Môđun FP xạ ảnh và môđun FP nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - HUỲNH NGỌC DIỄM MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ Thành phố Hồ Chí Minh , 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - HUỲNH NGỌC DIỄM MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh , 2012 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy, cô môn Toán khoa Sư phạm trường Đại học Cần Thơ thầy, cô khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy môn Đại số, người tận tình giảng dạy cho suốt thời gian học Đại học Cao học Chính kiến thức tảng quan trọng để thực hiện, hoàn thành luận văn Hơn hết, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS Nguyễn Viết Đông, người thầy tận tình hướng dẫn, động viên, khích lệ, giúp đỡ suốt trình thực hoàn chỉnh luận văn Tiếp theo, cảm ơn anh, chị, bạn chuyên ngành Đại số động viên trình học tập sửa chữa sai sót luận văn Lời cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thân, người bạn bên tôi, ủng hộ tinh thần cho sống học tập, đặc biệt ba mẹ cô Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 Huỳnh Ngọc Diễm MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung luận văn Phương pháp nghiên cứu Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Môđun, môđun tự đồng cấu môđun 1.2 Tổng trực tiếp 10 1.3 Dãy khớp 10 1.4 Hàm tử Hom 11 1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 13 1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn 14 1.7 Hàm tử tenxơ 15 1.8 Phức đồng điều 17 1.9 Phép giải tích mở rộng 19 1.10 Bao, phủ lý thuyết đối xoắn 20 1.11 Cái kéo lại, đẩy 22 Chương MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ 24 2.1 Khái niệm tính chất môđun FP- xạ ảnh môđun FP- nội xạ 24 2.2 Chiều FP- xạ ảnh chiều FP- nội xạ 29 2.3 Bao phủ 33 KẾT LUẬN ĐỀ TÀI 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Ký hiệu Ý nghĩa RM M R- môđun trái MR M R- môđun phải SMR M S- R- song môđun Mod Phạm trù môđun Ab Phạm trù nhóm cộng aben  Môđun A ⊕R B Tổng trực tiếp R hai môđun A B A ⊗R B Tích tenxơ R hai môđun A B Hom(A, B) Tập hợp đồng cấu từ A đến B Extn R (B, A) Tích mở rộng n chiều R hai môđun A B H n (X) Môđun đồng điều thứ n phức X Hn(X) Môđun đồng điều thứ n phức X theo số ⊥ Lớp trực giao C FP R Lớp R- môđun FP- xạ ảnh FI R Lớp R- môđun FP- nội xạ fpd R (M) Chiều FP- xạ ảnh R- môđun M fpd S (M) Chiều FP- xạ ảnh S- môđun M rfpD(R) sup{fpd R (M), M R- môđun phải hữu hạn sinh} rfpD(S) sup{fpd S (M), M S- môđun phải hữu hạn sinh} FP- id(M) Chiều FP- nội xạ R- môđun M r FP- dim(R) sup{FP- id(M), M R- môđun phải} C, C⊥ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, ngày môn Đại số đồng điều tràn ngập vào toán học Vì vậy, việc học môn trở nên thực cần thiết trở thành môn học bắt buộc chương trình Khi học môn này, học môđun vành có đơn vị R, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, nhóm đồng điều, đối đồng điều phức, hàm tử xoắn Tor n , hàm tử mở rộng Extn Khi học môđun, làm quen với khái niệm tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Tuy nhiên, thời gian có hạn nên chương trình học dừng lại việc nghiên cứu môđun mức độ chưa có tính chất chuyên sâu Giả sử cho R vành có đơn vị bất kỳ, M R- môđun phải xạ ảnh, biểu diễn hữu hạn ta tính số chiều nó, làm cách để tính số chiều? Một môđun gọi môđun xạ ảnh, môđun nội xạ biểu diễn hữu hạn? Cho C lớp R- môđun phải, C- tiền bao, C- bao,…được định nghĩa sao? Hoặc vài mô tả FP- môđun nội xạ gì?,… Vì thế, để trả lời cho câu hỏi này, học viên cao học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số K20, chọn môn Đại số đồng điều để nghiên cứu luận văn tốt nghiệp với đề tài “MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ”, FP chữ viết tắt Finitely Presented có nghĩa “biểu diễn hữu hạn” Mục đích đề tài Tổng hợp kết môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, ta tiến hành nghiên cứu: - Số chiều FP- xạ ảnh môđun thay đổi vành Cho R S vành coherent phải ϕ: R → S toàn cấu vành với S Rmôđun xạ ảnh phải R- môđun dẹt trái fpd R (M)= fpd S (M) với M Smôđun phải rfpD(S) ≤ rfpD(R) - Cho R S vành coherent phải S mở rộng tốt R fpd R (M)= fpd S (M) S- môđun phải M S rfpD(S) ≤ rfpD(R), dấu “ = ” xảy