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gnA + aK ✳ ●✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ g G aA + G ú õ tỗ t↕✐ b1, , bn ∈ A s❛♦ ❝❤♦ q = b1 (aq1 + g1 ) + + bn (aqn + gn )✳ ❙✉② r❛✿ n n bi q i a=q− i=1 ❱➻ ✈➟②✱ n i=1 bi qi i=1 ∈ (G : a) = K ✳ bi gi + i=1 ◆➯♥ n n q= bi gi ∈ G b i qi a ∈ g1 A + + gn A + aK i=1 ❙✉② r❛ G ⊆ g1A + + gnA + aK ❱➟② G = g1A + + gnA + aK ✳ ❚ù❝ ❧➔ G ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✱ tr→✐ ✈ỵ✐ G ∈ Y ✱ ♥➯♥ t❛ ❝â ab ∈/ G ✈➔ G ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❱➟② G ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤æ♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✱ tr→✐ ✈ỵ✐ ❣✐↔ sû ♥➯♥ ✤✐➲✉ ❣✐↔ sû ❧➔ s❛✐✳ ❙✉② r❛ A ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ●✐↔ sû A ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ❑❤✐ ✤â ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ A [x] ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✸✳✻✳ ✸✺ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû M ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ A [x]✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐ Mi t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû m ∈ A s❛♦ ❝❤♦ m ❧➔ ❤➺ sè ❝õ❛ sè ❤↕♥❣ ❜➟❝ ❝❛♦ ♥❤➜t ❝õ❛ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ i ♥➔♦ ✤â fm (x) = mxi + + m1x + m0 t❤✉ë❝ M ✳ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ Mi ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ A✳ ❍ì♥ ♥ú❛ Mi ⊂ Mi+1✱ ❜ð✐ ✈➻ ♣❤➛♥ tû m ∈ Mi ❝ô♥❣ ❧➔ ❤➺ sè ❜➟❝ ❝❛♦ ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ xfm (x) ✈ỵ✐ ❜➟❝ (i + 1)✳ ❱➻ A ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥ Mn = Mn+1 = ✈ỵ✐ ♠ët 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xn−1 ] [xn ] ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ✸✻ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ▼æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❦✐➳♥ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✣↕✐ sè ❤✐➺♥ ✤↕✐✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ♠ỉ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ♥❤÷ ♠ỉ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥❀ ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣❀ ♠ỉ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ♥❤÷ ✣à♥❤ ❧➼ ❍❛♠✐❧t♦♥ ✲ ❈❛❧❡② ♠ð rë♥❣❀ ❇ê ✤➲ ◆❛❦❛②❛♠❛ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ♥❤÷ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✤➢❝ ❧ü❝ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❧ỵ♣ ♠ỉ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✳ ❉♦ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ ♠➦t t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❜↔♥ t❤➙♥ ♥➯♥ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♥❤÷ ♠ỉ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕✱✳✳✳ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳ ❍✐ ✈å♥❣ ✤➙② ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ②➯✉ t❤➼❝❤ ♠ỉ♥ ✣↕✐ sè t✐➳♣ tư❝ q✉❛♥ t➙♠ s❛✉ ♥➔②✳ ợ tớ ự ữ ữợ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ t→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ t❤✐➳✉ sât✳ ❊♠ r➜t ♠♦♥❣ ữủ sỹ õ õ ỵ t ❝ỉ ❣✐→♦ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝õ❛ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝æ 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