Môđun tựa nội xạ và bao nội xạ

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Hoàng Thị Xuân đặc trng Môđun tựa liên tục bởi tính chất (1-C 1 )-môđun luận văn thạc sỹ toán học Vinh 2010 1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Hoàng Thị Xuân đặc trng Môđun tựa liên tục bởi tính chất (1-C1)-môđun luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng Vinh 2010 2 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Danh mục các ký hiệu và chữ cái viết tắt 2 Mở đầu 3 Chương 1: KiÕn thøc c¬ së 1.1.Định nghĩa và ví dụ 5 1.2.Một số tính chất cña m«®un con cèt yÕu 12 Chương 2: Đặc trưng của môđun tựa liªn tôc bởi tính chất (1-C 1 ) 2.1.Một số tính chất của môđun tựa liªn tôc 18 2.2.Một số tính chất của lớp CS-môđun và (1-C 1 )-môđun 21 2.3.Đặc trưng của môđun tựa liªn tôc bởi tính chất (1-C 1 ) 32 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 3 DANH MC CC Kí HIU N M: N l mụun con ca mụun M N e M: N l mụun con ct yu ca mụun M N M: N l hng t trc tip ca mụun M A B: Tng trc tip ca mụun A v mụun B i I M i : Tng trc tip cỏc mụun M i vi tp ch s I i I M i : Tổng các môđun con M i , i I Z : Vành các số nguyên ( là Z -môđun Z ) Ô :Nhóm cộng các số hữu tỷ ( là Z -môđun Ô ) Z(M): Là môđun con suy biến của M Hom R (A,B): Tập tất cả các đồng cấu từ môđun A đến môđun B : Kết thúc một chứng minh 4 M U Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại, vấn đề nghiên cứu các lớp môđun đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm và đã đạt đợc nhiều kết quả. Năm 1960, Utumi đã nhận xét, vành chính quy liên tục là mở rộng của vành chính quy tự nội xạ, ông đã suy rộng khái niệm liên tục, tựa liên tục cho vành bất kỳ. Mohamed và Bouhy đã suy rộng khái niệm liên tục của vành cho các môđun. Năm 1977, Charttes A.W và Hajarnavis C.R đã đa ra khái niệm Extending Module (còn gọi là CS - môđun). Sự ra đời của lớp các CS-môđun đã có những ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Đặc biệt Đinh Văn Huỳnh, P.F.Smith, R.Wisbauer, A.Harmanci, Nguyễn Việt Dũng . là những ngời nghiên cứu và đạt đợc nhiều kết quả về CS- môđun. Lớp (1- C 1 )- môđun là mở rộng thực sự của lớp CS- môđun và hiên nay (1- C 1 ) - môđun đang đợc nhiều nhà toán học trong và ngoài nớc nghiên cứu. Vì vậy việc nghiên cứu đặc trng của một số lớp môđun thông qua tính chất (1- C 1 )- môđun là vấn đề đang đợc nhiều ngời quan tâm. Đó là lý do tôi chọn đề tài Đặc trng môđun tựa liên tục bởi tính chất (1- C 1 )- môđun. Lun vn c chia lm hai chng cựng vi phn m u, kt lun, danh mc cỏc ký hiu v ti liu tham kho. Chng 1: Kiến thức cơ sở Trỡnh by cỏc nh ngha, vớ d v cỏc tớnh cht c bn cú liờn quan n lun vn. Chng 2: Đặc trng của môđun tựa liên tục bởi tính chất (1-C 1 ) Trỡnh by mt s tớnh cht ca mụun tựa liên tục, lp CS-mụun, (1-C 1 )- mụun v c trng ca mụun ta liên tục bi tớnh cht (1-C 1 ) 5 Luận văn bắt đầu từ tháng 1 năm 2010, được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, giúp cho tác giả tự tin hơn trong quá trình độc lập sáng tạo, tu dưỡng và rèn luyện khả năng tập dượt nghiên cứu khoa học. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo trong tổ Đại số trường Đại học Vinh. Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh và các bạn lớp cao học khoá 16 chuyªn ngµnh §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè, Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh ho¸, Ban giám hiệu, tæ to¸n và đồng nghiệp trường THPT NguyÔn Tr·i, đã động viên và giúp đỡ để luận văn được hoàn thành đúng kế hoạch. Cuối cùng, do khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý chân tình của quý thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả 6 CHNG 1 kiến thức cơ sở Trong luận văn này vành luôn đợc hiểu là vành kết hợp, có đơn vị và các môđun là môđun phải unita trên một vành cố định R nào đó nếu không nói gì thêm. 1.1. một số định nghĩa và ví dụ 1.1.1. nh ngha môđun con cốt yếu Cho mụun M v N M. Mụun con N c gi l ct yu trong M, ký hiu N e M, nu N K 0 vi mi mụun con khỏc khụng K ca M. Nu N l mụun con ct yu ca M, thỡ ta núi rng M l m rng ct yu ca N. Vớ d: Mụun M e M với mọi môđun M; n Z e Z , 0n (xét là Z -môđun). 