rfpD( R ) < ∞ - Đối với vành coherent phải R, rfpD(R) ≤ R- môđun phải (FP- nội xạ) có bao FP- xạ ảnh R- môđun phải (FP- nội xạ) có bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ - Cuối cùng, xét tiền phủ FP- xạ ảnh mở rộng tốt vành Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cho R vành có đơn vị đồng thời vành coherent phải, S vành coherent phải mở rộng tốt R, M R- môđun phải biểu diễn hữu hạn Luận văn trình bày số lý thuyết FP- nội xạ, C- tiền bao, C- bao,…, kết số chiều FP- xạ ảnh, số mô tả bao FP- nội xạ, tiền phủ FP- xạ ảnh Nội dung luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương 2: MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ Phương pháp nghiên cứu Trên sở kiến thức biết môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ với việc nghiên cứu tài liệu đặc biệt báo khoa học liên quan đến môđun FP- xạ ảnh môđun FP- nội xạ Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương chủ yếu trình bày kiến thức cần thiết cho chương sau Chứng minh kết chương bỏ qua tìm thấy tài liệu tham khảo Trong toàn luận văn ta xét R vành có đơn vị 1.1 Môđun, môđun tự đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.1 Nhóm cộng aben (M, +) gọi môđun trái vành R (Rmôđun trái), ký hiệu R M, M ta xác định tác động trái từ R, tức có ánh xạ μ : R × M → M mà μ(r, m) = rm thỏa mãn:  M : 1m = m  M : (rs)m = r(sm)  M : r(m + n) = rm + rn  M : (r + s)m = rm + sm với r,s∈R với m, n ∈M Định nghĩa 1.1.2 Nhóm cộng aben (M, +) gọi môđun phải vành R (Rmôđun phải), ký hiệu M R , M ta xác định tác động phải từ R, tức có ánh xạ φ : M × R → M mà φ(m, r) = mr thỏa mãn:  M : m1 = m  M : m(rs) = (mr)s  M : (m + n)r = mr + nr  M : m(r + s) =mr + ms với r,s∈R với m, n ∈M Định nghĩa 1.1.3 Cho R S vành, nhóm cộng aben M gọi S- Rsong môđun, ký hiệu S M R , M S- môđun trái R- môđun phải cấu trúc tương thích, tức (sm)r = s(mr) với s ∈ S, r ∈ R, m ∈ M Từ đây, không cần nhấn mạnh môđun trái hay môđun phải R ta cần nói ngắn gọn R- môđun Định nghĩa 1.1.4 Cho M R – môđun, tập A ≠ ∅ M gọi phận ổn định M nếu: A + A ⊂ A RA ⊂ A A + A = {a + ba, b ∈ A} RA= {ra r ∈ R, a ∈ A} Nếu A phận ổn định M phép toán M giới hạn lại phần tử A, cảm sinh nên phép toán A Định lý 1.1.5 ([1], định lý 1, trang 11) Mỗi phận ổn định A môđun M, với phép toán cảm sinh lập thành R- môđun Định nghĩa 1.1.6 A gọi môđun M, ký hiệu A  M với x, y ∈ A x + y ∈ A với r ∈ R, với x ∈ A rx ∈ A Định lý 1.1.7 ([1], định lý 3, trang 12) Cho M R- môđun, giao họ khác rỗng môđun M môđun M Định nghĩa 1.1.8  Cho M R- môđun, S ⊂ M, môđun sinh tập S, ký hiệu 〈S〉 giao họ tất môđun M chứa S  Một tổ hợp tuyến tính S tổng hữu hạn dạng r m + r m +…+ r n m n r , r , …, r n ∈ R; m , m ,…, m n ∈ S  Cho M R- môđun trái, A  M Tập thương M/A = {m + A: m ∈ M} muốn trở thành R- môđun ta xác định M/A phép nhân từ R sau: với r ∈ R, m + A ∈ M/A r(m + A) = rm + A Phép nhân thỏa tiên đề từ M đến M Do đó, tập thương M/A xác định cấu trúc R- môđun trái Ta gọi M/A môđun thương môđun M theo môđun A Định nghĩa 1.1.9  Cho môđun M vành R Tập S ⊂ M gọi hệ sinh M 〈S〉 = M tức với phần tử m ∈ M m = r s + r s +…+ r n s n với r , r , …, r n ∈ R; s , s ,…, s n ∈ S  Tập S ⊂ M gọi độc lập tuyến tính từ r s + r s +…+ r n s n = r = r = … = r n =  Tập S ⊂ M không độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính  Tập S ⊂ M gọi sở M S vừa hệ sinh vừa độc lập tuyến tính  Môđun M khác môđun sở gọi môđun tự Định nghĩa 1.1.10  Cho M, N R- môđun Ánh xạ f: M → N gọi R- đồng cấu với m, m , m ∈ M với r ∈ R thì: f (m + m ) = f(m ) + f(m ) f(rm) = rf(m)  Đồng cấu f gọi đơn cấu (toàn cấu) f đồng thời đơn ánh (toàn ánh)  Đồng cấu f gọi đẳng cấu f vừa đơn cấu vừa toàn cấu 1.2 Tổng trực tiếp Định lý 1.2.1 ([1], định lý 2, trang 24) Cho A, B môđun môđun M vành R thỏa tính chất: (i) A ∩ B = (ii) A + B = M Khi ta có đẳng cấu M ≅ A ⊕ B Thay cho dấu “≅ ” ta viết dấu “ = ”, tức M = A ⊕ B Khi ta nói M tổng trực tiếp hai môđun A, B M Định nghĩa 1.2.2 Môđun A M gọi hạng tử trực tiếp M có môđun B M cho M = A ⊕ B Khi đó, môđun B gọi hạng tử bù trực tiếp môđun A 1.3 Dãy khớp Định nghĩa 1.3.1 f g  Dãy đồng cấu (hữu hạn vô hạn) ⋅⋅⋅ → A  → B  → C → ⋅⋅⋅ gọi khớp môđun B Im(f)= Ker(g)