Tổng trực tiếp và modul các đồng cấu của modul chia bậc

Luận văn tốt nghiệp Lời nói đầu Môđun chia bậc là một trong những khái niệm quan trọng của Đại số hiện đại. Một khái niệm liên quan đến khái niệm này là khái niệm tổng trực tiếp của một họ các môđun . Mục đích của khoá luận là hệ thống lại và bổ sung thêm một số tính chất của môđun chia bậc. Khoá luận đợc trình bày trong 3 chơng . Ch ơng 1 : Kiến thức cơ sở Trong chơng này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cần thiết nh: Môđun, môđun con, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp của một họ các nhóm Aben, tổng trực tiếp của một họ các môđun, dãy nửa khớp các nhóm Aben và dãy nửa khớp các môđun. Chúng tôi đã chứng tỏ đợc tập hợp tất cả các đồng cấu của môđun lập thành một môđun trên vành giao hoán R cho trớc, chứng minh đ- ợc tổng trực tiếp của một họ các môđun trên vành R cho trớc là một môđun trên R và một số tính chất . Các kết quả chính của chơng 1 là: *Mệnh đề 1.2.2 *Mệnh đề 1.4 Ch ơng 2 : Môđun chia bậc Trong chơng này, chúng tôi trình bày định nghĩa về môđun chia bậc và các khái niệm liên quan; trình bày các định lý về môđun chia bậc. Chúng tôi có đa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm môđun chia bậc. Ch ơng 3 : Tổng trực tiếp và môđun các đồng cấu của môđun chia bậc. Trong chơng này, chúng tôi đã chứng minh một cách chi tiết một số mệnh đề nh: điều kiện để một môđun là một môđun chia bậc, chứng minh tổng trực tiếp của hai môđun chia bậc với cùng tập D các bậc là một môđun Lê Hoài Th _40A 1 _Toán 1 Luận văn tốt nghiệp chia bậc , chứng minh tổng trực tiếp của một họ các môđun chia bậc với cùng tập D các bậc là một môđun chia bậc . Các kết quả chính của chơng 3 là: *Mệnh đề 3.1 *Mệnh đề 3.2 *Mệnh đề 3.4 *Mệnh đề 3.5 Nội dung của 3 chơng trong khoá luận này liên quan với nhau khá chặt chẽ, nội dung của chơng trớc chính là cơ sở cho nội dung chơng sau. Tất cả các vành đợc xét trong khoá luận là vành giao hoán có đơn vị . Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn: PGS_TS Ngô Sỹ Tùng. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt bốn năm học. Rất mong đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận này đạt kết quả tốt hơn. Vinh, tháng 5 năm 2003 Sinh viên thực hiện Lê Thị Hoài Th Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 2 Luận văn tốt nghiệp Chơng I: Kiến thức cơ sở 1.1-Môđun 1.1.1-Định nghĩa môđun *Giả sử R là một vành tuỳ ý cho trớc với đơn vị 1. Một nhóm Aben cộng X cùng với một hàm à : R ì X X đợc gọi là một môđun trái trên R (hay R-môđun trái) nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn. 1) Hàm à là song cộng tính Với , R và x, y X ta có: à ( + , x) = à (, x) + à (, x) à (, x + y) = à (, x) + à (, y) 2)Với , R và x X ta có: à (, à (, x)) = à (, x) 3)Với x X ta có: à(1,x) = x *Để gọn ta viết à (r, x) = rx ; r R, x X. Khi đó, X đợc gọi là một môđun trái trên R nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn: 1)Với , R và x,y X ta có: ( + ) x = x + x (x+y) = x + y 2)Với , R và x X ta có: Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 3 Luận văn tốt nghiệp (x) = ()x 3)Với x ta có: 1x = x *Tơng tự ta có định nghĩa môđun phải trên R . 