môđun nội xạ và môđun fp nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Lê Văn Thắng MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Lê Văn Thắng MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn tốt nghiệp Cao học hoàn thành Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Có luận văn tốt nghiệp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phòng sau đại học, đặc biệt TS Trần Huyên trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tác giả với dẫn khoa học quý giá suốt trình triển khai, nghiên cứu hoàn thành đề tài “Môđun nội xạ môđun FP-nội xạ” Xin chân thành cảm ơn Thầy Cô giáo – Các nhà khoa học trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức khoa học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số cho thân tác giả năm tháng qua Xin ghi nhận công sức đóng góp quý báu nhiệt tình bạn học viên lớp K23 đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả triển khai, thu thập kiến thức Toán học Có thể khẳng định thành công luận văn này, trước hết thuộc công lao tập thể, nhà trường, quan xã hội Đặc biệt quan tâm động viên khuyến khích cảm thông sâu sắc gia đình Nhân tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu đậm Một lần tác giả xin chân thành cảm ơn đơn vị cá nhân hết lòng quan tâm tới nghiệp đào tạo đội ngũ cán ngành Sư phạm Tác giả mong nhận đóng góp, phê bình quý Thầy Cô, nhà khoa học, đọc giả bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng năm 2014 Tác giả Phan Lê Văn Thắng MỤC LỤC CÁC QUI ƯỚC VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU NỘI DUNG LUẬN VĂN PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun hữu hạn sinh 1.2 Môđun biểu diễn hữu hạn 15 Bổ đề Schanuel 18 1.3 Các vành đặc biệt môđun chia miền nguyên 23 Chương MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ 30 2.1 Môđun nội xạ 31 2.2 Môđun FP-nội xạ 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 CÁC QUI ƯỚC VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Mọi vành R luận văn vành có đơn vị khác (đơn vị R ký hiệu ) Các môđun trái vành R viết gọn R -môđun trái, vành hệ tử xác định, để đơn giản, ta viết gọn môđun Các R -đồng cấu gọi cách đơn giản đồng cấu ∏X i∈I i hay ∏X i : môđun tích trực tiếp họ không rỗng môđun { X i }i∈I ⊕ X i hay ⊕ X i : môđun tổng trực tiếp họ không rỗng môđun { X i }i∈I i∈I Ext Rn ( A, B ) hay Ext n ( A, B ) : tích mở rộng n-chiều R môđun A B Ext ( A, B ) : tích mở rộng môđun A B A ⊆ B : A B A ⊂ B : A thực B A  B : A môđun môđun B S : môđun sinh tập S x1 , x2 , , xn := { x1 , x2 , , xn } 1, n := {1, 2, , n} ∅ ký hiệu tập rỗng  ký hiệu tập số tự nhiên * ký hiệu tập số tự nhiên khác  ký hiệu tập số nguyên  ký hiệu tập số hữu tỉ MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khái niệm môđun nội xạ khái niệm quan trọng Đại số, nói riêng Lý thuyết môđun Đại số đồng điều Vì vậy, việc tìm kiếm mở rộng cho khái niệm vấn đề đáng quan tâm Một điều kiện cần đủ để môđun nội xạ tiêu chuẩn Baer, cho phép nhìn nhận môđun J nội xạ Ext ( G, J ) = với môđun G hữu hạn sinh Chúng ta biết môđun biểu diễn hữu hạn môđun hữu hạn sinh, nhiên, môđun hữu hạn sinh chưa môđun biểu diễn hữu hạn Khi thu hẹp lớp môđun hữu hạn sinh tới lớp môđun biểu diễn hữu hạn điều kiện tương đương môđun nội xạ phát biểu ngôn ngữ hàm tử Ext nói trên, thu mở rộng khái niệm môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ Như môđun X FP-nội xạ Ext ( G , X ) = với môđun G biểu diễn hữu hạn Vấn đề môđun FP-nội xạ giữ tính chất môđun nội xạ Luận văn trả lời cho vấn đề nêu MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Tổng hợp kết môđun, môđun hữu hạn sinh, môđun nội xạ, ta tiến hành nghiên cứu: - Định nghĩa tính chất môđun biểu diễn hữu hạn dùng để định nghĩa tìm tính chất môđun FP-nội xạ - Mối tương quan môđun hữu hạn sinh môđun biểu diễn hữu hạn: nét giống khác chúng, đồng chúng vài trường hợp đặc biệt dùng việc đánh giá so sánh khái niệm môđun nội xạ môđun FP-nội xạ để tìm tính chất tương ứng với hai môđun - Định nghĩa tính chất môđun FP-nội xạ - Mối tương quan môđun nội xạ môđun FP-nội xạ: nét giống khác chúng, đồng chúng vài trường hợp đặc biệt ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Môđun nội xạ môđun FP-nội xạ Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm tính chất đặc trưng môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ mối tương quan chúng NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm tính chất môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn mối tương quan chúng để thuận tiện cho việc triển khai chương Chương 2: Môđun nội xạ môđun FP-nội xạ Trình bày khái niệm tính chất môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ mối tương quan chúng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý thuyết cách phân tích, tổng hợp từ nhiều tài liệu khác môđun nội xạ môđun FP-nội xạ kết hợp với phương pháp sử dụng công cụ, kĩ thuật môđun học từ trước Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức kết cần thiết cho việc nghiên cứu vấn đề chương sau Trước hết xem khái niệm môđun, đồng cấu, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, dãy khớp, môđun tự do, hàm tử Hom , môđun xạ ảnh khái niệm xem biết Độc giả muốn hiểu rõ truy cập tài liệu tham khảo (quyển [1]) Những kiến thức Đại số đồng điều phức, đồng điều, dãy đồng điều khớp, phép giải, hàm tử mở rộng xem biết (cũng tham khảo [1] danh sách tài liệu tham khảo) Ở đưa khái niệm sâu môđun hữu hạn sinh môđun biểu diễn hữu hạn khái niệm chủ yếu liên quan đến nội dung chương 1.1 Môđun hữu hạn sinh Khái niệm môđun hữu hạn sinh xem trường hợp đặc biệt khái niệm môđun sinh tập Chúng ta nhắc lại rằng, môđun X sinh tập S ⊆ X môđun gồm tất tổ hợp tuyến tính S Khi tập S tập hữu hạn nhận khái niệm sau đây: Định nghĩa 1.1.1 Môđun X gọi môđun hữu hạn sinh, X có hệ sinh hữu hạn Một số ví dụ môđun hữu hạn sinh môđun không hữu hạn sinh: a) Cho R vành n ∈ * Ta có R -môđun R n môđun hữu hạn { } sinh với hệ sinh R n ei : i ∈1, n ei phần tử có thành phần thứ i thành phần khác Đặc biệt, vành hệ tử R xem R -môđun môđun hữu hạn sinh b) Nhóm cộng   -môđun hữu hạn sinh Thật vậy, ta chứng minh phản chứng Giả sử  sinh tập hữu a a  a hạn S  , , , n | ∈ , bi ∈ * , ∀i ∈1, n  ⊆  Xét phần tử = bn  b1 b2  n ∏b +1 i =1 ∈  ,  sinh S nên có c1 , c2 , , cn ∈  cho i = n ∏ bi + n a = ci i ∑ bi i =1 n ∏b =i =i = d n  n  hay = bi d  ∏ bi + 1 ∏ =i = i1  n d j ≠i i ∑ ci ∏ b j ∈  ) Suy i =1 (trong  n  chia hết cho b ∏ i  ∏ bi + 1 (vô lý) i =1  i =1  n Vậy   -môđun hữu hạn sinh Sau vài tính chất môđun hữu hạn sinh liên quan