bao và phủ bởi môđun fp nội xạ hữu hạn và số chiều phẳng

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Quốc Anh BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Quốc Anh BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG ố LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành sau hai năm học trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Viết Đông Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy gia đình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh thầy khoa Toán trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập hoàn thiện luận văn Cuối bày tỏ lòng biết ơn gia đình, bạn bè, người giúp đỡ học tập hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Học viên Trần Nguyễn Quốc Anh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU BẢNG KÝ HIỆU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phạm trù môđun 1.2 Các hàm tử Hom Tenxơ 10 1.3 Các hàm tử Tor n Ext n 14 CHƯƠNG 18 BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG 18 2.1 Lý thuyết đối xoắn 18 2.2 Tiền bao bao 23 2.3 Tiền phủ phủ 26 2.4 Đối hạt nhân FI n -tiền bao F n -tiền bao 31 2.5 Những ứng dụng 35 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số đồng điều từ lâu trở thành nhánh quan trọng toán học Vì vậy, môn học thực cần thiết môn học bắt buộc sinh viên ngành toán Chương trình Đại số đồng điều bậc đại học cung cấp cho sinh viên khái niệm phạm trù môđun, hàm tử Hom Tenxơ, hàm tử Tor n Ext n vành có đơn vị R Khi học môđun, chương trình đưa khái niệm tính chất môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Tuy nhiên, thời gian có hạn nên chương trình học dừng lại việc nghiên cứu môđun mức độ chưa có tính chuyên sâu Bên cạnh khái niệm ấy, phạm trù môđun có khái niệm quan trọng bao phủ Vấn đề ngày nghiên cứu nhiều nhà toán học tiếng, kể đến : Aldrich, Chen, Ding, Eklof, Trlifaj, Jenda, Xu… Những kết thú vị bao phủ nhà khoa học chứng minh Vì thế, với mục đích minh họa cho khái niệm bao phủ mà nhà khoa học đưa ra, chọn đề tài “BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG” để làm luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài Nêu số định nghĩa định lý quan trọng lý thuyết đối xoắn Chứng minh với vành R, (F n , F n⊥) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo di truyền, mặc khác R vành coherent phải FP-id(R R ) ≤ n (FI n , FI n ⊥) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo Định nghĩa bao tiền bao, phủ tiền phủ môđun FP-nội xạ Chứng minh số định lý quan trọng: Nếu R vành coherent phải R-môđun trái có F n -tiền bao Cho R vành coherent phải, R-môđun phải có toàn cấu FI n -phủ R-môđun FP-nội xạ thuộc F n Cho R vành coherent phải, môđun M nội xạ M ∈ FI n ⊥ M ∈ FI n+1 Môđun N phẳng N ∈ FI n ┬ N ∈ F n+1 Nếu R-môđun trái n-đối xoắn có F n -bao có tính chất ánh xạ wD(R) ≤ n + Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cho M R-môđun phải biểu diễn hữu hạn