Tính đối xứng phải của vành không suy biến

1 MỞ ĐẦU Cùng với nhóm trường, vành ba cấu trúc đại số có ứng dụng rộng rãi Có nhiều hướng khác để nghiên cứu lý thuyết vành Một hướng quan trọng đặc trưng vành theo tính chất lớp môđun vành Trong suốt luận văn, vành R giả thiết vành kết hợp, có đơn vị Các môđun vành hiểu môđun phải unita Chúng ta biết rằng, vành R Goldie nguyên tố phải, CS-vành phải với chiều phải R vành Goldie trái CS-vành trái (xem [7]) Tiếp tục hướng nghiên cứu này, đến năm 2006, S K Jain, S Al-Hazmi Husain, N Alahmadi Adel phát triển thêm tính đối xứng cho vành nguyên tố không suy biến phải, CS phải, có chiều vô hạn với iđêan phải đều, rằng, vành nguyên tố phải R với chiều phải 2, R CS-vành không suy biến phải, cực đại cực tiểu phải với iđêan phải R CS-vành trái, cực đại cực tiểu trái với iđêan trái Trên tinh thần đó, mục đích luận văn tập trung nghiên cứu tính đối xứng phải vành không suy biến Toàn nội dung luận văn dựa báo “Right-left symmetry of right nonsingular right max-min CS prime rings” S K Jain, S Al-Hazmi Husain N Alahmadi Adel đăng 2006 (xem [8]) để trình bày cách chi tiết tính đối xứng phải vành không suy biến Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương trình bày số khái niệm lý thuyết môđun lý thuyết vành nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương Ngoài trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương trình bày kết báo [8] S K Jain, S AlHazmi Husain N Alahmadi Adel Cụ thể trình bày vấn đề sau 2.1 Môđun suy biến, môđun không suy biến 2.2 Vành suy biến, vành không suy biến 2.3 Tính đối xứng phải vành không suy biến Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS Ngô Sỹ Tùng - tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả cảm ơn thầy, cô giáo Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn cho học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu theo chương trình liên kết đào tạo sau đại học hai Trường Đại học Vinh Trường Đại học Sài Gòn Tuy cố gắng trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, chắn có nhiều thiếu sót Rất mong góp ý, bảo quí thầy cô bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Bích Thảo DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU N M N môđun M N * M N môđun cốt yếu môđun M N 0 M N môđun đối cốt yếu môđun M N  M N hạng tử trực tiếp môđun M NM N đẳng cấu với M A B Tổng trực tiếp môđun A môđun B  Mi Tổng môđun M i , i  I  Mi Tổng trực tiếp môđun M i , i  I  Mi n Tổng trực tiếp môđun M i ,1  i  n dim M Số chiều môđun M Kerf , Imf Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) r(x) Linh hóa tử phải x l ( x) Linh hóa tử trái x Soc(M ) Đế môđun M Rad(M) Căn môđun M J(R) Căn Jacobson vành R E (M ) Bao nội xạ môđun M Z (M ) Môđun suy biến M  Vành số nguyên (là  -môđun)  Trường số hữu tỷ ACC Điều kiện xích tăng DCC Điều kiện xích giảm iI iI i 1 CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn, vành R giả thiết vành kết hợp, có đơn vị, môđun vành hiểu môđun phải unita (nếu không nói thêm) Chương trình bày số định nghĩa kết có liên quan đến luận văn 1.1 Môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu, môđun đóng 1.1.1 Định nghĩa Cho M R môđun N môđun M Môđun N gọi cốt yếu (hay lớn) M kí hiệu N * M với môđun K  M , K  N  K  Nếu N * M M gọi mở rộng cốt yếu N 1.1.2 Bổ đề Cho A, B, C môđun M Khi : (i) Nếu A  B  C A * M kéo theo B * C n (ii) Nếu Ai * M , i = 1,2,…,n  Ai * M i 1 (iii) Nếu  : M  N đồng cấu