Bao và phủ bởi môđun FP nội xạ hữu hạn và số chiều phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Quốc Anh BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Quốc Anh BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành sau hai năm học trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Viết Đơng Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy gia đình Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh thầy khoa Toán trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt thời gian học tập hồn thiện luận văn Cuối tơi bày tỏ lịng biết ơn gia đình, bạn bè, người giúp đỡ tơi học tập hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Học viên Trần Nguyễn Quốc Anh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU BẢNG KÝ HIỆU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phạm trù môđun 1.2 Các hàm tử Hom Tenxơ 10 1.3 Các hàm tử Tor n Ext n 14 CHƯƠNG 18 BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG 18 2.1 Lý thuyết đối xoắn 18 2.2 Tiền bao bao 23 2.3 Tiền phủ phủ 26 2.4 Đối hạt nhân FIn-tiền bao Fn-tiền bao 31 2.5 Những ứng dụng 35 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số đồng điều từ lâu trở thành nhánh quan trọng tốn học Vì vậy, mơn học thực cần thiết môn học bắt buộc sinh viên ngành tốn Chương trình Đại số đồng điều bậc đại học cung cấp cho sinh viên khái niệm phạm trù môđun, hàm tử Hom Tenxơ, hàm tử Tor n Ext n vành có đơn vị R Khi học mơđun, chương trình đưa khái niệm tính chất mơđun xạ ảnh, mơđun nội xạ Tuy nhiên, thời gian có hạn nên chương trình học dừng lại việc nghiên cứu môđun mức độ chưa có tính chuyên sâu Bên cạnh khái niệm ấy, phạm trù mơđun cịn có khái niệm quan trọng bao phủ Vấn đề ngày nghiên cứu nhiều nhà toán học tiếng, kể đến : Aldrich, Chen, Ding, Eklof, Trlifaj, Jenda, Xu… Những kết thú vị bao phủ nhà khoa học chứng minh Vì thế, với mục đích minh họa cho khái niệm bao phủ mà nhà khoa học đưa ra, chọn đề tài “BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG” để làm luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài Nêu số định nghĩa định lý quan trọng lý thuyết đối xoắn Chứng minh với vành R, (Fn, Fn) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo di truyền, mặc khác R vành coherent phải FP-id(R R )  n (FIn, FIn) lý thuyết đối xoắn hồn hảo Định nghĩa bao tiền bao, phủ tiền phủ môđun FP-nội xạ Chứng minh số định lý quan trọng: Nếu R vành coherent phải R-mơđun trái có Fn-tiền bao Cho R vành coherent phải, R-mơđun phải có tồn cấu FIn-phủ R-môđun FP-nội xạ thuộc Fn Cho R vành coherent phải, mơđun M nội xạ M  FIn M  FIn+1 Môđun N phẳng N  FIn ┬ N Fn+1 Nếu R-mơđun trái n-đối xoắn có Fn-bao có tính chất ánh xạ wD(R)  n  Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cho M R-môđun phải biểu diễn hữu hạn với R vành có đơn vị R vành coherent phải Luận văn trình bày lý thuyết đối xoắn, môđun FP- nội xạ, tiền bao bao, tiền phủ phủ, đối hạt nhân FIn-tiền bao Fn-bao Nội dung luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương 2: BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP-NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Phương pháp nghiên cứu Luận văn nêu chứng minh định lý, mệnh đề liên quan đến bao phủ môđun FP-nội xạ dựa sở kiến thức biết môđun, với việc nghiên cứu tham khảo tài liệu đặc biệt báo khoa học liên quan đến mơđun FP- nội xạ Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý báu độc giả để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn BẢNG KÝ HIỆU Ký hiệu ker f Ý nghĩa : Hạt nhân đồng cấu f coker f : Đối hạt nhân đồng cấu f FIn : Lớp tất R-môđun phải (trái) với số chiều FPnội xạ nhỏ số nguyên không âm cố định n Fn : Lớp tất R-môđun phải (trái) với số chiều phẳng nhỏ số nguyên không âm cố định n M R ( R M) : R-môđun phải (trái) E(M) : Bao nội xạ M M : Môđun đặc trưng Hom (M, fd(M) : Số chiều phẳng M id(M) : Số chiều nội xạ M FP-id(M) : Số chiều FP-nội xạ M r FP-dim(R): sup {FP-id(M): M R-mơđun} wD(R) Chiều tồn thể yếu vành R : ) CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phạm trù môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành có đơn vị, nhóm cộng (X,  ) gọi Rmơđun trái có ánh xạ  : R  X  X mà hợp thành  (r, x) ký hiệu rx thỏa : M1 : 1.x  x, M : (rs)x  r(sx), M : r(x  y)  rx  ry, M : (r  s)x  rx  sx, với r, s  R x, y  X Tương tự, nhóm cộng (X,  ) gọi R-mơđun phải có ánh xạ  :X  R  X mà hợp thành  (x, r) ký hiệu xr thỏa: M 1' : x.1  x, M '2 : x(rs)  (xr)s, M 3' : (x  y)r  xr  yr, M '4 : x(r  s)  xr  xr, với r, s  R x, y  X R-môđun trái R-môđun phải gọi chung R-môđun (hoặc môđun) Định nghĩa 1.1.2 Cho A, B tập khác rỗng môđun X,   K  R, ta định nghĩa: A  B  {a  b: a  A, b  B}, K.A  {ra: r  K, a  A} Định nghĩa 1.1.3 Tập A khác rỗng môđun X gọi môđun môđun X A  A  A RA  A Định nghĩa 1.1.4 Cho X R-môđun A mơđun X Nhóm thương X/A trở thành R-mơđun với phép nhân ngồi r(x  A)  rx  A  r  R,  (x  A)  X/A Ta gọi X/A môđun thương mơđun X theo mơđun A Tính chất 1.1.5 Nếu A, B hai mơđun mơđun X A + B môđun môđun X Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ f từ R-môđun X vào R-môđun Y gọi R-đồng cấu  x, y  X,  r  R, f (x  y)  f (x)  f (y) f (rx)  r f (x) Định nghĩa 1.1.7 Đồng cấu f : X  Y gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (tồn ánh, song ánh) Tính chất 1.1.8 Cho A X, B Y đồng cấu f : X  Y Khi đó, f (A) môđun Y f 1 (B) môđun X Ký hiệu ker f :  f 1 (0) im f :  f (X) Tính chất 1.1.9 Tích hai đồng cấu (đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu) đồng cấu (đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu) Hơn nữa, f R-đơn cấu Ker f  f đẳng cấu f 1 đẳng cấu Định lý 1.1.10 ([1], Định lý 8, trang 19) Cho tồn cấu f : X  Y, tồn đẳng cấu f ' : X/Ker f  Y cho f  f ' p với ánh xạ tự nhiên p : X  X/Ker f Định nghĩa 1.1.11 Giả sử {X i } iI họ R-mơđun, tích Descartes  iI X i ta định nghĩa phép toán : (x i ) iI  (y i ) iI  (x i  y i ) iI r(x i ) iI  (rx i ) iI Khi đó,  X i với hai phép tốn trở thành R-mơđun gọi tích trực iI tiếp họ mơđun {X i } iI (1)  (2) Theo Mệnh đề 2.3.5 ánh xạ tự nhiên  : E(M)  A  B  E(M)/M Fn-tiền phủ Mặt khác M rút gọn nên suy E(M) mơđun nội xạ khác khơng K chứa M Theo Định lý 2.1.26 suy E(M)/M có Fn-phủ Do  : E(M)  E(M)/M có Fn-phủ Vậy M hạt nhân Fn- phủ f : A  B (với A nội xạ) (2)  (1) M hạt nhân Fn-phủ f : A  B (với A nội xạ) Theo Mệnh đề 2.3.5 suy M n-đối xoắn Gọi K môđun nội xạ M A  K  L, p : A  L đồng cấu chiếu, i : L  A đồng cấu nhúng Dễ thấy f ( ip )  f f (K)  Vì ip đẳng cấu i tồn cấu Do A  L, K  Vậy M R-môđun trái n-đối xoắn rút gọn Định lý 2.3.8 Cho R vành coherent phải với FP-id(R R )  n Khi Rmơđun trái M n-đối xoắn M tổng trực tiếp Rmôđun trái nội xạ R-môđun trái n-đối xoắn rút gọn Chứng minh (  ) Ta có M tổng trực tiếp R-mơđun trái nội xạ R-môđun trái n-đối xoắn rút gọn Đặt M  A  B với A R-môđun trái nội xạ B Rmôđun trái n-đối xoắn rút gọn Suy Ext (N, A)  Ext (N, B)  với N  Fn Do Ext (N, M)  Ext (N, A  B)  Ext (N, A)  Ext (N, B)  Vậy M R-môđun trái n-đối xoắn (  ) Giả sử M R-mơđun trái n-đối xoắn Ta có dãy khớp  M  E(M)  E(M)/M  Theo Mệnh đề 2.3.5, E(M)  E(M)/M Fn-tiền phủ E(M)/M Mặt khác theo Định lý 2.1.26, (Fn, Fn) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo nên E(M)/M có Fn-phủ L  E(M)/M Do ta có sơ đồ giao hốn với dịng khớp sau: f K  M  E(M)/M E(M) E(M)/M E(M)/M   L  f K L Vì  đẳng cấu, E(M)  Ker(  )  Im(  ) nên L Ker(  ) nội xạ (do Im(  )  L) Do theo Mệnh đề 2.3.7, K môđun n-đối xoắn rút gọn Mặt khác  đẳng cấu Do M  Ker(  )  Im(  ) Im(  )  K Ta có biểu đồ giao hoán sau : 0 Ker(  ) M Ker(  )   E(M) 0 E(M) / M L E(M) / M 0  K f Suy Ker(  )  Ker(  ) Vậy M tổng trực tiếp R-môđun trái nội xạ R-môđun trái n-đối xoắn rút gọn Định lý 2.3.9 Cho vành R, n số nguyên không âm cố định Những điều sau tương đương: (1) Mỗi R-môđun trái n-đối xoắn (2) Mỗi R-môđun trái Fn xạ ảnh (3) Mỗi R-môđun trái xạ ảnh n-đối xoắn (4) R R n-đối xoắn R-mơđun trái có Fn-tiền phủ Chứng minh (1)  (2) Cho M R-môđun trái M môđun n-đối xoắn tương đương Ext (N, M)  với N thuộc Fn Mà Ext (N, M)  với N thuộc Fn M môđun xạ ảnh (1)  (4) Vì R R R-mơđun trái nên R R n-đối xoắn Gọi M R- môđun trái Suy M n-đối xoắn nên M  Fn Vậy M có Fn-tiền phủ (4)  (3) Ta có Fn đóng tổng trực tiếp R R n-đối xoắn Suy R-môđun xạ ảnh tự trái n-đối xoắn (3)  (1) Lấy M R-môđun trái Theo Định lý 2.1.26, với F  Fn K Fn ta có dãy khớp  K  F  M  Vì R-môđun trái xạ ảnh đối xoắn Suy F n-đối xoắn Do F  Fn Theo Mệnh đề 2.2.3, (Fn, Fn) di truyền nên M  Fn Vậy M n-đối xoắn 2.4 Đối hạt nhân FIn-tiền bao Fn-tiền bao Mệnh đề 2.4.1 (1) Nếu M đối hạt nhân FIn-tiền bao K  F , K R-môđun phải, F mơđun phẳng M thuộc ┬ Fn (2) Nếu R vành coherent phải, M đối hạt nhân Fn-tiền bao L  F , L R-môđun trái, F mơđun phẳng M thuộc FIn┬ Chứng minh (1) Giả sử M đối hạt nhân FIn-tiền bao K  F với K R-môđun phải, F mơđun phẳng Ta có dãy khớp  K  F  M  Theo Bổ đề 2.1.21 với E  Fn ta có E   FIn Do ta có dãy khớp Hom(F, E  )  Hom(K, E  )  Suy dãy (F  E)   (K  E)   khớp nên dãy  K  E  F  E khớp Do F môđun phẳng nên dãy  Tor (M, E)  K  E  F  E khớp Suy Tor (M, E)  Vậy M  (2) ┬ Fn Giả sử M đối hạt nhân của Fn-tiền bao L  F với L R-môđun trái F môđun phẳng Lấy K  Im(L  F) Khi ta có dãy khớp 0KFM0 K  F Fn-tiền bao K Với E  FIn ta có id(E)  n Theo Bổ đề 2.1.21 suy FP-id(E)  n Do R vành coherent phải nên theo Bổ đề 2.1.22 fd(E  )  FP-id(E)  n Điều cho ta E   Fn Từ ta có dãy khớp Hom(E  , F)  Hom(E  , K)  Suy dãy (E  F)   (E  K)   khớp nên dãy  (E  K)  (E  F) khớp Mặt khác F phẳng nên dãy  Tor (E, M)  E  K  E  F khớp Do Tor (E, M)  với E  FIn Vậy M  FIn ┬ Hệ 2.4.2 Cho R vành coherent phải Khi đó: (1) Mọi cosyzygy thứ (n+1) R-môđun trái biểu diễn hữu hạn thuộc FI n ┬ (2) Fn  FIn ┬ Chứng minh (1) Gọi M R-môđun trái biểu diễn hữu hạn  M  F  F  Fo-phép giải phải M với F i môđun xạ ảnh hữu hạn Ta có F n1  F n Fn-tiền bao với L n1  coker(F n1  F n ) Theo Mệnh đề 2.4.1 suy cosyzygy thứ (n + 1) L n1 M thuộc FIn ┬ (2) Lấy M  Fn Xét dãy khớp 0KPM0 với P mơđun xạ ảnh Vì K  P Fn-tiền bao K nên theo Mệnh đề 2.4.1 ta M  FIn ┬ Bổ đề 2.4.3 ([10], Bổ đề 3.59, trang 139) Nếu A R-môđun phải phẳng I idean trái  A : A  R I  AI xác định a  i cấu Định lý 2.4.4 Cho R vành coherent phải, đó: đẳng (1) Nếu M R-môđun phải biểu diễn hữu hạn FP-id(R R )  n M  ┬ Fn M đối hạt nhân FIn-tiền bao K  P R-môđun phải K với P môđun xạ ảnh (2) Nếu M R-môđun trái biểu diễn hữu hạn M thuộc FIn ┬ M đối hạt nhân Fn-tiền bao K  F R-môđun trái K với F môđun xạ ảnh M  Fn Chứng minh (1) (  ) Lấy M đối hạt nhân FIn-tiền bao K  P R-môđun phải K với P môđun xạ ảnh Theo Mệnh đề 2.4.1 M  ┬ Fn (  ) Vì M R-mơđun trái biểu diễn hữu hạn nên ta có dãy khớp 0KPM0 với P mơđun xạ ảnh Vì FP- id(R R )  n nên P  FIn Suy K  P FIn-tiền bao Do R vành coherent phải nên theo Bổ đề 2.1.22 với F FIn F   Fn Suy Tor (M, F  )  KF Ta có biểu đồ khớp giao hoán sau  P K Hom(K, F)  PF  Hom(P, F)  Mặt khác, Q  K  khớp với Q môđun