với R vành có đơn vị R vành coherent phải Luận văn trình bày lý thuyết đối xoắn, môđun FP- nội xạ, tiền bao bao, tiền phủ phủ, đối hạt nhân FI n tiền bao F n -bao Nội dung luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương 2: BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Phương pháp nghiên cứu Luận văn nêu chứng minh định lý, mệnh đề liên quan đến bao phủ môđun FP-nội xạ dựa sở kiến thức biết môđun, với việc nghiên cứu tham khảo tài liệu đặc biệt báo khoa học liên quan đến môđun FP- nội xạ Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý báu độc giả để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn BẢNG KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ker f : Hạt nhân đồng cấu f coker f : Đối hạt nhân đồng cấu f FI n : Lớp tất R-môđun phải (trái) với số chiều FPnội xạ nhỏ số nguyên không âm cố định n Fn : Lớp tất R-môđun phải (trái) với số chiều phẳng nhỏ số nguyên không âm cố định n M R ( R M) : R-môđun phải (trái) E(M) : Bao nội xạ M M+ : Môđun đặc trưng Hom  (M,   ) fd(M) : Số chiều phẳng M id(M) : Số chiều nội xạ M FP-id(M) : Số chiều FP-nội xạ M r FP-dim(R): sup {FP-id(M): M R-môđun} wD(R) Chiều toàn thể yếu vành R : CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phạm trù môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành có đơn vị, nhóm cộng (X, + ) gọi Rmôđun trái có ánh xạ µ : R × X → X mà hợp thành µ (r, x) ký hiệu rx thỏa : M : 1.x = x, M : (rs)x = r(sx), M : r(x + y) = rx + ry, M : (r + s)x = rx + sx, với r, s ∈ R x, y ∈ X Tương tự, nhóm cộng (X, + ) gọi R-môđun phải có ánh xạ µ :X × R → X mà hợp thành µ (x, r) ký hiệu xr thỏa: M 1' : x.1 = x, M '2 : x(rs) = (xr)s, M 3' : (x + y)r = xr + yr, M '4 : x(r + s) = xr + xr, với r, s ∈ R x, y ∈ X R-môđun trái R-môđun phải gọi chung R-môđun (hoặc môđun) Định nghĩa 1.1.2 Cho A, B tập khác rỗng môđun X, ∅ ≠ K ⊆ R, ta định nghĩa: A + B = {a + b: a ∈ A, b ∈ B}, K.A = {ra: r ∈ K, a ∈ A} Định nghĩa 1.1.3 Tập A khác rỗng môđun X gọi môđun môđun X A + A ⊆ A RA ⊆ A Định nghĩa 1.1.4 Cho X R-môđun A môđun X Nhóm thương X/A trở thành R-môđun với phép nhân r(x + A) = rx + A ∀ r ∈ R, ∀ (x + A) ∈ X/A Ta gọi X/A môđun thương môđun X theo môđun A Tính chất 1.1.5 Nếu A, B hai môđun môđun X A + B môđun môđun X Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ f từ R-môđun X vào R-môđun Y gọi R-đồng cấu ∀ x, y ∈ X, ∀ r ∈ R, f (x + y) = f (x) + f (y) f (rx) = r f (x) Định nghĩa 1.1.7 Đồng cấu f : X → Y gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Tính chất 1.1.8 Cho A  X, B  Y đồng cấu f : X → Y Khi đó, f (A) môđun Y f −1 (B) môđun X Ký hiệu ker f : = f −1 (0) im f : = f (X) Tính chất 1.1.9 Tích hai đồng cấu (đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu) đồng cấu (đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu) Hơn nữa, f R-đơn cấu Ker f = f đẳng cấu f −1 đẳng cấu Định lý 1.1.10 ([1], Định lý 8, trang 19) Cho toàn cấu