tới môđun môđun hữu hạn sinh, môđun thương môđun hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun hữu hạn sinh Câu hỏi đặt có phải môđun môđun hữu hạn sinh hay không? Đầu tiên ta tìm hiểu môđun thương môđun hữu hạn sinh, trước hết, ta chứng minh định lý sau: χ σ Định lý 1.1.2 Cho dãy khớp ngắn → A  → B  → C → gồm R - môđun đồng cấu Khi đó: a) Nếu B môđun hữu hạn sinh C môđun hữu hạn sinh b) Nếu A C môđun hữu hạn sinh B môđun hữu hạn sinh Chứng minh a) Giả sử B môđun hữu hạn sinh Khi tồn b1 , b2 , , bn ∈ B cho B = b1 , b2 , , bn Do σ toàn cấu nên với c ∈ C , tồn b ∈ B cho c = σ ( b ) n Khi tồn r1 , r2 , , rn ∈ R cho b = ∑ rb i i i =1 Suy = c σ= (b) n ∑ rσ ( b ) i =1 i i Suy C sinh hệ: {σ ( b ) ,σ ( b ) , ,σ ( b )} n Vậy C môđun hữu hạn sinh b) Giả sử A C môđun hữu hạn sinh Khi tồn a1 , a2 , , am ∈ A , C = c1 , c2 , , cn c1 , c2 , , cn ∈ C cho A = a1 , a2 , , am 37 (với i : I → R ánh xạ nhúng) toàn cấu nên J thỏa mãn tiêu chuẩn Baer □ Vì với iđêan trái I R , môđun R I môđun xiclic sinh phần tử (1 + I ) , ta có hệ sau: Hệ 2.1.8 Môđun J môđun nội xạ Ext ( G , J ) = với môđun xiclic G □ Lại môđun xiclic môđun hữu hạn sinh nên ta có hệ sau: Hệ 2.1.9 Môđun J môđun nội xạ Ext ( G , J ) = với môđun hữu hạn sinh G □ Sau vài tính chất môđun nội xạ Định lý 2.1.10 Tích trực tiếp họ môđun J = ∏ J k nội xạ k∈K môđun thành phần J k nội xạ Chứng minh Trước hết, J = ∏ J k môđun nội xạ, ta cần chứng tỏ k∈K thành phần J t nội xạ, theo tiêu chuẩn Baer Giả sử f : I → J t đồng cấu từ iđêan trái I  R vào J t Nối kết f với phép nhúng jt : J t → ∏ J k ta đồng cấu jt f : I → J k∈K Bởi J môđun nội xạ nên tồn phần tử x ∈ J λ ∈ I : jt f ( λ ) = λ x Khi với phần tử = xt pt ( x ) ∈ J t , ta có: = λ= f ( λ ) pt j= p= pt ( x ) λ xt , t f (λ ) t (λ x) với λ ∈ I Vậy J t thỏa mãn tiêu chuẩn Baer, tức J t môđun nội xạ mà với 38 Bây môđun thành phần J k nội xạ f : I → J = ∏ J k đồng k∈K cấu từ iđêan trái I  R vào J Khi với k ∈ K , đồng cấu = f k pk f : I → J k , J k môđun nội xạ nên tồn phần tử xk ∈ J k cho λ xk Chọn phần tử x = ( xk )k∈K J = ∏ J k , ta có: với λ ∈ I : f k ( λ ) = k∈K f ( λ )= ( p f ( λ ) )= ( f ( λ ) )= ( λ x )= k k k λ ( xk )= λ x, ∀λ ∈ I Vậy J thỏa mãn tiêu chuẩn Baer, tức J môđun nội xạ  Định lý sau thường biết tên gọi “tính đủ nhiều môđun nội xạ” mà tính phức tạp chứng minh định lý trọng tâm tiểu luận nên ta tạm thời thừa nhận Độc giả tham khảo chứng minh tài liệu tham khảo dẫn cuối tiểu luận ([5, tr.93]) Định lý 2.1.11 Mỗi môđun X nhúng vào môđun nội xạ N ( X ) đó, xem môđun N ( X ) □ Nhận xét Do tồn môđun không nội xạ (ví dụ môđun không chia miền nguyên) nên dựa định lý 2.1.11 ta nhận thấy môđun môđun nội xạ không thiết phải môđun nội xạ Dựa định lý 2.1.11, ta chứng minh tiêu chuẩn khác môđun nội xạ phát biểu dạng dãy khớp ngắn, sau: Định lý 2.1.12 Cho J R -môđun, phát biểu sau tương đương: a) J môđun nội xạ χ σ b) Mọi dãy khớp ngắn → J  → B  → C → chẻ c) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun nội xạ 39 Chứng minh χ a) ⇒ b) Nếu J môđun nội xạ dãy → J  → B → C → khớp tồn đồng cấu ϕ : B → J cho 1J = ϕχ , χ có nghịch trái nên dãy chẻ b) ⇒ c) Nếu dãy khớp → J → B → C → chẻ dãy khớp → J → N (J ) → N (J ) J → , với N ( J ) môđun nội xạ nói đến định lí 2.1.11, chẻ nên N ( J ) ≅ J ⊕ N (J ) J Do J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun nội xạ c) ⇒ a): Theo định lý 2.1.10, điều hiển nhiên Vậy phát biểu định lý 2.1.12 tương đương với  Nhận xét Nếu môđun nội xạ có môđun nội xạ môđun thương tương ứng với môđun môđun nội xạ Thật vậy, B môđun nội xạ có A ⊆ B môđun nội xạ theo định lý 2.1.12, ta có dãy khớp → A → B → B ta có B A A → chẻ nên B ≅ A ⊕ B Lại theo định lý 2.1.10, A môđun nội xạ Tương tự, môđun nội xạ có môđun thương xạ ảnh môđun tương ứng với môđun thương môđun nội xạ 40 2.2 Môđun FP-nội xạ Theo hệ 2.1.9, ta biết môđun X nội xạ Ext ( G , X ) = với môđun hữu hạn sinh G Và theo định lý 1.2.3, môđun biểu diễn hữu hạn môđun hữu hạn sinh có môđun hữu hạn sinh không biểu diễn hữu hạn Khi ta thu hẹp lớp môđun hữu hạn sinh tới lớp môđun biểu diễn hữu hạn điều kiện tương đương môđun nội xạ hệ 2.1.9, ta mở rộng khái niệm môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ Như vậy: Định nghĩa 2.2.1 Môđun X gọi môđun FP-nội xạ Ext ( G , X ) = với môđun biểu diễn hữu hạn G Vì khái niệm môđun FP-nội xạ thực chất mở rộng khái niệm môđun nội xạ, nên ví dụ môđun FP-nội xạ lấy là: Hệ 2.2.2 Mọi môđun nội xạ môđun FP-nội xạ □ Hệ 2.2.2 cho thấy mối quan hệ môđun nội xạ môđun FP-nội xạ, từ ta rút tính chất môđun FP-nội xạ, sau: Hệ 2.2.3 Mọi môđun nhúng vào môđun FP-nội xạ □ Trong định nghĩa thông dụng môđun nội xạ, người ta xem môđun nội xạ J mở rộng đồng cấu f : A → J thành đồng cấu f : B → J , môđun B ⊇ A Vậy phần môđun FP-nội xạ này, liệu chừng có định nghĩa thông dụng định nghĩa môđun FP-nội xạ phát biểu định nghĩa suy từ định nghĩa thông dụng môđun nội xạ hay không? Ta trả lời câu hỏi thông qua định lý sau đây: 41 Định lý 2.2.4 J môđun FP-nội xạ với đơn cấu χ : A → B mà A môđun hữu hạn sinh, B môđun biểu diễn hữu hạn, đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J cho f = f χ Nói cách khác, hàm tử Hom ( −, J ) khớp dãy khớp ngắn → A → B → C → với A môđun hữu hạn sinh, B môđun biểu diễn hữu hạn Chứng minh Trước hết, J môđun FP-nội xạ, ta cần chứng minh với đơn cấu χ : A → B mà A môđun hữu hạn sinh, B môđun biểu diễn hữu hạn, đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J cho f = f χ χ Ta có dãy → A  →B → B Im χ → khớp nên dãy: ( χ* Hom ( B, J )  → Hom ( A, J ) → Ext B khớp Theo định lý 1.2.4, ta có B ( môđun FP-nội xạ nên Ext B Im χ Im χ Im χ ,J ) môđun biểu diễn hữu hạn J ) , J = Do đồng cấu χ * toàn cấu Suy với đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J cho ( ) f χ = f χ= * f Bây với đơn cấu χ : A → B mà A môđun hữu hạn sinh, B môđun biểu diễn hữu hạn, đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J cho f = f χ Để chứng minh J môđun FP-nội xạ, ta cần với môđun biểu diễn hữu hạn G , ta có Ext ( G , J ) = Vì G môđun biểu diễn hữu hạn nên ta có dãy khớp ngắn: 42 χ → K  → F → G → (*) với K môđun hữu hạn sinh F môđun tự hữu hạn sinh Ta có dãy sau khớp (không phụ thuộc vào môđun J ): χ* g → Hom ( K , J )  → Ext ( G , J ) → Ext ( F , J ) Hom ( F , J )  Vì môđun tự hữu hạn sinh môđun biểu diễn hữu hạn nên nói riêng F môđun biểu diễn hữu hạn Theo giả thiết ta có hàm tử Hom ( −; J ) khớp với dãy (*) nên χ * toàn cấu Vì môđun tự môđun xạ ảnh nên F xạ ảnh Do Ext ( F , J ) = Suy g toàn cấu Do = đó: Ext ( G , J ) g= ( Hom ( K , J ) ) g χ *= ( Hom ( F , J ) )  Từ định lý 2.2.4, ta rút hệ sau: Hệ 2.2.5 Nếu môđun hữu hạn sinh J FP-nội xạ dãy khớp ngắn → J → B → C → , với B môđun biểu diễn hữu hạn, chẻ □ Phân tích chiều đảo định lý 2.2.4, F môđun tự hữu hạn sinh hay xạ ảnh hữu hạn sinh có J môđun FP-nội xạ Và môđun B tự hữu hạn sinh hay xạ ảnh hữu hạn sinh môđun biểu diễn hữu hạn nên ta có kết sau: Hệ 2.2.6 J môđun FP-nội xạ với đơn cấu χ : A → B mà A môđun hữu hạn sinh, B môđun tự (xạ ảnh) hữu hạn sinh, đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J cho f = f χ Nói cách khác, hàm tử Hom ( −, J ) khớp dãy khớp ngắn → A → B → C → với A môđun hữu hạn sinh, B môđun tự (xạ ảnh) hữu hạn sinh □ 43 Và R -môđun B tự hữu hạn sinh đẳng cấu với R n (trong số tự nhiên n số phần tử sở môđun B ) nên hệ 2.2.6 phát biểu lại với dạng gọn sau: Hệ 2.2.7 J môđun FP-nội xạ đồng cấu f : A → J , A môđun hữu hạn sinh R n , mở rộng tới đồng cấu f : R n → J □ Hoàn toàn tương tự phần môđun nội xạ, để giảm thiểu điều kiện định nghĩa môđun FP-nội xạ, có “tiêu chuẩn Baer” phát biểu cho FP-nội xạ, nhiên phải có yêu cầu vành, trình bày sau: Định lý 2.2.8 Cho R vành Coherent Khi R -môđun J FP-nội xạ với iđêan trái I hữu hạn sinh R đồng cấu f : I → J , luôn tồn phần tử q ∈ J cho với λ ∈ I , ta có f (λ ) = λq Nói cách khác, đồng cấu f : I → J , với I iđêan trái hữu hạn sinh ( ) R , mở rộng tới đồng cấu f : R → J , hay Ext R , J = với I iđêan trái hữu hạn sinh I R Chứng minh Trước hết, J môđun FP-nội xạ với iđêan trái I hữu hạn sinh R đồng cấu f : I → J , tồn đồng cấu f : R → J mở rộng f từ I lên toàn R Lấy q = f (1) , với λ ∈ I ta có: f (1) λ q f ( λ ) f = = ( λ.1) λ= Bây ta chứng minh điều ngược lại Xét A ⊆ R n môđun hữu hạn sinh f : A → J đồng cấu Ta cần tồn đồng cấu mở rộng f : R n → J f 44 Gọi ei ∈ R n phần tử có thành phần thứ i thành phần khác Bước Nếu A = R n đồng cấu mở rộng cần tìm f Kết thúc chứng minh Nếu A ⊂ R n tồn i ∈1, n cho ei ∉ A Lập môđun hữu hạn sinh: A1 =A + Rei ={a + rei | a ∈ A, r ∈ R} ⊆ R n Xét đồng cấu g : R → R n thỏa g ( r )= rei , ∀r ∈ R đặt I = g −1 ( A ) iđêan trái R Vì R vành Coherent A1 môđun hữu hạn sinh môđun biểu diễn hữu hạn R n nên theo định lý 1.3.2, ta có A1 môđun biểu diễn hữu hạn Vì A môđun hữu hạn sinh nên theo định lý 1.2.4, ta có A1 A môđun biểu diễn hữu hạn Vì Rei A ∩ Rei ≅ A + Rei A Re A1 nên i môđun biểu diễn hữu hạn = A A ∩ Rei Vì Rei môđun tự xiclic môđun xạ ảnh hữu hạn sinh nên theo định lý 1.2.4, ta có g ( I )= A ∩ Rei môđun hữu hạn sinh Dễ thấy g đơn cấu nên I ≅ g ( I ) Do I iđêan hữu hạn sinh đồng thời ánh xạ = h fg : I → J đồng cấu Do theo điều kiện tiêu chuẩn Baer tồn phần tử q ∈ J cho h ( λ )= λ q, ∀λ ∈ I Bây ta xây dựng ánh xạ f1 : A1 → J sau: với x =a + rei ∈ A1 (trong a ∈ A r ∈ R ) f1 ( a + rei ) = f ( a ) + rq Tính hợp lý f1 suy từ cách xác định phần tử q Thật vậy, phần tử x ∈ A1 có hai cách biểu diễn x =a1 + r1ei =a2 + r2ei 45 g ( r2 − r1 ) = ( r2 − r1 ) ei = a1 − a2 ∈ A nên r2 − r1 ∈ I đó: f ( a1 − a2 ) = fg ( r2 − r1 ) = h ( r2 − r1 ) = ( r2 − r1 ) q q f ( a2 ) + r2 q , tức f1 ( x ) không phụ thuộc vào cách Vậy f ( a1 ) + r1= biểu diễn x ∈ A1 = A + Rei Dễ dàng kiểm tra f1 đồng cấu mở rộng f Bước Nếu A1 = R n đồng cấu mở rộng cần tìm f f1 Kết thúc chứng minh Nếu A1 ⊂ R n tồn j ≠ i cho e j ∉ A Lập môđun hữu hạn sinh A2 = A1 + Re j = {a + re j | a ∈ A1 , r ∈ R} ⊆ R n … Bởi R n = e1 , e2 , , en nên trình phải dừng lại bước thứ m với m ≤ n + Và f m−1 đồng cấu cần tìm □ Từ định nghĩa 2.2.1 định lý 2.2.8, hoàn toàn tương tự môđun nội xạ, ta rút hệ sau: Hệ 2.2.9 Cho R vành Coherent Khi R -môđun J FP-nội xạ Ext ( G , J ) = với R -môđun xiclic biểu diễn hữu hạn G □ Định lý sau cho thấy tính chất môđun FP-nội xạ hoàn toàn giống với tính chất môđun nội xạ: 46 Định lý 2.2.10 Tích trực tiếp họ môđun J = ∏ J k FP-nội xạ k∈K môđun thành phần J k FP-nội xạ Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta cần sử dụng tới kết sau: Bổ đề Cho môđun X họ môđun { X i }i∈I Ta có kết sau:   a) Hom  X , ∏ X i  ≅ ∏ Hom ( X , X i ) ; i∈I   i∈I   b) Ext  X , ∏ X i  ≅ ∏ Ext ( X , X i ) i∈I   i∈I Chứng minh bổ đề a) Ta định nghĩa ánh xạ ϕ sau: ϕ : Hom ( X , ∏ X i ) → ∏ Hom ( X , X i ) f  ( pi f )i∈I pi : ∏ X j → X i đồng cấu chiếu Dễ dàng kiểm tra ϕ đồng cấu Để chứng minh ϕ đẳng cấu, ta cần với phần tử ( fi )i∈I ∈ ∏ Hom ( X , X i ) , tồn phần tử f ∈ Hom ( X , ∏ X i ) cho ϕ ( f ) = ( fi )i∈I Ta có với họ { fi : X → X i } theo định lý phổ dụng tích trực tiếp tồn f : X → ∏ X i cho fi = pi f Lúc đó:= ( fi )i∈I pi f )i∈I ϕ ( f ) (= Suy ϕ đẳng cấu 47   Vậy Hom  X , ∏ X i  ≅ ∏ Hom ( X , X i ) i∈I   i∈I b) Gọi: P: → Pn +1 → Pn → Pn −1 → → P0 → X → phép giải xạ ảnh X Phức thu gọn tương ứng với X là: → Pn +1 → Pn → Pn −1 → → P0 → P: Ta có dãy sau khớp: ( ) Hom P, ∏ X i : → Hom ( P0 , ∏ X i ) → Hom ( P1 , ∏ X i ) → Theo phần a) ta có Hom ( Pj , ∏ X i ) ≅ ∏ Hom ( Pj , X i ) với j nên dãy khớp viết lại thành: ( ) Hom P, ∏ X i : → ∏ Hom ( P0 , X i ) → ∏ Hom ( P1 , X i ) → Vậy: ( ( = Ext n ( X , ∏ X i ) H n Hom P, ∏ X i )) ≅ ∏ H ( Hom ( P, X )) n i = ∏ Ext n ( X , X i ) với số tự nhiên n ∈ *   Nói riêng n = , ta có: Ext  X , ∏ X i  ≅ ∏ Ext ( X , X i ) □ i∈I   i∈I Chứng minh định lý 2.2.9 J = ∏ J k môđun FP-nội xạ k∈K 48   ⇔ Ext  G , ∏ J k  = với môđun biểu diễn hữu hạn G  k∈K  ⇔ ∏ Ext ( G , J k ) = với môđun biểu diễn hữu hạn G k∈K ⇔ Ext ( G , J k ) = với môđun biểu diễn hữu hạn G k ∈ K ⇔ J k môđun FP-nội xạ với k ∈ K □ Nhận xét Nếu môđun FP-nội xạ có môđun nội xạ (hay môđun thương xạ ảnh) môđun thương tương ứng với môđun (hay môđun tương ứng với môđun thương đó) FP-nội xạ Định lý sau cho thấy mối tương quan môđun FP-nội xạ môđun chia được, từ suy định lý 2.1.4 mối tương quan môđun nội xạ môđun chia thực môđun nội xạ môđun FP-nội xạ Định lý 2.2.11 Nếu R miền nguyên R -môđun FP-nội xạ X chia Chứng minh Bởi với λ ∈ R \ {0} λ R môđun hữu hạn sinh R môđun tự hữu hạn sinh nên R λ R môđun biểu diễn hữu hạn Do ( X R -môđun FP-nội xạ Ext R ) λ R = với λ ∈ R \ {0} Nếu thêm giả thiết R miền nguyên theo định lý 1.3.8, ta có X môđun chia  Nhận xét Vì vành miền nguyên môđun chia vành môđun nội xạ nên vành khái niệm môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ môđun chia đồng với Như muốn lấy ví dụ môđun nội xạ (FP-nội xạ) hay không nội xạ (không FPnội xạ) ta cần lấy ví dụ môđun chia hay không chia vành Chẳng hạn vành  xem môđun không nội 49 xạ không FP-nội xạ, nhóm cộng  xem môđun  vừa nội xạ vừa FP-nội xạ Từ ví dụ ta thấy môđun môđun FP-nội xạ không thiết phải môđun FP-nội xạ Định lý sau cho ta thấy điều kiện đủ để môđun FP-nội xạ nội xạ: Định lý 2.2.12 Nếu R vành Noether R -môđun FP-nội xạ X môđun nội xạ Chứng minh Nếu R vành Noether theo định lý 1.3.5, ta có môđun hữu hạn sinh môđun biểu diễn hữu hạn nên X môđun FP-nội xạ vành Noether Ext ( G , X ) = với môđun G hữu hạn sinh Do X môđun nội xạ  50 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nêu lên khái niệm môđun FP-nội xạ dựa mở rộng khái niệm môđun nội xạ việc siết chặt điều kiện tương đương môđun nội xạ phát biểu ngôn ngữ hàm tử Ext (môđun J nội xạ Ext ( G , J ) = với môđun hữu hạn sinh G ), cho thấy môđun nội xạ môđun FP-nội xạ Cụ thể, môđun J FP-nội xạ Ext ( G , J ) = với môđun biểu diễn hữu hạn G Và để tính chất môđun FP-nội xạ phương pháp xem xét, đánh giá tính chất môđun nội xạ, từ so sánh hai khái niệm rút kết quả, luận văn trình bày thêm khái niệm tính chất môđun hữu hạn sinh , môđun biểu diễn hữu hạn vành Coherent Bên cạnh đó, để ví dụ môđun FP-nội xạ không FP-nội xạ luận văn trình bày thêm khái niệm vành môđun chia miền nguyên Cuối cùng, để tìm đồng khái niệm môđun FP-nội xạ môđun nội xạ, luận văn trình bày thêm khái niệm vành Noether 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại Số Đồng Điều, Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, Hồ Chí Minh Tiếng Anh Cartan, H and Eilenberg, S (1956), Homological Algebra, Princeton University Press, N.J Dan Abramovich, Juan Pablo Acosta Lopez, etc (2014), Stacks Project, Version f57f959, N.J Hu S.-T (1968), Introduction to Homological Algebra, Holden – Day, San Francisco Mac Lane, S (1963), Homology, Springer – Verlag, Berlin Gottingen Heidelberg Mitchell, B (1965), Theory of Categories, Academic Press, NewYork [...]... X và λ ∈ R \ {0} Chọn đồng cấu f : R → X thỏa f ( r )= rx, ∀r ∈ R Khi đó tồn tại g ∈ Hom ( R, X ) sao cho = f χ= * ( g ) g χ Do đó: = x f= (1) g ( χ = (1) ) g= ( λ ) λ g= (1) λ y trong đó y = g (1) Vậy X là môđun chia được □ 30 Chương 2 MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ Chương này trình bày về khái niệm và các tính chất của môđun FP -nội xạ cùng với sự đồng nhất của môđun nội xạ với môđun FP -nội xạ. .. FP -nội xạ trong một vài trường hợp đặc biệt Nhưng trước hết, chúng ta sẽ trình bày về khái niệm và các tính chất của môđun nội xạ Từ đó phân tích và đánh giá chúng để mở rộng tới khái niệm môđun FP -nội xạ và xem xét các tính chất của nó 31 2.1 Môđun nội xạ Một trong những định nghĩa cơ bản nhất về môđun nội xạ được phát biểu như sau: Định nghĩa 2.1.1 Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn... môđun biểu diễn hữu hạn và B là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh thì A là môđun hữu hạn sinh b) Nếu A là môđun hữu hạn sinh và B là môđun biểu diễn hữu hạn thì C là môđun biểu diễn hữu hạn c) Nếu A và C là các môđun biểu diễn hữu hạn thì B là môđun biểu diễn hữu hạn Chứng minh a) Giả sử B là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh và C là môđun biểu diễn hữu hạn Khi đó tồn tại dãy khớp ngắn 0 → K → P → C → 0 với P là môđun. .. hạn sinh và K là môđun hữu hạn sinh Do B và P là các môđun xạ ảnh nên theo bổ đề Schanuel, ta có P⊕ A≅ B⊕K Do B và K là các môđun hữu hạn sinh nên theo hệ quả 1.1.4, ta có B ⊕ K là môđun hữu hạn sinh Do đó P ⊕ A là môđun hữu hạn sinh