Mệnh đề 2.4.1.
(1) Nếu M là đối hạt nhân của FIn-tiền bao K →F, K là R-môđun
phải, F là môđun phẳng thì M thuộc ┬Fn.
(2) Nếu R là vành coherent phải, M là đối hạt nhân của Fn-tiền bao
L→F, L là R-môđun trái, F là môđun phẳng thì M thuộc FIn┬.
Chứng minh
(1) Giả sử M là đối hạt nhân của FIn-tiền bao K → F với K là R-môđun phải, Flà môđun phẳng. Ta có dãy khớp
0 → K → F → M → 0.
Theo Bổ đề 2.1.21 với mọi E ∈ Fn ta có E+∈ FIn. Do đó ta có dãy khớp Hom(F, E+) → Hom(K, E+) → 0.
Suy ra dãy
(F⊗E)+ → (K⊗E)+ → 0 khớp. nên dãy
0 → K⊗E → F⊗Ekhớp. Do Flà môđun phẳng nên dãy
0 → Tor1(M, E) → K⊗E → F⊗E khớp. Suy ra Tor1(M, E) = 0. Vậy M ∈ ┬Fn.
(2) Giả sử Mlà đối hạt nhân của của Fn-tiền baoL → F với L là R-môđun trái và Flà môđun phẳng. Lấy K = Im(L → F). Khi đó ta có dãy khớp
0 → K → F → M → 0
và K → F là Fn-tiền bao của K. Với mọi E ∈ FIn ta có id(E) ≤ n. Theo Bổ đề 2.1.21 suy ra FP-id(E) ≤ n. Do R là vành coherent phải nên theo Bổ đề 2.1.22 fd(E+) = FP-id(E) ≤ n. Điều này cho ta E+∈ Fn. Từ đó ta có dãy khớp
Hom(E+, F) → Hom(E+, K) → 0. Suy ra dãy
(E⊗F)+ → (E⊗K)+ → 0 khớp nên dãy
0 → (E⊗K) → (E⊗F) khớp. Mặt khác do F phẳng nên dãy
0 → Tor1(E, M) → E⊗K → E⊗Fkhớp. Do đó Tor1(E, M) = 0 với mọi E ∈ FIn. Vậy M ∈ FIn┬.
Hệ quả 2.4.2. Cho R là vành coherent phải. Khi đó:
(1)Mọi cosyzygy thứ (n+1) của mọi R-môđun trái biểu diễn hữu hạn
đều thuộc FI n┬.
(2)⊥Fn ⊆ FIn┬.
Chứng minh.
(1) Gọi M là R-môđun trái biểu diễn hữu hạnvà 0 → M → F0 → F1→...
là Fo-phép giải phải của Mvới Fi là môđun xạ ảnh hữu hạn.
Ta có Fn−1 → Fn là một Fn-tiền bao với Ln+1= coker(Fn−1 → Fn
). Theo Mệnh đề 2.4.1 suy ra cosyzygy thứ (n + 1)Ln+1của MthuộcFIn┬. (2) Lấy M∈ Fn. Xét dãy khớp
với Plà môđun xạ ảnh. Vì K → Plà một Fn-tiền bao của K nên theo Mệnh đề 2.4.1 ta được M ∈ FIn┬.
Bổ đề 2.4.3. ([10], Bổ đề 3.59, trang 139) Nếu A là R-môđun phải phẳng và I là idean trái thì
A
φ : A⊗ RI → AI được xác định bởi a⊗i ai là một đẳng
cấu.
Định lý 2.4.4. Cho R là vành coherent phải, khi đó:
(1) Nếu M là R-môđun phải biểu diễn hữu hạn và FP-id(RR) ≤ n thì
M∈┬Fn khi và chỉ khi M là đối hạt nhân của một FIn-tiền bao K → P
của R-môđun phải K với P là môđun xạ ảnh.
(2) Nếu M là R-môđun trái biểu diễn hữu hạn thì M thuộc FIn┬ khi và
chỉ khi M là đối hạt nhân của một Fn-tiền bao K → F của R-môđun
trái K với F là môđun xạ ảnh hoặc khi và chỉ khi M ∈⊥Fn.
Chứng minh.
(1) (⇐) Lấy M là đối hạt nhân của một FIn-tiền bao K → P của R- môđun phải Kvới Plà môđun xạ ảnh. Theo Mệnh đề 2.4.1 thì M ∈┬Fn.
(⇒) Vì M là R-môđun trái biểu diễn hữu hạnnên ta có dãy khớp 0 → K → P → M → 0
với P là môđun xạ ảnh . Vì FP- id(RR) ≤ n nên P ∈ FIn. Suy ra K → P là một FIn-tiền bao. Do R là vành coherent phải nên theo Bổ đề 2.1.22 với mỗi
F∈FIn thì F+∈ Fn. Suy ra Tor1(M, F+) = 0. Ta có biểu đồ khớp giao hoán sau 0 K⊗F+ α P⊗F+ σK σP Hom(K, F)+ θ Hom(P, F)+
Mặt khác, do Q → K → 0 khớp với Q là môđun xạ ảnh nên ta có biểu đồ khớp giao hoán sau:
Q⊗F+ K⊗F+ 0 σQ σK
Hom(Q, F)+ Hom(K, F)+ 0
Theo Bổ đề 2.4.3 ta có σQ là đẳng cấu. Suy ra σ K là toàn cấu. Do σ P đẳng cấu suy ra θ là đơn cấu. Suy ra dãy Hom(P, F) → Hom(K, F) → 0 khớp. Vậy
Mlà đối hạt nhân của một FIn-tiền bao K → P của R-môđun phải K với P là môđun xạ ảnh.
(2) Dùng Bổ đề 2.1.21 và Mệnh đề 2.4.1 ta có thể chứng minh (2) tương tự như (1).