f : X → Y, tồn đẳng cấu f ' : X/Ker f → Y cho f = f ' p với ánh xạ tự nhiên p : X → X/Ker f Định nghĩa 1.1.11 Giả sử {X i } i∈I họ R-môđun, tích Descartes ∏ X i ta định nghĩa phép toán : (x i ) i∈I + (y i ) i∈I = (x i + y i ) i∈I i∈I r(x i ) i∈I = (rx i ) i∈I Khi đó, ∏ X i với hai phép toán trở thành R-môđun i∈I gọi tích trực tiếp họ môđun {X i } i∈I Do Ext (N, M) = Ext (N, A ⊕ B) ≅ Ext (N, A) ⊕ Ext (N, B) = Vậy M R-môđun trái n-đối xoắn ( ⇒ ) Giả sử M R-môđun trái n-đối xoắn Ta có dãy khớp → M → E(M) → E(M)/M → Theo Mệnh đề 2.3.5, E(M) → E(M)/M F n -tiền phủ E(M)/M Mặt khác theo Định lý 2.1.26, (F n , F n ⊥) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo nên E(M)/M có F n -phủ L → E(M)/M Do ta có sơ đồ giao hoán với dòng khớp sau: f K φ L E(M)/M E(M) E(M)/M E(M)/M γ M α σ β f K L Vì βγ đẳng cấu, E(M) = Ker( β ) ⊕ Im( γ ) nên L Ker( β ) nội xạ (do Im( γ ) ≅ L) Do theo Mệnh đề 2.3.7, K môđun n-đối xoắn rút gọn Mặt khác σφ đẳng cấu Do M = Ker( σ ) ⊕ Im( φ ) Im( φ ) ≅ K Ta có biểu đồ giao hoán sau : 0 Ker( σ ) Ker( β ) 0 0 M α σ E(M) E(M) / M 0 β f K L E(M) / M 0 Suy Ker( σ ) ≅ Ker( β ) Vậy M tổng trực tiếp R-môđun trái nội xạ R-môđun trái n-đối xoắn rút gọn Định lý 2.3.9 Cho vành R, n số nguyên không âm cố định Những điều sau tương đương: (1) Mỗi R-môđun trái n-đối xoắn (2) Mỗi R-môđun trái F n xạ ảnh (3) Mỗi R-môđun trái xạ ảnh n-đối xoắn (4) R R n-đối xoắn R-môđun trái có F n⊥-tiền phủ Chứng minh (1) ⇔ (2) Cho M R-môđun trái M môđun n-đối xoắn tương đương Ext (N, M) = với N thuộc F n Mà Ext (N, M) = với N thuộc F n M môđun xạ ảnh (1) ⇒ (4) Vì R R R-môđun trái nên R R n-đối xoắn Gọi M R- môđun trái Suy M n-đối xoắn nên M ∈ F n ⊥ Vậy M có F n ⊥-tiền phủ (4) ⇒ (3) Ta có F n ⊥ đóng tổng trực tiếp R R n-đối xoắn Suy R-môđun xạ ảnh tự trái n-đối xoắn (3) ⇒ (1) Lấy M R-môđun trái Theo Định lý 2.1.26, với F ∈ F n K ∈ F n ⊥ ta có dãy khớp → K → F → M → Vì R-môđun trái xạ ảnh đối xoắn Suy F n-đối xoắn Do F ∈ F n ⊥ Theo Mệnh đề 2.2.3, (F n , F n ⊥) di truyền nên M ∈ F n ⊥ Vậy M nđối xoắn 2.4 Đối hạt nhân FIn-tiền bao Fn-tiền bao Mệnh đề 2.4.1 (1) Nếu M đối hạt nhân FI n -tiền bao K → F , K R-môđun phải, F môđun phẳng M thuộc ┬ Fn (2) Nếu R vành coherent phải, M đối hạt nhân F n -tiền bao ┬ L → F , L R-môđun trái, F môđun phẳng M thuộc FI n Chứng minh (1) Giả sử M đối hạt nhân FI n -tiền bao K → F với K R-môđun phải, F môđun phẳng Ta có dãy khớp → K → F → M → Theo Bổ đề 2.1.21 với E ∈ F n ta có E + ∈ FI n Do ta có dãy khớp Hom(F, E + ) → Hom(K, E + ) → Suy dãy (F ⊗ E) + → (K ⊗ E) + → khớp nên dãy → K ⊗ E → F ⊗ E khớp Do F môđun phẳng nên dãy → Tor (M, E) → K ⊗ E → F ⊗ E khớp Suy Tor (M, E) = Vậy M ∈ (2) ┬ Fn Giả sử M đối hạt nhân của F n -tiền bao L → F với L R-môđun trái F môđun phẳng Lấy K = Im(L → F) Khi ta có dãy khớp 0→K→F→M→0 K → F F n -tiền bao K Với E ∈ FI n ta có id(E) ≤ n Theo Bổ đề 2.1.21 suy FP-id(E) ≤ n Do R vành coherent