xạ ảnh nên ta có biểu đồ khớp giao hốn sau: Q F K F Q Hom(Q, F)  Theo Bổ đề 2.4.3 ta có  Q K Hom(K, F)  đẳng cấu Suy  K toàn cấu Do  P đẳng cấu suy  đơn cấu Suy dãy Hom(P, F)  Hom(K, F)  khớp Vậy M đối hạt nhân FIn-tiền bao K  P R-môđun phải K với P môđun xạ ảnh (2) Dùng Bổ đề 2.1.21 Mệnh đề 2.4.1 ta chứng minh (2) tương tự (1) 2.5 Những ứng dụng Bổ đề 2.5.1 ([9], Bổ đề 6.1, trang 843) M R-môđun trái, n số nguyên không âm Những điều sau tương đương: (2) M thuộc FIn ┬ (3) M  thuộc FIn ┬ (4) M thuộc C với C  {B  : B  FIn} (5) Với dãy khớp  A  B  C  với C  FIn, hàm tử -  M trì tính khớp Định lý 2.5.2 R vành coherent phải, n số nguyên không âm Ta có: (1) Một R-mơđun phải M nội xạ M  FIn ┬ M FIn+1 (2) Một R-môđun trái N phẳng N  FIn ┬ N  Fn+1 Chứng minh (1) (  ) Gọi M R-môđun nội xạ Suy Ext (N, M)  với R- mơđun N Do Ext (N, M)  với N  FIn Suy M  FIn Mặt khác M  FIn nên id(M)  n suy id(M)  n  Vậy M  FIn+1 (  ) Lấy M  FIn M  FIn+1 Xét dãy khớp  M  E(M)  E(M)/M  Do FP-id(M)  n  nên FP-id(E(M)/M)  n Suy Ext (E(M)/M, M) = Do dãy chẻ Vậy M môđun nội xạ (2) (  ) Gọi N R-môđun trái phẳng Suy Tor (M, N)  với R- môđun M Do Tor (M, N)  với M  FIn.Vậy N  FIn ┬ Mặt khác N  Fn nên fd(M)  n suy fd(M)  n  Vậy N  Fn+1 (  ) Lấy N  FIn ┬ N  Fn+1 Theo Bổ đề 2.5.1 suy N   FIn Do FP-id(N  )  fd(N)  n  Suy N  môđun nội xạ Vậy N môđun phẳng Định lý 2.5.3 Cho R vành coherent phải với FP-id(R R )  n, n  Khi M thuộc FIn-1 ┬ tồn dãy khớp  M  F  L  cho F môđun phẳng, L thuộc FIn ┬ Chứng minh Với P môđun xạ ảnh P  E(P) bao nội xạ Xét biểu đồ sau: 0 N P M 0 N E(P) Q C C 0 Do FP-id(P)  n nên FP-id(C)  n  Theo Bổ đề 2.5.1 suy Ext (C,M  )  với M   FIn-1 Do dãy  M   Q  C  chẻ Suy tồn dãy khớp E(P)  M   nên dãy  M   E(P)  khớp Do M nhúng vào R-mơđun trái phẳng (E(P)  phẳng) Lấy  : M  F tiền bao đặc biệt M Suy  đơn cấu Do ta có dãy khớp  M  F  L  Theo Mệnh đề 2.4.1 suy L  FIo ┬ Lấy X thuộc FIn Xét dãy khớp  X  E(X)  D  Vì D thuộc FIn-1 nên dãy  Tor (D, F)  Tor (D, L)  Tor (D, M)  khớp Suy Tor (D, L)  Mặt khác dãy khớp ngắn  X  E(X)  D  cảm sinh tính khớp dãy  Tor (D, L)  Tor (X, L)  Tor (E(X), L)  Do Tor (X, L)  Vậy tồn dãy khớp 0MFL0 với F môđun phẳng, L  FIn ┬ Định lý 2.5.4 Nếu R-mơđun trái n-đối xoắn có Fn-bao có tính chất ánh xạ wD(R)  n  Chứng minh Giả sử có (1) Lấy M R-môđun trái Theo Định lý 2.1.26, với  ,  Fn-phủ, C F n-đối xoắn ta có hai dãy khớp:  i  C  F0  M      i   F  F  C  Do ta có dãy khớp   F  F  F  M  Lấy  : F  H Fn-bao với ánh xạ Suy tồn  :H  F cho  =  Từ ta có     Suy   hay Im(  )  Ker(  )  Im( ) Do tồn  : H  F cho    Ta có sơ đồ giao hốn với dịng khớp: H   F   F1  F0  M Ta có    suy   1F nên  đơn cấu Do F đẳng cấu với số hạng trực tiếp H Suy F  Fn Vậy fd(M)  n  Hay wD(R)  n  KẾT LUẬN Trong phần này,chúng tơi tóm tắt lại kết luận văn: Với R vành coherent phải FP-id(R R )  n, ta có (FIn, FIn) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo Với vành R ta có (Fn, Fn) lý thuyết đối xoắn hoàn hảo di truyền Nếu R vành coherent phải R-mơđun trái có Fn-tiền bao Cho R vành coherent phải, R-mơđun phải có tồn cấu FIn-phủ R-môđun FP-nội xạ thuộc Fn Nếu M R-môđun phải biểu diễn hữu hạn FP-id(R R )  n M  ┬ Fn M đối hạt nhân FIn-tiền bao K  P Rmôđun phải K với P môđun xạ ảnh Nếu M R-mơđun trái biểu diễn hữu hạn M thuộc FIn ┬ M đối hạt nhân Fn-tiền bao K  F R-môđun trái K với F môđun xạ ảnh M  Fn Cho R vành coherent phải, mơđun M nội xạ M  FIn M  FIn+1 Môđun N phẳng N  FIn ┬ N Fn+1 Nếu R-mơđun trái n-đối xoắn có Fn-bao có tính chất ánh xạ wD(R)  n  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006) Đại số đồng điều Nhà xuất Đại học Quốc gia TP.HCM [2] Chen, J L., Ding, N Q (1994) On the exactness of flat resolvents Comm Algebra 22:4013-4021 [3] Ding, N.Q (1996) On envelopes with the unique mapping property Comm Algebra 24(4): 1459-1470 [4] Eklof, P C., Trlifaj, J (2001) How to make Ext vanish Bull London Math Soc 33(1): 41-51 [5] Enochs, E E., Jenda, O M G (2000) Relative Homological Algebra Berlin-New York: Walter de Gruyter [6] Enochs, E E., Jenda, O M G., Lopez-Ramos, J A (2004) The existence of Gorenstein flat covers Math Scand 94: 46-62 [7] Garcia Rozas, J R., Torrecillas, B (1994) Relative injective covers Comm Algebra 22: 2925-2940 [8] Mao, L X., Ding, N Q (2005) Relative FP-projective modules Comm Algebra 33(5): 1587-1602 [9] Mao, L X., Ding, N Q (2007) Envelopes and covers by modules of finite FP-injective and flat dimensions Comm Algebra 33: 833-849 [10] Rotman, J J (1979) An Introdution to Homological Algebra New York: Academic Press [11] Stenstrom, B (1970) Coherent rings and FP-injective modules J London Math Soc 2: 323-329 [12] Trlifaj, J (2000) Covers, Envelopes, and Cotorsion Theories Lecture notes for the workshop, “Homological Methods in Module Theory” Cortona, September 10-16 ... Chương 2: BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP- NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Phương pháp nghiên cứu Luận văn nêu chứng minh định lý, mệnh đề liên quan đến bao phủ môđun FP- nội xạ dựa sở kiến thức biết môđun, ... : Bao nội xạ M M : Môđun đặc trưng Hom (M, fd(M) : Số chiều phẳng M id(M) : Số chiều nội xạ M FP- id(M) : Số chiều FP- nội xạ M r FP- dim(R): sup {FP- id(M): M R-mơđun} wD(R) Chiều tồn thể yếu vành... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Quốc Anh BAO VÀ PHỦ BỞI MÔĐUN FP- NỘI XẠ HỮU HẠN VÀ SỐ CHIỀU PHẲNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: