Môđun các đồng cấu

Nội dung khoá luận đợc trình bày trong hai chơng: Chơng I: Chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm cơ bản nh môđun,môđun con, môđun thơng, môđun sinh bởi một tập, đồng cấu môđun, tổng tr

Lời nói đầu !

Khái niệm môđun là khái niệm quan trọng trong đại số hiện đại Khóaluận này tập trung nghiên cứu tính chất về môđun thông qua môđun các đồngcấu

Nội dung khoá luận đợc trình bày trong hai chơng:

Chơng I: Chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm cơ bản nh môđun,môđun con, môđun thơng, môđun sinh bởi một tập, đồng cấu môđun, tổng trựctiếp của môđun, dãy khớp

Chơng II: chúng tôi trình bày môđun các đồng cấu Các kết quả chính củakhoá luận đợc trình bày ở chơng này

Khóa luận đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh Tác giảxin trân trọng cảm ơn thầy giáo PGS TS Ngô Sĩ Tùng đã hớng dẫn nhiệt tình vàchu đáo để tác giả có thể hoàn thành khoá luận này

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán đã tậntình giảng dạy, giúp đỡ và chỉ bảo trong quá trình học tập tại trờng Đại học Vinh

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song khóa luận không thể tránh khỏi nhữngsai sót Tác giả mong muốn nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạnsinh viên để khoá luận này đạt kết quả tốt hơn

) , ( ) , ( ) , (

y x

y x

x x

x

α à α

à α

à

β à α

à β

α à

+

= +

+

= +

Hàm à gọi là phép nhân vô hớng của môđun X với mỗi α ∈R và mỗi x∈

X, phần tử à( xα , ) của X gọi là tích vô hớng của x với α và đợc ký hiệu là

Giả sử X là một R- môđun, một tập con Y của X đợc gọi là môđun con của

X, nếu Y là một nhóm cộng con của nhóm aben X và RY⊆Y

Điều này cũng nói lên rằng Y với phép cộng và phép nhân vô hớng cảmsinh lại là một R môđun Khi đó ta cũng nói X là mở rộng của Y Môđun X đ-

ợc gọi là môđun đơn, nếu X chỉ có duy nhất hai môđun con là 0 và chính nó

1.4 Mệnh đề :

Giao của một họ bất kỳ những môđun con của một môđun X trên R làmột môđun con của X

1.5 Định nghĩa :

Giả sử S là một tập con của R – môđun X Môđun con bé nhất A chứa S

đợc gọi là môđun con sinh ra bởi S và S là một tập sinh hay hệ sinh của A

Trong trờng hợp A=X ta nói S là một hệ sinh của X và X đợc sinh bởi

S Nếu X là một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng X là R – môđun hữu hạn sinh

1.6 Định nghĩa :

Một phần tử x của một môđun X trên R gọi là một tổ hợp tuyến tính củanhững phần tử trong một tập con S của X nếu và chỉ nếu tồn tại một số hữu hạnnhững phần tử x1,x2,x3, ,x ntrong S sao cho

i n i i

x ∑α χ

=

=

1 với các hệ tử α1, α2, , αn trong R

= 1.x∈ A Do đó A chứa tập con của S

Giả sử B là một môđun con bất kỳ của X chứa S Khi đó , mọi tổ hợptuyến tính những phần tử trong S đều bị chứa trong B Điều này chứng tỏ rằng

A ⊂ B Do đó A là môđun con nhỏ nhất của X chứa S

1.8 Mệnh đề và định nghĩa :

Cho A là môđun con của R – môđun X Khi đó tơng ứng

(X/A).R→X/A(x+A,r)  xr+A

là một ánh xạ Hơn nữa, nhóm thơng X/A là R- môđun với phép nhân vô hớng ( x+A)r =xr + A

và đợc gọi là môđun thơng

Chứng minh :

Điều đó chứng tỏ tơng ứng là một ánh xạ Và sau đó ta có thể giữ lại các

điều kiện của một R- môđun

Điều này suy ra từ X là một R – môđun

,

.

u f g u

f g u f g u f g u

f

g

v f g u f g v f g u f g v f u f g v u f g v u

f

g

α α

α α

+

= +

= +

= +

= +

Vậy g.f là một đồng cấu

2.4 Định nghĩa:

