 Header Page 39 of 114 33 ^ mà chứa môđun đơn có S ⊆ e R Do E ( S ) = R Điều cần thiết để thấy đẳng cấu S R môđun phải Ta có : ^ S= { f ∈ R : f radR = 0} ^ S= ( f ∈ R : f (radR ) = 0} ≅ ( R / radR) ^ Qua ví dụ ta thấy với R đại số hữu hạn trường k, S ^ ^ tổng trựctiếp tất R môđun đơn R với R = Homk ( R, k ) ^ E (S ) = R Trước đưa thêm số ví dụ bao nội xạ môđun ta tìm hiểu phương pháp khác để kiểm tra tính nội xạ môđun 2.2.6 Bổ đề Cho R vành vành S B tập khác rỗng R cho S B ⊆ R Giả sử I S S môđun phải trên B có linh hóa tử ( nghĩa với i ∈ B mà i.B = ⇒ i = ) Nếu I nội xạ S môđun I nội xạ R môđun Chứng minh: Ta biết với ideal J ⊆ R f ∈ HomR ( J , I ) mở rộng đến g ∈ HomS ( J S , I ) g mở rộng đến S tính nội xạ I S Chúng ta xây dựng g sau : g (∑ si ) = ∑ f (ai ) si (ai ∈ J , si ∈ S ) ∑a s Để chứng minh định nghĩa tốt ta giả sử ta có si b ∈ S B ⊆ R từ ∑ f (a ) s ∈ I i ∑ f (a ) s i i i ∑a s b = i i ta có i i = Với b ∈ B ∑ f (a )(s b) = Điều nghĩa i i không b ∈ B theo giả thiết = Điều cho thấy g định nghĩa tốt Từ dễ dàng thấy g S-đồng cấu Điều suy từ tiêu chuẩn Baer tính nội xạ I R Footer Page 39 of 114 Header Page 40 of 114 34 2.2.7 Ví dụ Nói vành ma trận ta tìm hiểu bao nội xạ môđun vành ma trận Qua ví dụ ta biết cách tính bao nội xạ ma trận cụ thể Cho S = M n (k ) , k vành nửa đơn, đặt B ideal trái S chứa tất ma trận với cột thứ n khác Từ linh hóa tử trái B S 0, từ ma trận khác có linh hóa tử trái cột vectơ Và dĩ nhiên ta có S B = B Do ta áp dụng (2.2.6) với I = S S R vành chứa B Chú ý S vành nửa đơn mà tất S môđun phải đặc biệt SS nội xạ.Ngoài ra, ∀s ∈ S : s.B = ⇒ s = ta suy RR ⊆ e S R (theo ý 2.1.1) Từ áp dụng (2.2.6) ta kết luận E ( RR ) = S R Từ kết luận ta giả sử vành R chứa B Hơn R không chứa k, vành tất ma trận chéo Sau số ví dụ cụ thể R : (1) R= vành tất ma trận tam giác n × n k (2) R= vành tất ma trận hệ số khác đường chéo cột thứ n (3) R= vành vành (2) mà chứa ma trận với đường chéo bất định (4) (n=3) R chứa tất ma trận ( aij ) với a= a= 31 32 (5) (n=3) R chứa tất ma trận ( aij ) với a= a= a= 12 31 32       (6) (n=3) R =     với k =  R =    0 0          với k =    Chúng ta phân tích ví dụ cụ thể hơn, trọng tâm ví dụ (1) Do xét R vành tất ma trận tam giác n × n Để đơn giản ta giả sử k vành chia Trong trường hợp ta có phân tích sau: Footer Page 40 of 114 Header Page 41 of 114 35 S S = E1 ⊕ ⊕ En , RR = P1 ⊕ ⊕ Pn Tại Ei S ideal phải chứa ma trận với hệ số khác dòng thứ i P=i Ei ∩ R ( Pi có đường chéo khôn phân tích thành R môđun phải Từ R ⊆ e S ta có Pi ⊆ e Ei với i theo (2.2.4) Cũng từ S R nội xạ ( Ei ) R nội xạ ta có E ( Pi ) = Ei với i Từ tất Ei đẳng cấu với S môđun đẳng cấu R môđun Do