môđun B * N  1( B) * M Chứng minh (i) Giả sử E môđun khác không C, E môđun M E  A   E  B  Điều chứng tỏ B * C (ii) Ta tiến hành chứng minh quy nạp theo n Với n =1, mệnh đề n1 theo giả thiết Giả sử mệnh đề với n – 1, tức A   Ai * M i 1 Bây giả sử E  môđun M Do An cốt yếu M nên An  E  Vì A cốt yếu M nên A  ( An  E )   A  An * M (iii) Giả sử E môđun M E   1( B )  Khi B   ( E )   ( E )  B * N Từ E  Ker   1( B)  E  E   1( B)   Điều chứng tỏ  1( B) * M 1.1.3 Định nghĩa Môđun A M gọi đối cốt yếu (hay bé) M với môđun E  M ta có A  E  M (một cách tương đương, A  E  M E  M ) Khi ta kí hiệu A 0 M 1.1.4 Ví dụ  Đối với môđun M ta có 0 M  Trong  -môđun tự có môđun tầm thường đối cốt yếu 1.1.5 Bổ đề Cho A, B, C môđun M Khi : (i) Nếu A  B  C B 0 C kéo theo A 0 M n (ii) Nếu Ai 0 M , i = 1,2, ,n   Ai 0 M i 1 (iii) Nếu  : M  N đồng cấu môđun A 0 M  ( A) 0 N Chứng minh (i) Giả sử D môđun M cho A  D  M Khi B  D  M theo luật môđula ta có ( D  C )  B  ( D  B)  C  M  C  C Do B 0 C nên D  C  C Do C  D Nên M  A  D  D , chứng tỏ A 0 M (ii) Ta tiến hành quy nạp theo n Với n =1 mệnh đề giả thiết Giả sử ta chứng minh A  A2   An  M Bây giả sử D môđun M cho ( A1  A)  D  M Khi đó, A1 0 M nên A  D  M Lại A 0 M nên D  M , điều chứng tỏ A1  A 0 M Do n đó,  Ai  M i 1 (iii) Giả sử  ( A)  D  N , với D môđun môđun N Ta chứng tỏ A   1( D)  M (1) Thật vậy, với phần tử tùy ý m  M , ta có  (m)   (a)  d , a  A, d  D Do d   (m  a)  m  a  1( D)  m  A   1( D) Do A 0 M nên từ (1) suy  1( D)  M Bởi  ( A)   ( M )  D Nên N   ( A)  D  D Do  ( A) 0 N  1.1.6 Định nghĩa Môđun A M gọi tối đại A  M A không chứa môđun thực M Tức A  B  M A  M B=M B=A 1.1.7 Bổ đề Zorn Cho A tập thứ tự Nếu tập thứ tự hoàn toàn A có cận A A có phần tử tối đại 1.1.8 Định nghĩa Môđun N gọi đóng M N mở rộng cốt yếu thực M Nói khác N gọi đóng M với môđun K M mà N * K K=N 1.1.9 Định nghĩa Môđun X M gọi bao đóng U M U * X X đóng M 1.1.10 Mệnh đề Bao đóng môđun môđun M tồn Chứng minh Thật vậy, cho H  M Ta chứng minh tồn bao đóng   H M Đặt S  K  M H * K - S khác rỗng H  S - Sắp thứ tự S theo quan hệ  Lấy tập S, thứ tự tuyến tính K1  K   K n   (1) Đặt A   Ki , ta thấy A cận (1) i1 Ta chứng minh A  S hay H * A Lấy x  A x  suy tồn n để x  K n , mà H * Kn suy Rx  H  Do H * A hay A  S Vậy tập thứ tự tuyến tính có cận Theo bổ đề Zorn suy S có phần tử tối đại K Ta chứng minh K bao đóng H Do K  S suy H * K , tồn B  M cho K * B H * B Suy B  S điều mâu thuẫn với  giả thiết tính tối đại K Do B  K 1.1.11 Hệ i) Nếu A môđun đóng M hạng tử trực tiếp A đóng M ii) Nếu A môđun đóng hạng tử trực tiếp M A đóng M iii) Nếu A môđun đóng X X đóng M A môđun đóng M 1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh 1.2.1 Định nghĩa (i)Một R-môđun M gọi nội xạ với đồng cấu f : A  M với đơn cấu g : A  B môđun R tồn đồng cấu h : B  M cho h.g=f, nghĩa biểu đồ sau giao hoán A f g B h M (ii) Một R-môđun M gọi xạ ảnh với đồng cấu f : M  B với toàn cấu g : A  B môđun R tồn đồng cấu h : M  A cho g.h=f, nghĩa biểu đồ sau giao hoán M h A f B g 1.2.2 Định nghĩa (i) Một R-môđun M gọi N-nội xạ với đồng cấu f : A  M với đơn cấu g : A  N với A môđun R tồn đồng cấu h : N  M cho h.g=f, nghĩa biểu đồ sau giao hoán g A f N h M (ii) Một R-môđun M gọi N-xạ ảnh với đồng cấu f : M  B với toàn cấu g : N  B với B môđun R tồn đồng cấu h : M  N cho g.h=f, nghĩa biểu đồ sau giao hoán M h N g f B 1.2.3 Định nghĩa (i) Một R-môđun M gọi tựa nội xạ M-nội xạ (ii) Một R-môđun M gọi tựa xạ ảnh