1.1.2-Định nghĩa môđun con *Định nghĩa 1 Giả sử R là một vành tuỳ ý cho trớc với đơn vị 1, X là một môđun bất kỳ trên R. Một tập con không rỗng A của X đợc gọi là một môđun con của X nếu bản thân nó cũng là một môđun trên R đối với phép cộng và phép nhân vô hớng của mô đun X. *Định nghĩa 2 Một tập con không rỗng A của X là một môđun con của X nếu và chỉ nếu A là một nhóm con của nhóm Aben cộng X và là ổn định dới phép nhân vô hớng của X, tức là: x A; R, x A *Bổ đề Một tập con không rỗng A của một môđun X trên R là một môđun con của X nếu và chỉ nếu: u + v A ; R, u,v A u A 1.2-Đồng cấu môđun 1.2.1-Định nghĩa Hàm f: đợc gọi là một đồng cấu (hay ánh xạ tuyến tính) của một môđun trên vành R với đơn vị 1 vào một môđun Y trên R nếu: f là đồng cấu của nhóm Aben cộng X vào nhóm Aben cộng Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 4 Luận văn tốt nghiệp f bảo toàn phép nhân vô hớng . Nh vậy, f là một đồng cấu của môđun X vào môđun Y nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn: f (u + v) = f (u) + f(v) ; R, u,v X f(u) = f(u) 1.2.2-Mệnh đề Giả sử X và Y là các môđun trên một vành R cho trớc với đơn vị 1. Ký hiệu = Hom R (X,Y) là tập hợp tất cả các đồng cấu của môđun X vào môđun Y. Khi đó, nếu R là một vành giao hoán thì Hom R (X,Y) lập thành một môđun trên R đối với phép cộng các hàm và phép nhân vô hớng các hàm. Chứng minh *Trớc hết ta chứng minh Hom R (X,Y) là một nhóm Aben cộng . Để chứng minh Hom R (X,Y) lập thành một nhóm Aben đối với phép cộng các hàm ta chứng minh Hom R (X,Y) là một nhóm con của nhóm Aben Hom(X,Y). Thật vậy. Giả sử f và g là hai phần tử bất kỳ thuộc . Khi đó: Với u, v X ta có: (f + g) (u + v) = f (u + v)+g(u+v) = [f(u) + f(v)] + [g(u) + g(v)], vì f và g là các đồng cấu của nhóm Aben cộng X vào nhóm Aben cộng Y. =[f(u) + g(u)] + [f(v) + g(v)] =(f + g) (u) +( f + g) (v) Với R và u ta có: (f + g) (u) = f(u) + g(u) Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 5 Luận văn tốt nghiệp =f(u) + g(u); vì f và g là các đồng cấu của môđun vào môđun =[f(u) + g(u)]; vì f(u), g(u) Y_Y là môđun trên R = [ (f+g) (u)] f + g Do đó = Hom R (X,Y) lập thành một nhóm Aben đối với phép cộng các hàm . *Ta chứng minh là ổn định dới phép nhân vô hớng . Với R và f ta định nghĩa hàm f: X Y đợc xác định nh sau: (f) (x) = [f(x)] ; x X Trớc hết ta chứng minh f Hom R (X,Y) . Với u, v X ta có : (f)(u+v) = [f(u + v)] = [f(u) + f(v)] =[f(u)] + [f(v)] =(f)(u) + (f)(v) f Hom(X,Y) Với R và u X ta có : (f)(u) = [f(u)] =[ f(u)] =()[f(u)] =()[f(u)] ; vì R là vành giao hoán =(f(u)] =[f)(u)] f Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 6 Luận văn tốt nghiệp Do đó là ổn định dới phép nhân vô hớng. *Ta chứng minh phép nhân vô hớng này thoả mãn các điều kiện 1,2,3 trong định nghĩa môđun. Thật vậy. 1)Với , R và f, g ta có: [( + )f] (x) = ( + ) [f(x)] = [f(x)] + [f(x)] ; vì f(x) Y_Y là môđun trên R =(f) (x) + (f) (x) = (f + f) (x) ; x X ( + ) f = f + f [ (f + g)] (x) = [(f + g) (x) ] = [f(x) + g(x)] = [f(x)] + [g(x)] ;vì f(x)_ là môđun trên R =(f)(x) + (g) (x) =(f + g) (x) ; x X (f + g) = f + g 2)Với , R và f ta có: [ (f)] (x) = [(f)(x)] = {[f(x)]} =()[f(x)] =[()f](x) ; x X (f) = ()f. 3)Với f ta có: (1f)(x) = 1 [f(x)] =f(x), vì f(x) Y _ Y là môđun trên R; x X 1f = f Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 7 Luận văn tốt nghiệp Vậy = Hom R (X,Y) là môđun trên R . 