1.1.2. nh ngha môđun đều Mụun U c gi l u nu U 0 và bt k mụun con A v B khỏc 0 ca U thỡ A B 0, hay mi mụun con khỏc khụng ca U l mụun ct yu trong U. Nhận xét. Môđun con của một môđun đều hoặc là môđun 0 hoặc là môđun đều. Vớ d: a) Z -mụun Z l u vỡ bt k 0 A, B Z thỡ A = n Z , B = m Z , vi m, n , Ơ khi đó A B=[m,n] Z 0, ([m,n] l bi s chung nh nht ca m, n). b) Z -môđun Ô là đều ( Ô là môđun trên vành Z : Nhóm cộng các số hữu tỉ). Vì giả sử 0 A, B Ô tồn tại a b A; m k B ta có: am = bm a m ka b k = suy ra: am A I B; am 0 (vì bm a b A; ka m k B) W 1.1.3. nh ngha môđun con đóng 7 Cho mụun M v N M. Mụun N c gi l úng trong M nu N khụng cú mt m rng cốt yếu thc s trong M. Núi khỏc i N c gi l úng trong M nu vi mi mụun con K 0 ca M m N e K thỡ K=N. Vớ d: A v B l hai mụun con ca M tha món M=A B thỡ mụun A và môđun B l úng trong M. 1.1.4. nh ngha môđun nội xạ, tựa nội xạ Cho hai mụun A v M, mụun M c gi l A-ni x (A-injective) nu vi mọi X là môđun con của A v vi mi ng cu mụun f: X M thỡ tồn tại mt ng cu mụun g: A M sao cho biểu đồ giao hoán g.i = f (i là phép nhúng đồng nhất). Nếu M là A- nội xạ, với mọi môđun phải A trên vành R thì ta nói môđun M là nội xạ. Mụun M c gi l ta ni x (quasi-injective) nu M l M- ni x Vớ d: i) Z -mụun Ô l Z -môđun ni x ii) Z -mụun Z khụng phi l Z -môđun ni x 1.1.5. nh ngha môđun liên tục, tựa liên tục, CS-môđun, (1-C 1 )-môđun * Các điều kiện (C i ), i = 1, 2, 3; (1-C 1 ). Cho môđun M, xét các iu kin sau: (C 1 ) Mi mụun con ca M l ct yu trong hng t trc tip ca M. Núi cỏch khỏc, mi mụun con úng trong M l mt hng t trc tip ca M. 8 M X A f i g (C 2 ) Nu M 1 v M 2 l cỏc mụun con ca M ng cu vi nhau v M 1 l mt hng t trc tip ca M thỡ M 2 cng l hng t trc tip ca M. (C 3 ) Nu nhng mụun con M 1 , M 2 của M mà M 1 và M 2 l cỏc hng t trc tip ca M v M 1 M 2 = 0 thỡ M 1 M 2 cng l hng t trc tip ca M. (1-C 1 ) Mi mụun con u ca M l ct yu trong mt hng t trc tip ca M. * nh ngha. Một môđun M c gi l CS-mụun (Extending) nu M tha món iu kin (C 1 ). Mt mụun M c gi l (1-C 1 )-mụun nu M tha món iu kin (1- C 1 ). Mt mụun M c gi l liờn tc (continuous) nu M tha món cỏc iu kin (C 1 ) v (C 2 ). Mt mụun M c gi l ta liờn tc (quasi-continuous) nu M tha món cỏc iu kin (C 1 ) v (C 3 ). Mệnh đề: Nếu môđun M thoả mãn điều kiện (C 2 ) thì cũng thoả mãn điều kiện (C 3 ). Chứng minh: Thật vậy do M 1 M nên M =M 1 M 1, với M 1 * là môđun con nào đó của M Xét phép chiếu : M 1 M 1 * M 1 * x 1 + x 1 * x 1 * * Ta chứng minh M 1 M 2 = M 1 M 2 (1) Lấy x 1 + x 2 (M 1 M 2 ) do x 2 M 2 M x 2 =m 1 +m 1 * (M 1 M 1 * ) ( x 2 ) = m 1 * x 1 + x 2 = x 1 + m 1 + m 1 * =(x 1 + m 1 )+ m 1 * (M 1 + M 2 ) do (x 1 +m 1 ) M 1 , m 1 * = (x 2 ) M 2 (M 1 M 2 ) (M 1 M 2 ) 9 Lấy y 1 + (y 2 ) (M 1 + (M 2 )) vì y 2 M 2 y 2 = k 1 + k 1 * (M 1 M 1 * ) k 1 * = y 2 -k 1 y 1 + (y 2 )= y 1 +k 1 * = y 1 +y 2 k 1 = (y 1 - k 1 ) + y 2 (M 1 M 2 ) (do (y 1 - k 1 ) M 1 , y 2 M 2 ) (M 1 M 2 ) (M 1 M 2 ) M 1 M 2 = M 1 M 2 . * Ta có Ker = M 1 mà M 1 M 2 = 0 2 M : đơn cấu (M 2 ) M 2 mà M 2 M (M 2 ) M * Ta chỉ cần chứng minh (M 1 M 2 ) M do (1) ta có M = (M 2 ) N (a) với N M M = M 1 M 1 (b) Do (M 2 ) M 1 từ (a) dùng luật Mođular đối với M 1 ta có: M 1 = (M 2 ) +(N M 1 ) thay M 1 vào (b) ta có: M = (M 2 ) M 1 (N M 1 ) ( (M 2 ) M 1 ) M. Ta có các phép kéo theo sau là đúng đối với các lớp môđun Nội xạ Tựa nội xạ Liên tục Tựa liên tục CS (1- C 1 ) Chiều ngợc lại của dãy kéo theo trên nói chung không đúng. 1.1.6. nh ngha tổng trực tiếp. Mụun A c gi l tng trc tip trong ca mt h cỏc mụun con (A i i I) nu cỏc iu kin sau c tha món: (1) A = ;A i i I (2) 0, .A A j I j i i j = 1.1.7. nh ngha môđun không phân tích đợc. 10