M-xạ ảnh 1.2.4 Mệnh đề Mỗi môđun tựa nội xạ M thỏa mãn tính chất sau: ( C1 ) Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử M ( C2 ) Nếu môđun A M đẳng cấu với hạng tử M A hạng tử M Chứng minh ( C1 ) Gọi N môđun M, trước hết ta chứng minh f (M )  M với f  End ( E (M )) E ( M ) bao đóng nội xạ M Đặt X   x  M f ( x)  M   M Xét biểu đồ X i M f  M f E(M) Đặt   f X , M tựa nội xạ nên tồn đồng cấu f : M  M cho   f  i Khi đó, ta có f (M )  M Giả sử x  M  ( f  f )(M ) , tồn y  M cho x  ( f  f )( y )  f ( y )  f ( y ) , suy f ( y )  x  f ( y )  M , y  X Ta có x  f ( y)  f ( y)  f ( y)  f ( y)  nên M  ( f  f )(M )  Vì M * E (M ) , M  ( f  f )(M )  nên ( f  f )(M )  hay f (M )  f ( M ) mà f (M )  M f (M )  M Ta có E ( M )  E1  E2 với E1  E ( N ) Vì f ( M )  M với f  End ( E ( M )) nên M  M  E1  M  E2 Gọi U môđun khác không M  E1 , ta có U môđun E1 , mà N * E1 nên N  U  , N * M  E1 Vậy ( C1 ) chứng minh ( C2 ) Giả sử A  M A  M ' với M’ hạng tử trực tiếp M, tồn đơn cấu f : M '  M cho Imf  A Vì M tựa nội xạ, M’ hạng tử trực tiếp M nên M’ M-nội xạ, suy tồn đồng cấu g : M  M ' cho g f  id tiếp M M' Ta có M  Imf  Kerg  A  Kerg , hay A hạng tử trực  10 1.3 Môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho R vành, R-môđun U gọi U  A  B  môđun khác không A, B U Nói khác U môđun U  môđun khác không cốt yếu U 1.3.2 Ví dụ  -môđun  môđun lấy A  m   , m  B  k    , k  Khi đó:  m.k  m  k  a m  -môđun  môđun lấy  A, B      A , B b n ( a, b, m, n * ) a m Ta có: am  bm   A am  an  B b n Khi đó:  am  A  B 1.3.3 Mệnh đề Nếu M môđun khác không, không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M chứa môđun Chứng minh Nếu M môđun đều, chứng minh xong Nếu M không môđun Khi tồn  U1,U  M mà U1  U  suy (U1  U )  M Nếu U1 môđun đều, chứng minh xong Nếu U1 không môđun đều, tồn V1,V2  U1,V1,V2  , mà V1  V2  suy (V1  V2 )  U1 , suy tồn (V1  V2 U )  M Quá trình tiếp tục, M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không, nên trình phải dừng lại sau hữu hạn bước Vậy tồn môđun U k  18 1.9.3 Định nghĩa Vành R Artin nửa đơn R-môđun phải (trái) nội xạ 1.9.4 Định nghĩa Vành R gọi nguyên sơ R J ( R) vành Artin đơn Đặc biệt vành Artin nguyên sơ vành thương Jacobson đơn 1.9.5 Bổ đề Nếu vành R thỏa mãn điều kiện ACC cho linh hóa tử phải, R chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao  Chứng minh Giả sử R chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao ei i1 Khi xét dãy tăng linh hóa tử phải sau: r ei : i  1, ,    r ei : i  2, ,     r ei : i  n, ,    (1) Bởi ek  ek  ek  r ei : i  k , ,   ek  e j  0, j  k nên ek  r ei : i  k  1, ,   Từ dãy (1) dãy tăng ngặt, mâu thuẫn Do đó, R chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao  19 CHƯƠNG TÍNH ĐỐI XỨNG PHẢI CỦA VÀNH KHÔNG SUY BIẾN Chương chủ yếu giới thiệu môđun suy biến, môđun không suy biến, vành suy biến, vành không suy biến tính đối xứng vành không suy biến trình bày chứng minh tính chất 2.1 Môđun suy biến môđun không suy biến 2.1.1 Định nghĩa Cho R-môđun phải M Tập hợp Z R ( M )  {x  M rR ( x ) * R} gọi môđun suy biến M Nếu Z R ( M )  M ta nói M môđun suy biến Nếu Z R ( M )  ta nói M môđun không suy biến M môđun suy biến M  A B B * A Môđun môđun suy biến môđun suy biến Môđun môđun không suy biến môđun không suy biến Tổng môđun suy biến môđun suy biến Tích trực tiếp môđun không suy biến môđun không suy biến Mở rộng cốt yếu môđun không suy biến môđun không suy biến 2.1.2 Ví dụ Trong trường hợp R miền nguyên R-môđun xoắn R-môđun suy biến, R-môđun tự R-môđun không suy biến 2.1.3 Định nghĩa Cho vành R Ta gọi iđêan suy biến phải R Z r ( R)  {x  R r ( x) * R} hay tương đương Z r ( R)  {x  R xK  iđêan phải K cốt yếu R} 20 Ta gọi iđêan suy biến trái R Zl ( R )  {x  R l ( x) * R} hay tương đương Zl ( R )  {x  R Lx  iđêan trái L cốt yếu R} 2.1.4 Bổ đề (i) Nếu B môđun A thỏa mãn Z ( A B)  B đóng A (ii) Nếu B đóng A Z ( A)  Z ( A B)  Chứng minh (i) Nếu C mở rộng cốt yếu B A x  C I  {r  R xr  B} iđêan phải R Do x  B  Z ( A B)  , nên x  B suy B môđun đóng A (ii) Nếu x  B  Z ( A B) I  {r  R xr  B} iđêan phải R Nghĩa B  xR mở rộng cốt yếu B Nếu y  b  xt  B  xR với b  B, t  R J  {r  R tr  I } iđêan phải R Vì Z ( A)  , tồn r  J cho yr  , mà yr  B nên B môđun cốt yếu B  xR Do đó, B đóng  với x  B nên x  B  Z ( A B )  2 Vành suy biến vành không suy biến 2.2.1 Định nghĩa Vành R gọi vành suy biến phải Z ( R )  R Vành R R gọi vành không suy biến phải Z ( R )  R Môđun suy biến vành R iđêan hai phía R 2.2.2 Bổ đề Cho R vành nguyên tố không suy biến phải Nếu A iđêan phải khác không R iđêan phải R nhúng A Chứng minh Gọi A iđêan phải khác không R U iđêan phải R Vì R vành nguyên tố nên tồn  a  A cho aU  Đặt I  rU (a) , ta có U I  aU Vì R vành không suy biến phải U iđêan phải nên I  Do U nhúng A  21 2.2.3 Bổ đề Cho R vành không suy biến phải với chiều phải hữu hạn R thỏa mãn ACC DCC cho linh hóa tử phải 2.2.4 Bổ đề Cho R vành, L iđêan trái tối tiểu thực R L không suy biến L sinh lũy đẳng Chứng minh () L không suy biến nên L  R K với iđêan trái tối đại K R, L tổng trực tiếp R Do R  L  K Lấy  e  e ' cho e  L e '  K e  e2  e.e ' Do đó, e  e2  e  e '  L  K Do e  e nên L= Re () L= Re cho e  e R = Re  R(1- e) R xạ ảnh, Re xạ ảnh Do Z ( Re)   2.2.5 Bổ đề Mọi vành nguyên tố mạnh R không suy biến Chứng minh Giả sử Z ( R )  Vì R vành nguyên tố phải mạnh, nên tồn tập hữu hạn F   f1, f , , f n   Z (R) cho r ( f1)  r ( f )  r ( f n )  r ( F )  Vì f i  Z ( R) nên r ( f i ) iđêan phải cốt yếu R với i = 1,2,…,n Do r ( F ) iđêan phải cốt yếu R, mâu thuẫn Vậy Z ( R )  Nên R vành không suy biến  2.2.6 Định lí Cho R vành không suy biến R CS-vành tối đại R CS-vành tối tiểu Chứng minh () Nếu R CS-vành tối đại Gọi I iđêan đóng tối tiểu R Khi đó, r ( I )  Vì R vành không suy biến, nên R vành nửa nguyên tố Do I  r ( I )  Gọi J iđêan đóng tối đại R Khi đó, r ( J )  Do J tổng trực tiếp R R CS-vành tối đại Suy J  e  , với lũy đẳng e R Suy IJ  I  J  (0) Do J  r ( I ) Mà I  r ( I )  (0) 22 nên J  r ( I ) , J iđêan tối đại R nên I  J  (0) Do r ( J )  I   e  I Suy I tổng trực tiếp R Nên R CS-vành tối tiểu () Nếu R CS-vành tối tiểu Gọi I iđêan đóng tối đại R r ( I )  Gọi J iđêan đóng tối tiểu R Do đó, J tổng trực tiếp R R CSvành tối tiểu Do J  e  , với lũy đẳng e R Mà IJ  I  J  (0) nên I  r ( J )   e  Mà   e  iđêan đóng R tổng trực tiếp R Suy I   e  I iđêan đóng tối đại R Do I tổng  trực tiếp R Nên R CS-vành tối đại Tính đối xứng phải vành không suy biến 2.3.1 Bổ đề Cho R vành nguyên tố với iđêan phải Nếu R CS-vành phải tối tiểu không suy biến phải R vành không suy biến trái Chứng minh Giả sử R có iđêan phải, đóng, tối tiểu U, U  eQr  R cho eQ r iđêan phải, tối tiểu Q r e  e  Q r Vì R CS-vành phải, cực tiểu, U  fR , với lũy đẳng f R Do đó, ta có fR  eQr  R fQ r  eQ r Vì fRf  fQ r f fQ r f vành thương, fRf miền Ta cần chứng minh Z ( Rf )  Giả sử Z ( Rf )  Lấy  xf  Z ( Rf ) , tồn iđêan trái cốt yếu E R cho Exf  Với  rf  E  Rf , ta có rfxf  Do ( frf )( fxf )  Vì fRf miền, nên frf  fxf  Do đó, fxf  ta có frf  , với rf  E  Rf Khi ( Rf )( E  RF )  Vì R vành nguyên tố E  Rf  nên Rf  , điều mâu thuẫn Do fxf  , với xf  Z (Rf ) Mà ( Rf )( Z ( Rf ))  Vì R vành nguyên tố nên Rf  , điều mâu thuẫn Do Z ( Rf )  Nếu Z ( R R )  Z ( R R ) iđêan trái cốt yếu R Do Z ( R R )  ( Rf )  , nên Z ( Rf )  , điều mâu thuẫn Vậy R vành không suy biến trái  23 2.3.2 Bổ đề Cho R vành không suy biến Thì R có vành thương hai phía tối đại Q t Vành Q t xem vành vành Q l bao gồm phần tử x cho tập hợp phần tử y  R thỏa xy  R iđêan phải, lớn (cốt yếu) R 2.3.3 Bổ đề Cho R vành nguyên tố không suy biến với iđêan trái, iđêan phải, Thì vành thương hai phía Q t vành nguyên sơ với đế khác 2.3.4 Định lý Cho R vành nguyên tố với iđêan phải, Nếu R vành không suy biến CS-vành phải tối đại R CS-vành trái tối tiểu Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.2, R có vành thương hai phía tối đại Q t Nếu R có iđêan trái không R CS-vành trái tối tiểu tầm thường Giả sử R có iđêan trái, Khi đó, R có iđêan trái, đóng, tối tiểu Gọi U iđêan trái, đóng, tối tiểu R Theo Bổ đề 2.3.3, Q t vành nguyên sơ có đế khác Do U  Qt e  R , với Q t e iđêan trái tối tiểu Q t e  e  Q t Vì Soc( Qt Q t ) iđêan trái cốt yếu Q t , lấy F  {a  R (1  e)a R} Do RR * QRt , F * RR Rõ ràng, (1  e)Q t iđêan phải, đóng, tối đại Q t Do đó, (1  e)Qt  R iđêan phải, đóng, tối đại R Ta có lR ((1  e)Q t  R )  lR ((1  e) F )  {x  R x (1  e) F  0}  {x  R x (1  e)  Z (QRt )}  {x  R x(1  e)  0}  lQt (1  e)  R  Qt e  R  U  24 Do đó, (1  e)Qt  R  fR , với lũy đẳng f  R Vậy U  R(1  f )  hạng tử trực tiếp R Do R CS-vành trái tối tiểu 2.3.5 Định lý Cho R vành nguyên tố với iđêan phải, Nếu R vành không suy biến phải CS-vành phải R CS-vành trái tối tiểu Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.1, R vành không suy biến trái Do R  vành không suy biến Theo Định lý 2.3.4, R CS-vành trái tối tiểu 2.3.6 Bổ đề Cho R vành nguyên tố không suy biến phải mà không miền Nếu R CS-vành phải cực tiểu với iđêan phải R có iđêan trái, Chứng minh Vì R có iđêan phải, nên R có iđêan phải, đóng, tối tiểu U, U  e1Q r  R  e1R cho e1Q r iđêan phải tối tiểu Q r e1  e12  R Do đó, R  e1R  (1  e1 ) R Q r  e1Q r  (1  e1 )Q r Vì Soc(QQr r ) * QQr r , (1  e1 )Q r chứa iđêan phải tối tiểu e2Q r cho e2 lũy đẳng Ta chọn e2  R R CS-vành phải cực tiểu Do đó, (1  e1 )Q r  e2Q r  e3Q r , e3  e32  Q r Vậy, Q r  e1Q r  e2Q r  e3Q r R  e1R  e2 R  fR cho f  f  R Ta chứng minh e1 R e1 miền Ore trái Nếu e1 R e1 = e1 Q r e , ta chứng minh e1 Q r e vành thương Giả sử e1 R e1  e1 Q r e , ta  e1 Re1  có R  e1R  e2 R  fR   e2 Re1   fRe  e1Re2 e2 Re2 fRe2  e1Q r e1  Và Q r  e1Q r  e2Q r  e3Q r   e2Q r e1   e Qre  e1 Rf   e2 Rf   fRf  e1Q r e2 r e2Q e2 e3Q r e2 e1Q r e3   e2Q e3   e3Q r e3  r 25 r Lấy  a1  e1Q e1 \ e1Re1  a2  e2 Re1 Chọn   e1Q r e1  Lấy I    0  e1Q r e2 0  a1    a2  0 0 0  0   e1Q r e3    iđêan phải khác Q r , ý    I iđêan phải khác Q r Vì Q r vành nguyên tố có đế khác nên I chứa iđêan phải tối tiểu Q r N Do R  N iđêan phải, đóng, tối tiểu R, nên R  N tạo lũy đẳng e*  R Do đó, tồn phần tử   a1 x1  αβ   a2 x1  0 a1 x a x2  x1   0  0 x2 0 x3   M  cho a1 x3   a2 x3   e*  R với xi  e1Q r ei Nên x j  ei Re j   x 3 ei Rf với i, j  1,2 Chú ý có xi  Sau bình phương ma trận so sánh cột tương ứng hàng ma trận với hàng ma trận bình phương, ta có hệ phương trình a x a x  a x a x  a x1 (1) a1 x1a1 x2  a1 x2 a2 x2  a1 x2 (2) 1 1 2 1 a1 x1a1 x3  a1 x2 a2 x3  a1 x3 (3) Ta chứng minh x1  Giả sử x1  , ta có trường hợp Trường hợp 1: x2  Từ phương trình (2) ta có a1 x2 a x2  a1 x Vì a1  nên x2 a2 x2  x Vì x2  e1Q r e2 nên tồn x*2  e2Q r e1 cho x2 x2*  e1 e1Q r  e2Q r Do x2 a  e1 Nhân hai vế với a1 vào bên 26 trái ta có (a1 x2 )a2  a1e1  a1 Từ điều a1 x2  e1 Re2 , suy a1  e1 Re1 , điều mâu thuẫn Trường hợp 2: x2  Khi đó, x3  Phương trình (3) thành a1 x3  nên x3  , điều mâu thuẫn Vậy x1  , phương trình (1) thành x1a1  x2 a2  e1 Nên x1a1  e1  x2 a2 (4) Lấy  y  e1 Re2  e1Q r e2 Vì e1Q r  e2Q r , tồn y '  e2Q r e1 cho y ' y  e2 Do ya2  , ya2  y ' ( ya2 )  ( y ' y)a2  nên a2  , điều mâu thuẫn Vậy ( ya2 ) x  Ta có  y(a x1 )  (e1 Re2 )(e2 Re1 )  e1 Re1 Mặt khác ya x  e1 Re2 a  e2 Re1 , nghĩa ya2 x2 a  e1 Re1 Nhân hai vế (4) với ya vào bên trái, ta có ( ya2 x1 )a1  ya2  ya2 x2 a2 Do a1  ( ya x1 ) 1 ( ya  ya x2 a ) Vậy e1 Re1 miền Ore trái Ta cần chứng minh Re1 Giả sử Re1 không đều, nghĩa tồn hai môđun khác không A, B Re1 cho A  B  Khi e1 A  e1B  Vì e1 A e1 B iđêan trái miền Ore trái e1 Re1 nên e1 A  e1 B  Nên BA=0 AB=0, điều mâu thuẫn R vành nguyên tố Vậy R có iđêan trái  2.3.7 Hệ Cho R vành nguyên tố không suy biến phải với iđêan phải, Nếu R CS-vành phải tối tiểu R có vành thương hai phía tối đại Q t Hơn nữa, R không miền Q t vành nguyên sơ với đế khác không 27 2.3.8 Định lý Cho R vành nguyên tố không miền, điều kiện sau tương đương: (1) R vành không suy biến phải, CS-vành phải cực đại, cực tiểu với iđêan phải, đều; (2) R vành không suy biến trái, CS-vành trái cực đại, cực tiểu với iđêan trái, Chứng minh (1)  (2) R vành không suy biến trái theo Bổ đề 2.3.1 Theo Định lý 2.3.5, R CS-vành trái tối tiểu Theo Bổ đề 2.3.6, R có iđêan trái, Do đó, ta cần chứng minh rằng, R CS-vành trái cực đại Theo Bổ đề 2.3.2, R có Q t Theo Bổ đề 2.3.3, Soc(QQt t )  Gọi M iđêan trái, đóng, tối đại R với rR (M )  Khi đó, M  M *  R , với iđêan trái, đóng, tối đại M * Q t với rQt ( M * )  Vì  Soc(QQt t )  * Q t , rQt (M * ) chứa iđêan phải, tối tiểu eQ t , với e  e  Q t Nên Q t (1  e)  lQt (rQt ( M * ))  M * Nghĩa M *  Q t (1  e) tối đại M * Ta có eQ t  R  fR , với lũy đẳng f  R , theo (1) Do eQ t  fQ t tối tiểu eQ t Theo tính chất linh hóa tử trái hai phía, ta có Q t (1  e)  Q t (1  f ) Do đó, M  M *  R  Qt (1  f )  R  R(1  f ) Nên R CS-vành phải, tối đại (2)  (1) Chứng minh tương tự  2.3.9 Hệ Cho R vành nguyên tố mà không miền Nếu R CS-vành phải, tối tiểu, không suy biến phải với iđêan phải, R CSvành trái, tối đại, không suy biến trái với iđêan trái, 28 2.3.10 Bổ đề Cho R vành không suy biến vành thương trái phải tối đại R trùng iđêan đóng phía R linh hóa tử 2.3.11 Bổ đề Cho R vành nguyên tố thỏa mãn Z( RR ) = chứa iđêan phải, đóng, tối tiểu vành thương phải, tối đại R đẳng cấu với vành đầy đủ phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ phải vành chia 2.3.12 Bổ đề Một môđun với chiều hữu hạn CS-môđun CS-môđun 2.3.13 Mệnh đề Cho R vành nguyên tố với iđêan phải, Nếu R CS-vành phải không suy biến phải điều kiện sau tương đương: (1) R CS-vành trái; (2) u dim( R R)   Chứng minh (1)  (2) Theo Bổ đề 2.3.10 Bổ đề 2.3.11, Ql  Q r  Hom(VD ,VD ) , với không gian vectơ phải V vành chia D Nên Q r (và Q l ) vành Artin nửa đơn Do u dim( R R)   (hoặc u dim(R )   ) R (2)  (1) theo Định lý 2.3.5 Bổ đề 2.3.12, R CS-vành trái  2.3.14 Mệnh đề Cho R CS-vành nguyên tố không suy