Giả sử h: X→Y là một đồng cấu môđun Nếu h đồng thời là một đơn

ánh thì nó đợc gọi là một đơn cấu (hay phép nhúng) môđun

Nếu h đồng thời là một toàn ánh thì nó đợc gọi là một toàn cấu môđun.Cuối cùng, nếu h đồng thời là một song ánh thì nó đợc gọi là một đẳng cấumôđun

Nếu h: X→Y là một đẳng cấu môđun thì ta nói đẳng cấu với Y và viết X

≅Y Quan hệ đẳng cấu là một quan hệ tơng đơng

( )ii f− 1( )B = :{x∈X / f( )x ∈B} là môđun con của X và đợc gọi là tạo ảnhcủa môđun con B qua f Đặc biệt f − 1( )0 = :{x∈X / f( )x = 0} đợc gọi là hạt nhâncủa đồng cấu f và có ký hiệu f − 1( )0 =Ker(f)

Chứng minh:

(i) f( )A là môđun con của X

Giả sử α ∈R và u, v ∈ f( )A là tuỳ ý cho trớc Theo định nghĩa của f( )A ,tồn tại những phần tử c,d ∈A với f( )c =u và f( )d =v. Vì A là một môđun concủa X, suy ra : c+d ∈A Vì f là một đồng cấu, nên điều này ta suy ra

u+v= f( )c + f( )d = f(c+d)∈ f( )A

αu= αf( )c = f( )αc ∈ f( )A

Vậy f( )A là một môđun con của Y

(ii) f− 1( )B là một môđun con của X

Giả sử α ∈R và u, v ∈ f − 1( )B là tuỳ ý cho trớc Theo định nghĩa của

B v f u f v u f

∈

=

∈ +

= + α αTheo định nghĩa của f− 1( )B các điều này chứng tỏ rằng u+v ∈ f − 1( )B và

( )B

f

u∈ − 1

α

Do đó f− 1( )B là môđun con của X

2.6 Định nghĩa :

Giả sử h: X→Y là một đồng cấu R- môđun Khi đó ta đặt

CoKer(h) =Y/Im(h) (đọc là đối hạt nhân của h),

Coim(h) = X/ Ker(h) (đọc là đối ảnh của h)

2.7 Mệnh đề :

Cho đồng cấu R- môđun h: X→ Y Khi đó

(i) h là đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker(h) = 0

(ii) h là toàn cấu nếu và chỉ nếu có Ker(h) = 0 hay Im(h) = Y

Chứng minh:

(i) Điều kiện cần :

Giả thiết h : X →Y là một đơn cấu Vì h là một đồng cấu , nên nóchuyển phần tử 0 của X vào phần tử 0 của Y Do đó phần tử 0 của X bị chứatrong hạt nhân Ker h =h− 1( )0 của h Vì h là đơn ánh , nên ảnh ngợc h− 1( )0không thể chứa nhiều hơn một phần tử của X Điều này kéo theo Ker(h) =0

Điều kiện đủ :

Giả thiết Ker h =0, giả sử u và v là hai phần tử bất kỳ của X với

h( )u =h( )v Vì h là một đồng cấu nên ta có

h(u−v) = h( )u −h( )v =0

Theo định nghĩa của Ker(h) điều này kéo theo u-v ∈ Ker(h) Vì Ker(h) =

0 nên ta phải có u-v = 0 Điều này kéo theo u=v điều này chứng tỏ rằng h là đơn

ánh, vì vậy h là một đơn cấu

(ii) Điều kiện cần :

Giả thiết h : X→ Y là một toàn cấu, thế thì h là một toàn ánh và do đóIm(h) = Y

Điều kiện đủ :

Giả thiết Im h =Y hay h( )X =Y Điều này kéo theo h là toàn ánh và do đó

nó là một toàn cấu

2.8 Định nghĩa :

Cho đồng cấu h: X→Y đợc gọi là đồng cấu không nếu h( )x = 0 , ∀x∈ X

Ta dùng ký hiệu h = 0 đọc là h là đồng cấu tầm thờng

2.9 Mệnh đề :

Cái hợp thành h = g.f của hai đồng cấu f: X →Y và g: X→Y của cácmôđun X, Y, Z trên R là đồng cấu tầm thờng nếu và chỉ nếu Im

( )f ⊂ Ker( )g

Chứng minh :

Điều kiện cần :

Giả sử h = 0 khi đó với mọi y là một phần tử tuỳ ý thuộc Im ( )f Theo

định nghĩa, tồn tại một phần tử x∈ X với f( )x = y Vì h =0 nên suy ra

h( )x = g[f( )x ]=( )( )g.f x = 0

Do đó g( )y = 0 mà y∈Ker( )g

Vậy Im ( )f ⊂ Ker( )g

Điều kiện đủ:

Giả sử Im ( )f ⊂Ker( )g Khi đó mọi x là một phần tử bất kỳ của X Thế thì

y = f( )x ∈ Im( )f suy ra y ∈ Ker( )g vì Im( )f ⊂ Ker( )g ta có g( )y = g[f( )x]= 0 Do

đó ta có ( )( )g.f x = 0 nên ta đợc h( )x = 0 điều này chứng tỏ h = 0

2.10 Định nghĩa :

Giả sử X là một môđun trên R và A là một môđun con tuỳ ý của X, Q

=X/A là môđun thơng của môđun X trên môđun con A Hàm

h’(x’+ker(h))=h(x’)=h(x+u)=h(x)+h(u)=h(x)=h’(x+ker(h))

Rõ ràng h’ là đồng cấu Hơn nữa có thể thử lại rằng h’ là đơn cấu.

Thật vậy, nếu h’(x+ker h) = h(x)=0

Thì x∈Ker(h) và vì vậy x+ ker(h) là phần tử trung hoà của X/Ker(h)nghĩa là Ker(h’) = 0

Bây giờ, giả sử x∈X là một phần tử tuỳ ý Khi đó

B p C p B p C B p p C

C B

= +

=

≈ +

α α Im /

Im /

C A A

p

/ / / /

:

/ :

Ker

C B C A p

p Ker A

/,

///,

/

1 1 2

1 1 2 1

2 1

Giả sử ϕ :A→B là đồng cấu môđun và α :A→C

là toàn cấu, ngoài ra Kerα ⊂ Kerϕ Khi đó tồn tại đồng cấu λ :C →B sao cho

Dễ thử lại rằng λ là đồng cấu thoã mãn ( )i và ( )ii

Ta chứng minh ( )iii Đầu tiên giả sử λ đơn cấu do giả thiết Kerα ⊂Kerϕnên ta chỉ cần chứng tỏ Kerϕ ⊂ Kerα là đủ

Giả sử a∈Kerϕ Khi đó

0 = ϕ( )a = λ.α(a) ⇒ α( )a )= 0 , a∈Kerα

Bây giờ ta giả sử ker α =Kerϕ Khi đó từ λ( )x = 0 và x= α( )a suyra

0=λ( )x = λ α( )a = ϕ( )a

Do đó a∈Kerϕ =Kerα Suy ra x= α( )a = 0

3 Tổng trực tiếp của môđun

3.1 Định nghĩa: (tổng trực tiếp)

Cho(A i /i∈I)là một họ những R - môđun Môđun con của ΠI A i gồm

tất cả những phần tử ( )a i mà a i = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i∈I, đợcgọi là tổng trực tiếp (hay tổng trực tiếp ngoài) của họ (A i /i∈I) và kí hiệu bởi

i Ii j

( )i và ( )ii là hiển nhiên đúng Ta còn phải thiết lập ( )iii Muốn vậy,

giả sử A= Im(f) và B = Ker(g)

Để chứng minh A+ B =Y, giả sử y là một phần tử tuỳ ý của Y Đặt z= g(

y)∈ Z Vì h: X →Z là một đẳng cấu, nên tồn tại một phần tử x∈X với h(x) = z Đặt a = f( )x ∈A và b = y-a Thế thì ta có

