môđun nội xạ và môđun fp nội xạ

Khi thu hẹp lớp các môđun hữu hạn sinh tới lớp các môđun biểu diễn hữu hạn trong điều kiện tương đương của một môđun nội xạ được phát biểu dưới ngôn ngữ hàm tử Ext đã nói ở trên, chúng

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

MÔĐUN NỘI XẠ

VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

MÔĐUN NỘI XẠ

VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

L ỜI CẢM ƠN

Luận văn tốt nghiệp Cao học được hoàn thành tại Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Có được bản luận văn tốt nghiệp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành

và sâu sắc đến Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phòng sau đại học, đặc biệt

là TS Trần Huyên đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tác giả với những chỉ dẫn khoa học quý giá trong suốt quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài

“Môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ”

Xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo – Các nhà khoa học đã trực tiếp giảng dạy truyền đạt những kiến thức khoa học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số cho bản thân tác giả trong những năm tháng qua

Xin ghi nhận công sức và những đóng góp quý báu và nhiệt tình của các bạn học viên

lớp K23 đã đóng góp ý kiến và giúp đỡ cùng tác giả triển khai, thu thập kiến thức Toán

học Có thể khẳng định sự thành công của luận văn này, trước hết thuộc về công lao

của tập thể, của nhà trường, cơ quan và xã hội Đặc biệt là quan tâm động viên khuyến khích cũng như sự cảm thông sâu sắc của gia đình Nhân đây tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu đậm

Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn các đơn vị và cá nhân đã hết lòng quan tâm

tới sự nghiệp đào tạo đội ngũ cán bộ ngành Sư phạm Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp, phê bình của quý Thầy Cô, các nhà khoa học, đọc giả và các bạn đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 9 năm 2014

Tác giả

Phan Lê Văn Thắng

M ỤC LỤC

CÁC QUI ƯỚC VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT 4

M Ở ĐẦU 5

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 5

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 5

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 6

4 NỘI DUNG LUẬN VĂN 6

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6

Chương 1 KI ẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Môđun hữu hạn sinh 8

1.2 Môđun biểu diễn hữu hạn 15

Bổ đề Schanuel 18

1.3 Các vành đặc biệt và môđun chia được trên miền nguyên 23

Chương 2 MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ 30

2.1 Môđun nội xạ 31

2.2 Môđun FP-nội xạ 40

K ẾT LUẬN 50

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 51

CÁC QUI ƯỚC VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Mọi vành R trong bài luận văn này đều là vành có đơn vị khác 0 (đơn vị của R ký

A  : A là môđun con của môđun B B

S : môđun con sinh bởi tập S

 là ký hiệu của tập các số tự nhiên khác 0

 là ký hiệu của tập các số nguyên

 là ký hiệu của tập các số hữu tỉ

( , ) 0

Ext G J = với mọi môđun G hữu hạn sinh Chúng ta đã biết các môđun

biểu diễn hữu hạn là các môđun hữu hạn sinh, tuy nhiên, một môđun hữu hạn sinh chưa chắc đã là môđun biểu diễn hữu hạn Khi thu hẹp lớp các môđun hữu

hạn sinh tới lớp các môđun biểu diễn hữu hạn trong điều kiện tương đương của

một môđun nội xạ được phát biểu dưới ngôn ngữ hàm tử Ext đã nói ở trên,

chúng ta thu được một mở rộng của khái niệm môđun nội xạ, đó chính là các

môđun FP-nội xạ Như vậy môđun X là FP-nội xạ nếu Ext G X( , )= với mọi 0

môđun G biểu diễn hữu hạn Vấn đề là các môđun FP-nội xạ sẽ còn giữ được

bao nhiêu tính chất của môđun nội xạ Luận văn này chính là sự trả lời cho

- Mối tương quan giữa môđun hữu hạn sinh và môđun biểu diễn hữu hạn: nét

giống nhau và khác nhau giữa chúng, sự đồng nhất của chúng trong một vài trường hợp đặc biệt dùng trong việc đánh giá so sánh khái niệm môđun nội

xạ và môđun FP-nội xạ để tìm ra các tính chất tương ứng với nhau giữa hai môđun

- Định nghĩa và tính chất của môđun FP-nội xạ

- Mối tương quan giữa môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ: nét giống nhau và khác nhau giữa chúng, sự đồng nhất của chúng trong một vài trường hợp đặc biệt

Đối tượng nghiên cứu: Môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ

Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm và tính chất đặc trưng của môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ và mối tương quan giữa chúng

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn và mối tương quan của chúng để thuận tiện cho việc triển khai chương 2

Chương 2: Môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ

Trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của một môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ và mối tương quan của chúng

Nghiên cứu lý thuyết bằng cách phân tích, tổng hợp từ nhiều tài liệu khác nhau

về môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ kết hợp với phương pháp sử dụng công

cụ, kĩ thuật về môđun đã được học từ trước đó

Chương 1

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản và những kết quả cần thiết cho việc nghiên cứu những vấn đề trong chương sau Trước hết chúng ta xem

những khái niệm môđun, đồng cấu, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, dãy khớp, môđun tự

do, các hàm tử Hom, môđun xạ ảnh là những khái niệm xem như đã biết Độc giả

muốn hiểu rõ có thể truy cập trong tài liệu tham khảo (quyển [1]) Những kiến thức cơ

bản về Đại số đồng điều như phức, đồng điều, dãy đồng điều khớp, phép giải, hàm tử

mở rộng cũng xem như đã biết (cũng có thể tham khảo ở quyển [1] trong danh sách các tài liệu tham khảo) Ở đây chúng ta chỉ đưa ra những khái niệm sâu hơn về các

môđun hữu hạn sinh và môđun biểu diễn hữu hạn là những khái niệm chủ yếu liên quan đến nội dung chương 2

1.1 Môđun hữu hạn sinh

Khái niệm môđun hữu hạn sinh được xem là một trong những trường hợp đặc

biệt của khái niệm môđun sinh bởi một tập Chúng ta nhắc lại rằng, một môđun

X sinh b ởi tập S ⊆ X là môđun gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S Khi

tập S là một tập hữu hạn thì chúng ta nhận được khái niệm sau đây:

Định nghĩa 1.1.1 Môđun X được gọi là môđun hữu hạn sinh, nếu trong X có

R là {e i i : ∈1,n} trong đó e là các ph i ần tử có thành phần thứ i là 1 và các thành phần khác đều là 0 Đặc biệt, vành hệ

tử R xem như R -môđun là môđun hữu hạn sinh

b) Nhóm cộng  không phải là một -môđun hữu hạn sinh Thật vậy, ta

có thể chứng minh bằng phản chứng Giả sử  được sinh bởi tập hữu

n i i

b

=

∈+

∏ , do  được sinh bởi S nên có c c1, 2, ,c n∈ sao cho

1

11

n i i

b

=

∏ chia hết cho

11

n i i

Sau đây là một vài tính chất về môđun hữu hạn sinh liên quan tới các môđun con của môđun hữu hạn sinh, môđun thương của môđun hữu hạn sinh và tổng

trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh Câu hỏi đặt ra là có phải các môđun đó cũng là môđun hữu hạn sinh hay không? Đầu tiên ta sẽ tìm hiểu về môđun thương của môđun hữu hạn sinh, nhưng trước hết, ta sẽ chứng minh định lý sau:

Định lý 1.1.2 Cho dãy khớp ngắn 0→ A χ→ B σ→ → gC 0 ồm các R

-môđun và các đồng cấu Khi đó:

a) Nếu B là môđun hữu hạn sinh thì C là môđun hữu hạn sinh

b) Nếu A và C là các môđun hữu hạn sinh thì B là môđun hữu hạn sinh

a) Giả sử B là môđun hữu hạn sinh Khi đó tồn tại b b1, 2, ,b n∈ sao cho B

1, 2, , n

B= b b b

Do σ là toàn cấu nên với mỗi c C∈ , tồn tại b B∈ sao cho c=σ( )b

Khi đó tồn tại r r1, , ,2 r n∈ sao cho R

1

n

i i i

Vậy C là môđun hữu hạn sinh

b) Giả sử A và C là các môđun hữu hạn sinh Khi đó tồn tại

1, 2, , m

a a a ∈ , A c c1, 2, ,c n∈ sao cho C A= a a1, 2, ,a m và

1, 2, , n

C = c c c

Với mỗi 1,i∈ n, do σ là toàn cấu nên có b i∈ sao cho B c i =σ( )b i

Với mỗi b B∈ , ta có σ( )b ∈ nên tồn tại C r r1, , ,2 r n∈ sao cho R

Vậy B là môđun hữu hạn sinh 

Cho các môđun A, B và đồng cấu : g A→ Khi đó ta có hai dãy khớp ngắn: B

H ệ quả 1.1.3

a) Ảnh đồng cấu của một môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh Đặc