tất Pi có bao nội xạ điều hiển nhiên.Từ đó, Pi đẳng cấu với mở rộng cốt yếu R môđun P1 ( Nghĩa P1 = E1 xạ ảnh nội xạ mR mS ) Trong ví dụ ta có E ( R R) = S Từ ta áp dụng môđun trái (2.2.6) cách chọn B ideal phải S chứa ma trận với hệ số khác dòng Các vị trí khác nhiên với vành ví dụ (2.2.7)(2) Để tránh nhầm lẫn ta đổi tên vành thành vành T Khi ta có E (TT ) = S theo (2.2.7) có E (TT ) = S với n ≥ Thật ma trận đơn vị E12 ∈ S dễ dàng thấy T E12 ∩ T = (0) S ⊇ TT không mở rộng cốt yếu 2.2.8 Ví dụ (Osofsky) Trong (2.2.2) ta thấy với miền giao hoán R, E ( RR ) trường thương R Trong (2.2.7) xem xét cấu trúc ví dụ vành R mà ứng với ER có từ M n (k ) Đặt biệt E ( RR ) có cấu trúc vành tương thích với cấu trúc R môđun E ( RR ) Tuy nhiên ví dụ Osofsky cho thấy ER cấu trúc vành A µ Cho A vành  Z / 4 Z , µ = 2A cho R « vành tam giác »   0 A  32 phần tử Chúng ta biết môđun nội xạ ER ⊇ R có cấu Footer Page 41 of 114 Header Page 42 of 114 36 trúc vành giao hoán với cấu trúc R môđun phải E.(Đặt biệt R ≠ E ( RR ) 0  Ngoài ra, ta đặt ideal I =   Xem I ideal phải R ta tìm thấy 0 µ  E ( I ) ⊇ I bên E Do tồn x ∈ E ( I ) thỏa phương trình 0 2 0 0 x  =  0 0 0 2 Từ E(I) chia được, ta dễ dàng kiểm tra đơn vị phải 0 0 0 2   chứa   0 0 0 2 Tương tự ta kiểm tra tồn y ∈ E cho 0 2 y.2 =   0 0  0  0 Chúng ta cần thấy x   = Nếu giả sử x   ≠ từ 0 0 0 0  0 I ⊆ e E ( I ) , x   R ∩ I ≠ 0 0     a 2b    0 = x   R x    : a , b, c ∈ A  0 0  0 00 c     2a   = x   : a ∈ A  0 0     = 0, x     0   0 0 0 Từ ta có x  =  ( khác không I) Thực phép nhân 0 0 0 2 1   0 bên phải   = ngược lại Nếu E có cấu trúc vành  dẫn đến x  0 0 0 0 giao hoán với cấu trúc R môđun phải, dẫn đến kết sau :  0 1  1    0 2 0 0 = x =  y x = 2y x =   x=     0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2 Footer Page 42 of 114 Header Page 43 of 114 37 Đến ta gặp mâu thuẩn Trong ví dụ vành R không vành nửa đơn Jacobson Thật µ µ rad(R) cho   Và ví dụ Osofsky có cấu trúc vành nửa 0 µ  đơn Jacobson Như vậy, ví dụ cho ta thấy vành tự xạ ảnh vành tự nội xạ Tiếp theo ta nghiên cứu bao nội xạ môđun lớp vành đặc biệt Đó lớp vành Noether Vậy bao nội xạ lớp vành có hình ảnh tìm hiểu chúng 2.3 Tính nội xạ vành Noether 2.3.1 Định lý Bass Papp Cho vành R bất kì, điều sau tương đương : (1) : Bất kì giới hạn trực tiếp R môđun phải nội xạ nội xạ (2) : Bất kì tổng trực tiếp R môđun phải nội xạ nội xạ (3) : Bất kì tổng trực tiếp đếm R môđun phải nội xạ nội xạ (4) : R vành Noether phải Chứng minh: Chúng ta chứng minh theo sơ đồ sau (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) (1) ⇒ (2) Do tổng trực tiếp R môđun phải hiểu giới hạn trực tiếp thành phần hữu hạn (2) ⇒ (3) hiễn nhiên (3) ⇒ (4) Xét chuỗi ideal phải tăng dần J1 ⊆ J ⊆ , đặt J hợp tất chúng đặt E = ⊕i ≥1 E ( R / J i ) Ta định nghĩa ánh xạ f : J → E a ∈ J thành (a + J i )i ≥1 a + Ji xem phần tử R / J i ⊆ E ( R / J i ) Từ a ∈ J i , f (a) tổng trực tiếp thực E Theo giả thiết ER nội xạ R- đồng cấu f viết thành f (a= ) ea ∀a ∈ J Footer Page 43 of 114 Header Page 44 of 114 38 Tại e = (ei )i ≥1 phần tử thích hợp E Với i đủ lớn ta có ei =0 , ta có a ∈ J , = f ( a )i = a + J i Điều nghĩa J=Ji với i đủ lớn ta chứng minh ideal phải R thỏa điều kiện dây chuyền tăng (4) ⇒ (1) Cho I giới hạn trực tiếp lim Iα Iα ∈ MR nội xạ α → thứ tự tập có hướng Để áp dụng tiêu chuẩn Baer với I R , xét f f ∈ HomR ( J , R) , J ideal phải R.Từ R vành Noether JR hữu hạn sinh, f(J) chứa im(α ) Đặt A môđun Iα cho ánh xạ f(J) chứa tổng trực tiếp, đặt B định nghĩa dãy khớp ngắn sau: → B → A → f (J ) → Từ AR hữu hạn sinh BR.Điều với phần B trở thành tổng trực tiếp với β ≥ α , ánh xạ B trở thành IB Đặt A’ ảnh A I β ta có A ' ≅ f ( J ) Do ta mở rộng thành đồng cấu g : J → I β Do I β nội xạ g mở rộng đến R, tương tự f mở rộng đến R Do theo tiêu chuẩn Baer ta chứng minh tính nội xạ I 2.3.2 Chú ý (A) Nếu chấp nhận bỏ điều kiện (1) chứng minh (4) ⇒ (2) dễ dàng Ngoài {Iα } môđun nội xạ R Noether phải ideal J ⊆ R f ∈ Hom( J , ⊕ Iα ) imf chứa Iα ⊕ ⊕ Iα từ M R n hữu hạn sinh Sử dụng tính nội xạ Iα ⊕ ⊕ Iα ta mở rộng f đến R n (B) Cho {M α } môđun phải vành Noether R Thì ⊕ E ( M α ) nội xạ (2.3.1) có ⊕( M α ) ⊆ e ⊕ E ( M α ) (2.2.4) Từ ta có E (⊕α M α ) ≅ ⊕α E ( M α ) Định lý Bass-Papp kết tổng trực tiếp Footer Page 44 of 114 Header Page 45 of 114 39 môđun nội xa, thông qua chứng minh (4) ⇒ (1) định lý phát Cartan Eilenberg Phát triển điều ta nhận kết tiêu biểu vành Noether phải R Trong định lý (1) ⇔ (2) chứng minh Matlis Papp (1) ⇔ (3) chứng minh FaitWalker 2.3.3 Định lý Cho vành R bất kì, điều sau tương đương (1) R Noether phải (2) Bất kì môđun nội xạ MR tổng trực tiếp môđun không phân tích ( nội xạ ) (3) Tồn số α cụ thể cho môđun nội xạ M R tổng trực tiếp họ môđun ( nội xạ ) có lực lượng ≤ α Chứng minh: (1) ⇒ (2) Trước hết ta thấy môđun nội xạ ER ≠ chứa môđun không phân tích Ngoài lấy số khác x ∈ E E = E ( xR) Trong xR chứa tổng trực tiếp hữu hạn Từ điều ta dễ dàng thấy E chứa môđun nội xạ không phân tích M mà tổng trực tiếp Theo bổ đề Zorn tồn họ {M i i ∈ I } lớn Thì M = E ⊕ (⊕i M i ) với E ⊆ M từ ⊕ M i nội xạ (4) ⇒ (2) (2.3.1) Từ điều trước ta thấy môđun nội xạ E phải M = ⊕ M i (2) ⇒ (3) Xét môđun nội xạ E không phân tích ≠ x ∈ E Theo (2.1.7)(1) E = E ( xR) , E ≅ E ( R / J ) với ideal J ⊆ R Do theo giả thiết môđun nội xạ MR tổng trực tiếp