( )b = g(y−a)= g( ) ( )y −g a = z−g[f( )x ]=z−h( )x = 0

g

Điều này kéo theo b ∈B Do đó ta có

y=a+b ∈ A + B

vì y là tuỳ ý, nên điều này chứng minh A + B = Y

Để chứng minh A∩B= 0 giả sử y là một phần tử bất kì trong A∩B vì

A

y∈ , nên tồn tại một phần tử x∈X với f(x) = y vì y∈B, nên ta có g(y) = 0.Thế thì ta đợc

h( )x =g[f( )x ]=g( )y = 0

Vì h là một đẳng cấu, nên điều này kéo theo x = 0 Do đó ta có

y= f(x) = f(0)=0

Theo định lí 3.5 , Y là tổng trực tiếp của các môđun con A và B của nó

Chẳng hạn tại môđun Y, ta phải có Im(f)= Ker(g)

những đồng cấu của những môđun trên R chẻ ra tại môđun Y nếu tồn tại một

đồng cấu κ : Z →Y sao cho cái hợp thành g 0κ là một đẳng cấu của môđun

Z Trong trờng hợp này ta có

Các phép kéo theo (ii) ⇒(i)và (iii) ⇒(i)là những trờng hợp đặc biệt củamệnh đề 4.3 Còn phải thiết lập các phép kéo theo (i)⇒( )ii và ( ) ( )i ⇒ iii

Muốn vậy, ta hãy giải thích rằng dãy khớp đã cho chẻ ra

Đặt D = Im(f) = Ker(g)Theo định nghĩa, môđun B phân tích đợc thành tích trực tiếp của môđuncon D đó và một môđun con khác E của B

Để giả thiết (ii), trớc hết ta chú ý rằng f là một đơn cấu và do đó nó xác

xác định một đồng cấu h: B →A và h là một nghịch đảo trái của đồng cấu f

Để thiết lập (iii) ta chú ý rằng g là một toàn cấu với D là một hạt nhân của

nó Vì D∩E = 0, nên ta suy ra rằng cái thu hẹp

j= g/E :E→C

là một đẳng cấu Do đó sự tơng ứng

x→ κ( )x = j− 1( )x với mọi x∈Cxác định một đồng cấu κ: C→D, đó là một nghịch đảo phải của

đồng cấu g

Chơng II Môđun các đồng cấu

1 Định nghĩa :

Giả sử R là một vành có đơn vị và M, N là các R- môđun Xét tập hợp

(M N) om (M N)

om , = Η R ,

nhóm aben với phép cộng đợc định nghĩa theo giá trị nh sau:

(f +g)( )x = f( ) ( )x +g x

trong đó f, g ∈ Ηom R(M,N), x∈M

Nếu R là một vành giao hoán thì Ηom R(M,N), có cấu trúc một R- môđunvới phép cộng nh trên và phép nhân vô hớng định nghĩa nh sau:

Ta chỉ còn phải chứng minh tích với vô hớng định nghĩa nh trên thật sự xác

định một đồng cấu R-môđun Thật vậy, giả sử u, v ∈M và x, y∈ R là nhữngphần tử tùy ý

Ta có

( )( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )x f y u x(yf( )u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x y f u y x f u y x f u

v f x u f x v f x u f x v u f x v u f x

.

.

.

.

.

= +

= +

Do R là vành giao hoán Vậy nếu R – là vành giao hoán thì nhóm các R- đồng cấu là một R-môđun

* Chú ý: Nếu vành R không giao hoán thì HomR(M,N) không là R- môđun

X R



→ : ϕ

Khi đó ∀r1,r2, λ ∈R xác định bởi:

( ) ( )( )r r x ( )rx ( )x

r r

x r x r x r r r r

λϕ λ

λ λ

ϕ

ϕ ϕ

= +

= +

2 1

2 1 2

1 2 1

( , ) :

g f

f g

, ,

,

1

1

=

= ⊗

Điều này chứng tỏ f là một đẳng cấu

i R K

i I i

( )( )∈ì ∀ ∈Η  ⊕∈ ∏k∈K 

i I i R K

I i

∈Η  ⊕∈ ∏∈K 

i I i

Vì vậy tồn tại một chỉ số i∈I sao cho ϕ( )m i = ϕ(j i( )m i )≠ 0 Điềunày kéo theo sự tồn tại một chỉ số κ∈K sao cho P k(ϕ(j i( )m i ) )≠ 0