phải nên theo Bổ đề 2.1.22 fd(E + ) = FP-id(E) ≤ n Điều cho ta E + ∈ F n Từ ta có dãy khớp Hom(E + , F) → Hom(E + , K) → Suy dãy (E ⊗ F) + → (E ⊗ K) + → khớp nên dãy → (E ⊗ K) → (E ⊗ F) khớp Mặt khác F phẳng nên dãy → Tor (E, M) → E ⊗ K → E ⊗ F khớp Do Tor (E, M) = với E ∈ FI n Vậy M ∈ FI n ┬ Hệ 2.4.2 Cho R vành coherent phải Khi đó: (1) Mọi cosyzygy thứ (n+1) R-môđun trái biểu diễn hữu hạn thuộc FI n ┬ (2) ⊥F n ⊆ FI n ┬ Chứng minh (1) Gọi M R-môđun trái biểu diễn hữu hạn → M → F → F → F o -phép giải phải M với F i môđun xạ ảnh hữu hạn Ta có F n−1 → F n F n -tiền bao với L n+1 = coker(F n−1 → F n ) Theo Mệnh đề 2.4.1 suy cosyzygy thứ (n + 1) L n+1 M thuộc FI n ┬ (2) Lấy M ∈ F n Xét dãy khớp 0→K→P→M→0 với P môđun xạ ảnh Vì K → P F n -tiền bao K nên theo Mệnh đề 2.4.1 ta M ∈ FI n ┬ Bổ đề 2.4.3 ([10], Bổ đề 3.59, trang 139) Nếu A R-môđun phải phẳng I idean trái φ A : A ⊗ R I → AI xác định a ⊗ i  đẳng cấu Định lý 2.4.4 Cho R vành coherent phải, đó: (1) Nếu M R-môđun phải biểu diễn hữu hạn FP-id(R R ) ≤ n M ∈ ┬ F n M đối hạt nhân FI n -tiền bao K → P R-môđun phải K với P môđun xạ ảnh (2) Nếu M R-môđun trái biểu diễn hữu hạn M thuộc FI n ┬ M đối hạt nhân F n -tiền bao K → F R-môđun trái K với F môđun xạ ảnh M ∈ ⊥F n Chứng minh (1) ( ⇐ ) Lấy M đối hạt nhân FI n -tiền bao K → P R- môđun phải K với P môđun xạ ảnh Theo Mệnh đề 2.4.1 M ∈ ┬ F n ( ⇒ ) Vì M R-môđun trái biểu diễn hữu hạn nên ta có dãy khớp 0→K→P→M→0 với P môđun xạ ảnh Vì FP- id(R R ) ≤ n nên P ∈ FI n Suy K → P FI n -tiền bao Do R vành coherent phải nên theo Bổ đề 2.1.22 với F ∈ FI n F + ∈ F n Suy Tor (M, F + ) = Ta có biểu đồ khớp giao hoán sau K⊗F+ α P⊗F+ σK Hom(K, F) + σP θ Hom(P, F) + Mặt khác, Q → K → khớp với Q môđun xạ ảnh nên ta có biểu đồ khớp giao hoán sau: Q⊗F+ K⊗F+ σK σQ Hom(Q, F) + Theo Bổ đề 2.4.3 ta có σ Q Hom(K, F) + đẳng cấu Suy σ K toàn cấu Do σ P đẳng cấu suy θ đơn cấu Suy dãy Hom(P, F) → Hom(K, F) → khớp Vậy M đối hạt nhân FI n -tiền bao K → P R-môđun phải K với P môđun xạ ảnh (2) Dùng Bổ đề 2.1.21 Mệnh đề 2.4.1 ta chứng minh (2) tương tự (1) 2.5 Những ứng dụng Bổ đề 2.5.1 ([9], Bổ đề 6.1, trang 843) M R-môđun trái, n số nguyên không âm Những điều sau tương đương: (2) M thuộc FI n ┬ (3) M + thuộc FI n ┬ (4) M thuộc ⊥C với C = {B + : B ∈ FI n } (5) Với dãy khớp → A → B → C → với C ∈ FI n , hàm tử ⊗ M trì tính khớp Định lý 2.5.2 R vành coherent phải, n số nguyên không âm Ta có: (1) Một R-môđun phải M nội xạ M ∈ FI n ┬ M ∈ FI n+1 (2) Một R-môđun trái N phẳng N ∈ FI n ┬ N ∈ F n+1 Chứng minh (1) ( ⇒ ) Gọi M R-môđun nội xạ Suy Ext (N, M) = với R- môđun N Do Ext (N, M) = với N ∈ FI n Suy M ∈ FI n ⊥ Mặt khác M ∈ FI n nên id(M) ≤ n suy id(M) ≤ n + Vậy M ∈ FI n+1 ( ⇐ ) Lấy M ∈ FI n ⊥ M ∈ FI n+1 Xét dãy khớp → M → E(M) → E(M)/M → Do FP-id(M) ≤ n + nên FP-id(E(M)/M) ≤ n Suy Ext (E(M)/M, M) = Do dãy chẻ Vậy M môđun nội xạ (2) ( ⇒ ) Gọi N R-môđun trái phẳng Suy Tor (M, N) = với R- môđun M Do Tor (M, N) = với M ∈ FI n Vậy N ∈ FI n ┬ Mặt khác N ∈ F n nên fd(M) ≤ n suy fd(M) ≤ n + Vậy N ∈ F n+1 ( ⇐ ) Lấy N ∈ FI n ┬ N ∈ F n+1 Theo Bổ đề 2.5.1 suy N + ∈ FI n ⊥ Do FP-id(N + ) = fd(N) ≤ n + Suy N + môđun nội xạ Vậy N môđun phẳng Định lý 2.5.3 Cho R vành coherent phải với FP-id(R R ) ≤ n, n ≥ Khi M thuộc FI n-1 ┬ tồn dãy khớp → M → F → L → cho F môđun phẳng, L thuộc FI n ┬ Chứng minh Với P môđun xạ ảnh P → E(P) bao nội xạ Xét biểu đồ sau: 0 N P M 0 N E(P) Q C C 0 Do FP-id(P) ≤ n nên FP-id(C) ≤ n − Theo Bổ đề 2.5.1 suy Ext (C,M + ) = với M + ∈ FI n-1 ⊥ Do dãy → M + → Q → C → chẻ Suy tồn dãy khớp E(P) → M + → nên dãy → M ++ → E(P) + khớp Do M nhúng vào R-môđun trái phẳng (E(P) + phẳng) Lấy β : M → F tiền bao đặc biệt M Suy β đơn cấu Do ta có dãy khớp → M → F → L → Theo Mệnh đề 2.4.1 suy L ∈ FI o ┬ Lấy X thuộc FI n Xét dãy khớp → X → E(X) → D → Vì D thuộc FI n-1 nên dãy = Tor (D, F) → Tor (D, L) → Tor (D, M) = khớp Suy Tor (D, L) = Mặt khác dãy khớp ngắn → X → E(X) → D → cảm sinh tính khớp dãy = Tor (D, L) → Tor (X, L) → Tor (E(X), L) = Do Tor (X, L) = Vậy tồn dãy khớp 0→M→F→L→0 với F môđun phẳng, L ∈ FI n ┬ Định lý 2.5.4 Nếu R-môđun trái n-đối xoắn có F n -bao có tính chất ánh xạ wD(R) ≤ n + Chứng minh Giả sử có (1) Lấy M R-môđun trái Theo Định lý 2.1.26, với α , β F n -phủ, C F n-đối xoắn ta có hai dãy khớp: α i → C → F0 → M → ψ β ψ ϕ =i β → F → F → C → Do ta có dãy khớp α → F → F → F → M → Lấy φ : F → H F n -bao với ánh xạ Suy tồn σ :H → F cho ψ = σφ Từ ta có ϕσφ = ϕψ = Suy ϕσ = hay Im( σ ) ⊆ Ker( ϕ ) = Im(ψ ) Do tồn γ : H → F cho ψγ = σ Ta có sơ đồ giao hoán với dòng khớp: H γ φ δ ψ F ϕ F1 F0 α M Ta có ψγφ = ψ suy γφ = 1F nên ψ đơn cấu Do F đẳng cấu với số hạng trực tiếp H Suy F ∈ F n Vậy fd(M) ≤ n + Hay wD(R) ≤ n + KẾT LUẬN Trong phần này,chúng tóm tắt lại kết luận văn: Với R vành coherent phải FP-id(R R ) ≤ n, ta có (FI n , FI n ⊥) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo Với vành R ta có (F n , F n ⊥) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo di truyền Nếu R vành coherent phải R-môđun trái có F n -tiền bao Cho R vành coherent phải, R-môđun phải có toàn cấu FI n -phủ R-môđun FP-nội xạ thuộc F n Nếu M R-môđun phải biểu diễn hữu hạn FP-id(R R ) ≤ n M∈ ┬ F n M đối hạt nhân FI n -tiền bao K → P Rmôđun phải K với P môđun xạ ảnh Nếu M R-môđun trái biểu diễn hữu hạn M thuộc FI n ┬ M đối hạt nhân F n -tiền bao K → F R-môđun trái K với F môđun xạ ảnh M ∈ ⊥F n Cho R vành coherent phải, môđun M nội xạ M ∈ FI n ⊥ M ∈ FI n+1 Môđun N phẳng N ∈ FI n ┬ N ∈ F n+1 Nếu R-môđun trái n-đối xoắn có F n -bao có tính chất ánh xạ wD(R) ≤ n + TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006) Đại số đồng điều Nhà xuất Đại học Quốc gia TP.HCM [2] Chen, J L., Ding, N Q (1994) On the exactness of flat resolvents Comm Algebra 22:4013-4021 [3] Ding, N.Q (1996) On envelopes with the unique