Bổ đề 2.5.1. ([9], Bổ đề 6.1, trang 843) M là R-môđun trái, n là số nguyên
(2)M thuộc FIn┬.
(3)M+ thuộc FIn┬.
(4)M thuộc ⊥
Cvới C = {B+: B ∈ FIn}.
(5)Với mọi dãy khớp 0 → A → B → C → 0 với C ∈ FIn, hàm tử -
⊗M duy trì tính khớp.
Định lý 2.5.2. R là vành coherent phải, n là số nguyên không âm. Ta có:
(1)Một R-môđun phải M là nội xạ khi và chỉ khi M ∈ FIn┬ và
M∈FIn+1.
(2)Một R-môđun trái N là phẳng khi và chỉ khi N ∈ FIn┬ và N ∈
Fn+1. Chứng minh.
(1) (⇒) Gọi M là R-môđun nội xạ. Suy ra Ext1
(N, M) = 0 với mọi R- môđun N. Do đó Ext1
(N, M) = 0 với mọi N ∈ FIn. Suy ra M ∈ FIn⊥. Mặt khác M∈ FIn nên id(M) ≤ n suy ra id(M) ≤ n +1. Vậy M ∈ FIn+1.
(⇐) Lấy M ∈ FIn⊥ và M ∈ FIn+1. Xét dãy khớp 0 → M → E(M) → E(M)/M → 0.
Do FP-id(M) ≤ n +1 nên FP-id(E(M)/M) ≤ n. Suy ra Ext1
(E(M)/M, M) = 0. Do đó dãy trên chẻ ra. Vậy M là môđun nội xạ.
(2) (⇒) Gọi N là R-môđun trái phẳng. Suy ra Tor1(M, N) = 0 với mọi R- môđun M. Do đó Tor1(M, N) = 0 với mọi M ∈ FIn.Vậy N ∈ FIn┬. Mặt
khác N∈ Fn nên fd(M) ≤ n suy ra fd(M) ≤ n +1. Vậy N ∈ Fn+1.
(⇐) Lấy N ∈ FIn┬ và N ∈ Fn+1. Theo Bổ đề 2.5.1 suy ra N+ ∈ FIn⊥. Do FP-id(N+) = fd(N) ≤ n+1. Suy ra N+ là môđun nội xạ. Vậy N là môđun phẳng. Định lý 2.5.3. Cho R là vành coherent phải với FP-id(RR) ≤ n, n ≥ 1. Khi đó nếu M thuộc FIn-1┬ thì tồn tại dãy khớp 0 → M → F → L → 0 sao cho F là môđun phẳng, L thuộc FIn┬. Chứng minh. Với P là môđun xạ ảnh và P → E(P) là một bao nội xạ. Xét biểu đồ sau: 0 0 0 N P M 0 0 N E(P) Q 0 C C
0 0
Do FP-id(P) ≤ n nên FP-id(C) ≤ n−1. Theo Bổ đề 2.5.1 suy ra Ext1(C,M+)=0 với M+ ∈ FIn-1⊥. Do đó dãy
0 → M+→ Q → C → 0 chẻ. Suy ra tồn tại dãy khớp
E(P) → M+ → 0
nên dãy
0 → M++→ E(P)+ khớp.
Do đó Mnhúng vào một R-môđun trái phẳng (E(P)+ phẳng). Lấy β: M → F
là tiền bao đặc biệt của M. Suy ra β đơn cấu. Do đó ta có dãy khớp 0 → M → F → L → 0.
Theo Mệnh đề 2.4.1 suy ra L ∈ FIo┬. Lấy Xthuộc FIn. Xét dãy khớp 0 → X → E(X) → D → 0.
Vì Dthuộc FIn-1 nên dãy
0 = Tor2(D, F) → Tor2(D, L) → Tor1(D, M) = 0 khớp. Suy ra Tor2(D, L) = 0. Mặt khác dãy khớp ngắn
cảm sinh tính khớp của dãy
0 =Tor2(D, L)→ Tor1(X, L)→Tor1(E(X), L)= 0. Do đó Tor1(X, L) = 0. Vậy tồn tại dãy khớp
0 → M → F → L → 0 với Flà môđun phẳng, L∈ FIn┬.
Định lý 2.5.4. Nếu mỗi R-môđun trái n-đối xoắn có một Fn-bao có tính chất
ánh xạ duy nhất thì wD(R) ≤ n+2.