1.3-Tổng trực tiếp của một họ các nhóm Aben 1.3.1-Tích trực tiếp của một họ các nhóm *Xét một họ chỉ số hoá tuỳ ý cho trớc những nhóm F ={X à | à M} . Ký hiệu : P = à à x M là tích Đềcác của họ F các tập hợp . Theo định nghĩa của tích Đềcác, mỗi phần tử của P là một hàm f: M X, với X = à à X M sao cho f(à) X à ; à M . Trên P ta đa vào phép toán hai ngôi nh sau: Với f, g P ta có: (fg)(à) =f(à)g(à) X à ; à M . Khi đó P cùng với phép toán hai ngôi này lập thành một nhóm và đợc gọi là tích trực tiếp của họ F. *Tập con W của P gồm tất cả các f P sao cho f(à) = e à , với e à là phần tử đơn vị của X à , đợc gọi là tích trực tiếp yếu của họ F. 1.3.2-Tổng trực tiếp của một họ các nhóm Aben. *Xét một họ chỉ số hoá tuỳ ý cho trớc những nhóm Aben. F ={ X à | à M} . Khi đó tích trực tiếp yếu W của họ F đợc gọi là tổng trực tiếp của họ F đã cho. Ký hiệu W = X à à M *Nói riêng, tổng trực tiếp của hai nhóm Aben A và B đợc ký hiệu là: A B Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 8 Luận văn tốt nghiệp *Một nhóm Aben X đợc gọi là phân tích đợc thành tổng trực tiếp của hai nhóm con A và B nếu: A + B = X A B ={ 0} . 1.4-Tổng trực tiếp của một họ các mô đun Xét một họ chỉ số hoá tuỳ ý cho trớc những môđun F = {X à | à M } . Khi đó tích trực tiếp P = à à X M của các nhóm Aben X à nh đã định nghĩa ở trên là một nhóm Aben. Định nghĩa một hàm : R ì P P đợc xác định nh sau: Với mỗi (, f) R ì P ta có hàm f: M X cho bởi: (f) (à) = [f(à)] ; à M Khi đó P là một môđun trên R. Kiểm tra các điều kiện của định nghĩa môđun đối với P ta thấy thoả mãn. Thật vậy . 1)Với , R và f, g P ta có: [( + ) ] (à) = ( + )[f (à)] = [f(à)] + [f(à)];vì f(à) X à _X à là môđun trên R = (f) (à) + (f)(à) =(f + f) (à); à M ( + ) f = f + f [(f + g)] (à) = [ (f + g) (à)] =[f(à) + g(à)] = [f(à)] + [g(à)], vì f(à) + g(à)X à _X à là môđun trên R = (f) (à) + (g) (à) =(f + g) (à); à M Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 9 Luận văn tốt nghiệp (f + g) = f + g 2 2)Với , R và f P ta có: [ (f)] (à) = [(f)(à)] ={[f(à)]} =()[f(à)], vì f(à) X à _X à là mô đun trên R =[()f] (à); à M ()f=()f 3)Với f ta có: (1f)(à)=1[f(à)] =f(à) ; vì f(à) à _ à là môđun trên R 1f=f Vậy P là một môđun trên R và P gọi là tích trực tiếp của họ F các môđun trên R. Khi đó tích trực tiếp yếu của họ F đợc gọi là tổng trực tiếp của họ F đã cho. Ký hiệu: W = à à X M 1.5-Dãy nửa khớp các nhóm Aben 1.5.1-Định nghĩa 1 *Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn f g những đồng cấu của nhóm Aben gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu ảnh của đồng cấu vào nằm trong hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi nhóm khác với hai đầu (nếu có) của dãy . Nh vậy, dãy là nửa khớp nếu và chỉ nếu cái hợp thành g 0 f của bất kỳ hai đồng cấu liên tiếp nào f và g trong dãy đều là đồng cấu tầm thờng 0. *Trong một dãy nửa khớp tuỳ ý cho trớc Lê Hoài Th_40A 1 _Toán 10 . bản và cần thiết nh: Môđun, môđun con, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp của một họ các nhóm Aben, tổng trực tiếp của một họ các môđun, dãy nửa khớp các nhóm. bậc. Tổng trực tiếp của các đồng cấu môđun : C n C n-1 ; n Z, là một tự đồng cấu thuần nhất : C C của môđun chia bậc C trên R. Ta thấy: là đồng cấu