K I k i

,

αvới mỗi chỉ số i∈I cố định, ta có một họ các đồng cấu

( )αiκ k∈K :M i →Nκ

Do tính phổ dụng của tích, nên tồn tại một đồng cấu

∏

∈

→

K k i

ακ κ , Dựa vào tính phổ dụng của tổng trực tiếp đối với họ

( )βi i∈I, ta suy ra tồn tại một đồng cấu

I

: ϕsao choβi = ϕ j i, ∀i∈I Từ đây ta suy ra αiκ =Pκ ϕ j i, ∀( )i,k ∈IìK, tức là φ là mộttoàn ánh Vậy φ là một đẳng cấu

Để chứng minh Κ ⊂Ker( )h , giả sử Φ ∈ Κtuỳ ý cho trớc Ta chứng minh h

Điều này chứng minh h( )Φ = 0 và do đó Κ ⊂ Κer(h)

Để chứng minh Κer( )h ⊂ Κ, giả sử Φ ∈ Κer( )h là tuỳ ý cho trớc

Đối với dãy khớp các R- môđun

Do tính khớp của dãy Μ ' → Μ → Μ '' → 0 nên Μ '' ≅ Μ / Ιmh Nếu ta đồngnhất Μ '' ≡ Μ / Ιmh thì ∏≡ Kvà f :M '' →N

sao cho f.j là đồng cấu bao hàm của Im(f) vào B.

Định nghĩa một đồng cấu Ψ :M →A bằng cách lấy

Ψ( )x = j[Φ( )x ]

Với mọi x∈M Thế thì Ψ là một phần tử của Hom(M,A) và

( )

[f∗ Ψ ] ( )x = f{j[Φ( )x ] } = Φ( )x

với mọi x∈M Điều này chứng minh: f∗( )ψ = Φ và do đó Φ ∈ Ιm( )f∗

Vì Φ là một phần tử tuỳ ý của ker( )g∗ , nên ta có Ker( )g∗ ⊂ Ιm( )f∗

2.8 Định lý:

Cho dãy khớp ngắn

0

0 → A→B→C→Khi đó các dãy sau là khớp

C M om B

M om A

M om i

f g

g f

, ,

, 0

, ,

, 0

→

 Η

→

Η

→

 Η

→

 Η

→

trong đó M là R – môđun tuỳ ý, f∗ =Hom(id M,f), * ( , ),

M

id f om

Do f đơn cấu nên u = 0 Vậy Ker f*=0

Bây giờ ta chứng minh Ιm f*=Κerg*

( ) ( )

,

, *

*

= Η

= Η

=

Η Η

=

M M

M M

id om gf

id om

f id om g id om f

g

Bởi vậy Ιmf* ⊂ Κerg*

Bây giờ lấy u∈ Κerg*, khi đó u:M →B và gu=0 Theo định lý 2.16 uphân tích qua f, tức tồn tại v:M → A sao cho u= f.v, nghĩa là u∈Im f*

Bởi vậy Κerg* ⊂ Ιmf*

( )ii Κerg* ={u:C →M /ug = 0} Do g toàn cấu nên u = 0 Vậy g đơn cấu

Bây giờ ta chứng minh Ιmg* = Κerf* Ta có f* g* = 0(tơng tự nh trên) nên

( )i Theo mệnh đề 4.5 đồng cấu g có một nghịch đảo phải

Nói cách khác h : C→B sao cho cái hợp thành

Hơn nữa g* là toàn cấu chẻ ra và do đó dãy ( )i là khớp chẻ ra.

là tự đồng cấu đồng nhất của Ηom ,(A M) nên từ định lý 3.3 suy ra rằng

( )f i

om

f* = Η , là một toàn cấu Bởi vậy ( )ii là khớp

Hơn nữa f*cũng là toàn cấu chẻ ra và do đó ( )ii là khớp chẻ ra

Kết luận

Khóa luận đã giải quyết đợc các vấn đề sau:

* Trình bày một cách có hệ thống và khá đầy đủ các khái niệm và tínhchất cơ bản của môđun

* Đã nghiên cứu về môđun các đồng cấu thông qua định nghĩa củamôđun

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Tự Cờng - Giáo trình đại số hiện đại - NXBĐHQG Hà Nội, 2003

[2] SZE- TSEN HU- Nhập môn đại số đồng điều

[3] Nguyễn Hữu Việt Hng - Đại số đại cơng - NXBGD 1999

[4] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận - Cơ sở lý thuyết môđun

và vành- NXBGD 2001