biến phải với iđêan phải, Nếu u dim(R )  n cho n  u dim( R R )  n Do R đó, vành Goldie nguyên tố phải, CS-vành phải R với chiều phải nhỏ R vành Goldie trái CS-vành trái Chứng minh Vì R CS-vành phải, R  e1R  e2 R   en R , cho với  in1 hệ trực giao lũy đẳng R Vì R vành không ei R ei 29 suy biến, theo Bổ đề 2.3.1, R có vành thương hai phía tối đại Q t Theo Bổ đề 2.3.6, R có iđêan trái, Theo Bổ đề 2.3.3, Q t có đế khác Do đó, Q t  e1Q t  e2Q t   en Q t , cho ei Q t iđêan phải tối tiểu Q t nên Q t vành Artin nửa đơn Vậy RR * R Q t u dim( R R)  n  30 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại kết báo [8] S K Jain, S Al-Hazmi Husain N Alahmadi Adel Cụ thể hoàn thành việc sau: Trình bày khái niệm môđun cốt yếu, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, CS-môđun, môđun số tính chất chúng Trình bày khái niệm CS-vành, CS-vành tối đại, tối tiểu số tính chất chúng Trình bày khái niệm môđun suy biến, không suy biến, vành suy biến, vành không suy biến số tính chất chúng Trình bày chi tiết tính đối xứng phải vành không suy biến Trình bày số kết CS-vành, vành nguyên tố không suy biến phải với iđêan phải, 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS môđun, Luận án phó tiến sĩ khoa học Toán – Lý, Trường Đại học Vinh, Vinh TIẾNG ANH [3] N V Dung, D V Huynh, P F Smith, R Wisbauer (1994), Extending Modules, London: Pitman [4] C Faith (1967), Lectures on Injective Modules and Quotient Rings, Lecture Notes in Mathematics, 49, Springer-Verlag [5] K R Goodearl (1976), Ring Theory, Nonsingular Rings and Modules, New York: Marcel Dekker [6] K R Goodearl (1979), Von Neumann Regular Rings London: Pitman [7] D V Huynh, S K Jain, S R López-Permouth (2000), On the symmetry of the goldie and CS conditions for prime rings, Proc Amer Math Soc 128, 3153-3157 [8] S K Jain, S Al-Hazmi Husain, N Alahmadi Adel (2006), Right-left symmetry of right nonsingular right max-min CS prime rings, Comm Algebra, 34, 3883-3889 [9] R E Johnson (1961), Quotient rings with zero singular ideal, Pacific J Math, 11, 1385-1392 32 [10] T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, 189, Springer-Verlag [11] Y Utumi (1963), On prime J-rings with uniform one-sided ideals, Amer J Math, 85, 583-596 [...]... môđun suy biến, môđun không suy biến, vành suy biến, vành không suy biến và tính đối xứng của vành không suy biến và trình bày chứng minh tính chất đó 2.1 Môđun suy biến và môđun không suy biến 2.1.1 Định nghĩa Cho một R-môđun phải M Tập hợp Z R ( M )  {x  M rR ( x ) * R} được gọi là môđun con suy biến của M Nếu Z R ( M )  M ta nói rằng M là môđun suy biến Nếu Z R ( M )  0 ta nói rằng M là môđun không. .. ta nói rằng M là môđun không suy biến M là môđun suy biến khi và chỉ khi M  A B trong đó B * A Môđun con của môđun suy biến là môđun suy biến Môđun con của môđun không suy biến là môđun không suy biến Tổng các môđun con suy biến là môđun suy biến Tích trực tiếp các môđun không suy biến là môđun không suy biến Mở rộng cốt yếu của môđun không suy biến là môđun không suy biến 2.1.2 Ví dụ Trong trường... trực tiếp của R Do đó R là CS -vành trái tối tiểu 2.3.5 Định lý Cho R là một vành nguyên tố với một iđêan phải, đều Nếu R là vành không suy biến phải và CS -vành phải thì R là CS -vành trái tối tiểu Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.1, R là vành không suy biến trái Do đó R là  vành không suy biến Theo Định lý 2.3.4, R là CS -vành trái tối tiểu 2.3.6 Bổ đề Cho R là một vành nguyên tố không suy biến phải mà không là... e của R Mà IJ  I  J  (0) nên I  r ( J )  1  e  Mà  1  e  là iđêan đóng của R vì nó là tổng trực tiếp của R Suy ra I  1  e  vì I là iđêan đóng tối đại của R Do đó I là tổng  trực tiếp của R Nên R là CS -vành tối đại 2 3 Tính đối xứng phải của vành không suy biến 2.3.1 Bổ đề Cho R là vành nguyên tố với iđêan phải đều Nếu R là CS -vành phải tối tiểu và không suy biến phải thì R là vành không. .. } là iđêan phải của R Vì Z ( A)  0 , tồn tại r  J sao cho yr  0 , mà yr  B nên B là môđun con cốt yếu của B  xR Do đó, B đóng  với x  B nên x  B  0 và Z ( A B )  0 2 2 Vành suy biến và vành không suy biến 2.2.1 Định nghĩa Vành R gọi là vành suy biến phải nếu Z ( R )  R Vành R R gọi là vành không suy biến phải nếu Z ( R )  0 R Môđun con suy biến của vành R là iđêan hai phía của R 2.2.2... biến, vành không suy biến và một số tính chất của chúng 4 Trình bày chi tiết tính đối xứng phải của vành không suy biến 5 Trình bày một số kết quả của CS -vành, vành nguyên tố không suy biến phải với iđêan phải, đều 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun và vành, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng... phía của R 2.2.2 Bổ đề Cho R là vành nguyên tố không suy biến phải Nếu A là iđêan phải khác không của R thì mọi iđêan phải đều của R đều được nhúng trong A Chứng minh Gọi A là iđêan phải khác không của R và U là iđêan phải đều của R Vì R là vành nguyên tố nên tồn tại 0  a  A sao cho aU  0 Đặt I  rU (a) , ta có U I  aU Vì R là vành không suy biến phải và U là iđêan phải đều nên I  0 Do đó U được... là vành nguyên tố Vậy R có iđêan trái đều  2.3.7 Hệ quả Cho R là vành nguyên tố không suy biến phải với một iđêan phải, đều Nếu R là CS -vành phải tối tiểu thì R có vành thương hai phía tối đại Q t Hơn nữa, nếu R không là một miền thì Q t là vành nguyên sơ với đế khác không 27 2.3.8 Định lý Cho R là vành nguyên tố không là một miền, các điều kiện sau tương đương: (1) R là vành không suy biến phải, ... Bổ đề Cho R là vành không suy biến thì vành thương trái và phải tối đại của R trùng nhau nếu và chỉ nếu mọi iđêan đóng một phía của R là một linh hóa tử 2.3.11 Bổ đề Cho R là một vành nguyên tố thỏa mãn Z( RR ) = 0 và chứa một iđêan phải, đóng, tối tiểu thì vành thương phải, tối đại của R đẳng cấu với vành đầy đủ của phép biến đổi tuyến tính trong một không gian vectơ phải trên một vành chia được 2.3.12... yếu của R Do đó Z ( R R )  ( Rf )  0 , nên Z ( Rf )  0 , điều này mâu thuẫn Vậy R là vành không suy biến trái  23 2.3.2 Bổ đề Cho R là vành không suy biến Thì R có vành thương hai phía tối đại Q t Vành Q t có thể được xem là vành con của vành Q l bao gồm các phần tử x sao cho tập hợp các phần tử y  R thỏa xy  R là iđêan phải, lớn (cốt yếu) của R 2.3.3 Bổ đề Cho R là vành nguyên tố không suy biến ... 19 CHƯƠNG TÍNH ĐỐI XỨNG PHẢI CỦA VÀNH KHÔNG SUY BIẾN Chương chủ yếu giới thiệu môđun suy biến, môđun không suy biến, vành suy biến, vành không suy biến tính đối xứng vành không suy biến trình... Adel Cụ thể trình bày vấn đề sau 2.1 Môđun suy biến, môđun không suy biến 2.2 Vành suy biến, vành không suy biến 2.3 Tính đối xứng phải vành không suy biến Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo... môđun không suy biến M môđun suy biến M  A B B * A Môđun môđun suy biến môđun suy biến Môđun môđun không suy biến môđun không suy biến Tổng môđun suy biến môđun suy biến Tích trực tiếp môđun không