mapping property Comm Algebra 24(4): 1459-1470 [4] Eklof, P C., Trlifaj, J (2001) How to make Ext vanish Bull London Math Soc 33(1): 41-51 [5] Enochs, E E., Jenda, O M G (2000) Relative Homological Algebra Berlin-New York: Walter de Gruyter [6] Enochs, E E., Jenda, O M G., Lopez-Ramos, J A (2004) The existence of Gorenstein flat covers Math Scand 94: 46-62 [7] Garcia Rozas, J R., Torrecillas, B (1994) Relative injective covers Comm Algebra 22: 2925-2940 [8] Mao, L X., Ding, N Q (2005) Relative FP-projective modules Comm Algebra 33(5): 1587-1602 [9] Mao, L X., Ding, N Q (2007) Envelopes and covers by modules of finite FP-injective and flat dimensions Comm Algebra 33: 833-849 [10] Rotman, J J (1979) An Introdution to Homological Algebra New York: Academic Press [11] Stenstrom, B (1970) Coherent rings and FP-injective modules J London Math Soc 2: 323-329 [12] Trlifaj, J (2000) Covers, Envelopes, and Cotorsion Theories Lecture notes for the workshop, “Homological Methods in Module Theory” Cortona, September 10-16 [...]... i) J là môđun nội xạ β α ii) Mỗi dãy khớp 0 → J → B → C → 0 là chẻ ra iii) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ nào đó Tính chất 1.2.9 i) Mọi môđun tự do là môđun xạ ảnh ii) Môđun xạ ảnh trên vành chính là môđun tự do iii) Tổng trực tiếp của họ môđun {P i } i∈I là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần P i là xạ ảnh iv) Tích trực tiếp của họ môđun {J i } i∈I là nội xạ khi và chỉ... là môđun FP Định nghĩa 2.1.2 Một vành gọi là coherent phải (trái) nếu mọi idean phải (trái) hữu hạn sinh đều biểu diễn hữu hạn Định nghĩa 2.1.3 Cho M là R -môđun phải, M gọi là FP- nội xạ nếu Ext 1 (N,M) = 0 với mọi R -môđun phải biểu diễn hữu hạn N Định nghĩa 2.1.4 Chiều FP- nội xạ của M, ký hiệu FP- id(M), là số nguyên n không âm nhỏ nhất sao cho Ext n+1 (F, M) = 0 với mọi R -môđun phải biểu diễn hữu hạn. .. Cho R là vành coherent phải, khi đó: (1) Nếu M là R -môđun phải biểu diễn hữu hạn và FP- id(R R ) ≤ n thì M ∈ ┬ F n khi và chỉ khi M là đối hạt nhân của một FI n -tiền bao K → P của R -môđun phải K với P là môđun xạ ảnh (2) Nếu M là R -môđun trái biểu diễn hữu hạn thì M thuộc FI n ┬ khi và chỉ khi M là đối hạt nhân của một F n -tiền bao K → F của R -môđun trái K với F là môđun xạ ảnh hoặc khi và chỉ khi... với FP- id(R R ) ≤ n Khi đó Rmôđun trái M là n-đối xoắn khi và chỉ khi M là tổng trực tiếp của một Rmôđun trái nội xạ và một R -môđun trái n-đối xoắn rút gọn Chứng minh ( ⇐ ) Ta có M là tổng trực tiếp của một R -môđun trái nội xạ và một R -môđun trái n-đối xoắn rút gọn Đặt M = A ⊕ B với A là R -môđun trái nội xạ và B là Rmôđun trái n-đối xoắn rút gọn Suy ra Ext 1 (N, A) = 0 và Ext 1 (N, B) = 0 với mọi N... một dãy khớp ngắn các môđun trái trên R thì ta có một dãy khớp Hom ( g ,i ) Hom ( f ,i ) 0 → Hom(A '' , B) → Hom(A, B) → Hom(A ' , B) δ g* → Ext(A '' , B) → … → Ext n (A '' , B) → Ext n (A, B) f* δ → Ext n (A ' , B) → Ext n+1 (A '' , B) → … CHƯƠNG 2 BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP- NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG 2.1 Lý thuyết đối xoắn Định nghĩa 2.1.1 R -môđun M gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy khớp... Lấy M là R -môđun phải phẳng Do mỗi R -môđun FP- nội xạ đều thuộc F n và theo Bổ đề 2.1.22, ta có FP- id(M) = fd(M + ) ≤ n Suy ra M + ∈ F n Vậy M ∈ FI n (5) ⇒ (1) Vì mỗi R -môđun phải phẳng đều thuộc FI n và R R là R -môđun phải phẳng nên R R ∈ FI n Suy ra (R R ) + ∈ F n nên fd((R R ) + ≤ n Vì R là vành coherent phải nên FP- id(R R ) = fd((R R ) + Vậy FP- id(R R ) ≤ n Hệ quả 2.2.6 Cho R là vành coherent... Định lý 9, trang 82) (Định lý nhúng của môđun nội xạ) Mỗi môđun X đều có thể nhúng vào môđun nội xạ N(X) nào đó, xem như môđun con của N(X) Định nghĩa 1.2.12 Cho X R và R Y là các môđun phải và trái trên vành R Tích tenxơ của môđun X và Y là các nhóm aben, ký hiệu X ⊗ Y, sao cho có ánh xạ song tuyến tính τ : X × Y → X ⊗ Y có tính phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ song tuyến tính ϕ : X × Y → G, tức là... n thì FP- id(M) = ∞ Ta đặt r FP- dim(R) = sup {FP- id(M): M là R -môđun} Nhận xét Nếu M là FP- nội xạ thì FP- id(M) = 0 Định nghĩa 2.1.5 Cho M là một R -môđun phải Chiều phẳng của M, ký hiệu là fd(M), là số nguyên n không âm nhỏ nhất sao cho Tor n+1 (M, N) = 0 với mọi R -môđun trái N Nếu không tồn tại n thì fd(M) = ∞ Nhận xét Môđun M là phẳng khi và chỉ khi fd(M) = 0 Định nghĩa 2.1.6 Cho M là một R -môđun. .. R -môđun FP- nội xạ đều thuộc F n nên (R R ) + là nội xạ và fd(R R ) + ≤ n Theo Bổ đề 2.1.21 suy ra FP- id(R R ) = fd(R R ) + ≤ n (1) ⇒ (4) Do R là vành coherent phải và FP- id(R R ) ≤ n nên theo chứng minh của Định lý 2.1.26 suy ra (FI n , FI n ⊥) là một lý thuyết đối xoắn đầy đủ Vậy mỗi R -môđun phải có một toàn cấu FI n -phủ (4) ⇒ (1) Vì R R là một R -môđun phải nên R R có một toàn cấu FI n -phủ Vậy FP- id(R... tiếp của họ môđun {J i } i∈I là nội xạ khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần J i là nội xạ v) Nếu R là vành chính thì mọi R -môđun chia được X đều là môđun nội xạ vi) Nếu R là miền nguyên thì mọi môđun nội xạ đều chia được Định lý 1.2.10 ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baire) R -môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f : I → J, luôn luôn tồn tại phần tử q ... Chương 2: BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Phương pháp nghiên cứu Luận văn nêu chứng minh định lý, mệnh đề liên quan đến bao phủ môđun FP-nội xạ dựa sở kiến thức biết môđun, ... kết thú vị bao phủ nhà khoa học chứng minh Vì thế, với mục đích minh họa cho khái niệm bao phủ mà nhà khoa học đưa ra, chọn đề tài BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG” để... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Quốc Anh BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: