Vành cực tiểu nội xạ
2.4.5. Định lí Cho vành R, các mệnh đề sau là tương đương: (1) MỗiR Ămôđun phải là cực tiểu nội xạ.
(2) Mỗi RĂ môđun phải chính là cực tiểu nội xạ.
(3) K2 = 0 với mỗi iđêan phải đơn K của R. (4) Sr \J = 0.
(5) R là cực tiểu nội xạ phải và Sr là xạ ảnh như một RĂ môđun phảị
Chứng minh. (1))(2). Hiển nhiên.
(2))(3). Nếu K = kR là đơn, k 2 R, ta có một đẳng cấu
° : kR Ă! R=r(k) xác định bởi °(ka) = a+ r(k). Theo (2), ° là phép nhân trái c+ r(k), với c 2 R. Vậy ck + r(k) = °(k) = 1 +r(k), do đó kck = k. Nếu e = ke thì 06= e2 = e 2 K.
(3))(4). Hiển nhiên.
(4))(5). Nếu K là một iđêan phải đơn thì K = eR, e2 = e theo (4). (5))(1). Nếu ° : K Ă! MR là đồng cấu, K là iđêan phải đơn. Khi đó K ằ= eR; e2 = e (vì Sr là xạ ảnh). Từ R là cực tiểu nội xạ phải suy ra eR = cK với c 2 R. Do đó K 6àJ, vì vậy K = f R với f2 = f 2 R. Suy ra ° = mÂ, m 2 °(f).
Kết luận
Một số kết quả đạt được của luận văn.
² Hệ thống hoá một số kiến thức cơ bản về môđun nội xạ, sự nội
xạ lẫn nhau, môđun liên tục, môđun tựa liên tục, Q-F vành liên quan đến vành cực tiểu nội xạ.
² Tìm hiểu, khai thác và đi sâu vào việc chứng minh chi tiết một số tính chất của vành cực tiểu nội xạ phảị
² Tìm hiểu về mối liên hệ giữa vành cực tiểu nội xạ với một số vành khác như: Vành actin, vành cực tiểu đối xứng, vành cực tiểu linh hoá tử ...
Một số hướng phát triển của luận văn.
² Tiếp tục nghiên cứu về các tính chất của vành cực tiểu nội xạ phải
và tìm hiểu về vành cực tiểu nội xạ hai phía, vành cực tiểu nội xạ tráị
² Sử dụng các tính chất của vành cực tiểu nội xạ vào việc nghiên cứu Q-F vành và một số vành khác.
Tài liệu tham khảo
[1]: F.W. Anderson and K.R. Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, Second Edition. Graduate Text Vol.13. Springer -Verlag, Berlin -Heidelberg- New York.
[2]: J. Ẹ Bjork(1970),”Ring satisfying certain chain conditions”, J.Reine
Angew Math (Vol.245), 63-73.
[3]: V.Camillo (1989), ”Commutative rings whose principal ideals are annihilators”, Portu galiae Math (Vol 46), 33-37.
[4]: D. V. Huynh and N. S. Tung (1996), ”A note on quasi - Frobenius rings”, Proc. Am. Math (Vol 124), 371-375.
[5]: W.K. Nicholson and M.F. Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings,
Cambridge University Press- UK.