biệt, môđun thương của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh

b) Nếu A là môđun hữu hạn sinh và đồng cấu : g A→ thB ỏa B g A( ) là

môđun hữu hạn sinh thì B cũng là môđun hữu hạn sinh □

Câu hỏi tiếp theo là môđun tổng trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh có phải

là môđun hữu hạn sinh hay không? Nếu số thành phần trong tổng trực tiếp là

hữu hạn thì câu trả lời là khẳng định, thông qua hệ quả sau:

hữu hạn sinh

Giả sử X X 1, 2 là hai môđun hữu hạn sinh Xét dãy khớp ngắn:

1 1 2 2

0→ X → X ⊕X → X → 0Theo định lý 1.1.2, ta có X1⊕X2 là môđun hữu hạn sinh

Giả thiết tổng trực tiếp của n môđun hữu hạn sinh (với n≥2) là môđun hữu

hạn sinh Ta sẽ chứng minh tổng trực tiếp của (n+ môđun hữu hạn sinh cũng 1)

là môđun hữu hạn sinh

Xét X X1, 2, ,X n,X n+1 là (n+ môđun hữu hạn sinh Theo giả thiết quy nạp, 1)

ta có

1

n i

Vậy tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh

□

Còn nếu số thành phần trong tổng trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh khác 0

là vô hạn thì câu trả lời cho câu hỏi trên lại là phủ định Định lý tiếp theo sẽ cho

ra một số hữu hạn

i I X

∈

⊕ là môđun hữu hạn sinh

Với mỗi k I∈ , ta có đồng cấu p k :⊕X i → X k thỏa p k( ( )x i i I∈ )= là toàn cx k ấu nên X k = p k(⊕X i) Theo hệ quả 1.1.3, ta có X k là môđun hữu hạn sinh

Vậy hầu hết các X i = Tr0 ừ ra một số hữu hạn 

Câu hỏi cuối cùng trong phần này là môđun con của môđun hữu hạn sinh có

nhất thiết phải là môđun hữu hạn sinh hay không? Và câu trả lời là không nhất thiết, thông qua ví dụ sau:

Xét môđun hữu hạn sinh

Như chúng ta đã biết, mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương của môđun tự

do nào đó Hay nói cách khác, mỗi môđun X luôn luôn có thể nhúng vào một

dãy khớp ngắn 0→ K → →F X → với F là môđun tự do Khi X là môđun 0

hữu hạn sinh, ta sẽ có kết quả sau:

Định lý 1.1.6 Môđun X là hữu hạn sinh khi và chỉ khi tồn tại một dãy khớp

ngắn 0→K → →F X → v0 ới F là môđun tự do hữu hạn sinh

Chứng minh Cho X là môđun hữu hạn sinh Khi đó tồn tại a a1, 2, ,a n∈ X

sao cho X = a a1, 2, ,a n Gọi F là môđun tự do sinh bởi {a a1, 2, ,a n} Ánh

xạ nhúng {a a1, 2, ,a n}→ X được mở rộng tới một đồng cấu duy nhất :

f F → X Dễ thấy f là toàn cấu

Đặt K =ker f Ta có dãy:

0→ K i→ → → F f X 0

với i là đồng cấu nhúng, là một dãy khớp ngắn

Ngược lại, cho 0→K → →F X → là m0 ột dãy khớp ngắn và F là một môđun tự do hữu hạn sinh Theo định lý 1.1.2, ta có X là một môđun hữu hạn

sinh 

Ta có thể xem định lý trên như là một định nghĩa khác của môđun hữu hạn sinh

Và khi ta siết chặt điều kiện tương đương của môđun hữu hạn sinh trong định lý 1.1.6 từ môđun K bất kì xuống thành môđun hữu hạn sinh K , ta sẽ được một

lớp các môđun mới, được gọi là các môđun biểu diễn hữu hạn, sẽ được phát

biểu ở phần sau

1.2 Môđun biểu diễn hữu hạn

Theo định lý 1.1.6, ta đã biết mỗi môđun hữu hạn sinh X đều nhúng được vào

dãy khớp ngắn

0→K → →F X → 0

với F là một môđun tự do hữu hạn sinh Tuy nhiên K không phải lúc nào cũng

là một môđun hữu hạn sinh Ví dụ như dãy khớp ngắn

A là R - môđun hữu hạn sinh và A không phải là R -môđun hữu hạn sinh

Vậy môđun X phải thỏa điều kiện gì thì môđun K mới là môđun hữu hạn

sinh? Câu hỏi đó dẫn đến xuất hiện khái niệm “môđun biểu diễn hữu hạn” như sau:

Định nghĩa 1.2.1 Môđun X được gọi là môđun biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại

một dãy khớp ngắn 0→ K → →F X → v0 ới F là một môđun tự do hữu hạn sinh và K là môđun hữu hạn sinh

a) Mỗi môđun tự do hữu hạn sinh X đều là môđun biểu diễn hữu hạn vì

dãy

0→ →0 X → X → 0

là khớp Nói cách khác, với mọi *

n∈  ta có n

R là R -môđun biểu diễn

hữu hạn Đặc biệt, vành hệ tử R xem như R -môđun là môđun biểu diễn

hữu hạn

b) Vì mỗi dãy khớp có dạng 0→ K → →F X → , v0 ới X là môđun xạ ảnh, đều là chẻ nên nếu F là môđun hữu hạn sinh thì K cũng là môđun

hữu hạn sinh (do F K X≅ ⊕ và định lý 1.1.5) Do đó mỗi môđun xạ

ảnh X hữu hạn sinh đều là một môđun biểu diễn hữu hạn

Định nghĩa 1.2.1 cũng có thể được phát biểu dưới dạng tương đương sau:

Định lý 1.2.2 R -môđun X là biểu diễn hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại một dãy

khớp R n → R m → X → 0

dãy khớp ngắn 0→ K i→ F p→ → vX 0 ới F là môđun tự do hữu hạn sinh và K là môđun hữu hạn sinh

Giả sử K được sinh bởi các phần tử a a1, 2, ,a G n ọi 'F là môđun tự do sinh

bởi tập {a a1, 2, ,a n} Ánh xạ nhúng {a a1, 2, ,a n}→ có thK ể mở rộng đến toàn cấu : 'f F → K

Xét dãy F'→ if F p→ → , ta có X 0 Imif =if F( ) ( )' =i K =Imi=kerp

Vậy dãy trên là khớp

Vì F là R -' môđun tự do có cơ sở gồm n phần tử nên ' n

K = p= i =i R Theo hệ quả 1.1.3, ta có K là môđun hữu hạn sinh

Dễ thấy dãy 0→ K j→R mp→ → X 0 (trong đó j là ánh xạ nhúng) là

khớp ngắn nên X là môđun biểu diễn hữu hạn □

So sánh định nghĩa 1.2.1 và định lý 1.1.6, ta rút ra được định lý sau:

Định lý 1.2.3 Mỗi môđun biểu diễn hữu hạn là một môđun hữu hạn sinh 

Nh ận xét

a) Theo như định nghĩa R và A ở đầu phần 1.2 thì A không là R -môđun

hữu hạn sinh nên A không là môđun biểu diễn hữu hạn, còn R là

môđun biểu diễn hữu hạn Do đó môđun con của môđun biểu diễn hữu

hạn không nhất thiết phải là môđun biểu diễn hữu hạn

b) Tổng trực tiếp của vô hạn các môđun biểu diễn hữu hạn khác không không phải là môđun biểu diễn hữu hạn Thật vậy, nếu tổng trực tiếp

của vô hạn các môđun biểu diễn hữu hạn khác không là môđun biểu

diễn hữu hạn thì vì mỗi môđun biểu diễn hữu hạn là một môđun hữu hạn sinh nên có tồn tại một tổng trực tiếp của vô hạn các môđun hữu hạn sinh khác không là môđun hữu hạn sinh Điều này là mâu thuẩn với định

lý 1.1.5

Ta đã biết môđun thương của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh Câu

hỏi đặt ra là môđun thương của môđun biểu diễn hữu hạn có nhất thiết phải là môđun biểu diễn hữu hạn hay không? Định lý tiếp theo sẽ cho ta thấy câu trả

lời Tuy nhiên để chứng minh định lý đó, ta cần kết quả sau:

B ổ đề Schanuel:

Cho 0→ K χ→ P σ→M → và 0 ' '

0→K'→ →χ P' σ M → là hai 0dãy khớp ngắn trong đó , 'P P là các môđun xạ ảnh Khi đó, ta có

' '

K⊕P =K ⊕ P

Chứng minh Do P là môđun xạ ảnh, ánh xạ 'σ là toàn cấu nên tồn tại đồng

cấu :β P→P' sao cho σ β σ' =

a) Nếu C là môđun biểu diễn hữu hạn và B là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh thì A là môđun hữu hạn sinh

b) Nếu A là môđun hữu hạn sinh và B là môđun biểu diễn hữu hạn thì C

là môđun biểu diễn hữu hạn

c) Nếu A và C là các môđun biểu diễn hữu hạn thì B là môđun biểu diễn

hữu hạn

a) Giả sử B là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh và C là môđun biểu diễn hữu

hạn

Khi đó tồn tại dãy khớp ngắn 0→K → → → vP C 0 ới P là môđun tự

do hữu hạn sinh và K là môđun hữu hạn sinh

Do B và P là các môđun xạ ảnh nên theo bổ đề Schanuel, ta có

P⊕ ≅ ⊕ A B K

Do B và K là các môđun hữu hạn sinh nên theo hệ quả 1.1.4, ta có

B⊕ K là môđun hữu hạn sinh Do đó P A⊕ là môđun hữu hạn sinh

Theo định lý 1.1.5, ta có A là môđun hữu hạn sinh

b) Giả sử B là môđun biểu diễn hữu hạn và A là môđun hữu hạn sinh Theo định lý 1.2.3, B là môđun hữu hạn sinh và do đó C cũng là môđun

hữu hạn sinh theo định lý 1.1.2

Khi đó dãy khớp ngắn 0→ → → → có thA B C 0 ể nhúng được vào

biểu đồ giao hoán:

trong đó ba dòng, ba cột đều khớp, dòng giữa chẻ ra gồm các môđun tự

do, các môđun ', "F F là các môđun hữu hạn sinh

Do F ≅F'⊕F" nên theo hệ quả 1.1.4, ta có F cũng là môđun tự do

hữu hạn sinh Suy ra F là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh

Mặt khác, B là môđun biểu diễn hữu hạn nên theo phần a), ta có K là

môđun hữu hạn sinh

Theo định lý 1.1.2, ta có "K là môđun hữu hạn sinh

Vậy C là môđun biểu diễn hữu hạn

c) Giả sử A và C là các môđun biểu diễn hữu hạn Theo định lý 1.2.3, ta

có A và C là các môđun hữu hạn sinh

Khi đó dãy khớp ngắn

0→ → → → A B C 0

có thể nhúng được vào biểu đồ giao hoán:

trong đó ba dòng, ba cột đều khớp, dòng giữa chẻ ra gồm các môđun tự

do, các môđun ', "F F là các môđun hữu hạn sinh Theo phần a), ta có các môđun ', "K K là các môđun hữu hạn sinh

Suy ra, F ≅ F'⊕F" cũng là môđun tự do hữu hạn sinh và K là môđun

hữu hạn sinh theo định lý 1.1.2

Vậy B là môđun biểu diễn hữu hạn 

Để lấy ví dụ về môđun là hữu hạn sinh nhưng không là biểu diễn hữu hạn, ta có:

Môđun R A, với R và A được định nghĩa ở đầu phần 1.2, là một môđun hữu

hạn sinh nhưng không là môđun biểu diễn hữu hạn Thật vậy, theo định lý 1.2.4, nếu R A là môđun biểu diễn hữu hạn thì do R là môđun tự do hữu hạn sinh nên A phải là môđun hữu hạn sinh (mâu thuẩn!)

hạn không nhất thiết là môđun biểu diễn hữu hạn Như vậy tính chất “biểu diễn

hữu hạn” không được bảo toàn qua môđun thương, hoàn toàn khác với tính chất

“hữu hạn sinh”

Ta đã biết, tổng trực tiếp của các môđun là hữu hạn sinh thì số môđun khác 0 là

hữu hạn và mỗi môđun đều là hữu hạn sinh Vậy liệu tính chất này có còn giữ được trong khái niệm môđun biểu diễn hữu hạn hay không? Định lý sau đây sẽ

trả lời cho câu hỏi này

Định lý 1.2.5 Cho { }X i i I∈ là một họ các môđun Khi đó nếu i

i I X

∈

⊕ là một môđun biểu diễn hữu hạn thì mỗi X i là môđun biểu diễn hữu hạn và hầu hết 0

⊕ là môđun hữu hạn sinh Theo định lý 1.1.5, ta có mỗi X là các i

môđun hữu hạn sinh và hầu hết các X i = , tr0 ừ một số hữu hạn

∈⊕ cũng là môđun hữu hạn sinh Theo định lý 1.2.4, ta có X là các i

môđun biểu diễn hữu hạn □

1.3 Các vành đặc biệt và môđun chia được trên

mi ền nguyên

Hai phần trên đã trình bày về những khái niệm và các kết quả về môđun hữu

hạn sinh và môđun biểu diễn hữu hạn Từ đó cho thấy môđun biểu diễn hữu hạn

là trường hợp đặc biệt của môđun hữu hạn sinh, tức là những môđun biểu diễn

hữu hạn luôn là môđun hữu hạn sinh, tuy nhiên có những môđun là hữu hạn sinh nhưng không là biểu diễn hữu hạn Phần này trình bày khái niệm và các tính chất liên quan đến vành Noether cho phép chúng ta đồng nhất hai loại môđun đó Ngoài ra cũng trình bày thêm định nghĩa của vành chính, vành Coherent và môđun chia được trên miền nguyên để phục vụ cho chương 2

Định nghĩa 1.3.1 Vành R được gọi là vành Coherent trái (gọi tắt là vành

Coherent) n ếu mọi iđêan trái I hữu hạn sinh của R xem như R -môđun đều là

môđun biểu diễn hữu hạn

Định lý 1.3.2 Mỗi môđun con hữu hạn sinh của môđun biểu diễn hữu hạn trên

vành Coherent đều là môđun biểu diễn hữu hạn

Bổ đề 1 Cho A là R -môđun hữu hạn sinh và đồng cấu : g A→ thB ỏa g A ( )

là môđun biểu diễn hữu hạn Khi đó ker g là môđun hữu hạn sinh

:R m A

π → Xét dãy khớp ngắn 0→kergπ →R m →gπ g A( )→ Theo 0

định lý 1.2.4, ta có ker gπ là môđun hữu hạn sinh Theo hệ quả 1.1.3, ta có

kerg =π kergπ là môđun hữu hạn sinh □

n∈  , môđun con hữu hạn sinh

của R -môđun n

R là môđun biểu diễn hữu hạn

Chứng minh bổ đề 2 Ta sẽ chứng minh bổ đề 2 bằng quy nạp theo n

R − nên theo

giả thiết quy nạp, ta có p I ( ) là môđun biểu diễn hữu hạn

Theo bổ đề 1, ta có kerp I =ker p∩ =I { (0, 0, ,a n)∈ I} là môđun hữu hạn sinh Đặt đồng cấu:

( 1 2 )

:, , ,

n n

R nên là môđun biểu diễn hữu hạn

Vì ker n(ker )

p ≅ p p nên ker

I

p cũng là môđun biểu diễn hữu hạn Xét dãy

khớp ngắn 0→kerp I → →I p I( )→ Theo định lý 1.2.4, ta có I là môđun 0

biểu diễn hữu hạn

Vậy bổ đề 2 đúng với mọi *

n∈  □

hạn sinh của R -môđun biểu diễn hữu hạn B Xét dãy khớp ngắn:

Theo định lý 1.2.4, ta có K và " K là các môđun hữu hạn sinh Theo bổ đề 2, ta

có K " là môđun biểu diễn hữu hạn Theo bổ đề 1, ta có 'K là môđun hữu hạn sinh

Vậy A là môđun biểu diễn hữu hạn □

Định nghĩa 1.3.3 Vành R được gọi là vành Noether trái (gọi tắt là vành

Noether) n ếu mọi iđêan trái I của R đều hữu hạn sinh

Định lý 1.3.4 Mỗi môđun con của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether là

môđun hữu hạn sinh