môđun đẳng cấu với nó: { E ( R / J ) : J ⊆ R ideal phải} Footer Page 45 of 114 Header Page 46 of 114 40 Từ ta suy (3) cách chọn α ∑ E(R / J ) (3) ⇒ (1) Cho α số cụ thể phần (3) Theo (2.3.1) ta cần chứng minh môđun phải nội xạ khác M , M , , M n = M ⊕ M ⊕ nội xạ Đặt β= α + M ∞ M ' = ∏ Mj , M '' = ∏ M ' với C > β (*) j =1 C Theo 1.6.2 M’ M’’ nội xạ Do M '' = ⊕b∈B I b với môđun Ib mà có lực lượng ≤ α Chúng ta xây dựng tập B1 , B2 , ⊆ B với B j ≤ β cho M j nằm ⊕b∈B I b Điều thấy M nằm j ⊕b∈B j I b = M '' M nội xạ Để thấy cấu trúc Bj ta sử dụng điều kiện sau Giả sử B1 , B2 , , Bn xây dựng đặt N= ⊕{I b , b ∈ B1 ∪ ∪ Bn } ⊆ M '' Từ B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bn ≤ β I b ≤ α ≤ b , có N ≤ β Từ (*) M '' ⊇ ⊕c∈C X c X c ≅ M n +1 Nếu N ∩ X c ≠ với c ∈ C , ta có N ≥ C ≥ β Do tồn c ∈ C cho N ∩ X c = Từ X c nằm M ''/ N = ⊕{I b , b ∈ B \ ( B1 ∪ ∪ Bn ) X c M n +1 ≤ β , X c ≅ M n +1 chứa ⊕b∈B I b với Từ = n+1 Bn +1 ⊆ B \ ( B1 ∪ ∪ Bn ) với Bn +1 ≤ β Điều hoàn thành việc giới thiệu cấu trúc Bj 2.3.4 Hệ Cho N môđun phải hữu hạn sinh vành Noether phải Thì E(N) tổng trực tiếp hữu hạn môđun nội xạ không phân tích Chứng minh: Theo (1) ⇒ (2) (2.3.3) , E(N)= ⊕i M i Mi không phân tích Từ N hữu hạn sinh, ta có N ⊆ M i ⊕ ⊕ M i Nhưng mở rộng n cốt yếu, từ N ⊆ e E ( N ) Do ta có E ( N )= M i ⊕ ⊕ M i Footer Page 46 of 114 n Header Page 47 of 114 41 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm chứng minh số tính chất môđun nội xạ Trình bày cách hệ thống khái niệm chứng minh số tính chất môđun cốt yếu ( đối cốt yếu ) Trình bày chi tiết chứng minh tồn bao nội xạ môđun Đưa số ví dụ cụ thể bao nội xạ môđun Trình bày chứng minh định lý Bas Papp hệ Footer Page 47 of 114 Header Page 48 of 114 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số Đồng Điều, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Tiến Quang– Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết modun vành, NXB GD Hà Nội Tiếng Anh Tsit-Yuen-Lam (1942), Lectures on Modules and Rings, Springer Tsit-Yuen-Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Springer Footer Page 48 of 114 ... chất mở rộng cốt yếu bao nội xạ môđun Nội dung thứ hai nêu số ví dụ cụ thể bao nội xạ môđun để qua ta thấy rõ hình ảnh cụ thể bao nội xạ Nội dung thứ ba nghiên cứu tính nội xạ vành Noether thông... đến nội dung đề tài Cụ thể trình bày tóm tắt khái niệm, kí hiệu tính chất môđun môđun nội xạ ♦ Chương Bao nội xạ môđun - hình ảnh cụ thể Trong chương đề cập đến ba nội dung Nội dung thứ trình... 17 1.6 Môđun nội xạ 18 1.7 Môđun Noether – vành Noether 24 1.8 Giới hạn trực tiếp 25 Chương BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