Theo định lý 1.1.5, ta có A là môđun hữu hạn sinh b) Giả sử B là môđun biểu diễn hữu hạn và A là môđun hữu hạn sinh Theo định lý 1.2.3, B là môđun hữu hạn sinh và do đó... nghĩa của môđun nội xạ Chúng ta sẽ hạ từ 32 điều kiện B là môđun nào đó trong định nghĩa tới B chỉ còn là vành hệ tử R Như đã nói ở trên, ta có thể xem đơn cấu χ là ánh xạ nhúng và khi đó A chính là các iđêan trái của R Như vậy định nghĩa mới được giảm thiểu các điều kiện hơn của môđun nội xạ sẽ được phát biểu như sau và có tên là “tiêu chuẩn Baer”: Định lý 2.1.2 R -môđun J là nội xạ khi và chỉ khi... (do X là môđun chia được) thì với mỗi λ ∈ I , λ = ra ta có: = f ( λ ) f= ( aq ) λ q ( ra ) rf= ( a ) r= Vậy theo tiêu chuẩn Baer, X là môđun nội xạ  Như vậy mỗi môđun chia được trên vành chính đều nội xạ, vậy liệu mỗi môđun nội xạ có phải là môđun chia được (tất nhiên là ta đang xét trên miền nguyên)? Câu trả lời là khẳng định qua phép chứng minh định lý sau: Định lý 2.1.4 Mọi môđun nội xạ X trên... n → I và khi đó Kerπ là môđun con của môđun hữu hạn sinh R n nên là môđun hữu hạn sinh Theo định nghĩa 1.2.1, ta có I là môđun biểu diễn hữu hạn Vậy trong vành Noether thì mọi iđêan trái xem là R -môđun đều là môđun biểu diễn hữu hạn Do đó mỗi vành Noether đều là vành Coherent Thông qua định lý 1.3.4, định nghĩa 1.2.1 và định lý 1.1.6, ta có thể đồng nhất hai khái niệm môđun hữu hạn sinh và môđun biểu... cũng là môđun hữu hạn sinh Theo định lý 1.2.4, ta có X i là các j∈I \{i} môđun biểu diễn hữu hạn □ 23 1.3 Các vành đặc biệt và môđun chia được trên miền nguyên Hai phần trên đã trình bày về những khái niệm và các kết quả về môđun hữu hạn sinh và môđun biểu diễn hữu hạn Từ đó cho thấy môđun biểu diễn hữu hạn là trường hợp đặc biệt của môđun hữu hạn sinh, tức là những môđun biểu diễn hữu hạn luôn là môđun. .. gian vectơ nên là môđun tự do và do đó B A A cũng là cũng là môđun xạ ảnh Suy ra dãy khớp ngắn: i 0 → A  →B → B A →0 là chẻ hay ánh xạ nhúng i : A → B có nghịch trái Nói cách khác, tồn tại đồng f fp : B → J , ∀a ∈ A ta có: cấu p : B → A sao cho pi = 1A Đặt = f ( a ) fp = = ( a ) f ( pi= ( a )) f ( a ) Hay f = f Vậy J là môđun nội xạ A Để có những ví dụ phức tạp hơn về môđun nội xạ, trước hết chúng... R -môđun hữu hạn sinh và A không phải là R -môđun hữu hạn sinh Vậy môđun X phải thỏa điều kiện gì thì môđun K mới là môđun hữu hạn sinh? Câu hỏi đó dẫn đến xuất hiện khái niệm môđun biểu diễn hữu hạn” như sau: Định nghĩa 1.2.1 Môđun X được gọi là môđun biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại một dãy khớp ngắn 0 → K → F → X → 0 với F là một môđun tự do hữu hạn sinh và K là môđun hữu hạn sinh Các ví dụ về môđun ... môđun FP -nội xạ thực chất mở rộng khái niệm môđun nội xạ, nên ví dụ môđun FP -nội xạ lấy là: Hệ 2.2.2 Mọi môđun nội xạ môđun FP -nội xạ □ Hệ 2.2.2 cho thấy mối quan hệ môđun nội xạ môđun FP -nội xạ, ... thấy môđun môđun FP -nội xạ không thiết phải môđun FP -nội xạ Định lý sau cho ta thấy điều kiện đủ để môđun FP -nội xạ nội xạ: Định lý 2.2.12 Nếu R vành Noether R -môđun FP -nội xạ X môđun nội xạ Chứng... có X môđun chia  Nhận xét Vì vành miền nguyên môđun chia vành môđun nội xạ nên vành khái niệm môđun nội xạ, môđun FP -nội xạ môđun chia đồng với Như muốn lấy ví dụ môđun nội xạ (FP -nội xạ) hay