Chứng minh
Giả sử có (1). Lấy M là R-môđun trái. Theo Định lý 2.1.26, với α , β là
Fn-phủ, C và F2 là n-đối xoắn ta có hai dãy khớp:
0 → C →i F0 →α M → 0 và 0 → F2 →ψ F1 →β C → 0. Do đó ta có dãy khớp 0 → F2 →ψ F1 i ϕ β= → F0 →α M → 0.
Lấy φ : F2 → H là Fn-bao với một ánh xạ duy nhất. Suy ra tồn tại σ :H →
Im(σ)⊆Ker(ϕ) = Im(ψ ). Do đó tồn tại γ : H → F2 sao cho ψγ = σ . Ta có sơ đồ giao hoán với dòng khớp:
H γ φ δ 0 F ψ F1 ϕ F0 α M 0 Ta có ψγφ = ψ suy ra γφ = 2
1F nên ψ đơn cấu. Do đó F2 đẳng cấu với số hạng trực tiếp của H. Suy ra F2∈ Fn. Vậy fd(M) ≤ n+2. Hay wD(R) ≤ n+2.
KẾT LUẬN
Trong phần này,chúng tôi tóm tắt lại những kết quả chính trong luận văn:
1. Với R là vành coherent phải và FP-id(RR) ≤ n, ta có (FIn, FIn⊥) là một lý thuyết đối xoắn hoàn hảo.
2. Với mọi vành R ta có (Fn, Fn⊥) là một lý thuyết đối xoắn hoàn hảo di truyền.
3. Nếu Rlà vành coherent phải thì mỗi R-môđun trái có một Fn-tiền bao. 4. Cho R là vành coherent phải, khi đó mỗi R-môđun phải có một toàn cấu
FIn-phủ nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun FP-nội xạ đều thuộc Fn.
5. Nếu M là R-môđun phải biểu diễn hữu hạn và FP-id(RR) ≤ n thì M∈┬Fn
nếu và chỉ nếu M là đối hạt nhân của một FIn-tiền bao K→P của R- môđun phải K với Plà môđun xạ ảnh.
6. Nếu M là R-môđun trái biểu diễn hữu hạn thì M thuộc FIn┬ nếu và chỉ nếu M là đối hạt nhân của một Fn-tiền bao K → F của R-môđun trái K
với Flà môđun xạ ảnh hoặc nếu và chỉ nếu M∈⊥Fn.
7. Cho R là vành coherent phải, khi đó môđun M là nội xạ nếu và chỉ nếu
M∈ FIn⊥ và M ∈ FIn+1. Môđun N là phẳng khi và chỉ khi N ∈ FIn┬
và N∈Fn+1.
8. Nếu mỗi R-môđun trái n-đối xoắn có một Fn-bao có tính chất ánh xạ duy nhất thì wD(R) ≤ n+2.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên. (2006). Đại số đồng điều. Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia TP.HCM.
[2] Chen, J. L., Ding, N. Q. (1994). On the exactness of flat resolvents. Comm. Algebra 22:4013-4021.
[3] Ding, N.Q. (1996). On envelopes with the unique mapping property. Comm. Algebra 24(4): 1459-1470.
[4] Eklof, P. C., Trlifaj, J. (2001). How to make Ext vanish. Bull. London Math. Soc. 33(1): 41-51.
[5] Enochs, E. E., Jenda, O. M. G. (2000). Relative Homological Algebra. Berlin-New York: Walter de Gruyter.
[6] Enochs, E. E., Jenda, O. M. G., Lopez-Ramos, J. A. (2004). The
existence of Gorenstein flat covers. Math. Scand. 94: 46-62.
[7] Garcia Rozas, J. R., Torrecillas, B. (1994). Relative injective covers. Comm. Algebra 22: 2925-2940.
[8] Mao, L. X., Ding, N. Q. (2005). Relative FP-projective modules. Comm. Algebra 33(5): 1587-1602.
[9] Mao, L. X., Ding, N. Q. (2007). Envelopes and covers by modules of
finite FP-injective and flat dimensions. Comm. Algebra 33: 833-849.
[10] Rotman, J. J. (1979). An Introdution to Homological Algebra. New York: Academic Press.
[11] Stenstrom, B. (1970). Coherent rings and FP-injective modules. J. London Math. Soc. 2: 323-329.
[12] Trlifaj, J. (2000). Covers, Envelopes, and Cotorsion Theories. Lecture notes for the workshop, “Homological Methods in Module Theory” Cortona, September 10-16.