BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Văn Tuấn Khanh BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Văn Tuấn Khanh BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn PGS.TS Bùi Tường Trí Nhân dịp xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình chu đáo động viên nhiều suốt trình học tập trình hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn tất Thầy Cô, cán khoa Toán – Tin trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt Thầy tổ Đại số nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Xin cảm ơn bạn học viên nghành toán động viên giúp đỡ có nhiều ý kiến đóng góp trình hoàn thành luận văn Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận bảo góp ý Thầy Cô Bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn làm hướng dẫn PGS.TS Bùi Tường Trí Tôi không chép luận văn người khác Nếu lời cam đoan không thật bị xử lý theo pháp luật Người viết cam đoan Đoàn Văn Tuấn Khanh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun – Môđun – Môđun thương 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp 11 1.4 Tích Tenxơ 15 1.5 Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu 17 1.6 Môđun nội xạ 18 1.7 Môđun Noether – vành Noether 24 1.8 Giới hạn trực tiếp 25 Chương BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ 27 2.1 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ 27 2.2 Những ví dụ cụ thể bao nội xạ Môđun 30 2.3 Tính nội xạ vành Noether 37 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT Q: Nhóm cộng số hữu tỉ Z : Vành số nguyên ⊕ Ai : Tổng trực tiếp môđun Ai , i ∈ I I ⊕ f i : Tổng trực tiếp họ đồng cấu ( fi , i ∈ I ) I ∏f i : Tích trực tiếp họ đồng cấu ( fi , i ∈ I ) I x ⊗ y : Tích tenxơ hai phần tử x y M ⊗N : Tích tenxơ hai môđun M N E(M): Bao nội xạ môđun M N⊂M : N môđun M N ⊆ e M : N môđun cốt yếu M hay M mở rộng cốt yếu N N ⊆ s M : N môđun đối cốt yếu M hay N môđun bé M MR : Phạm trù R môđun phải MỞ ĐẦU Trong lý thuyết vành môđun khái niệm nội xạ xạ ảnh xem hai khái niệm Khái niệm môđun nội xạ đưa R.Bayer năm 1940 sau loạt khái niệm liên quan đưa khái niệm bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ,…Chúng có nhiều ứng dụng nghành Đại số nói chung nghành Đại số giao hoán nói riêng Trên vành giao hoán Noether, môđun nội xạ phân tích cách thành tổng trực tiếp môđun không phân tích được, biết rõ cúc trúc chúng Bao nội xạ mở rộng cốt yếu cực đại mở rộng nội xạ tối tiểu Lớp môđun nội xạ lớp môđun quan trọng Đại số đại Hiện người ta mở rộng lớp môđun thu nhiều kết quan trọng Trong phạm vi luận văn sâu nghiên cứu lớp môđun nội xạ với đề tài “Bao nội xạ môđun - hình ảnh cụ thể nó” Bố cục luận văn chia làm hai chương: ♦ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm, định nghĩa lý thuyết vành có liên quan đến nội dung đề tài Cụ thể trình bày tóm tắt khái niệm, kí hiệu tính chất môđun môđun nội xạ ♦ Chương Bao nội xạ môđun - hình ảnh cụ thể Trong chương đề cập đến ba nội dung Nội dung thứ trình bày chi tiết hệ thống khái niệm, chứng minh tính chất mở rộng cốt yếu bao nội xạ môđun Nội dung thứ hai nêu số ví dụ cụ thể bao nội xạ môđun để qua ta thấy rõ hình ảnh cụ thể bao nội xạ Nội dung thứ ba nghiên cứu tính nội xạ vành Noether thông qua định lý Bass Papp hệ 2 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun – Môđun – Môđun thương 1.1.1 Định nghĩa Giả sử R vành Một R môđun phải M nhóm cộng aben với ánh xạ M ×R → M gọi phép nhân vô hướng thỏa hệ thức sau: (m, r ) mr (mr )r ' = m(rr ') (m + m ')r =mr + m ' r với m, m ' ∈ M r , r ' ∈ R m(r + r ') = mr + mr ' m.1 = m Tương tự, R môđun trái nhóm aben M với phép nhân vô hướng rm (r ∈ R, m ∈ M ) thỏa r (r ' m) = (rr ')m r (m + m ') =rm + rm ' với m, m ' ∈ M r , r ' ∈ R (r + r ')m =rm + r ' m 1.m = m Nếu R vành giao hoán khái niệm R môđun phải R môđun trái trùng gọi R môđun 1.1.2 Ví dụ Phép nhân bên phải vành R phép nhân vô hướng R lên nhóm aben R thỏa mãn tiên đề môđun Bởi R R môđun phải Tương tự R R môđun trái Do R R môđun Mỗi ideal phải R R môđun phải, ideal trái R R môđun trái Giả sử R=Z vành số nguyên Mỗi nhóm aben A có cấu trúc Z môđun Có thể nói khái niệm môđun mở rộng khái niệm nhóm aben không gian vectơ 3 1.1.3 Định nghĩa Giả sử M R môđun phải Tập A M gọi môđun M A môđun R với phép cộng phép nhân vô hướng M hạn chế A 1.1.4 Bổ đề Giả sử M R môđun phải Nếu A tập khác rỗng M điều sau tương đương (a) A môđun M (b) A nhóm cộng M với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A (c) Với a, b ∈ A r , s ∈ R ta có ar + bs ∈ A 1.1.5 Ví dụ (a) Mỗi môđun M có môđun tầm thường M Môđun A M gọi thực A ≠ A ≠ M (b) Giả sử M R môđun tùy ý m0 ∈ M Khi tập = mo R {m0 r , r ∈ R} môđun M Nó gọi môđun xiclic sinh phần tử m0 (c) Giả sử m0 phần tử R môđun M, I ideal phải vành R Tập hợp phần tử m0α α chạy khắp I môđun M Kí hiệu m0 I (d) Giả sử A B hai môđun M A ∩ B môđun M A + B = {a + b / a ∈ A, b ∈ B} môđun M 1.1.6 Mệnh đề Giao họ môđun R môđun M môđun M Ví dụ : 1) 2Z ∩ 3Z = 6Z 2) pZ = với P tập tất số nguyên tố p∈P 1.1.7 Định nghĩa Giả sử X tập R môđun M Môđun bé A chứa X gọi môđun sinh X X tập sinh hay hệ sinh A Trong trường hợp A=M ta nói X hệ sinh M M sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M R môđun hữu hạn sinh Nếu môđun sinh phần tử ta gọi môđun môđun xiclic 1.1.8 Mệnh đề Giả sử X tập R môđun M Các mệnh đề sau tương đương: 1) A môđun sinh tập X A {∑ xrx / x ∈ X , rx ∈ R} rx hầu hết trừ số hữu hạn 2)= Ví dụ : Z môđun Q số hữu tỉ hệ sinh hữu hạn Thật vậy: Giả sử X = {a1a , , an } hệ sinh hữu hạn Q Khi a1 biểu diễn dạng tổng hữu hạn a1 =x1a1 +∑ xi , ∈ Z Suy a1 =2x1a1 +∑ 2ai xi , ∈ Z i ≠1 i ≠1 Từ ma1 = ∑ 2ai xi , ∈ Z với m = − x1 i ≠1 Giả sử a1 =y1a1 +∑ yi , yi ∈ Z m i ≠1 Khi a1 =myi a1 +∑ myi = i ≠1 ∑ x a y + ∑ my a = ∑ r a i ≠1 i i i i ≠1 i i i ≠1 i i Điều chứng tỏ X \{a1} hệ sinh Q Tiếp tục trình sau n bước ta tập rỗng hệ sinh Q Q = {0} !